장음표시 사용
151쪽
31 Elementorum Geometria avia ipsius A ad B, ut ubivia ipsius C es ad F: or I tripla A erit ad B, ut stiripta C ad F. Et sic in infinitum . Quod quidem aque est per sectarum , ac quodl3bet axioma . Vuoniam igitur L est ad B, ut Q ad F, erit quoque I ad L duplam ipsus B , ut si ad R duplam ipsitis F ut I ad L er,plam ipsus B , ita si ad R triplam F; ct sic in in
flniium.quod rursus tam clarum est, quam axioma quodcunque. Liquet ergo propositum.
CI quantitates A , B habeant communem mensuo ram C , erit A roties sumpta , quoties est C in B, aqualis quantitat3 B toties sumpta , quoties co in A . . Ponatur C contineri in B quater , ct in A sex. es, ac proinde B else C, ct A esse 6 C . Ieitur 6
quoties C est in A) efficiunt etiam 24 C . Ergo A to. ties sumpta, quoties C in B, aequatur B toties sum pια, quoties C in A.
SI ratio AB ad FI major sit ratione L ad R , tales sumi possunt antecedentium AB, ct Linaque muli ipIιces, tales stem aeque multFlices com sequentium FI, 2R,st ut multipla anteceden-ris AB rationιs maforis excedente mutilpiam consequentis FI) , multiplex antecedentis L rationas minoris non excedaι multiplicem sui consequem
152쪽
Liber uolatus. Pars II. 23 Iigitur AB ad FI majorem habet rationem, quam L ad R: alia quadam quantitas Z a habebit ad a Per FI eandem rationem, quam L ad R . Quia iam igitur ratio A ad FI aqualis est rationi L ad R. po-nιturque ratio AB ad FI major ratiane L ad R, erit quoque ratio AB ad FI major ratione Z ad M, ac proinde AB major est, quam Z r qua omnia per se sunt manifesta. Igitur ex Ad sumi poterit AC par Z: eritque etiam AC ad FI, ut L ad R . Auferatur residuum BC ex AC quoties potes , putarer ; tum seca AC in tot aquales partes, eAgr.in 6. donec earum una possu auferri saepius ex FI, quam BC ex AC, puta quater, ct residuum esto os, quod erit minus una particula. Hoc quoque feri posse per se est manifestum , oe patet ex pr. I. lib. I . qua a
proportionibus non dependet. Particularum vero
illarum quantitas esto et Oniam igitur vis mensura communis quan-ritatum AC. FO , ergo AC toties sumpta, quoties si est in F Ο, nempe quater, aequatur F O totres sumpta, quoties Vest in AC, nempe sexies . Deindoquia residuum os es minus una particula, hoc est . quam Q, erit OI toties accepta, quoties Qest in AC, nempe sexies, adhuc minor , quam AC . interius ,
quia BC minus saepe auferri potest ex AC, quam e ex FI 0ostium quippe fuiι BC ex AC auferri tantis posse ter , Q ero quater ex FI, manifestum est , BC totiei sumptum , quoties Q in FI, nempe qμ
ter , mέjus fore, quam AC , ac proinde misito ma
iMs s , quam os sumptum sexies, quod ostendi supra esse minus, quam AC . Atqui ostensum est AC Dmptum quater, ct FO sumptum sexies esse aquatia . Uuare si AC sumpto quater addatur BC qma-ιφη , oe ad FO sexies sumptum addatur OI sexies,
153쪽
x3 Elementorum Geometrias FO, ct 6 ΟΙ, Θος est, quam 6 FI. uuia vero' AC AEquatia erant 6 FO, erunt minora 6 FI. Sed ut AC ad FI, ita ponebatur supra L esse ad R. Ergo per lemma I. etiam 4 L minora sunt quam 5 R . Accepta sunt igitur antecedentium AB, ct L aque multiplicer, nempe quadrupla, irem aeque multiplice3 consequentium FI, O R, nem. pe secuplae, ct tamen ostensum est multiplam ante. cadentii AR nempe 4 AB superare multiplicem consequentis FI nempe 6FI: multiplicem vero antecedentis L nempe L non excedere multiplicem consequentis R nempe 6 R. Quod erat' demonstrandum
SI antecedentium A Cὶ qualibet aqua mulisplices quibuslibet consequentium B, F a se multiplicibus sint vel Amul majores . velsimul minores , vel ut aquales , ratio A ad B rariaai c ad F aqualis erit. Si negas, si ratio A ad B major ratione C ad F.
Ergo per rheor. prac. poterunt antecedentium A, csum. tales aque multiplices , item tales conseque rium B, σ F aque multiplices, ut mutirpia animce dentis A excedente multiplam consequentis B, multiplβ antecedentis C non excedas multiplam
consequentis F , quod est absurdum, quia evertit hypothesim. Ergo s c. In hac demonstratione is uti sequentibuι. raselum propositiones ex quinto libro adhibentur, qua per se aque sunt m sessa, sique ipsa axiomata.
154쪽
Liber Quintus . Pars II. 13sTheorema 3. I sumi possint antecedentium O , Rὶ tales aeque Fig. εἰ o matriplices, itemque tales aque multillices com sequentium Q S, ut multipla antecedentis uni ui superante multi am consequentis Wmulti pia antecedentis alterius R) non excedat muli plam sui consequentis S, erit ratio O ad se , emius antecedentis multiplex superat multiplicem consequentis, major ratione altera R ad S.) Rationes illas inaequales esese ostendo. Mesem aquales, quacunque antecedentium aque multiplia oes ut patet a fortiori ex lemmate primo ) quibuiscunque aque mulsiplicibus consequentium, vel βι- mul majores usent, vel simul minores , quod es absurdum, quia evertit hvnhesim .
Od astem ratis o ad si nasor sit, cujus ant cedentis multiplere superat, sic ostendo. Si negas, δε eis R M S major ratione O ad QErgo per theorema I. tales accipi possunt antecedentium R, O Oaqvie mώltiplices, salesque item aque multiplices consequentium S , oe uo ut mutiipla μntecedentis R rationis maioris excedente multiplam consequen-ris S mst ipla antecedentis O non excedat multiastiam consequentis V ; non autem tales quod facile ex I. lemmate ostendi ut multipla o excedente mul-riptam mmatiipla R non excedat multiplam S. Od est absurdum, cum everiai h posse . . Theorema A. CVm proportis irrationaeis est , nulla muli plex antecedentis ulli consequentis multiplici qualis esse potest . uuare, cum per multiplices inquiritur proportionum irrationalium equalitas,s-
155쪽
Iummodo multiplicium simultaneus excessus , de fectusque spectari debent. Fig. Sit proportis irrationalis A ad B. Si A aliquoties sumpta possetfieri aqualis B aliquoius sumpta,
ac proinde eandem amba efficere quantitatem Ζ, Angula A, oe B essent eidem a commensurabiles, ac proinde ct commensurabiles inter se, contra
uuia tamen secundum theorema tam ad rationales proportiones pertinet, quam ad irrationales. simultaneo excessui, ct defectui aqualitatem simu taneam addidimus cum Euclide Demonstratis hunc in modum , quae ab EucIide desin. & 6. ponuntur, jam omnes ejus quinti, dc sexti libri demonstrationes subsillunt, patetque, multiplicium illum excessum , defectumque stimultane um infallibile indicium esse aequalitatis rationum, non quidem per se immediate; sed demonstratio ne, quam modo dedimus, prius rite intellecta. Verum, quia indicium per multiplices quantumvis iam securum, nihilominus remotum est,&implexum, hic aliud clarissimum, & proximum, quod promisi supra, demonstrabo. Theorema s.
OI consequentes s CF, - , ct consequentium qualibet aliquota smiles puta ct decima, σcentesima, ct millesima, ct ira deinceps e termiano antecedentibus - ,σM aquali semper
numero contineantur, rationes ad C ct GMaa aequales erunt.
Nota, aquali numero contineri dicuntur, cum
s auferantur quoties possiunt , aqualis es utrinquo
156쪽
Liber Quintus. Pars II. t 37 Demonstri Si negas, erit ratio alterutra , puta AB ad CH major ratione se ad NU Uuoniam igitur A B ponitur ad CF majorem habere rationem , quam GM ad N 2, manifestum est, aliquam pura AD 9 minorem, quam AB aequalem habere rationem ad CH quam GM ad NE. Manifestum smiliter es, aliquam ipsus BF aliquotam ex. g. unam trigesimam esse minorem disserentia DB : Sis una trigesma ipsius CF, ct auferatur ex AB quoties potes, ex. gr. miloes, totumque ablarum Aa AO. Γuoniam igitur Ao est xooo CE, ct CF est 3o CE, eris Ao ad CH ut Iooo ad 3 o. Sumas r iam ex Nu aliquota ilis alieri , nempe etiam una trigesima . suoniam ex Φρ. , NP aequali numero in Ad , GM continentur . C E ablata ex AB quoties potuit, ablata fuit multes, etiam ψ ex GM auferri poterit millies. Eusa ergo totum ablatum GK est 1 ooo M oe Nu so NP, erit GK ad M. ut 1 ooo ad et O , , , , mi ad CF . Quia vero CE ablata ex quoties potuit, reliquit OB, erit OB minus; quam CE . Sed CE, nempe una trigesima G, sminorposita quam DB. Ergo OB es multo minor, quam DB . Ergo es major, quam AD. Em is CF mβ orem raιionem habet, quam ADaa CF . Sed ponebatur Use AD ad CH m GM ad OQ. Erσo AO ad CF majorem rationem habet.
r GMad NQ; hoc est multo majorem , quam Κ ad No Quod est absurdum, quia ostendi β'
pro AO esse ad CF, ut GK ad Nu . Non post ne Uttur rationes data AB ad , ct GM ad No
157쪽
SI aut eos sequentes s CF, Nus, aut consequem
tium aliqua similes aliquota ex. gr. decima )inaquali numero in antecedentibus t AB . GM contineantur,rationes AB ad , GM ad Nwinequales erunt, oe erit illa maior, cujus cons quentis aliquota sepius continetur. Contineatur CE decima una se s CF in Almillies , oesis AD IO- CE; tum vero res umOB erit minus , quam una CE. Deinde NP una decima Nuboni meatur in se tantum novelles
duum XMfore minus una NP, ac proinde Io
AP fore majores, quam GM. Sit ergo GR Io NP . uuoniam igitur Ao es Iooo CE , O GRiooo M; CF vero Io CE, Io M, erit AO ad CF, tit GR ad Nu . Ergo AB est ad CF in majori ratione, quam GK ad NQ; ac pro inde in multo majori, quam GM ad M. Πασι
erat demonstrandum. Habemus jam igitur indubitatum, Acillimum. que indicium, ex quo rationes aequales, i equalesque certo liceat discernere. Et possemus ex ibi. Omnes , quae quidem axiomata non sint , Iib. 3- propositiones , quas per multiplices Euclides demonstrat , multo expeditius demonstrare , nisi magis ex usii discentium putaremus, illas ea methodo , qua in prima parte usi jam sumus, pr
158쪽
De proportionum denominatoribus , algorythmo, compositione.
Proportionis divisio. PRima diviseo est in rationalem , ct irrationa Iem , ut dictum de . q. utraque dividi rin ratronem aequatitaris, ct inaequa litaris. Ratio inaequalitatis dividitur in rationem majoris in a. qualitatis , qua habet antecedens majus consequen-re, O in rationem minoris inaqualitatis, qua habet antecedens minus consequente.
Rationalis proportio ina qualitatis maioris diu disse in quinque species, qua sunt: multiplex, -- perparticular 1, superparisus, multiplex superpa licularis , multiplex superpatiens . Ratio multiplex est, quando major minorem aliquoties continet, ut bis, ter , quater, orc. dicisurque ratio dupla, tripla, quadrupla. Ratio superparticularis est, quando major minorem eontinet semet, ct uuam eius partem a trquo-ram : ut ratio 3 ad a, vel ε ad 4 , qua dicitur fefquialtera, quia maior minorem continet semet, eius dimidium ι ratio 6 ad 3, sive I 6 ad 1a , quέ dicitur sesquitertia, quia major minorem eont1net semel, ct tertiam esus partem, Ofic deinceps. Ratio superpatiens est, cum maior mιnorem conistinet semel, oe plures eiuι aliquoia1 non conficientes renam ais quotam. Talis est ratio 3 ad 3, vel x
159쪽
r o Elementorum GeomeIria hoc es tres quintas ejusdem numeri s , qua tamen simul sumpta non conficiunt unam aliquotam Lesus s. Similiter I continet Io semel ct bis et, hoc est duas quintas numeri Io. qua tamen simul sumpta nempe non conficiunt unam aliquotam ipsius et O. Additur porro , non conficientes unam aliquotam, quia alias esset ratio superparticula
Ratio multiplex superparticularis est, cum maior majorem aliquoties continet, oe insuper unam ejus aliquotam , ut ratio s ad a , Io ad A, Oc. 'Ratio multiplex superpatiens est , cum major minorem aliquoties continet, ct adhuc plures eius aliquo tas non conscientes unam aliquoι- , ut ratis
De Denominatore Proportionis rationalis. D ominator proportionis rationalis est, qui di. stincte, ct clare exprimit habitudinem unius numeri ad alterum ; sve qui ita se habet ad anitatem, ut majus ad minorem, ac proinde Uem dis , quot es maior minorem contineat, ct quori sminor contineatur a majore . Rationis a7 ad 9 de nominator est 3 , quia ita est ad unitatem, ut a Issu s, ac proinde ostendit quoties consequens in antecedente continetur, nempe ter .
Cujuscunque rationis denominator invenitur ,s major terminus dividatur per msnorem , nam quotiens disi sionis erit denominator . Ratio est,quia quotiens ita es ad unitatem,ut dividendus ad alviasorem, hoc est ut major ad majorem .
160쪽
Liber cuintus . Pars Iu r r- ' Exempl. Detur ratio εο ad 6 . Divide μper 6, quotiens ro est denominator. Detur rumsum ratio 6o ad I 6, drvis 6o per I 6 , sit quotiens , hic erit denomrnator .
De Denominatoribtis Proportionum irrationalium.
rationes irrationales fuerim reducta ad
rat rones commune consequens habentes, comis munis consequentis antecedentra erunt rationum denominatores, ct commune consequens munus, ac locum explet unitatis.
Proportionis nullius irrationalis, Dolast, em hiberi potes denominator . At si dua fuerint, vel plures proportiones irrationales, alio quodam sensu earum denominatores poterunt exhiberi . qui nimirum ostendan , quomodo una ratio ad alteram se habear. Id quod egre te observavit P. Grego-τius a S. Vincentio operis sui Geometrici list. 8. de-sη. z. Qui vir eum praeclarissimis , ct prope innumeris inventis Geometriam auxit, tum in primis ιib. t. ejusdem operis de proportionalitatibus ita scra ιι, ut novam de proportionalitatibus mentiam condidisse censeri merito debeat. Data sint ra-rrones 3rrationales A ad B , OC ad D, qua revocentur ad rationes FH, GH habentes commune consequens c, ut ratio F ad πιι par rationi
A ad B, ct ratio C ad D par rationi G ad H;
commune consequens H munus explebit unitatis, . antecedentia F , G erunt denominatores ra-