장음표시 사용
161쪽
1 a Flementorum Geometrianum A ad B, ct C ad D , )-Ostendum quomodo una ratio se se habear ad alteram ; sicuti enim F est ad G , ita ratio FH est ad rationem GH, hoc est ratio AB ad rationem CD. IV.
Fig. ra. A mom. I. Rationes F ad Η, ct G ad Η commune habentes consequens Η) eam im ter se proportionem habent , quam antecedentias FG es prop. a. P. Gregorii a S. Vincentio lib. .
Fig.1,. Hoc est, ratio G ad Η ranto major est ratione F ad Η. quanto G major est, suam F . Axiom. a. Rationes I ad I ad Ag eοmmune habentes antecedens reciprocam inter se habent consequentium proportionem. Est prop. 7. P. Gregorii a S. Vncentio lib. 8. quadr. Hoc es, ratio I ad L est ad rationem I ad M, ut reciproce est Ar congequens ad consequens T r seve ratio I ad L ranto maior est ratione esusdem Iad M, quanto L fuerit minor , quam M, ac pra inde quanto A1 fuerit maior, quam L. Axiom. 3. Ralsones rationales eam inter se r tionem habent , quam denominatores . Patet ex
Dentur ratio ra ad I, ct ratio 1 sad 6. μα- a Num. r. rum denominatores sunt 4 , ct a 2 . Ex desinit. a
denom. ratio Ia ad 3 est eadem cum ratione 4 ad a, ct ratio Is ad 6 est eadem cum ratione B a i
ad x. Sed ratis ad I es ad rationem ad
162쪽
Liber mymus . Pars III. 1, sab Aestadia . Ergo etiam ratio Ia ad 3 ιpe ait.
es ad rationem is ad 6, ut denominator est ad '
Rationum rationatium Additio, σSubtractio. AD di is perficitur, s rationum denominatores addantur. Ratio enim , quam metinois minatorum summa ad unitatem, es rationum datarum summa quaesita. Dentur ratio Ia ad 3, Is ad 6, rarum δε- Fig. nominatores Α, cst' a d additi sibi mutuo faciunt
6 E. Ratia 62. ad I est par rationi Ia ad 3 , er
rs ad 6 . Patet ex axiom. I. cst 3. birantio sit ablatione minoris denominatoris a majore , nam ratio re ui ad unitatem es ratio, qua remanet post minorem rationem a maiaiori detractam. Patet ex axiom. 1. ct 3. Dentur rationes In ad 3, ad 6. mom
aenominatores sunt 4 , ω au . Aufer minorem a d
α- , remanent 3 2: ratio a ad I est ea, q
ramanet, ubi rationem I 3 ad 6, seu a d aά r de traxeris ex ratione it ad 3 ,su ad 1
163쪽
Rationum irrationalium Additis, ct Subtractio .
bentes commune consequens Η Antecedentia Ficr G sibi addita sunt F G . Ratio FG ad H est summa rationum F ad H, oe G ad Η, hoc es rationum A ad B, ct C ad D. Patet ex axiom. I. Subtractio perficitur, st rationes data ad commune consequens reducantur, ac tum mιnus antecedens G auferatur a majori F; ratio enim re si ad Η est ea, qua remanet, postquam rationem si ad M, ses C ad D subtraxeris a ratione F ad Η, seu A ad B. Patet ex i. 'πιom.
Rationum rationalium multiplicatis , st diviso. DEnominatores rationum per invicem multiplicati dabunt denominatorem rationis , Uex datarum rationum multiplicatione producitur. Hoc es, ratio, quam ad unitatem habet numerus ex denominatorum multiplicatione productus hes ea, qua fit ex rationum multiplicatione. Patet ex axiom. I. ct 3. Nam multiplicatio rationum
es unius ad atieram additio saepius repetita . Hanc autem perfici repetita saepius antecedentium additione hoc es multiplicatione , patet ex jam cita
164쪽
Liber fututus. Pars m. .r sSine data rationes 9 ad 3 , oe ao ad 4, natores 3 , s' s multiplicati faciunt Is . Is ad x est ea, aua ex mintiplicatione rationum s ad
Divisio rationum perficitur ,s denominator m foris dividatur per denominatorem minoris. Nam ratio quotientis ad unitatem es ea , tur ex divisione rationis data majoris per rati nem minorem . Patet ex I. oe 3. axiom. Cum
ratronis per rationem divisio sit subtractio unius ab altera sapius repetita.
Maltiplicatio rationum irrationalium. DA sint rationei A ad B, ct C ad D per imuicem multiplicanda . Fiat ut A ad B, ita D ad E. Ratio C ad E est ea, qua producitur ex multiplicatione rationum A ad B, 3 C ad D. Hac operario est Gregorii a S. Vincentio lib. 8.pr g. 7s. Sed eam nec ipse, nec alius quisquam demonstratis Hune igitur in modum demonstrabitur . Ratio C producitur ex multiplicatione rationum Cad D ct D ad Ε, ut patebit ex demonstrationσnumeri XV. ab his independente. Sed rationes Cod D , ct D ad Eper consi sunt rationes C ad D, γ A ad B. Ergo ratio C ad E est ea, qua sit ex multiplicatione rationum A ad B, ct C ad D . ud erat demonstrandum. Κ IX.
165쪽
Io Elementorum Geometria Divisio rationum irrationalium.
DAtasii ratio C ad E dividenda per rationem
A ad B. Fiat ut A ad B , sic C ad D. Ra. ii. D ad E est quotiens. '. . Nam ratio C ad D hoc est per const. ratio Mad B) multiplicata per rationem D ad E producis σationem C ad E, ut patebit ex demonstrationenum. XIL ab his independente. Ergo ratio D ad E est quotiens, cum multiplicata in diviserem, ςuies ratio A ad B, restituat rationem C ad E , qua proponebatur dividenda.
De ει ostione rationum , ejus Desinitio RAtio ex rationibus componi dicitur, . cum ri. tionum quantitates hoc est denominatores inter se multiplicata aliquam Ufecerint rationem .
Est desin. 3. lib. 6. Euclιdιs. - . . Dentur ratrones quotcunque, quarum denomμnatores t a, 3, I U. Multiplica denominatores a per 3 de m fit 6 denominator rationis compostra ex rationibus, quarum denominatores sunt maltiplicais Hoc est, ratio o ad x es commsita ex σationibus 6 ad 3 , cst Ia ad 4..uuod si denomia natorem 6 multiplices per denominatorem tertium X a. st 7 a denominator rationis composita ex triabus datis rationibus, quarum denominatores sunt
166쪽
Compositio rationum non aliud est, quam rationum multiplicatio: ct ratio omnis ex iisdem rationi bus componitur, ex quarum multiplicatione pro
NAm, ut patet ex axiom. n.4. n. 7. ratio, quae ex plurium rationum multiplicatione producitur, ea est, quam quantitas ex denominatorum multiplicatione producta habet ad unitatem, seu consequens commune. Atqui etiam per definis. Euclia. ratio, qua ex pluribus rationibus comps nitur , ea est, quam quantitas ex denominatorum multiplicatione producta habet aa unitatem , seu consequens sommune . Ergo ratio ex iisdem compo. nitur , ex quarum multiplicatione producitur .
UT numeri sequentis demonstratio elarius per
cipiatur , observandum est multiplicari , acasvidi magnitudines per inviνem eum analogia quadam Aa numeros . siuemadmodum igitur numerus per numerum maltiplicari dicitur, cum uoes unitas ad alterutrum, ita reliqaus M ail alium q empiam , qui productum dicitust . ita plane ma gnitudo per magnitudinem dicetur mΛltiplicari, C m ut quapiam recta pro unitate assumpta se habet ad alterutram datarum , ita reliqαa flet aἀδiquam quartam , qua productum vocabituri P r modo quemadmodum numerus per numerum dividi diciIur, quando ut unus es ad alterum , ita 'itar sit ad alterum , qui quotiens nominatur : ita K. a quo
167쪽
IV . Elementorum Geomeιriae quoque magnitudo per magnitudinem dicetur a vidi , quando assumpta quantitate aliqua pro uniatate, ut una se habet ad alteram, ita unitas ad aliam i qua proinde dicetur quotiens .
Si fuerint quacunque, ct quotcunque quantitates, seu maenitudines, seu numeri, ratio prima ad
ultimam componitur ex rationibus mediarum.
IIVnumeris demonstratum es a Theone, Eutorio , ct Vitellione . Qui in magnitudinibus demonstraret, nemo hactenus inventus est. Unde Gre. gorius a S. Vincentio magnus Geometra lib. 8. ad principium secundum censet inter pr3ncipia num randum esse , donec alicui demonstratio occurrerit, qua intςr theoremata referri possi. Universalem igitur hujus rei demonstrationem dare conabimur hunc in modum. Demonstratur in magnitudinibus.
DAta sint magnitμdines quacunque , ct quos cunque A, B , C , D. Ostendendum est, rationem A ad D componi ex rationibus A ad B , Iad C . C ad D. x Fiat ut B ad C , ita X ad B . Eruntque rationes A ad B , B ad C reducta ad rationes A ad B, Xad B habentes commune consequens B, ac proi de rationum denominatores sunt A. X, ct cons quens commune B a munus explet unitaiis, qua es commune consequens respectu omnsum denominatorum numericorum.
Itaque, si velimus magnitudines A, Xper invi
168쪽
giber cuintus. Pars III. eem multiplicare. oportebit b facere, ut B unitas est ι s. t ad L, ita A ad quartam Z, qua erit productum praee. multiplicationis A per X, seu Xper A ; plane ac si
cupias invicem multiplicare numeros R, S , si Atunitas ad unum numerum S, ita alter R ad quam rum V, qui sproductum multiplicationis. Quonram igitur quantitas A es productum ex multiplicatione denominatorum A, X, erit ratio C e per hujus producti Z ad B unitatem, seu commune consequens ea . qua producitur ex multiplicationerationum A ad B, Xad B r prorsuι ut in rationum numericarum multiplicatione numero VII. osendiamus venire, in qua ,s denominatores inter se multiplicentur , ratio producti ad unitatem ea est, qu sit ex rationum multiplicatione.
Atqui per con . ratio X ad B est ratio B ad C. Ergo etiam ratio A ad B producitur ex multiplicatione rationum A ad B , B ad C. Quia vero pereon . si B est ad X, ita A est ad Z, etiam inversm Z ad A , ui X ad B. hoc est per confr. ut Bad C . Igitur permutando ui Z es ad B , ita A est ad C. Sed iam sensum, rationem Z ad B produci ex muDiplicatione rationum A ad B, B ad C. Ergo etiam ratio A ad C producitur ex multiplica trone rationum A ad B, ct B ad C . Atqui num. XL ostensum est, rationes componi ex iisdem ra-rronibus , ex quarum multiplicatione producuntur. Ergo raris A ad C componitur ex rationibus Aad B, ct B ad C. Eodem modo demonstrabitur ratia A ad D com poni ex rationibus A ad C , ct c ad D. Ergo ra- componitur ex rationibus A ad B, i a C, ct C ad D . Et sic deinceps in infinitum κuod erat demonstrandum .
169쪽
ta soElementorum Geometria Demonstratur in numeris
Andem prorsus demonstrationem valere in numeris iam ostendam. unde.etiam veritas illius, ac soliditas 3 a 1 magis sabilietur . . . 6 3Dati sint tret numeri quicunque, ex. 3 Lgr. 8, ', 3 . Fiat ut 4 ad 8 , sta I ad a, O ut AM 3 ,sic 3 ad a. Erunt igitur rationes 3 ad 4 , cta ad I e item rationes 4 ad 3 , O I interseaquales', eritque ex aquo a etiam ratio 8 ad 3 qualis rationi t ad a.
Fiat deinde ut A ad I, ita I ad a ,
ad I habentes commune consequens u-ε Fatet nitatem i ac proinde a , a-b rationum ι
ad 4, ad 3 denominatores. Multiplicentur jam per invicem denominatores a , cta, hoc efflat , ut
denominatoribus rationum 3 aa 4 , τ' q aa 3 inter se multiplicatis , Ereo ratio huius producti Z ad r. Patet est ea ,-c producitur ex multiplicatione ratio-
170쪽
Liber uuinius. Para III. Is Istr. ut I es ada . ita a est ad 2 , erit etiam inven
sim a ad a , ut d ai I. Sed rursus percon . I sunt
ad I, ut i ad a. Ergo' sunt ad a , ut I ad A. Em
go permutando a sunt ad i , ut a ad a. Sed iam o-
sendi rationem Z ad I else eam, qua producrtur ex
multiplicatione rationum 8 ad 4, ct 4 ad 3 . Ergo etiam a ada est ea, qua producitur ex multis
plicatione rationum 8 ad Α, Ο ad 3 . ostem sum est supra, rationem a ada parem esse rationi
. ad 3 . Ergo etiam ratio 8 ad 3 producitur ex multiplicatione rationum 8 ad Α, oeq ad 3 . ubrur per num. XI. ratio 8 ad 3 ex rationibus 8 ad 4,σ4 ad 3 composia est. Quod erat demonstrandum. a Eodem moda demonstrabitur , si plures,', dentur numeri, quam tres, rationem g ad 73 23 componi ex rationibus 8 ad 3 hoc iam
est ex rationibus 8 ad 4, cst 4 ad 3 st ex ratio ηit 3 ad as; ct rationem 8 ad 73 componi ex rarionibus 8 ad aue hoc iam est ex rationibus 8 ad 4, 6 4 3 , 3 ad as ct ratione as ad 73, au
dentur quotcunque rationes A ad B, C ad D, E pig.,ε. ad F, exhibebitur ratio ex omnibus composita.
SVat ut A ad B, ira quapiam G ad H, ct ut Cad D, ita H ad I , ct ut E ad F ; ita I ad K.
Ratio enim G ad K erit composta ex rationibus Gad N , M ad I, I ad K, ut numero praecedenti δε-