장음표시 사용
171쪽
rsa Eliment. Geometr a Lib. V. Pars III. monstravimus , hoc est per constri ex rationibus δε-
XIV. Rario non est aqualis rationibus, ex quibus
Pig. 36. TMer duas quantitates G, K alia quantitates I interponantur, sive illa sint continue proporti males ,sve non : ratio prima G ad ultimam K non est aqualis rationibus intermediis G ad H, H ad 4 I ad K, licet ex iis sit composita . Nam ex iis componi idem est, quod produci ex earum multiplica tione mutua , ut ostensum est num. XL. Cum igitur ratio G ad K si producta ex rationibus G ad Η, M ad I, I ad K inter se multiplicatis, ut ex de monstratione num. XII patet . non phsunt rationet G ad H, H ad I, I ad K ut sumpta aquales esse rationi G ad K, nisi cum per accidens rationum additio, ct multiplicatio eandem effecerint rati nem . Ut igitar rationibus dictis habeatur una a qualis, erunt illa sibi mutuo addenda, ut traditur numero V. ω VI; ex qua additione proveniet ratio illis omnitas aequalis, qua fere se ar, μι dixi, eris diversa ab illa, qua ex earundem raιionum compositione, hoc es multiplicatione, exsurget.
172쪽
versis exposita in sexto figuris planis applicatur. Et sunt, qua hoc libro traduntur, adeo jcitu necessaria , ut sine illis arcana Geometria penetrare, fructusque suaves Matheseos percipere nemo possit. Ad propositiones prope singulas oporteret encomtum texere, tanta omnium utilitas est.
i Q Ιmiles figurae sunt , quae & singulos angino las singulis aequales habent, & latera, quae aequalibus angulis opp nuntur , vel quae inter aequales angulos existunt, vel quae sunt circa aequales angulos eodem omnia recidunt propor
in triangula X, Z dicent- similia, si angulus Fig. a. A sit qualis angulo F , ct angulus B angulo Lyct angulus C angulo L: atque insuper si AB IPad FI, ut BC ad α; ct BC ad IL, ut CA ad LF i , ad se, ut AB ad H, comparando
semper latera aqualibus angulis opposita . Eodem modo aliarum Agurarum recitisinestum omnium similitudo explicabitur. a Reciprocae figurae sunt, cum in utraque ante' ris
173쪽
s 34 Elementorum Geometria cedentes , & consequentes rationum termini fue
Ut in parallelogrammis X, Z , . si AC sit aA C BD c. - ut F C ad c Lantecedentia sunt AC, FC, quorum in utraque s gura unum est; ct consequemia sunt CB, ct C L, quorum similiter in quaque figura unum est: parallelogramma proinde X, Z reciproca dicuntur Idem de aliis siguris intellige. i. 3 Altitudo figurae est perpendicularis a vertice ad basim deducta. Est Euclidis 4. Ut Trianguli ABC altitudo est perpendicularis
vertice cadens in basim BC, vel intra triangulum , vel extra in basim protractam. Bois autem,or ve tex assumuntur ad libitum. Similes arcus circularum dicuntur, qui eandem habent ad totas suas circumferentias rationem.
Ut, si ambo sint sua circ-ferentia pars tertia, vel quarta, M.
altitudinem , Ae inter easdem existunt parati Ias , eam inter se proportionem habent, quam bases
Ab hoc theoremate dependet totus sextus I ber , imo quidquid uspiam de figuris silve planis, sive solidis per proportiones demonstratum est . Demonstrat illam Euclides per multiplices, quin in primo statim aditu hujus libri tyrones pediturbant . Aliam igitur demonstrationem dabimus
174쪽
Liber Sextus 13 facillimam ex theor. s. pari. seeundae Iib. s. hunc
Sumatur baseos DF quaevis pars aliquota, ex. gr. DG una tertia, & ducatur recta GE , erit etiam triangulum DEG tertia pars trianguli DEF, ut colligitur ex 38. l. I. Quare recta DG,&txiangulum D GE sunt consequentium a similes ali- a Perde. quotae . Auseratur deinde DG ex basi AC quo ties potest, pnta sexies, ducanturque rectae HB,
IB, ΚΒ, LB, ΜΒ, B. Quoniam CH, HI, M. aequales sunt singulae ipsit D G, etiam seκ trianguIaCBH, HBI &e. triangulo DEG aequalia b erunt . Per se singula . Ergo quoties D G continetur in ante- Τ' 'cedente AC , toties triangulum DEG continetur iri antecedente ABC . Eodem discursu ostendam , quascunque consequentium baseos DF, &trianguli DEF similes aliquotas in anteeedentibus basi ΛC , de triangulo ABCὶ aequali numero contineri . Ergo per theor. s. partis secundae lib. s. ut basis AC ad basim DF, ita triangulum ABC ad triangulum DEF . Quod erat demonstrandum aurioniam vero parallelogramma A P , D Rsunt dupla c triangulorum ABC , DEF, etiam Per U. illa erunt inter se, ut bases. . '
TM ngula s ABC , FIL , di parallelogramma Fig. l.
aequales bases AC, FL, vel eandem hae tantia, eam inter se rationem habent, quam ab
. Fiant enim QS , OR aequales aequalibus bais bus FL, A C. Erunt igitur etiam QS, OR inter se aequales . Duc SI, RB. Si in triangulis OBR,
175쪽
I Elementorum Geometriae QIS accipiantur Bo, Id tanquam bases, erunt OR , QS eorum altitudines, quae cum fini aequu- a Per a. Ies, erunt triangula OBR, QIS inter se, ut a bases
ΒΟ, Id. Sed quia ex constr. OR par est AC, re QS pax FL, triangula OBR , QΙS aequantur b. Peras. triangulis ABC , FI L. Ergo etiam triangula
ABC, FIL sunt inter se , ut BO ad QI.
PROPOSITIO II. Fig. . CI ad unum trianguli lius s BC J ducta fuerit I parallela, hac secabit proportionaliter latera L hoc est AF erit ad FB, ut AL ad LC . 3Ets rem I secuerit latera LBA, CAJpropo rionaliter, erit ad reliquum latus BC J parallela -
Pars I. Ducantur BL, CF. Quoniam FL ponitur parallela BC, erunt triangula FBL, LCF a Per 37- eandem basim FL habentia inter a se aequalia αὶ ei j. 'go triangulum X ad utrumque eandem , ha.ὶ s. bet rationem, hoe est triangul. X est ad triang. FBL, ut triangul. idem X est ad triang. LCF. Sed ν Per triangulum X est ad triang. FBL, ut c AF ad FRI 'νε, & triangulum X est ad triang. LCF, ut d AL ad cand. LC. Ergo o etiam ΛF est ad FB , ut AL ad LC. , Quod erat demonstrandum. o Per Pars a. Ut AF est ad FB, ita triangulum X e Py μ' est ad triangulum FBL- & ut AL est ad I C, ita ....' NUE dum X est ad triang. LCF. Sed jam ponitur ΛF ad FB, ut A L est ad LC. Ergo triang. R Per X est ad triang. FBL, ut idem X est ad LCF. . phi ,. Ergo g triangula FBL, LCF eandem habentia 1. s. basim aequantur. Ergo FL, BC i sunt paralleIae. I 'Quod erat demonstrandum.
176쪽
SI ad unum trianguli latus BC ductae fuerint Fig. s. plures parallela I O , F L st , erunt omnia
laterum segmenta proportionalia.
PROPOSITIO III. SI recto BF J angulum trianguli bifariam foeans Fig. etiam fecer basim L AC J habebunt basisse e
menta AF, F C J eandem proportionem, quam reliqua latera L AB, CB. JEi s baseos panes L AF, FC J eamdem rationem habuerint, quam reliqua latera L AB, BC J, rem BF J basim secans , angulum oppositum
Pars I. Produc CB, donec BL sit par B Λ, &runge AL. Quoniam in triangulo Z latera LB, AR aequantur, anguli a quoque L,&Ο aequales 's. errant. Quia igitur externus ABC duobus , in. : phili: ternis L, O aequalis est ; angulus I, qui per hyp. δ' ipsius ABC dimidius est , aequabitur angulo L. Ergo AL, FB sunt e parallelae. Ergo in trian- e Peras. gulo ACL, AF est ad FC, d ut LB hoc est 2 phe ,. AH ad BC. Quod erat demonstrandum . . Pars a. Produc iterum C B , donee L B sit par ΑΒ . Quoniam ponitur ut Λ F est ad F C, ita ΑΒ hoc est LB esse ad BC, erunt AL , F B e parallelae . Ergo externus I est e Per a P r finierno L, & alternus in aequalis alie
177쪽
ri 38 Elementorum Geometriano O. Sed quia LB, AB aequales sunt , angulia Per s. L, & o sunt a aequales . Ergo etiam, I, & Qt' δ' aequales sunt, bisectus ergo est ABC. Quod erax
. 'ν Riangula fibi mutuo aquiangula sunt similis; φ Def. r. . hoc est 3 O etiam latera aequalibus angulis opsi'. posita habent proportionalia. Fig. r. TN triangulis X, Z angulus A sit par angulo Fi
Fig. . di Dem. Si angulus F ponatur supra sibi aequaIem - Α, latera FI, FL cadent supra latera AB, Ac,s Fig.8. Et quia s angulus externus AIL per hypoth. parest interno B , erunt a IL, BC parallelae. Ergo 1. i. '' b BI est ad IA, ut CL ad LA . Ergo e compones i R do ΒΛ est ad IF , ut CA ad LF. Quod sit anguime Per is. L imponatur angulo C, eodem modo ostendam, Lin AC esse ad FL, ut BC ad IL : & si angulus iimponatur angulo B, ostendetur pari modo, BCud IL , ut AB ad FI . Liquet ergo propositum Corollaria.
Fig. r. I CI in triangulo ducatur uni lateri BC) psto rallela LI ), erit triangulum I FI simi, toti CFB; ac proinsse CF est ex LF, ut BC ad LI Pera7. Nam quia LI, BC parallelae sunt, erunt θ ον terni FIL, FLI pares internis B, & C; F ve q. utrique triangulo est communis . Ergo sunt quiangula. Ergo latera CF, LF opposita. t libus
178쪽
Liber Sextus. ruestibus angulis B , & F I L sunt r proportionalἰa , rei Iateribus BC , IL , quae opponuntur communi praee.
α Si in triangulo parallelas AC Lo secet Fig. s. recta BF ab angulo opposito B ducta secabit eas
SI duo triangula Ealuerim amnia taura sibi mna Fig, ..mo proportionalia, etiam Abi mutus quiangu
ΛΒ ad RF ; dico ansulas antecedentibus oppositos aequari angulis , qua opponuntur consequentibus.
Nimirum C ipsi I, B ipsi F, Λ ipsi O.
179쪽
t Elementorum Geometriadam sequari . , & QF . Triangula igitur T, S sibi mutuo sunt aequilatera . .Igitur anguli 4 Per 8. I, F, D aequantur d angulis L, Ν , X, hoc est per constr. angulis C, B, Λ . Quod erat demon
AJ aqualem uni soJ, ct latera Γ AB, AC,
EF, R , qua aquales an ulos continent, pro portionalia , triangula erunt similia. . . Angulis A, C fiant aequales X, T, & latera . y ς' coeant-Ν. igitur anguli quoque e B, & N a ,,.i r ' quales erunt. Ostendam , ut in praecedenti , ae quales esse RF , RN . Est vero RQ atrisque triangulis S, T communis. Λnguli quoque o,& X aequales sunt , quia aequantur ambo eidem Α, X per constr. Ο per hyp. Ergo etiam I, sto Per 4. F o aequantur ipsi T, & Ν. Triangulum igitur λ' ' S aequiangulum est. triangulo T; hoc est perAE Per 4. Constr. triangula D. Ergo S , P d similia sunt.' Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO VII. Lx ullius es usus. PROPOSITIO VIII. .
P triangulo rectangulo perpendicularis s B C I
ab angulo recto in basim dueta secat triang-ιum in partes toti, ct inter se similes. In
180쪽
Liber Sextus . IsrIn triangulis ABF, & L angulus F communis rig. ita est, anguli vero ABF, & X per livpothesim sunt tecti, adeoque aequales . Ergo reliqui Λ, & Ο etiam a aequales erunt. Ergo b triangula ABF, &-pere L similia sunt. Eodem modo similia ostendam esse η'itriangula ABF, & R, angulumque I parem an- . Per ἰgulo F. Ex quo jam patet etiam R, & L similia i si esse, cum aequales sint anguli I, & F : O , & Α : V, ct X. Quod erat demonstrandum. Corollaria.
PRimo BC est media proportionalis inter AC ,
lat. opp. ΛF, AB l lat. opp. ΛΒ, AC Erit rursum AF ad AB, ut AB ad AC. PROPOSITIO IX. DAiam rectam dividere fecundum d pie ti. tam proportionem FI ad α. Ducatur infinita AZ, ex qua sume A , QR aequales FI , IL. Ex R duc RB. Huic ex Q duc QC