장음표시 사용
181쪽
et 61 Elementorum Geometria μparallelam. Dico factum. Patet eX p. a. l. 6.
PROPOSITIO X. DA iam rectam similiter secare, ab tera data AI fuerit secta in F, C.
Extremitates sectae, & insectae jungat recta IBHuic ex punctis F, C duc parallelas reste secandae ΑΒ occurrentes in L, & Dico factum.
Patet ex corollario p. a. lib. 6.
Seholium. EX hac propositione discemus rectam datam is quotvis aequales partes secare. Cum res ta se canda A B faciat quemvis angulum recta quapiμm insinita ; ex qua circino cape tot aquales pariti
AC, CF, FI, in quot secare placuerit AB. Osirectam ra , eique parallelas FL, Co Dico facto Aliter idem , ct facilius efficiemus cum Mo'rolyco hunc in modum . Sit AB trisecanda. D ad A B parallelam IX infinitam supra , vel i' fra. Ex IX, s est infra AB, cape circino trei quales partes IQ, uR, RS , qua simul majρην snt quam Ab , minores vero , si IX est supra Per I, O A, item per S, ct B duc rectas , concurrant in C ad Q, ct R dracta rest
datam AB trificabunt. Demonstratio paret ex ε rollar. a. prop. q. . LRursum cum Maurolyco aliter idipsum isa si tineb mus . Sit quatri canda AB . Duc infim x m AX, eique parallelam BZ etiam infinitam
Ex his cape circino parte: aquales M, MI , OQ
182쪽
Liber Sextus. 163O BV, VS , S R in Angulis nempe una pauciores , quam desiderentur in AB , tum reeta δε- cantur LR, OS, Ha quatrisecabunt datam AB. Nam quia per eonsis. LO , RS parallelas , ct aquales iungunt ra , ct in , etiam ha erunt a a per sarparallela. Pari modo OS , us sum parallela. Em i.rgo cum Au sis secta in tres aMales partes, etiam erit AI feci a b in tres aquales. Similiter erit BC, Per eo secta in tres aquales, rota igitur AB secta est in 'l'ρ' '
Ha duae praxes sunt Deiliores Euclidaa , quia pauciores ducenda sunt parallela.
PROPOSITIO XI. DAtii duabus rectis AB, BC tertiam pro Fis 3
Due rectam Λ C. Ex B Λ producta accipe AF parem BC. Per F ad AC duc parallelam FX infinitam, cui in L oecurrat producta BC. Dico ΛΒ est ad BC, ut BC ad CL. Nam ΑΒ est ad AF, e ut BC ad CL. Sed . per a. AP est d par BC. Ergo ΑΒ est ad BC, ut BC i. 6. ad CL , adeoque CL est tertia proportionalis a eonii 'quae petebatur. Aisera
STatuantur ΛΒ , BC ad angulum rectum. Iunge AC . Eu C due CX perpendieularem ad ΛC infinitam, cui in L oceurrat ΑΒ prodincta. Dieo ΑΒ est ad BC, ut BC ad BL. Patet
183쪽
Elementorum Geometria Seholium. Poterit vero proportio data non solum per tres terminos, sed etiam per infinitos continuari, ct tota insultorum proportionalium terminorum summa exhiberi. Pulcherrime hanc rem, totum ut adeo Geometrica progressonis negotium Gregoriuia S. Vincentio prosecutus est toto libro a. sui operis, Nos in gratiam studiosorum succinctam rei propo fia construcitionem, ac demonstrationem hic exhibebimuβ. Lemma I.
FIg.I8. 2. I ratio minoris inaqualitatis Lo ad LRΡwrro continuetur, ven etur ad quantitatem quavit
'ς i Sia Lo ad LR, ut LR ad LQ , oec. Igitur a iη P. 6.l. s. vertendo, ut uL ad RL , sc RL ad OL . Eu b Per in divid. buRad R L, ut XO ad OL, oe permAt . re iου. cuRadri , ut RLad M. Sed RL est major, 1. DL . Ergo eiiam in major , quam Pari modo osendam, vi se majorem, quam Ο sic deinceps. Quoniam igitur continuando rati Lo-LR , ad primam Lo semper accedum partes OR, RQ, Q, M. perpetuo crescentes, ρε tet veniri ad quantitatem quavis data majorem Uuod erat demonstrandum.
Fig. 13. CI ratio quacunque majoris inaequalitatis ABR 'qi CB semper continuetur , ad quantitatem veη
Iem. I. toties continuari, ut aliquis terminus habeatμην
puta LI major, quam AB. Goties vero contiη
184쪽
- i Liber Sextus. ω iam es ratio Lo ad LR, per totidem perminos CB, EB, o continuetur ratio AB ad CB, erit FB minor, quam OL. Nam ex const. patet IL, . KL, OL se pro portionales ipsis AB, CB, EB, FB. Igitur ex a- quo, utem ad OL, A AB ad FB permu- ν , tando fut IT ad AB, sc OL ad FB. Seu α es l. s. mulor, g . Euo etiam data OL i β- ῆ
Problema. DAta sit ratio minoris inaequalita is AB ad Fig. ry. BC. Oporteat hanc per infinitos terminos continuare , .ct omnium summam exhrbere. Erigantur perpendiculares M, BD aquatis da- iis AB , BC , oe per LO ducatur recta concurrens cum ABC produeta in Z. Dico I. si ex C erigas perpendicularem CQ. erit Cmertia proportionalis
G transfer in CE, ct ex E erige ER. erit hac quαrta . ER transfer in EF, ct erige FS , erit hac quinta ; atque ita ratio AF ad BC , hoc est Madm per terminos M, BO, in, ER, FS, oec. -υε AB , BC, CE, EF, FI, ore. in infinitum continuabitur , quia quilibet terminus Γ si FS J pol rie auferri ex resduo FZ; cum enim LA hoc es si minor, quam AZ, etiam FS erit b mι- όν patet
185쪽
16s Elementorum Geometria etiam LA est ad OB. ut OB ad UC. Eodem mori
inceps in infinitum. a. Pars. Tora summa infinitorum terminorum neque minor est quam AZ, neque maior . Ergo a qualis . Non es maior, quia , cum iam ostenderim supra, UC esse minorem quam CZ, cst RE, quam EZ, oe SF quam FZ, ct sic deinceps stine termino , poterunt omnes termins si , R E, SF, σc. si ne sine constitui iuxta invicem in recta AZ sc , ut numquam punctum Z attingatur. Non erat etiam minor, quam AZ, quia iam ostendi supra A Z, BZ, CZ esse continue proportionales, ct eodem modo idem ostendi ur de reliquis EZ, F Z , cto Cum igitur transferendo proportionales uC . ER , FS , crc. in CE, EF , FI, residua EZ, FZ, IToee. semper sint continue proportionales, ut iam ορ. r. flendimu ,venietur tandem ad residuum e dato mi. Jem.a. nus, ac proinde summa proportionalium superabit quantitatem omnem, qua minor sit, quam AZ. de ipsa non potest esse minor, quam AZ. uuoniam igitur nec major est, nec minor, quam AZ, eide. aqualis erit. Quod erat demor strandum.
P Rimorum terminorum di ferentia, primus ter
minus, ct Iota infinitarum proportionalium summa sunt continue proportronales.
Fig. is. In superiori Hura ducatur OX parallela asA Z . Igitur L X erit diserentia primi termi ni AL, seu AB, ct secundi BO, Iea BC. ζηρ niam Ao es parallela ad AZ, erit LX ad XO, leb. f LA ad AZ. Sed XO es AB, ct LA etiam tyrol. 1. P, AB. Ergo LX di ferentia es ad Ad primum it et
186쪽
minum, ut AB primus terminus ad AZ rotam summam. Quod erat demonstrandum. Idem universaliter , ct brevissime demonstra- Fig.rmisitur in omni genere quantitatis hunc in modum Sint continue proportionales quacumque fetiam numeri J A Z , B A, C A, G. q a transferantur σή-nes in primam AZ. Erunt igitur AB, BC, CE. EF, G. proportionalium d ferentia, qua una cum postrema quantitate IZ aquantur prima AZ. Uuia vero, Aproportionales in rnfinitum continuentur. postrema quantitas per Iem. a. evanescit, patet in nitarum proportionalium differentias aquari prima AZ . Deinde . quia es AZado, uioad CZ, ct fisic deinceps, erit dividendo AB ad BGH BC ad CZ; O p conversendo ut AB prima dis p Pereo. ferentia ad AZ primam quantitatem, ira B Cρ- gyi P cunda differentia ad B Z quantitatem sectindam, ' st sic deinceps. Ergo ut AB prima differentia ad
AZ primam quantitatem, q ita omnes dFerentia Per 12.l hoc est, ut iam ostendi, prima quantitas AZ ad i omnes quantitates, hoc es ad totam summam in festarum quantitatum. Uuod erat demonstrandum.
proportionem invenire. Disponantur datae rectae , ut figura monstrat, & pig.,,
duc rectam BF , cui parallela fiat CZ infinita. Ipsi CZ occurrat AF producta in L. Dico ΛΒ est ad BC, ut AF ad FL, ut patet ex pr. a. hujus. Ergo FL est quarta proportionalis quaesita.
187쪽
PUlchre Bettinus noser in suo aerario Mathe.
matica Philosophia, ex 33. hb. 3. Ο Iq. hinius . hac n on dependet, daris tribus quar tam , ct datis duabus tertram proportionalem ex hibet hunc in modum.
Si tres dentur recta, secunda CB , O terita BD ponantur in directum , quas prima BA tangat is Rob quovis angulo. Per puncta C, D describe . a circulum, cui AB prima occurrat in Z. BZ est
quarta proportionalis . . V. .... .
Cum enim rectanguli ABZ. CBD b aequalis sint, erit AB ad BC, ut BD ad BZ per i . huju 1 qua ab hac , ut dixi, non dependet. . Si dentur dua recta AB, BC, secundae BC ponatur in directum BD aqualis BC. Dein ipsam CB in B tangat prima AB sub quovis angulo Tum reliqua ut supra. Erit o tertia proportionalis quaesta. Demonstratio similis est; cum enim rectangul
ABZ, CBD sint aequalia, erit AB ad BC, ut BD hoc est ui BC ad BZ. PROPOSITIO XIII.
portionalem invenire. Tota composita AB bisecetur in O , ct cen tro O describatur circulus per Λ, & B. Ex cerige perpendicularem CF occurrentem periphe rise in F.
Dico AC est ad CF, ut CF ad CB. Ducantur enim AF, BF; triangulum a AFβ
188쪽
rectangesum est, & a recto angulo ducta est perpendieularis FC in basim . Ergo AC est ad CF. ut b b Per eo
CF ad CB. - . . t γ' rol.I.P.t. Corollarium.
HIoc patet , si ex quovis peripheriae puncto Fὶ ducta sit ad diametrum perpendicuIaxis FC ), eam esse mediam proportionalem inter diametri segmenta AC, CB .
His locus omnino exigit, ut de duabus mediis
proportionalibus inter duas datas invenien dis etiam breviter dicamus aliquid in hujus problematis solutionem . Platonis hortatu omnes Graecia Geometra summo studio incubuerunt. Ab Eutocio in comment. in Archimedem varii recensenturΡbtili imi modi, Platonis, Archira Tarentini, Ag nechmi Eratosenis, Philonis, 'santii, Heronis, otionii Perget, Nicomedis, Dioclis, Spori, Pap-ρi, quibus alios deinde addiderunt Vernerus, P. Gregorius a S. miscentio, Renatus Cartesius. Ex omnibus visum est Irea adferre reliquis faciliores . Modus Platonis. Porteat inter datas AB, BC duas medias
P onantur AB , BC ad rectum angulum , ct producantur infinite versus X, ct A. Accipiantur deinde dua norma ita Claudius Richardus noster ;Plato enim unica norma utitur, sed a cujus lateri DE inserta sit pegula mobilis per DE) ct unius norma angulus D anticetur recta EX, ea lege, ut δ' latus unum transeat per A, ct ad punctum Rrη quo latus alterum secabit rectam BZ applicata sima secunda transeat per C. Dico BD, BE duas.
189쪽
1 o Elementorum Geometria esse medias inter datas AB, BC, hoc est, ut AR
es ad BD , sic esse BD ad BE , ct BE ad BC.
Demoastratio patet ex coroll. t. pr. 8. lib. 6. Nam ADE rectangulum triangulum es, ct ab angulo recto in basim perpendicularis cadit DB . Ergo per dictum coroll. ut AB ad BD , fle BD ad BE. Ei ob eandem causam ut BD ad BE, sic BE ad BC. Inter datas Visur AB, BC reperta sunt dua media BD, BE . uuod erat faciendum. Hic modus inter omnes intellectu facillimus est. Modus Philonis B antii. Fig.11. IIa data AB, BC iungantur ad rectum angm tum ς tum perficiatur rectangulum ABCD,σ producantur DA, DC infinite, ducanturque diametri BD, AC se secantes in E. Centro E per B ducatur circulus, qui, quod angulus ABC rectus. Palet sit, transibis b per A ,σC . Tum regula sic ant, ς 3 1 3 cetur ad punctum B, ut intercepta BG, OF sint a qtiales . Dico AH se duas medias inter datasM , BC ; hoc est ut AB, BC ; hoc es ua AB es ad AF, sic AF esse ad GC, ct GC ad CB.
. per Demonstr. uuia GB, OF c aquamur,etiam os, onst- BF aquales erunt. Ergo aqualia sunt rectanguia aper eo. OGB, BFo, hoc es rectangula d DGC, DFA. Eni. est ut GD ad DF, e sc reciproce AF ad GC.Sed . ρεῖ , . GD es ad DF, s ut M ad AF . Ergo ut BA U ,' tibis AF c AF est ad GC. Rursum quia iam sempendet. di AF esse ad GC, ua O es ad AF, est veνο BAAta , ad AF, ut GD ad DF, hoc est ui GC ad CB ; erit4-l.ε. quoque AF ad GC, ut GC es ad CB. Omnes igitur quatuor BA, AF, GC, CB sunt continue propor rionales , ac proinde inter datas AB, BC inventa sunt dua media . iauod erat facieηdum.
190쪽
Liber Sextus: III Hi duo modi, quamvis set ingeniosi oe faciles, tamen , quia habita norma, oe' regula applicatio non nisi temando sit, Geometrici non sunt.
Modus Cartesii .PAretur instrumentum hujusmodi. Dua regula Fig. 2 . aperiri possint, cst claudi circa T. His inferta sat plures norma inter se connexa in B, C, D, E, F, G ea ut Διm regula TX, TZ aperiuntur, Nomma BC impellat normam CD in regula TZ,ct norima CD impellat normam DE in regula TX. DE impella/ EF, 2 EF impellai FG sic deinceps Dum vero regula TX, ct TZ clauduntur, omnia pundita B, C, D, E, F, G incidant in unum, idemque puntitum A. Hoc instrumento inter duas datas non solum dua, sed etiam quatuor, sex, imo quosvis media reperientur. uuod neque persectis-nes conicas, neque per modos ullos ab auctoribus supra dictis inventos obtineri potest. Pro duabus mediis opus es normis tribus , pro mediis q normis 3 , ct sc deinceps. Aginor datarum transferatur in regulam TX, ct DTB, major in regulam alteram TZ, ct sit TE. Applicetur norma prima ad punctum B, ibidemque
metur, coe aper antur regula , donec norma tertia ,
latus transeat per E. Dico TC, TDesse duas m dias inter datas TR, TE, hoc est ra esse ad m, usTCes ad TD, ct TDad TE.
Demonstratio manifesta est ex corollar. a. pro 8. lib. 6. Nam ex natura instrumenti in ιrigono
T C D angulus ad C rectus es, ab eoque cadit CD perpendicularis in basim TD. Ergo per dictum coroll. ut T B es ad T C , H T C s ad T D. Rursum, quia in /rigono T D E angulus