장음표시 사용
191쪽
ad D re seus est , ab eoque cadit perpendicularis DC in basim TE , erit ut TC ad T D, sic TD ad TE . Sunt igitur 1 B, TC, TD , TE quatuor continue proportionales . Inter datas igitur , TE inventa sunt dua media TC , TD . Quaderat faciendum. . Si inter datas TR, TG petantur 4 medis, s xi regulas, donec norma quinta latus FG ιranseat per G. Erunt TC, TD , TE , o quatuor media inter TB , T G . Demonstratio patet ex eod. coroll. imo modus, quamvis organum si Platonico tiato operosus, plane eximius est, tum quia nihil perscit tentando, tum quia ad 4 , O 6, imo μοι- cunque medias se extendit. Per duas medias perscitur problema Deliacum, cubi nimirum duplicatio, oe corpora quacunquens ' νn data proportione O augentur , vel minuuntur, post 1 s. quemadmodum idipsum in Aguris planis e tiar: Viah p per un m mediam . Hanc viam primus va-
cor. a. p. ruit Minocrates , qΜam ut singularem , ct unicam ψ-ι-ο, omnis Geometrarum posteritas amplexa est.
qualem , etiam latera circa aequales angulos habent reciproca : hoc est AC est ad CB, ut FO ad OL. )M , si latera se habent reciproca , parallel
gramma sunt aequalia. 1 Pars. IL, & SB productae concurrant in Qu
192쪽
Uber Sextus 'I73CB ; & Z est ad b R, ut FO ad OL. Sed quia perhup. X , & L aequalia sunt, X est c ad R, ut T ad R. Ergo etiam AC est ad CB, o ut FO ad OL.
Quod erat demonstrandum . . L a.
Demonst. a. pars. Ut AC ad CB, sic dX est ad R, & ut FO ad OL, sic e Zad R. Sed jam per hyp. AC est ad CB, ut FO 'ad OL . Ergo X est ad R O ut Z est ad R. Ergo X, L aequalia q sunt.
ia, latera circa aequales angulos habent recipro-
- , hoc est AC est ad CB, ut FO ad OL. si latera sic habent reciproca, triangula sunt
aqualia. Ducatur recta F Bdem quae praecedentis. reliqua demonstratio ea-Corollarium.
TAm parallelogramma, quam triangula, quae reciprocant bases, & altitudines, sunt aequalia . Et e converso. ιPatet ex duabus praecedentibus . . t i
d Per tal. 6. o Pereand. a Per ra. l. s. 3 Per sal. s. Fig. 3T. 32. Disitiroo by Corale
193쪽
est rectangulo Z sub mediis FI, IL.
Et si restano. sub extremis aquatur rectangulo sub mediis , erunt illa quatuor res a proportiona
x Pars. In rectangulis X, & T circa rectos angulos, ac proinde aequales B, I per hyp. est ΑΕ L.ςx ''ad', ut reciproce IL ad CB . Ergo a X , &Z aequalia sunt. Quod erat demonstrandum. a. Pars . Quoniam X, & Z jam ponuntur ars rhi qualia. Ergo b circa aequales angulos B, & I est eand. ΑΒ ad FI, ut reciproce IL ad BC . Quod erat demonstrandum.
F g 3 . tres recita AB, , BC in fuerint proponi o nates, resinangulum sub extremis AB, BC aquale erit quadrato media FL. Eis r tangulum sub extremis aquatur quadrato media, erunt tres ilia recta proportionales. x Pars. Μedine FL accipiatur par o. Quinniam igitur per hyp. ΑΒ est ad FL, ut FL ad BC, estque o par FL . Erit quoque Λ B ad . p., FL, ut O ad BC. Ergo o rectang. sub extremis praee. ΑΒ , BC aequatur rectangulo sub mediis FL, &Ο, hoe est quadrato FL.
2. Pars . Demonstratur similiter ex secunda parte praecedentis FC. Corollarium . Fig. a . LX hac, dc ex x3. patet, si in eircula sit FCa a perpendicularis diametro, rectangulum ACB aequale esse quadrato. ΡRo
194쪽
militerque positum describere. Polygonum datum B Q esolve in triangula. Super data recta RS fac a Ugulos R, O aequales aper l, angulis B, Α. Coibunt latera in X. Super XSfac anguIos V, I aequales angulis T, C . Coibunt latera in T. Dico factum. Nam quia anguli R, O aequantur angulis B, A, etiam Ε, k b aequales erunt-: & quia etiam c Vιpe, eo aequatur T, totus EU toti h T aequalis erit. Si xo s. militer, quia d singuli O, I aequantur singulis Α, etitisti. & C , toti OI, AC aequales erunt. Et quia e V, & 4 Per I aequantur T, & C, etiam Z, di inaequalesssunt. Id Polygona igitur RZ, B ibi mutuo sequiangula ς0Mst sunt. Reliquum est , ut ostendatur etiam latera io Ip esse proportionalia. RS est ad BF, o ut S X ad
duplicata proportionis laterum AC , FI J 37- aqualibus angulis subtensorum. me est; si a fiat, ut AC ad FΙ, sic FI ad . s.li, tertiam Α , triang. X est ad triang. Z, ut AC l. o. 'prima ad tertiam proportionalem Λ . Vide de
195쪽
x 6 Elementorum Geometriae ι p., .. LI, b ut AC ad IF . Sed per constr. ut AC ad IF, l. 6. silc IF ad A . Ergo etiam ΒΛ est ad LI, e ut IF i. r. '' ad Ad Ergo in triangulis QBA , & Z latera circa angulos A, I, qui per defin. triangulorum
similium aequales existunt, sunt reciproca . A quam
4 Per is . tur igitur d QBA , & Z. Atqui triangulum X ad j QBA est, ut e basis AC ad basim A Ergo et iam X est ad L, ut AC ad AQ. Quod erat de.
T,2R, numero aqualia: sa ct totis proportionalia ; 3 ct postgonorum proportio duplicata es proportionis laterum AB, FG inter aquales angulos B, G, ct BAE, Gre ) existentium.
x Pars. Quoniam polygona sunt similia, erunt a perde. a sibi mutuo aequiangula, eruntque bini binis sequa-
sin i 1 6. Ies angilli BAE, GFΚ, & B, G, ct BCD, GHI, ct CDE, HI k, &Ek. Quia igitur AB est ad BC, ι p. b ut FG ad GH, angulique B , & G aequales sunt, j., . similia c sunt triangula P, S. Similiter demonstra. l.ε. bitur, similia esse R, & V. Deinde quia toti BCD. GHI, & ablati BCΑ , CHF aequales sunt, etiam reliqui ΑCD , FHI aequales erunt. Eodem modo lς ς' ostendam aequari ADC, FI H. Ergo d tertius CAD, . ia) tertio HFI aequalis est. Quare e etiam 4, & T tri- ίςx angula similia sunt. Liquet ergo I. Pars. Pars a. Quoniam similia sunt P , & S, ratio P ad H.ὸ S duplicata est rationis CA ad HF Sed ob ean dem causam etiam ratio Q d T duplicata est ra-gyςr 3 . tionis C Λ ad HE. Ergo P est ad S, ut g Q ad T.
196쪽
, Liber Sextus. τ77 Eodem modo ostendam ut d est ad T , ita R esse ad V. Ergo ut s unum antecedens P est ad unum ἐperis reonsequens S , ita omnia antecedentia P, Q, R si1- mul sumpta, ad omnia consequentia S, T , V simul sumpta , hoc est polygonum ad polygonum . Quod erat demonstrandum.
3 Pars. Ratio P ad S est duplicata rationis K. Pet M ad FG . Sed ratio polumni ad potvgonum est Px ς' eadem cum ratione P ad S , ut jam ostendi. Ergo etiam ratio polygoni ad polygonum est duplicata rationis AB ad FG. Quod erat tertium.
Corollaria. I Μnes figurae ordinatae, seu regulares, ut aequilatera triangula , quadrata, pentagona , &c. sunt inter se in ratione duplicata laterum. Omnes enim ordinatae sunt similes inter se, ut patet ex defin. I. 6.1 Si figurarum quarumvis similium latera AB, Fig. 13 FG inter aequales angulos posita sint nota, etiam proportio figurarum innotescet . Sit ex. gr. ΑΒ
, ped. & FG 6 pedum, fiat ut a ad 6, ita 6 ad
alium numerum, nempe I 8. Figura minor est ad majorem, ut a ad I 8 , seu ut I ad 9. Invenitur ain tem tertius proportionalis numerus , si secundus
datorum multiplicetur per seipsum, & productus per primum dividatur.3 ' Ex eadem propositione elicitur methodus Fig. praeclara, figuram quamvis rectilineam augendi, vel minuendi in ratione data; ut si velim pentagoni, cujus latus est ΛΒ , aliud facere quintuplum: inter terminos rationis datae AB, BC in. veni m mediam proportionalem BX : super hae talς
Conitrue n pentagonum simile dato. Hoc eritis Peras. quintuplum dati. i. o.
197쪽
r g Elementorum Geometria Nam per zo pentagonum ΑΒ est ad sibi simi. Ie BX, ut AB prima ad BC tertiam. Porro, cum etiam circulorum proportio sit dinplicata proportionis diametrorum ut ostendetur p. 2. I. I A., haec praxis ad cireulos quoque pertinebit.
PROPOSITIO XXI Fig. q. T Igura A, B in qua eidem C similes sunΛJU Etiam sibi mutuo similes sunt.
Patet ex defin. I. lib. 6. ex axiom. a. lib. I. st proposit. 11. lib. s.
PROPOSITIO XXII. Fis CI quatuor, aut plures recta FI, Luricto' O SV proportionales fuerint, figura silmiles, militerque ab iis descripta A, B, ω , E ,κ με
portionales erunt et Et e converso.
Demonstratio primae partis patet ex 34. 3. Quo a Per s. niam enim a rationes Λ ad B, & E ad k sunt plicatae rationum FI ad L , & OR ad SV ex hyp. aequalium, etiam ipsae aequales erunt. Pars a. patet ex Sue. lib. 3.
198쪽
PROPOSITIO XXIII. R Curiangula parasielogramma X, Zὶ inter
I le rationem habent compositam ex ratioηιλ laterum AC ad CB, O LC ad . in Ηse est, fiat CB ad Ο, ut LC ad CF, X est ad Z, ut AC ad O. Vide quae demonstravimus
Concurrant IL, SB in . Parallelogrammum
X est b ad parallelogrammum R, ut AC ad CB; st R est ad T , e ut LC id CF hoc est , ut CB ad 0. Ergo d ex aequo X est ad Z, ut ΛC ad O. Quod
Illae, & ex 3 lib. r. patet primo, Triangula,
quae unum angulum ad C aequalem habent, rationem habeo compositam ex rationibus rectarum ΛC ad CB, & LC ad CF aequalem ngulum continentium . Patet a. rectangula, ac proinde & parallelogramma quaecunque rationem inter se habere compossitam ex rationibus basis ad basim , & altitudinis ad altitudinem . Neque aliter de triangulis ratiocinaberis. PAtet 3. Quo modo triangulorum, ac parallelogrammorum proportio exhiberi possit . Sunto
parallelogramma X, S L, & eorum bases ΛC , CB, tutudines CL, CF, fiat e ut CL altitudo ad altitudinem CF, ita basium altera CB ad O . Paral-hlogrammum X est ad parallelogram. Z, ut AC est ad O. Μ a PRO-
199쪽
PROPOSITIO XXIV. Tis 3. TN omni parallelogrammo π, qua eirea sis I diametrum sunt parallelogramma CL, ω, stioli, O inter se fimilia sunt.
Per 27. I. aequales sunt anguli C, S, &L, F. Per eandem E est par I, hoc est per eandem ipsi A ; B vero dc toti SF, & parti CL comminnis est. Igitur totum SF,& pars CL aequiangu Ia sunt. Reliquum est, ut etiam latera aequalibus angulis opposita habeant proportionalia... Quoniam in triangulis BCE, BSA, est CA parallela ad SA, erit e BC ad CE , ut BS ad WPereo-SA; & CE est ad EB, ut e SA ad AB. Quia . ...' y vero in triangulis quoque ELB, AFB, EL est ' Pς i, parallela ad AF, erit EB ad EL, ut i ΑΒ a VPeraa. AF. Ergo ex aequo CE est ad EL , oh SA.. ad AF. Igitur I CL, & totum SF similia sunt. i. Lου. Eodem modo ostendam ΟI esse simile toti SF. Vox Ergo n CL, & ΟI sunt etiam similia inter se,
Sive postgonum constituere aquati dato A , σsimile altera dato B.
Super CF latere polygoni B , cui simile peti Τηνε - trux , fac rectangulum a aequale B . Deindς ι ' p., super FS fac b rectangulum R aequale A. Μ3Ri ς ηα festum est CF , & FI esse in diressiim. ΙΠη
200쪽
Liber Sextus arx CF , FI inveni e mediam proportionalem FL. . peris Super hac fac d polygonum simile dato B , eriti λhoc etiam aequale dato Λ. i y
Nam eum per constri sint tres proportionales e Pera
CF, FL, FI, polvgonum B est ad simile sibi po. ialygonum super FL faetiim, e ut CF ad FI; hoc l.3. est i ut ad R. Igitur - permutando ut polygo. q'num B est ad Q , ita polygonum super FL est ad R. Sed per constr. polygonum B aequatur Ergo etiam polygonum super FL simile ipsi Baequatur R , hoc est per eonstruct. dato Λ. Factum est igitur, quod petebatur.
PROPOSITIO XXVI. PArallelogramma similia BD, FN habentia Fig.
angulum communem A) circa eandem diametrum existunt.
Due rectas ΛE, CE , si negas AEC esse diametrum communem parallelogrammorum BD,
& FΝ , ipsius BD diameter esto recta alia ΛGC secans FE in G , & duc parallelam GH . Par elogramma igitur F H , B D existent circa
communem diametrum ΛGC , ac proinde a e- ξζηδη
runt similia. Ergo ut ΒΛ ad ΛD, b sie FΛ ad Ur. AH. Sed etiam ut ΒΑ ad ΛD, sie FA ad ΑΝ, si eum BD , FN similia sint per hyp. Ergo FΛest ad AH , ut FΛ ad ΛN . Quod est absur