장음표시 사용
201쪽
ΤΠρηiisi facessunt negotium , O nullius fere
PROPOSITIO XXX. DAtam rectam AN ita secare, ut totas AB)Ait ad unum segmentum AC, ficus idem segmentum es ad reliquum CB
Hoc est ut loquuntur Geometrae lineam ex trema, ac media ratione secare. Per in a. ita seca AB in C, ut rectangulum
sub AB, CB sit aequale quadrato AC . Dico sa-
Erit enim per 37. ut AB ad AC, sie AC ad
Huius sectionis vis admirabilis est in eorporum regularium inferiptione, o comparatione.
i. r. C I a lateribus rrianguli rectanguli ACB O ra similes quacunque describantur , erit υν qua opponitur recito angulo , duabus simul reli is L, R aquatis. a Peleo. Propositio igitur 7. lib. I. hic redditur uni
: νε, i, Ab angulo recto C demittatur perpendicul3' r. 6- ει ris Co. Quoniam AB, BC, Bo sunt a tres pro let.: M portionales, erit F ad sibi similem R, b ut Ληφ Per ς0- prima ad Bo tertiam . Rursum, quoniam ς so=
202쪽
Liber Sextus r 8 IAC, Ao sunt proportionales, erit F ad sibi simi hm L , ut d ΒΛ prima ad ΛΟ tertiam. Quia igi- Perro tur est F ad R, ut AB ad ΒΟ, & F ad L, ut ...t et AB ad ΑΟ , erit quoque F ad R , & L simul sum- i. s. ptas, ut e AB ad ΒΟ, ΛΟ simul sumptas. Sed . Pera ΑΒ duabus B Ο, ΛΟ aequalis est. Ergo etiam λ' 'F duabus R, S L aequalis erit . Quod erat de
EX hac propositione facile dabitur quotcunque
figuris similibus rectilineis quibuscunque inna omnibus aequalis, & similis , eadem prorsus methodo, qua prop. I. scholii post 47. l. I. ex hibetur datis quotlibet quadratis unum aequale. In demonstratione tantum pro 67. l. I. citetur.3 I. I 6.
Lx habet usum, nec quidquam habet notabile. PROPOSITIO XXXIII. IN aqualibus circulis, fel eodem anguli sive ad Fig. 3. centra ut ABC, FOD, sve ad periph riam ut ARC, FSDὶ eam inter se rationem habent , quam arcus C, FGD,ὶ quibus insistunt. Idem intellige de sectoribus.
Quod . attinet ad angulos centri , & sectores , demonstrabitur eodem prorsus modo , quo prop. i. hujus libri demonstratum est, triangula aeque alia esIe ut bases . Tantum ubi isthic citaturpiop. 38. l. I. hic catetur 29. l. 3.
203쪽
18 Elementorum Geometria Lib. VI. Quoniam vero ad peripheriam anguli R, &Sis 'erao. dimidii a sunt angulorum ad centrum C AB, FOD, quod de his ostensum est, liquebit etiam de illis.
Corollaria ἰFIO ,. 1 Λ Νgulus centri BAC est ad quatuor rectos, ut arcus BC , cui insistit, ad to
Nam ut BAC ad rectum BAF, ita per hanc 3 3 arcus BC ad quadrantem BF. Ergo anguIus BAC est ad rectos, ut arcus BC est ad 4 qu
drantes, hoc est ad totam peripheriam. a Inaequalium circulorum arcus IL, BC, qui aequales subtendunt angulos sive ad centra, ut
ώ pereo Nam arcus IL est ad suam peripheriam, b ut Mi angulus IAL, hoc est, ut BAC ad rectos, cte per Id. arcus BC est ad suam peripheriam , e ut idem Qxol. angulus BAC ad rectos. Ergo IL est ad suam perde peripheriam , ut BC ad suam. Ergo d sunt fi En, .l.6. miles arcus IL, dc BC. 3 Duae semidiametri AB, AC a concentricis peripheriis arcus auferunt similes IL, BC.
204쪽
Nobis Septimus. libris primis subiunmt Euclides elememta numerorum tribus sequentibus septimo, octavo , ct nono comprehensa, quibus et iam decimum de quantitatibus incommensurabilibus adjungis . Nos a planis immediate transiimus ad solida ; de numeris seorsum ira ruri . Id, opinor, discentibus commodius erit, si lementa Geometria nulla alia tractatione interempta simul omnia habeantur. Nihilominus cum eis tabimus propositiones hujus, ct sequentis libri, eos non Septimum, ct octavum, sed Undecimum, σDuodecimum appellabimus, ne, s ab ordine Euclidaeo ubique recepto discedamus, propositionum ciatatio implicatior reddatur. te liber duas quodammodo partes complectitur. In prima iaciuntur fundamenta , quibus folia .r--, hoc est, corporum doctrina universa nititur. Auam parallelepipedorum assectiones proponum
g olidum , sive corpus est , quod longi iudinem , latitudinem , di profunditatem habet ε
205쪽
126 Elementorum Geometria, Solidi extremum est superficies. Fig. a. l. 3. Linea recta AB est ad planum CC recta, sive perpendicularis, cum ad rectas omnes lineas
Fig. a. Planum ad planum rectum, sive perpendie, Iare est, eum omnes rectae linea: L Q , quae communi planorum sectioni XRὶ perpendiculares ducuntur in pIanorum uno, rectae sunt alteri
Fig. a. s Si recta linea ΟL plano insistat non ad rectos angulos, & a sublimi ejus puncto L ad planum ducatur perpendicularis LP , jungaturquePO, angulus LOP dieitur inelinatio lineae OLad planum. lineis ΛΒ , & BC, quae in utroque plano ad Communem sectionem c OE ducuntur perpendicin
et Planum ad planum similiter inclinatum dicitur , atque alterum ad alterum ; quando dicti inclinationum anguli sunt aequales. 8 Parallela plana sunt, quae in omnem partem producta aequalibus semper intervallis distant. 9 Similes figurae solidae rectilineae sunt, quae sim, libus planis continentur multitudine aequalibus. ag s. Io Angulus solidus rectilineus est , qui pIuribus , quam duobus planis angulis BAC, C ΛΟ , ΟΛΒ non in eodem existentibus plano, sed ad unum punctum constitutis continetur. 11 AEquales solidi anguli sunt, qui intra imbcem positi congruunt. Iuemadmod- angulus planus es inclinatio linem
perpendiculariter , alterius ad alterum inclinatio est acutus angulus t ABC , qui continetur a rectis
206쪽
Liber Undecimus. 187ν- , ita solidus angulus es inclinatio supersita rum. De utroque litur eodem modo ratiocinandum erit. Consule scholium pos prop. I 6. l. 3.11 Prima est figura solida planis comprehemia, quorum adversa duo OFE,ΛCB sunt parallela, aequalia, & similia. 13 Parallalepipedum est solidum sex quadril, teris ex adverse parallelis comprehensum. t Si sex plana ex adverso parallela sint qua, drata, solidum iis comprehensum Cubus erit.
REcta linea pars una nequis esse in subjecto plano OE, altera extra planum.
Per se elarum est ex definitione plani , di lineae rectae, vide desin. 7. & q. l. I.
PROPOSITIO II. O ne triangulum in uno est plano. Et duae r Lia se mutuo secantes in eodem plano sunt.
Prima pars per se clara est, cum triangaeum nihil sit aliud, quam plana superficies tribus rectis comprehensa. Ex quo etiam patet pars altera.
communis eorum sectio est recta linea.
207쪽
1 8 8 Elementorum Geometriae Patet ex definitione plani . Licebit tamen se demonstrare, si EF sectio communis non est recta linea, ducatur in plano CD recta EOF, Ria plano B Λ recta EQF . Duae igitur remeEOF, EQF claudent spatium . Quod est absur
tuo secantibus perpendicularis existat, etiam pla no per ibas ducto perpendicularis erit. Si negas, alia recta BQ plano rectarum AC, AF sit perpendicularis. Junge Λα, & huic in plano FAC due perpendicularem QO . Haecolui .ά producta necessario secabit o aliquam rectarum Lehol. CAX, FAS , veI utramque ubicumque tandem fuerit punctum in Secet ergo CAX in Ο, jumgaturque Bo. Quoniam ergo angulus ΒΑΟpei
hyp. rectus est. Per T. erit quad. Bo. IE. a quad. BA, - - ' . . quad. AO.
ex ebd. Proinde d angulas Buo rectus non est . ErgQ
208쪽
Liber Undecimus T 89B Q non est recta e plano C Α F . Liquet ergo . paleε
EX est, quod ponebatur BQ esse recta plano FAC,
directe es demonstratum, BQ non ebse rectam plano FAC ; ae proinde ex eo, quod negaretur asseuerio theoremaris, eadem a sertio directe probata est. Hu demonsbatio quoad substantiam est Ioannis i
PROPOSITIO R I tres recta BAECA, FAὶ eidem recta sin Fig. ia. O ad idem punctum A AN perpendiculares ,
Sit enim , si fieri potest, earum una BA in alio plano Ro, quod secet L 'lanum duarum reliquarum CA, EA recta AO . Quoniam RA per hyp. perpendiculariter insistit duabus CA, FΛ, plano recta a erit . Ergo cum ΛΟ rectum facit Pφη, angulum RAU . Sed etiam ex hup. angulus Perde, RAR remis est . Ergo anguli RAB , & RAO aequales sistit. Quod est absurdum.
sunt perpendiculares, inter se sunt paralle- Postulari poterat ut per se notum; licebit ta.
mcta BD , fae in plano FE lineam DG normar
209쪽
asn Elementorum Geometrialem ad BD, & parem BA, junganturque D Λ , a per GA, GB. Rectae BD , DG aequantur a BD , BA ;ἱ F., ὸ..& anguli BD G, b DBΛ sunt recti. Ergo AD,
s. 3. l.M. BG e sunt aequales . Igitur triangula ABG, GDAI '' sibi mutuo aequilatera sunt , ac proinde anguli Perde ABG, ADG aequales. Sed ABG e rectus est . ε 3 i Quare & ADG rectus . Sunt vero & BDG ex constr. & CDG ex definit. 3. recti . Ergo GD ad tres CD, ΛD, 'BD recta est. Ergo CD cum, AC, BD est in uno i plano ; sed etiam AB cum a Pera. AD, BD o in uno plano est . Ergo ΑΒ , CD p . des sunt in uno plano. Ergo cum anguli ABD , CD Rfi. 3. l. i. sint ρ recti, erunt ΛΕ, CD, q parallelae. Quod II I 'I erat demonstrandum. .
MD PROPOSITIO VII. Fig. is. D MD EF secans rectas AB, CD in positas in
eodem plano in uno es cum inis plano. Postulari poterat. Qui volet sic demonstret. Planum rectarum ΛΕ, CD secet aliud planum per puncta E , F; si jam EF non est in plano AB, CD non erit EF communis sectio. Sit ergo EG F. Per 3 Ergo EGF a est linea recta. Duae igitur rectae EF, EGF concludunt spatium. Quod est absurdum.
Hlae sequitur , si EF secat parallelas AB ,
210쪽
plano erit recta. Poterat postulari . Si demonstratio quaeritur fere similis ea est demonstrationi propositionis 6
parallela, licet non eodem cum illa plano, etiam sunt inter se parallela. Quamvis' postulari posset, licebit tamen sic de
In plano parallelarum AB, CD duc Gk normalem ad CD. Item an plano parallelarum EF, CDd Ηk normalem ad CD. Ergo a Ch rina est AEPer , plano GyH. Ergo cum Λ G , EII sint parallelae 'ad Ck, erunt AG,EH b rectae plano GhH .ED . Per s. go ΛG, EH c sunt parallelae. Quod erat demon. radiis strandum. - . . , . cr.
OI dua recta - , BC in fine parallela d bus Rig I rems DF, EF, licet non sint in eodem plano, uales angulos C, O F comprehendunt. 'Fiant CA, CB aequales FD , FE , & ducan