장음표시 사용
211쪽
ras Elementorum Geometria. p. ,ῆ sint parallelae, & aequales, etiam AD , CF a pa-I.r. rallelae sunt, & aequales. Similiter ostendam BE , CF esse parallelas, & aequales . Ergo etiam AD, ι p.r BE sunt b parallelae, & c aequales. AEquantur ia. yphi , ergo AB, DE . Cum igitur triangula BAC, fio.1. EDF sibi mutuo sint aequilatera, anguli C , ct Fe aequales erunt. Quod erat demonstrandum .
fle. a. A D planum datum AB a dato extra illiadpuncto C) perpendicularem ducere. Constr. In plano AB duc quamvis DF, ad quam ex C perpendicularem describe CE . Ad eandem per E in plano ΑΒ perpendicularem duc ΛΕΜ. Tum ad ΛΜ ex C perpendicularem demitte CG. Dico CG plano AB rectam hine. Per G ponatur H G parallela ad DF. Per constr. DE recta est ad CE , & ΕΜ. Ergo a per .. DE recta a est plano CEΜ: adeoque & b H G. : i. EVM c recta est ad HG . Sed CG ex constr. I.it. recta est ad ΕΜ. Ergo CG d recta est plano ΑΒ.ah fi Quod erat propositum.
tum planum erigere.. Λ quovis extra planum EF puncto D fae DB,i. ad planum a EF rectam, junctaque ΒΑ due AC parallelam DB. Dico factum . Demonstratio pa
212쪽
PRactice per datum punctum perpendicularis ducitur dato. plano , se norma O TN ad 4aium
Alias enim per ε. forent parallelae , quod fieri
perpendicularis es, plana erunt parallela. Sumatur in planorum alterutro FG quodvis punctum C , ex quo ducatur C E parallela ad AB currens plano Lu in E. Erit C E etiam a re- a per s.cta plano utrique F G, Lin. Quare si jungantur i, M. rectae AC, BE, erunt anguli Λ, B b recti. Er- sta' . go AC, BE simi c. parallelae . Ergo ΛCEB pa- M. Tallelogrammum est; ac proinde CE, quam jam ostendi utrique plano esse perpendicularem, aequatur u AB. Eodem modo ostendam, Omnes utri d pera que plano perpendiculares esse aequales. Ergo pla- l. iana e sint parallela . Quod erat demonstrandum . . phi
PROPOSITIO XV. S recta duas mutuo tangentes BAECAE ad duas Fig.ra, alias se mutuo tangentes ED, FD 3 At parali D, etiam plana per ibas ducta erunt parallela.. N Ex
213쪽
Esementorum Geometria Ex A dueatur AG recta ad planum EF, 'nanturque GH, GI parallelae ad DE , DF. na Per s. runt hae a paralleIae etiam ad AB, AC . Curti igitur anguli IGA, HGAsint b recti, erunt e fin. 3Iiam e C A G, B Λ G recti . - Ergo GA , quae ad planum EF est recta, etiam recta dest plano M. .i. ' Ergo pIana e BC, EF sunt parallela. Quod erati :' demonstrandum. V
parallelas . . V Si non : cum sint in eodem fano secante , com' . venient o alicubi in I . Quare cum totae HEI, postli. FGI sint a in planis AB, CD productis, etiam haec convenient in 1. Quod est absurdum contra L,L '' definitionem 3. hujus . . .
Fis, altila plana rectas lineas i B D, σ MG proportionaliter secant. Ducantur in planis PQ, TV r8ctae BH, DRitem BG occurrens plano in F, junganturqueFC, FI . Planum triangus BGD secans paralle 'ς Ia plana facit sectiones C F , D G a parallelas. ' ei',. Ergo est BC ad CD, ut b BF ad FG. Rursum triangidum BHG secaris parallela plana fine Pet est sectiones e BH, FI parallelas. Ergo est HI - ad ΙG, ut d BF ad FG ; hoe est q-s jami. ι ' '' ostetidi ut BC ad CD . Quod erat demonstra D.
214쪽
omnia, quae per i .m aucuntur , plana sint eidem plano AB recta. Ductum sit per re planum aliquod G C saei
ens cum Λ B sectionem C D . In hoc ducantur ΗΚ normales ad CD sectionem communem . Cum igitur etiam o FE recta si ad CD, erunt ΚΗ a parallelae ad FE. Sed FE ponitur recta plano ΛΒ . Ergo & ΗΚ rectae b sunt plano AD. Ergo GC planum c plano ΛΒ rectum est .
PROPOSITIO XIX. SI duo plana F, se ferantia sint ambo
recta eidem plano ; erit etiam communis
quoniam planum Μ F ponitur rectum plano All, eκ des. . patet en puncto L posse in plano ΜΡ duei rectam perpendicularem plano ΛΒ, eam nempe, quae eX L esset in plano ΜF permodie, laris ad communem sectionem EF . Similiter, quia planum GD ponitur perpendiculare ad AB, ex def. q. patet in plano GD posse duci ex puncto L perpendicularem plano ΛB. Sed ex puncto L tantum a una potest duci perpendicularis' plano AB. Ergo necesse est , ut recta , quae ex L perpendicularis eli plano AB, existat in Hir
215쪽
quilibet reliquo sunt majores . Si tres plani sunt aequales, patet assertio: si in aequales, maximus esto BAD . Hic nihilominus minor est duobus reliquis . Ex maximo enim
BAD abscinde BAE parem BAC , fiantque ae quales ΛC , AE . Per E ducatur recta occur rens ipsis AB, AD in B, & D , junganturquoia νεξ BC, DC. Quoniam anguli o BΛE, BA PςQnst, quales sunt,& latera BΛ, ΑΕ aequalia lateribu . ph. BA, AC, etiam bases B E , BC aequales a e 4 1 3. runt. Quoniam vero BC, CD b majores uni,. xςx δ' -m BD.ablatis aequalibus BE , B C, remam
CD major, quam ED . Sed latera EA, ADPPer quantur lateribus e CA, AD . Ergo angulus '' CAD major est , quam E AD. Cum igitur BAi.i 8 par sit ostensus BAE, erunt duo simes B A GCAD majores toto BΛD . Quod erat demuo'
Fig. α . DLani anguli solidum angulum quemcunque L ponentes quatuor rectis sunt minores. Esto solidus angulus Α : planis angulis di φcomponentibus subtendantur rectae BC, CD , EF, FB in uno plano existentes. Quo facto G .. stituitur pyramis, cujus basis est polygonum hDEF, vertex Λ, totque cincta triangulis )I,
216쪽
Liber Undecimus. 1971, Κ , L , quot plani anguli componunt solidum Λ. Jam vero quia duo anguli ΛBF, ABC ama. a Perjores sunt uno FBC : & duo ACB, ACD ma Pxης' jores uno BCD , & sic deinceps ; erunt triangulorum G, H, I, Κ, circa basim anguli simul sumpti omnibus simul angulis baseos B , C, D, E, F
majores. Sed anFuli baseos una cum quatuor rectis iaciunt bis tot recitos , b quot sitnt latera , sive quot ι per triangula. Ergo omnes triangulorum circa basim theor. d. anguli una Cum quatuor rectis conficiunt amplius, α,τ quam bis tot rectos, quot sitnt triangula. Sed iidem i. i. anguli circa basim ima cum angulis, qui componunt solidum , componunt bis c tot rectos , quot sent tri- e Patet 3βgula . Liquet ergo angulas solidum angulum Λ ς R i y
componentes quatuor rectis esse minores. Quod erat demonstrandum. Corollarium.
V X hae , ct praecedenti satis colligitur, ex tribusta angulis planis quatuor rectis minoribus , quin rum duo quilibet reliquo sint majores, solidum angulum coniti tui posse.
X hac eadem propositione demonstratur celebre theorema: tres tantum Aura plana ordinata , T 'Mates corpui continere possunt; nimirum a Liatera triangula vel , vel 3, vel ao. uuadrata entagona ra. Ac proinde quinque tantumsum struinata, seu regularia corpora. ramis, seu Te irssiarum, quot , Octoedrum , quod 8 , icinae rum , quod a o aquilateris triangulis continetur , ' I2 6 μadratis , Doricaedrum, quod Ia mobus pentagonis ordinatis comprehenditur. Podi' corpus ordinatum dicetur , quod planis ordinatis,
217쪽
potest constitui angulus solidus , ad hoc enim sab
A iribus triangulis aquilateris in unum punctum coeuntibus potest constitui angulus solidus pyrami dis ; ex quatuor angulus solidus οἱ aedri; ex quis que angulus 1solidus'Dofaedri, cum aquilateri ιν anguli anguli tum 3 , tum Α, tum 3 Ant recti .
minores, ut colligitur ex Corollaris I a. propos P, lib. I. β Colli- ώuoniam vero tres anguli pentagonici bβηt 4 , Τ rectis minores , poterunt tria pentagona in Μηη M.t . punctum coeuntia constituere solidum angulum, ni pe Dodecaedri. A tribus quadratis in unum punctum coeunti bus sici solidum angulum cubi, per se patet. At que ita quinque exsurgist regularia corpora. Preter hac nulla e se alia sic ostenditur. Sex anguli trianguli aquilateri conficiunt 4 re . . Per eo. CZοις unus enim facit duas o tertias recti; ac ' i 'i P isde sex tales siciem Ia tertias recti, hoc est rectos 4 . Ergo a sex aquilateris triangulis non peterit sici solidus angulus , multo minus a pruri'
A quatuor quadratis non posse constituistidis angulum , ac multo minus a pluribus per se
Anguli pentagonici sunt rectis majores; φ . per eo. guli enim liciunt ε quintas e recti. Ego a ': Qi P 'tuor pentagonis nequit fieri angulus solidus , --
Nec sane ex aliis figuris quibuslibet ordisat iconstitui poterit solidus tangulus . Tres anguli bes Per eo- xagonici f sunt rectis aquales; unus enim θ' i'I A tertias recti, ac proinde tres faciunt Ia tcnisi recti , hoc es 4 rectoa . Ergo ex tribus hex mi
218쪽
nequii eonsimi solidus angulus, multo minus a pluribus. Cum vero tres anguli hexagonici si it rectis aquales , stes anguli Agurinum quarumlibet hexagono majorum, urseptagoni , octogoni, o c. r ritis majores erunt. umine manifestum est reliquas figuras ordinatas omnes esse ineptas, ut solidum amgulum constituant, adeoque prater jam dici a s na Ia Oranara corpora dari posse.
. PROPOSITIO XXII. XXIILADmodum prelisa sunt, ac tyronibus p.
ΡLana parallelepipedum continensia I sunt Fig. as. parallelogramma , a in qua ex adverso,
I. Pars. Planum AP secans plana BD , FH ex defici. I 3. parallela facit a sectiones BA , FE Peri parallelas. Rursum planum AF secans plana AH, '' BG per defin. x3. paralleIa facit , sectiones Λ Ε, - ῆςRBF parallelas . Ergo BFEA parallelogrammum '' est. Simili argumento reliqua parallelepipedi plana sunt parallelogramma.
2 Pars. Quoniam ex prima parte patet, AB, BC parallelas esse EF, FG, erunt e anguli ABC, io. i FG pares. Quare, cum & Iatera alternis sint puta, similia simi parallelogramma adversa BD, Eodem modo probatur de ceteris oppositis. Pars s. Paterrae prima parte, & q. vel 3.1. N '' PMx
219쪽
Fig. io. I parallelepipedum, GFDI aut quodias priso ma plano NPὶ secetur adversis planis para
Demonstrabitur eodem modo, quo I. 6. Corollarium.
Prisma sectum plano adversis planis parallelo sectionem habet similem , ct aequalem planis ad
PROPOSITIO XXVI. & XXVII. sunt necessaria PROPOSITIO XXVIII.
s j T Lanum per adversorum planorum diametros
' bt AC , EG iransiens parallelepipedum secat
in duo qualia prismata. rhi Quoniam a BG, BE sunt parallelogrammas: ἡ A E aequidistant eidem B F . Ergo dc b in 1., i. ' ter se sunt parallelae, ac proinde in uno sunt plu ςτ no. Ergo rectae AC, E G e in uno sunt plinno . Jam vero planum per illas ductum secata parallelepipedum in duo prismata aequalia , silc instendo . Intelligatur prisma Λ E G C D H sinpra planum suum EACG ita constitui, ut anginti D , H vergant ad angulos B, F . Μanisesbimest tum adhuc fore inter parallela plana BADCi
220쪽
Η in F . Cadat enim D extra B, si1 fieri potest, in N, Angulus B AC sequatur u angulo DCA . Sed DC Λ ου per iri aequatur ΝAC est mim unus, idemque angulas . i Τ 'Ergo BAC, & NAC aequales sunt, quod est absurdum. Ergo D incidit in B, ct pari de eam se H in F. Ergo prisma ΑEGCDH congruit prisinati AC GEFB, ac proinde e aequalia sunt. 4 Pera-
HLOMI, , qua eandem' habent basim EFIM, ) oe altitudinem eandem, ac proinde existunt inter parallela plana M, G
ualia sunt. ', .PE. 'ti Vel enim existunt inter lateralia parallela plana EΛΟΜ, & FGLΙ, vel non. Esto primum. 2 . hujus, & 8. l. t. patet triangula ΑΕΒ, Μ O ; item G F H , KIL sibi mutuo aequila- IR , & aequiangula esse . Quare , ut in praec Oeati , ostendam prismata CΜΟLIΚ , BEAH-m sibi mutuo imposita congruere , ac proinde aequalia esse . Quare , addito communi solido AE Pera, tota parallelepipeda FEAGKI I C, FEBHLΟΜI aequalia erunt. Quod erat '