장음표시 사용
221쪽
' 2qn i Elementorum Geometrialelogramma esse ex adverse aequidistantia , ade e Per de. que se idum illud e esse parallelepipedum. Sed huic per primam partem parallelepipeda FX ΜIPR, ct FEAGKCΜI sunt aequalia. Ergo etiam sunt aequalia inter se. Quod erat dem.
HAEc propositio similii est propositioni 33. I. T. a mae enim de solidis, quod illa de plin
nis . uuare similis etiam erit reliquorum casu- demonstrario.
Fig. 33. Datrallelepipeda super aqualibus basias eo, EG, ct in eadem altitudine s S) suis
Habeant parallelepipeda primo latera ad bases normalia. Ad latus FG productum fiat parallelogrammum G ΜΦ aequale , ac simile paralle- Iogrammo ΛΟ , perfectoque parallelogrammo GΜPR, rectae P Μ, RG occurrant ipsi KH in , m&L. Iam vero intelligantur super GK , Gin GP constitui parallelepipeda , quorum latera
sint ad bases recta, altitudo autem omnium Communis sit S. Solidum EG S est ad solidum GPS, .s peris. ut EG , ad GD; hoc est quia EG, AO per hyp. . dii ,,. aequantur ut ΛΟ ad GP ; hoc est per conlir ut GK ad GP; hoe est ut e G ad GP ; hoc esti 'Τ d ut solidum G QS est ad idem Iidum GPS. Quoniam igitur solida EGS , de G QS eandemi habent rationem ad selidum GPS , erit solidum Peras. EGS e sequale GQS; hoc est solidosGΚS; hoe; tit c quia bases CX , AO sunt ν aequales , & similes
222쪽
Liber Undecimus . to selido i ΛΟS. Quod erat propositum. Per totum discursum solida accipiuntur recta . Habeant deinde parallelepipeda data E G SAOS Iatera ad bases EG, & ΛΟ obliqua. Fiant super EG , ΑΟ parallelepipeda, quorum latera sint ad bases recta in altitudine S ; haec aequalia
erunt ObIiquis per 29. aut 3O l. II. Quare cum parallelepipeda recta per primam partem sint paria inter se, erunt & obliqua aequalia . Quod rat demonstrandum.
Bases sint Go, & Λ , super Co fac paralle logrammum OE pax ipsi A. Super BC , OE intelligantur erigi parallela-pipeda in altitudine Κ: hae igitur partes erunt in mus parallelepipedi ΒΕΚ. Ergo a parallelepip dum OEΚ est ad parallelepipedum BCK ut basis OE ad basim BC ; hoc ἐν est , ut basis Λ ad b sm BC. Sed quia bases OE , dc A sunt aequales, parallelepipeda OEΚ, & ΛΚ e aequalia sunt. Ergo etiam parallelepipedum ΛΚ est ad parallelep, pedum BCK, ut basis Λ ad basim BC . Quod
erat demonstrandum . Scholium.
D d his de parallelepipedis ostensum es , d
ἰ Patet ex as i. i. imo per se.
223쪽
' in triplicata ratione laterum homologorum AI,
fi. v. l. i. Omnia ipsorum plana similia a sunt; adeoque AB
ad BCbest, ut EB ad BO: & ut FB ad BG, sic. pet e. EB ad BG. Insiiper & anguli e planorum aequa Rd- les sunt. Collocentur sic igitur solida AH, CΜ, ut aequales anguli CBO, A B E sint oppositi ,& latera AB, CB in directum; tum vero etiam a Patet d EB, OB in directum erunt . Cogitentur jam
i' μ' super planis Bri & EC facta solida sic, ut soli da Κ Β , HA sint unum parallelepipedum, SKR , ΡΟ faciant unum similiter parallelepipe dum, & PO , CΜ unum quoque parallelepipe' dum conficiant . Solidum H Λ est ad solidum yςx s ΚΒ, e ut AE ad BR, hoc est ut 1 AB ad BC, s Per i. hoc est ut per hyp. ostendi supra ut EB aὸ Τμ ν.i hoc est, ut g ad B , hoc est ut so eand. lidum i idem ΚΒ ad solidum PO . Continuanti yyyyi' ergo eandem rationem tria solida HA , ΚΒ, P0 K Per Iam vero solidum KR est ad solidum P Ο , ut iιν. i. basis BR ad basim B ; hoc est , ut ι EB a 1 6. Bo; hoc est, ut m FB ad BG, hoc est , η syd iiij ' planum FC ad planum BS ; hoc est, ut idem steη hyp. rursus selidum P O ad C Μ solidum. Quatuor ergo selida ΗΛ, ΚΒ, PO, C Μ sunt continust
yς proportionalia. Ergo ratio primi HA ad quar'ν rei de tum CΜ est p triplicata rationis primi HA adfi. aQ.l. s. ΚΒ secundum; hoc est, rationis q ΑΕ ad 38ili, 'ε hoe est , r rationis homologorum laterum Aβ . yςτ 3. ad BC . Quod erat demonstrandum.
224쪽
Liber Undecimus is 2 os Scholium .
OUod hic de parallelepipedis ostensum est, in
libro ra. demonstrabitur de pyramidibus propn 8: de quibuslibet prismatibus coroll. a. post p. 9.de conis, O cylindris p Ia; de sphaeris p. 18.
reciprocant bases , ct altitudines ; hoc est , basis AM est ad basim FK, ut reciproce attitudore ad altitudinem ' reciprocant bases , altitudines,lia sisnt.
x. Pars. Sint primo latera ad bases recta. Si iam solidorum ΒΜ , CK altitudines sint pares,
Si altitudines sint inaequales, a majori FC abscinde FE parem BA , & per E duc planum EL ad FK parallelum. Bassis ΛΜ est ad basim , ut solidum , ΒΜ ad solidum E K ; hoc si Perra. est quod ex hyp. paria sint solida ΒΜ , CK ) k 33 in solidum CK ad ΕΚ solidum ; hoc est , ut ς ς Peras. CG ad EG ; hoe est, ut d CF ad EF; hoc est ' Et i. ex constr. ut CF reciproce ad ΒΛ . Quod erat
Sint deinde latera ad bases obliqua. Erigantur super iisdem basibus in altitudine eadem. paralle-Iepipeda recta. Erunt his obliqua e parallelepipe- ε Per Σ, da aequalia. Quare cum haec per I. partem reci- 3ο i procent bases, & altitudines, etiam illa recipro- eabunt. Quod erat demonstrandum. a. Pars. Sint altitudines inaequales, lateraque ad
225쪽
: ao 6 Elementorum Geometria ad bases recta , R ex majori CF ipsi BA sumerPer 3 a. parem EF . Solidum ΒΜ est ad selidum ΕΚ, ut I., i. . A M. ad FK ; hoe est ex hup. ut CF ad disi hqς x Per a. est ex constr. ut CF ad EF; hoe est,utgCG ad . p., ,,. EGἰ hoc est, ut solidum i CK ad solidum lym
tionem ad ΕΚ. Ergo sunt paria. Quod erat is
OUM de parallelepipedis demonstrata sunt
Prop. 29. 3O. 33. 3 . etiam conu niunt prismatis triangularibus, quae sunt dimidi parallelepipeda, ut patet ex p. 28. Igitur Fis 37- x. Prismata triangularia aeque alta sunt ut by lses, A, B 'a. Si similia fuerint , eorum proportio trigi' cata est proportionis laterum aequalibus anguli oppositorum. - . l3 Si aequalia sunt, reciprocant bases , ct is tudines: dc si reciprocant bases , di altitudine i
pedis, demon Dabitur in lib. 1 a. de dibus p. 9; de primatis quibuscunque corosi 3 mp. 9 ; de conis, ct cylindris p. I s.
226쪽
Parallelepipedi DH MB FD habeat latus EF aquale Λ , & latus .alterum ED aequale C , Iatus vero EG basi insistens aequale mediae B: Erit parallelepipedum DH factum ex 'tribus rectis A, B, D, parallelepipedi deinde IN tria Iatera LX, IX, XΜ ac proinde omnia reliqua sint aequalia mediae B, & angulus solidus X sit aequalis angulo solido E. Erit parallelepipedum IN lactuct rex media B, ct priori sequiangulum. Dico etiam ἐς
Cum enim per hyp. & constri sit ut FE ad LX,na reciproce IX ad DE . Erunt a bases DF, ΙL a Per r . nales. Jam quia anguli sesidi ad Ε, &X, uni in si aequales, si ponantur intra h-cem , b congruent, , Per de. st ob aequalitatem rectarum E G , X Μ piricta bl , G coincident . Quare Lina erit utriusque s altitudo , perpendietilaris nempe a punctis G jam congruentibus in flamim basem demILis. Solida e igitur DH , IN aequalia sunt. Quod Την 3
IlIc porro Observabimus, id quod magnum hi
bet usum, ex tribus lineis quomodocumquc
tr se ductis ejusdem magnitudinis solidum gigni,
227쪽
- In schemate hic, posito dua prima littera i si
gnant basim, tertia altitudinem. Comparemus --mum cum secundo. RUA AB es ad basim per x. 6. se B latas ad C latus ; hoc est reciproce ut B altitudo ad C at istudinem c Ergo per 3 . hujus lib. ABC AE. CAREodem modo osendes primum tertio, o tertiam
ΡArallelepipeda similia, similiterque a lineis pro portionalibus descripta etiam i a sunt pro β' risnalia; ct e converso.
Patet ex 34. lib. s. RatIones enim parallelepi pedorum per 33. hujus erunt triplicatae rationum ex hyp. aequalium, quas habent lineae. Conversa patet ex Sue. Iib. 3. Propositio vera est de quibuscunque similibe corporibus, quae patebit lib. I a. Eriplicatam ha
228쪽
unum o im habeat parallelogrammam plam baseor a laen- ML ὶ, qua triangula sit pr gmata erunt aqualia. 'I' Nam si perficiantur parallelepipeda kR, & CHerunt haec aequalia a ob basium CR , ΜΕ,& aba Per fr.titudinum aequalitatem Ergo etiam prismata i L 3 'psorum b dimidia aequalia erunt. Quod erat de. 6 eras. monstrandum. I.ir Scholium.
Ex hactenus demonstratis habetur dimensio pris
matum triangularismoe quadrangularium, seu parallelepipedorum, se nimirum altitudo ducatur in bis m, ut si altitudo fit 3o pedum , basis vero p dum quadratorum 1 OO, mensurabitur autem basis per schol. pr. 3 6. vel r. lib. I. multiplica roper Ioo, proven uni IOPO pedes cubici pro solid rate prismaris dati. Demonstrario facilis es . Nam quemadmodum rectangulum, sta oe parallelepipedum rectum pro . eitum ex altitudine ducta in baHm. Ergo etiam quodvis parallelepipedum producitur ex altitudine in basim iacta , cum per 31 aquale si parallelepipedo recto Iuper eadem bas ad eandem altitudinem comstituto . Deinde, cum totum parallelepipedum producatu ex altitudine in totam basim,s missi parallelepipedi hoc es prisma triangulare per a d. producetur ex altitudine ducta in dimidiam basim, triamulumvmpe ITK. AO ELE-
229쪽
Uod is, Libris precedentibus hactenus
praestare conati sumus , ut Mathema- elementa ad faciliorem , ac breviorem methodum revocaremus, is primis profandum erit in hoc Lbra duodecimo, cujus doctrina cum maxime sit necis faria, demonstrationes adeo sunt prolixa, ut tyγnes in desperationem plerumque conjiciant. Huic incommodo ita mederi propositum nobis est, ut i
men a ri rore Geometrica demonstrationis non rec
damus . Vuod utrum simus a secuti , lector istebliget, si hac nostra cum Euclidaea prolixitate con
stitutiS. Planum Z Basis dieitur, & esse potest veI tri' Σngulam , veI quadrangulum, vel quaevis alia gura , ex cujus lateribus singulis triangula suo gunt in unum punctum L, quod vertex dicitur1' coeuntibus .
230쪽
ΕIementorum Geometria Lib. XII. arrim triangulum inter rectilineas figuras planas, L
ia pyramis inter solidas prima , ct simplicissima si .
a Si extra planum alicuius circuli CL acce- ris. 1.ι.ptum fuerit punctum Λ,) ab eoque ducatur recta infinita AF tangens circulum in C , quae puncto A manente fixo circa peripheriam ci culi convertatur, donee in eum locum A C F in re, deat, unde moveri coeperat , superficies a rectaliaea ACF deseripta dicitur conica superfietes; rpus vero , quod hae superficie , & eirculo CL ὶ eontinetur, conus vocatur. vertex coni est A. Basis coni est eireuIus CL. Axis coni est recta AB ex vertice ad ba-leos centrum ducta.
Latus coni est recta AC a vertiee ad baseos circumferentiam dudha , quam esse totam in conisuperficie, ex ejus genesi est manifestum. Conus rectus est, eum axis AB est basi Fig s.
conus scalenus , seu obliquus est , cum axis Pig. 3. AB non est ad basim rectus . Fit etiam tonus rectus a triangulo rectangulo Fig. a.
CBA) eirea unum latus perpendiculare AB in
in orbem ducto. 3 Si circa duos eirculos aequales , dc paralle--ε μ
vortatur , donee in loeum redeat , unde moveri Rpit, se ut mota sibi ipsi semper parallela ma-h δt, superfietes a recta COF descripta diei ly cylindrica superficies; corpus vero, quod hac Rperficie, & binis circulis continetur, cylindrus vocatur. δ