장음표시 사용
231쪽
Aius esindri est recta ΛΒ basium centra
Latus cylindri est recta OC in cylindri si
perficie utramque basim tangens. Rectus cylindrus est, cum axis ad bales recius est. Scalenus cylindrus dicitur , cum axis ad hases non est rectus. -
Fit etiam csindrus rectus a rectangulo U EA circa unum latus BA in orbem ducto Similes coni , & cylindri sunt, quorum
sunt proportionales.s Sphaera est solidum comprehensum una 1 perficie, ad quam omnes rectae lineae a quodam puncto intra ipsam posito ductae sunt aequales. Punctum illud centrum dicitur.' . Sphaerae diameter est recta per centrum ducta ad superficiem utrinque pertingens. Generatur sphaera, si semicirculus circa diameatrum AF immotam convertatur . 6 Μagnitudines figurae alicui inscriptae , aut circumscriptae , sive figura minores, vel majores in figuram desinere dicuntur, eum ab ea tandem differre possimi quantitate minori quacunque data, seu quantumvis pama.
Itaque si ea, qua figura alicui inscribuntur , ab ea tandem desiciant defectu minori quocunque dato, inscripta dicentur in stram desinere. Et si ea, qua alicui figura circumjcribuntur , excedant eam tandem excessu minori quocunque dato , dicentur rinsum circumscripta de era in figuram. PRois
232쪽
Olim non similium circulo inscriptorum pro ' pig. s. 1 portis es duplicata proportionis diametrorum & 7.
na ponuntur similia , a sequales erunt anguli a Fer e
o BA, RLΙ, & latera OB, ΒΛ proportion ita lateribus RL, LI. Ergo in triangulis OAB, RIL b anguli Ο, & R aequantur. Ergo etiam 9 Per G3FΛ, & LCI, qui iisdem arcubus ΕΛ, LI imi . stant , sunt e aequaIes. Anguli vero FB Λ, o PetarzCLI in semieireulis sunt d recti, ac proinde aequales . Ergo reliqui BAF , LIC e aequantur . i. , '''Quoniam igitur triangula FAB , CIL sibi mu- ἡ 'i tuo aequi angula sunt, erunt f similia, eritque ΒΛ p.,x l. r. ad LI, ut AF ad IC. Iam, quia per hyp. po-s ' lygona sunt similia, erit proportio eorum dupli-eata i proportionis laterum BA, LI ; hoc est , i Pera . ut jam ostendi, duplicata proportionis diametro i' ' rum ΛF, IC. Quod erat demonstrandum. Corollarium Polygonorum similium eirculo inscriptorum Rmbitus sunt inter se ut diametri. Cum ostensum jam sit ΒΛ esse ad LΙ, ut AF, ad ΙC, etiam OB erit ad RL, ut AF ad ΙC , ' ἁ sic de caeteris lateribus. Ergo per Ia. s. Omniasmul latera ad simul omnia , hoc est ambitus ad mbitum sunt, ut AF ad IC.
233쪽
vis. - ΡOlagona circulo inscripta in circulum desinunt. Inscribe quadratum ACBD . Cum hoc dinab
o Pςrdium sit quadrati a circula conscripti, erit majus yost..& dimidio circuli. Quare si hoc auferatur e cim ν culo , auferetur plus quam dimidium . Deinde
singulis arcubus bisectis in E, k, H, I, inscribe octogonum, & in E tangat FG , cui BC, D Λ occurrant in G, & F, erit C F paralleloe
grammum , cujus cum dimidium sit triangulum. Per i. θ CEA, erit hoc plus quam dimidium segmen- Α' ti CEA. Eodem modo singula triangula AkD, DI B, &c. singulorum segmentorum plus sunt quam dimidia . Ergo omnia trianguIa omnium segmentorum plus quam dimidia sunt . Haec eo go si ex illis, hoc est ex residuo circuli auferas, plus quam dimidium auferetur . Pari argumento si inscribantur circulo polygona duplo semper plin. . rium laterum, ostendam e residuo circuli semper auferri plus quam dimidium. Ergo residuum erite Patet tandem c minus quocunque dato, ac proinde Pin. Ei bc lygona inscripta tandem a circulo deficient quan- post D. titate minori data quacunque , hoc est in circu-- :' jEi lum o desinent. Quod erat demonstrandum.
' Irculorum proportio est duplicata proportionis 7 diametrorum. Polygonorum similium circulo sine fine inseri,ptorum proportio semper duplicata a est proportionis diametrorum . Atqui potvgona eirculo in i ta ιnmtum inst ipx- circulum b desinunt . E
234쪽
go per porisma universale sequens etiam circulo rum proportio duplicata est proportionis diam trorum . Quod erat demonstrandum.
SI ea, qua duabus figuris A, B inscribuntur
in ipsas desinane, quam proportionem inter se semper habent inscripta, eandem habent ura. R Sit ratio X ad Z ea, quam inscri- Λ B X Z pta semper habent inter . se Sic F ergo negas rationem figurarum A, B eandem esse eum ratione X ad T , quam semper habent ea , quae figuris inscribuntur, sit ratio A ad B primo major ratione X ad Z. Ergo alia quaedam quantitas R minor quam figura A , erit ad figuram B, ut X ad T. quoniam inscripta per hyp. desinunt in figuras A, & B, erunt aliqua figuris Λ, & B inscripta, quae ab ipsis deficient a minori quantitate, quam a Perst deficiat a figura B. Sint ea C , & F. Ergo Cλερι- δ. erit majus, quam R. Ergo C est ad B in , ma- ώ pet
iori , quam R ad B; hoc est ut ponebatur i quam X ad Z; hoc est per hyp. quam idem Cad F. Quoniam igitur C est ad B in majori pro
portione , quam ad F, erit B figura minor c sibi oper εα mscripto F, totum sua parte. Eodem modo ostenis Loetur, rationem B ad Λ non posse esse majorem Utione Z ad X. Ergo ratio Λ ad B aequalis estiationi X ad T. Quod erat demonstrandum.
235쪽
CUnt prolixa , σ di sies vrombus , nec alim lψ. habent usum , m per eas demonstrem lquinta , quam nos fine illis multo facilius demam strabimul.
NPer . Ies. Eodem modo similes esse ostendam sectiones
RXZ, IV . Ergo ratio sectionis ABC ad OSEupeii,. est duplicata d rationis laterum BC ad SE, st . ratio sectionis IV ad RXL duplicata est ratio nis Vinad XL. Atqui rationes BC ad SE, SV ad XL sunt eaedem est enim BC ad SE, ὸνεieo si e CF d EF; hoc est per hyp. ut QLad ZL; hoc f-, ut VQ. ad XZ. Ergo ratio ABCi pei i ad USE eadem est i cum rati e IV ad rata
ςo- Quod erat propositum t Perus
236쪽
Priamidi Z F triangulam habenti basim xis
prismata in infinitum inhripta desinunt in Uam p ramidem.
Dividatur latus pyramidis in aliquot aequales partes ΛΒ, BG, GF , per BG factis sectionibus GDΝ , dc BEP basi ZAC parallelis imscripta intelligantur pyramidi prismata trianπωa
tra pyramidem continuatis intelligantur pyramidi esse circumscripta prismata CIBA, P X G B , Ν Η F G . Excessiis circumscriptorum supra inseripta sunt solida ΙΜ , XΚ , HG, quae simul sumpta aequantur prismati CIBA ; nam HG est
ρ aequale DB., ac proinde HG cum XΚ aequa- Peras.
, ΙΜ aequantur toti CIBA . Atqui si ΛF in eand. ylures sine fine partes aequales dividatur, ac prinprismatum numerus m infinitum multiplice-py, ΛΒ fiet a quavis data minor . Ergo etiam' 'di'. prisma CIBA fiet quovis dato minus . Ergo a. schol prismatum circumscriptorum multoque magis 'pyx missis TCAF , quae pars est prismatum sibi ιν Fatea ς, ςumser*torum excessus supra inscripta pri 'μ' matR fiet quovis d in minor. Ergo inscripta prismR- in pyramidem e tandem desinunt. Quod e- Per te' ut demonstrandum. a.
PROPOSITIO Uprramides triangulares que alta eam inter se risDἰ p portionem habent, quam base: Au A,
237쪽
a18 Elementorum Geometria pyramidum altitudines aequales reserant latera AP ET, quibus in quot placuerit aequales parteS , . sed aeque multas utrinque divisis , factisque per divisionum puncta sectionibus ad bases parallelis, intelligantur utrique pyramidi inscripta esse pri mala trigona aeque multa, & aeque alta. Iam vero , quia prismata LA, IE sunt aeqne alta , erit Per eo prisma LΛ ad prisma. IE, ut a basis LOB ad
, . i. basim IN K ; hoc est, b ut hasis QRΛ ad basim. Per SXE . Eodem modo ostendam , singula prisma- η'' ' ta pyramidi QPAR inscripta esse ad singula imscripta pyramidi S LEX , ut basis QΛR ad ba-
. rhi ii. sim SEX, Ergo etiam e simul omnia sunt ad mI. s. mnia, ut basis ad basim . Quare cum ea tandem Lem. 1. desinant d in ipsas pyramides , etiam ipsae erunt, Zishte ut bases. Quod erat demonstrandum.
Fig. u. DTramides quacunque que alta eam inter fer
in I iionem habent, quam bases AB, CFO. Resolvantur bases in triangula A, B, C, F, Ο,
pyramides vero totae in pyramides triangulares.
a per Pyramis AX est ad pyramidem OL, ut a A ad , ',. O, di pyramis b BX est ad pyramidem OZ, ut eand. B ad D. Ergo pyramides simul ΛX, BX hoc est tota ABX sunt ad pur 'idem OZ , ut Α, Β ..Pera . s simul ad O. Eodem discursu pyramis ΛΒX est: υν. R i pyramidem FZ, ut d ΛΒ est ad F;& ARX praee. est ad CZ, ut e ΑΒ est a.d C. Ergo ABX fest yς δω ad tres simul OZ, FT . CZ , hoc est ad totam V Per pyramidem QECS , .ut ΛB ad OA . Quod
238쪽
PROPOSITIO VII. O JGo p ramis rertia para est promatis haben
tis eandem basim, O altitudinem. Sit primo puramis trigona BGAC in eadem Fis r . basi, & altitudine eum prismate BAC FEO , ducantur BF, ΑΟ, ΛF. Triangula BFC, BFOsunt a paria. Ergo pyramis BFC Λ pyramidi Per 34. BOFA b requalis est. Ob eandem causam pyra- l per i. mis OEAF par est pyramidi OBAF ; hoe est i- δε pyramidi BoFΛ , sunt enim eaedem pyramides. igitur etiam BFCA , & ΟΕΛF sequales sunt . Omnes igitur tres BFCΛ, OEAF, OBAF, sive BOEA sunt pares . Ergo tres simul unius B PCΑ'triplae sunt . Atqui tres illae constituunt prisma BACFEo. Illud ergo pyramidis BFCΑ,
hoe est e BGAC triplum est. Quod erat demon- e Per sc
Sit deinde pyramis quaevis eandem habens b sm, & altitudinem eum prismate ΛEFH, ductis lineis BC, BO, BE, & NI, NG, NH, resolve prisma in triangularia prismata , & puramidem
4n trigonas pyramides. Quo facto patet demonstrario ex prima parte . Nam singulae partes pris Inatis triplae erunt singularum partium puramidis. Ae proinde totum prisma totius pyramidis use plum est. Quod erat demonstrandum.
239쪽
a Defin. s. l. II.s Per Esal. II. e Per praecis
aao Elementorum Geometria Sint primo trigonae, perfectis parallelagrammi ΛΜ, & H , super his constitue parallelepipe da AG , HL in altitudine pyramidum, quae cum pyramides sint similes, etiam patet similia a esse.
per RPIN secabuntur b parallelepipeda in dilo prismata aequalia: singuIa hortam e tripla sunt prramidum OACB, & ΚHIN Utraque ergo limul: hoc est tota parallelepipeda Λ G, HL se tupla sunt pyramidum . Pyramides ergo parallς lepipedis proportionales sunt . Sed horum ratiod triplicata est rationis laterum AB, ΗΝ. Ex go & illarum. Quod erat demonstr. Quod si pyramides similes fuerint potvgonae 3 solvantur in triangulares AR , BR, CR, SEΚ, FK. Facile e ostendes etiam AR ipsi QS 1
per X. partem ratio pyramidum ΛR, ΟΚ est tripli eata rationis IΜ ad PT; & ratio pyramidum& ΕΚ triplicata est rationis ΜX ad ZS ; ιος est denuo per hyp. rationis IΜ ad ΡZ; & rat, pyramidum CR, FK est triplicata rationis Astad ST; hoc est rursum IΜ ad PL. Cum errratio singularum ad singuIas sit triplicata rationi IΜ ad PT , etiam ratio e omnium ad Onum c hoc est ratio totius pyramidis ABCR ad tot/φ
o E F Κ triplicata erit rationis I Μ ad P a
I, 13. Muuales vramides reciprocant bases, ct σει δ'' j I , iudines ; ct qua reciprocant, sunt aqMisi 1 . Pars. Sint primo pyramides trigonae BAc03
240쪽
Liber Duodeeimus et axΗkNL : persectis parallelogrammis B E , H Rsuper his sint parallelepipeda BF, ΗΡ . Erunt haec ut ostendimus in 8. pyramidum ex hyp.
aequalium sextupla, ac proinde aequalia inter se. Sunt vero horum parallelepipedorum altitudines ΗΕ, ΒΛ eaedem , quae pyramidum , bases vero M , HR duplae o sunt basium pyramidalium B. Per 3 CO, HNL, ac proinde iis proportionales. Cum L 'i itur ob parallelepipedorum aequalitatem sit ut BE ad HR , ita a reciproce Hk ad ΒΛ , eti- ly yam erit ut basis BCo ad bassim HNI, ita reeL 'proce altitudo Hk ad altitudinem ΒΛ. Quod erat demonstrandum. Quod si pyramides habeant bases polygonas , retentis iisdem altitudinibus reducantur ad trigonas, eruntque hae illis aequales per 6. Sed pyra mides sic redume per jam demonstrata recipro- eant bases , & altitudines . Ergo etiam pyrambias datae polygonae reciprocant bases , & altitudines. Quod erat demonstrandum. 2. Pars. Quoniam iam ponitur esse BCo adHNL, ut Bh ad ΒΛ , erit quoque BE ad HR, ut HE ad BA. Ergo parallelepipeda BF, HP b ι per ι aiunt aequalia, ergo di sextae eorum partes, nempe i- 'riramides BACO, HhΝL . Quod erat demonstrandum. Corellaria.
ae de pyramidibus demonstrata sunt per ε,
8, 9, etiam Conveniunt quibuscunque prismatis, cum haec tripla c sint pyramidum eandem e Per .hasim, & altitudinem habentium. Igitur ιδ'. I Pristiatum aeque altorum eadem est propo tio , quae basium . Id enim ostenum est de pura- Ridibus prop. 6. . - - 2 Si-