장음표시 사용
241쪽
axa Elementorum Geometria a Similium prismatum proportio est triplicata proportionis homologorum laterum . Id enim in densum est de pyram. p. g. 3 AEqualia prismata reciprocant bases , &Utitudines, & quae reciprocant sunt aequalia . Id Nnim de pyramidibus ostenditur p. 9.Mirum es hac ab Euclide praetermi , cum procipua sint, qua de solidis restilineis tradi possunt is Scholium. Ex hactenus demonstratis elicietur dimensio qu rumcunque prismatum, ac nramidum. Promatis soliditas producitur ex altitudine in basim ducta , p ramidis vero ex tertia altitudisis parte ducta in basim . in F prismatis altis o fit 3 pedum , basis vero as pedum quadratamm, multiplica as per 3, proveniunt ias pedes cubici pro Ioliditate primma
Hinc vero, ct ex 7. patet demonstratio partis fecunda. Lemma ad Prop. X.
PYramides, ct prismata, quae eonis, & cylin
242쪽
Liber Duodecimus aa, Demonstratur ut lemma propositionis a adminiculo proposit. 6. & coroll. 3. post pr. 9 si ut istic plana circulo inscripta , ita hic pyramides, dc prismata, quae super planis illis tanquam basibus consistunt, a cono, & eylindro auferantur
OMnis conus tertia pars est cylindri eamdem ra. basim, oe altitudinem habentis. Basi CL intelligatur inscribi poIygonum reau
Iare quotcunque laterum , super allo tanquam hasi, cono quidem pyramis, cylindro autem prisma inscribi. Erit pyxamis a tertia pars pris-- a Per tis . Et si rursim inscribatur cfrcula polygonum laterum dupla plurium , superque eo inscribatur cono pyramis , & cylindro prisma , iterum erit pyramis tertia pars prisimatis. Atque' hoc semper eveniet. Quare cum pyramides in conum, b pris- . Permata in cylindrum desinant, etiam e conus ter-or tia pars cylindri exit. Quod erat demonst. ris. 'ζ . Mi .post
pφrtio eadem es, qua basium CZ, SE . dem accidit Ulindris aque altis.
Pyramides conis atque altis inscriptae sunt,' d a p., .ct bases. Atqui e pyramides tandem in conos de- l. aa. sinunt . Ergo etiam s coni sunt ut bases . Cum i vero cylinarI conorum eandem cum ipsis basim ,
ct altitudinem habentium sint tripli , etiam ipsi ii vi crunt, ut bases. Quod erat demonstrandum.
243쪽
Elementorum Geometria Gratiariam. Eodem modo demonstrabitur etiam prismata, l& cylindros aeque aIta esse inter se ut basi , iimo quaelibet corpora cylindrisormia seque alta hoc est quae producuntur ex quibuscunque plani in eandem Hlitudinem ductis, esse inter se ut ba ses . Eodem modo de pyramidibus , & cono ae que alias, & conicis quibuscunque ratiocinare.
tio est triplicata proportionis diametrorum ΙΑ ,
σ m , qua sunt in basibus. Idem cylindris, i
libus accidit. Similium conorum basibus inseribe poIUop vrdinata, quae proinde similia erunt . Pyramid' siler his polygonis inscriptae eonis etiam simi, sunt, quod facile ostenditur. Ergo earum prori Per s. tio est triplicata a proportionis laterum BL, Ss Ea do- hoc est ι proportionis diametrorum BF , G. ,hz:. mare cum pyramides c in conos desinant, e Per am Conorum proportio d est triplicata propon '
Kμπιν- De cylindris patet theorema , eum sint tripli
244쪽
Demonstratur ut prima sexti. I . . eorema eodem modo verum est de superficie.
AEqualibus sunt inter se, ut altitudines Q, 'πιν . Idem conis accidit. Abseinde ab altiori cylindro Λ R esindrum AO altitudinis LE ejusdem cum SF. Igitur crlinὀri ΛΟ , CI a aequales sunt. Cum i itur cPararat. Uidrus Λo sit ad cylindrum ΛR , ut b LE ad hν Let, etiam CI erit ad ΛR, ut L E ad LL, praee 'hoc est i quia LE,& SF e aequantur ut SF ad φ Perin. Quod erat demonstrandum. ζ1
THeorema etiam verum est de prismatis , itemque de pyramidibus , ct demonstratio plane similis. Sed de prismatis ex coroll. I. pr. 9. lib. I a. & as. lib. II. ejusque coroll. De pyrami dibus ex hoc, & ex 7. lib. I 2.
245쪽
CVm nihil attulerit Euclides de ratione com posita in corporibus , eam heviter hoo Deo demonstrabimus I. Cylindrus ad cylindrum, c= prisma ad prisma rationem habent compositam ex rationibus bisium, Cr altitudinum . . . .. E
Sunto Ulindri FD , cst AR. Ab altiori AR nam in altis res pre se abscinda AO aque altum, FD. Sis etiam ut basis ad basim Mu. ita F N ad X , ct in altitudo , seu BO ad altitudinem BR , ita X ad a. Oportet igitur ostendere, c lindrum esse ade Lindrum AR, in F N es ad Z . Cylindrus os ad c lindrum AD , ut a basis UT ad ba Mub hoc es, b ut m ad a: Θlindrus autem Ao es ad cylindrum AR, ut c BO ad BR; hoc es , ut d X ad Z . I itur ex e aequo cylindruso est ad 0lindrum in , ut m ad Z.
De prismatis res eodem modo demons bitur , sec ex coroll. I. p. 9. GV coroll. p. 16..i a Etiam conus ad conum, oe nramis ad pyramidem rationem habent compositam ex ration/bus
246쪽
Liber modecimus a QMs salis ad basim, ct altitudinis ad altis inem. Sunt enim c cylindrorum , ac prismatum pases E pes io
um Uum halent, quam ut demons tur p. I g. Mam nos alia faciliori via demonstrabimus .
Criindri hemispharis inscripti in hemisphariam Fig. asi
Sit PTY maximus hemisphaerii semiciresilus, sitque radius AZ perpendicularis diametro PY. Seca AZ in aliquot aequalet partes ΛΜ , ΜΝ,NT ; ductisque per divisionum puncta Μ, Ν pe pendicularibus , &c. inscribantur semicirculo rectangula OBRΚ, EDIIS , quibus deinde extra
circulum continuatis , semicirculo circumscripta
intelligantur rectangula FTYP , LUBO, MDE ,
eriantque omnia aeque alta: excessus autem cIrcumscriptorum supra inscripta sunt plana F Κ, LS , XE , VH, TR, quae simul sumpta conficiunt re Rangulum FTYP . Nam, quia XE aequatur DS erunt L S , v H , XE simul aequalia rectangulo LB ; hoe est OR . Quare si adjicias utrinque plana FK, TR, erunt simul omnia FΚ, LS , XE, VH , TR aequalia rectangulo FTYP. Si jam
intelligatur semieirculus eum rectangulis circa radium immotum AE circumagi , inscripta rectangula EH, OR producent cylindros hemisphaerio inseriptos , de rectangula circumscripta producene cylindros hemisphaerio circumseriptos sibi mureio P , in.
247쪽
Elementorum Geometria insistenteu; 6. sicut rectangulorum circumscripto. rum excessus supra rectangula inseripta erat rectangulum FY, ita etiam cylindrorum circumscriptorum excessus supra inscriptos erit cylindrus a rectangulo EY genitus Atqui hujus cylindri altitu do fiet quavis data minor, adeoque etiam ipse quo: s r. Ei Vis dato b Hadet minor , si radio in plures sine Ane ex as. i. partes divise rectangulorum, indeque & cylindro ' rum numerus sine fine multiplicetur. Ergo cylindrorum Circumscriptorum, multoque magis ipsius hemisphaerii, quod cylindrorum circumscriptorum pars est, excessiis supra inscriptos cylindros fiet tant dem quovis dato minor. Ergo cylindri hemis sue. f., de rio in infinitum inscripti tandem desinunt e in M. mi haerium. Quod erat demonstrandum.
Udem modo demonstrabitur, cylindros cono , iconoidi, sphaeroidi, &e. inscriptos in ipsa deis i
Fig. aν. Phararum proportio est triplicata proportionis dim metrorum - , o. i. ' . Radiis AB, YR in quot placuerit aequales partes, sed aeque multas divisis, ductisque per divisim lnum puncta perpendicularibus, &c. intelligantur
maximis sphaerarum semicirculis inscripta esse rectanguIa aeque multa , quae circa radios immotos ΛΒ, YRcircumacta inscribant utrique hemisphaeis. τε, ... Tio Cylindros aeque multos sibi invicem insistentes
tol. pr. Quia ΚC ο est ad CF, ut CF ad CR, erit ratio: j. a. KC ad CB duplicata a rationis KCad CF, hoc
248쪽
est rationis FC ad CB . Similiter erit ratio T E ad ER duplicata rationis X E ad ER. Sed per constr. est KC ad CB, ut ZE ad ER. Ergo etiam bEC est ad CB , ut XE ad ER. Sed BC est ad ue per n. Co per const. ut RE ad ES . Igitur ex aequo:c
FC est ad Co, ut XE ad ES. Cylindri igitur d 2 , ' '
FL, x .si lis sunt, ac proinde eorum propor- . sisy tio est triplicata e proportionis diametrorum FI, i ,1. XV, seu semidiametrorum FC, XE, quae sunt in basibus. Sed proportio FC ad XE eadem est
Cum proportione , quae est inter diametros sphaerorum ΒΚ, RT nam ut jam ostendi, FC est ad XE, ut Co ad ES , hoc est ut BK ad RL , ipsarum
CO, ES per constri aeque multiplices . Ergo rario cylindrorum FL , X est triplicata rationis diametrorum ΒΚ , RL . Eodem modo demonstrabimos, singulos cylindros hemisphaerio lini inscriptos ad cylindros stingulos inscriptos alteri hemisphaerio rationem habere triplicatam rationis diametrorum ΒΚ, RL Ergo etiam ratio simul omnium ad omnes simul i. triplicata est rationis i per idiametrorum B Κ , R T. Quare cum aggregata i cylindrorum tandem in hemisphaeria desinant , pe hemisphaeriorum quoque , ac proinde di sphaerarum ratio triplicata erit ni rationis diametrorum .n Per po. Quod erat demonstrandum .. . . Dcumv. Corollarium .
Nox igitur proportione diametrorum, etiam
sphaerarum proportio innotescit, ut si minoris diameter sit unius pedis , majoris I . Conti
nuetur ratio I. ad Io. per quatuor terminos I. IO. ICO. IOCO. ut I. ad Iooo. quartum terminum, ita
sphaera minor ad majorem. Conorum, cylindrorum, sphaerae dimensio dabitur lib. seq. ex Archimede. A. P 3 Scho
249쪽
Elementorum Geometria Lib. XII
Uemadmodum Ilinius plana figura per misi
am proportionaum unam, ita corpora sis Ita non nisi per' medias duas in proportione data
augentur, vel diminuuntur. .ria. it. μμ μ Db ra , veἰ cubus , vel aliud cor quodcunqNe, cujus radius, Irae At A. D . sit proportio quacunque is ad B, ut sis pia . Oporteat exhiιere corpus ct duplum dati, O simile. JInter terminos rationis data A , ct B inire antur duae media proportionales X, A, ut ista mus in Scholio post 1 3. 4o. 6. sphaera , cujus rardius est X , sive corpui dato simile factum svr latere X, erit duplum dati. rNam tarpora Amisia , quorum radii, sura sunt A , ct X, rationem inter se halem tra bibi. plicatam a rationis A ad X; hoc es, eandem,
.e iit i. Atque hoc est celebratis tim illis probum iri. quod Deliacum a Deliaco Apolline dictum σν sabit, ad ii Me favis a Athenas populante conse respondisset , psem cessaturam , si ejus ara ,
cubica erat, duplicaretur. Ita Valerius Ams lib. 8.
250쪽
Ma Deiliori. ae breviori demonstrata, O novis inventis aucta.