장음표시 사용
261쪽
Theoremata sese diametrum . quam ter , & Porro longior est
hujus rei demonstratio, quam ut hoc Ioco adserri debeat . Quod si ad polygona plurium adhuc laterum Geometricum ratiocinium velimus extendere, limites jam statutos arctare poterimus mugis, magisque sine termino, atque ita propius in infinitum ad veram proportionem accedere. Pra,stuum est hoc a Ludolpho Ceulen , Grimbergero, Μetio, Snellio, aliisque . Proportiones Prae, cipuas hactenus inventas hic subjicio. Prima.est Archimedis hujusmodi
Diameter TCircumser. aa. major Vera. Di ameter 7 Circumf. 223. minor vera Rationes 22. ad 7 , & a 33 ad 7 I. si ad commv. ne consequens reducantur quod fit eodem modo, quo fractiones revocantur ad eundem denominatorem in rationes orientur I 363 ad 697, y36 Iad 497-Posita igitur diametro partaum 697
erit circumferentia major vera I 62& circumferentia minor vera I 36IUtraque igitur a vera disteri quantitate mino.
xi quam sit pars diametri. Quod si rationes
. 7 ad at, & 7 I ad 223 reducantur ad commune consequens, provenient ratione I 36 I ad ε οε , di I 63 ad 49os. Posita igitur cireumferentia partium 49Qε , erit diameter minor vera I 36I. 'diameter major vera I s 62. Utraque igitur a vera diametro dissert quant, ' tale minori, quam sit pars circumferentiae.
262쪽
Ex Archimede . a I Propori io tradita a Metio est Λrchimedaea mes. to accuratior. Iuxta hanc est Diameter II 3. Circumf. 333. Inter omnes parvis numeris consantes nulla verae propinquior et ex hac enim , posita diametro Io, Ο Ο, Ooo, provenit cireumferentia 3I, ΑΙ , 929 , quae Z Vera selum penes notam primam 9 differt excessii paulo majore , quam sint duae particulae decimillionesimae diametri. Sed utraque multo exactior est gemina illa Lu dolphi a Ceulen: prioris termini constant notis a I, posterioris vero notis 36. Diameter
. Circumf. major vera 31 139χε33389793a 38 7. Circumf. minor vera 31 Is 9χε 333 9793238 6. Deserentia utriusque circumferentiae est particula una diametri denominata a numero, qui constat unitate , ct ao cisris , ac proinde tam hac, quam illa a vera circumferentia differt mi nori quantitate , quam sit diametri particula dicta, Videlicet centies millionesies millionesies millione
263쪽
Differentia utriusque circumferentiae , Interquam vera existit, est diametri particula una denominata a numero, qui constat unitate , & 3scifris, quae particula ad diametrum minorem habet proportionem, quam arenula una ad orbem terrae . Non enim constat orbis terrae tot are inlis , quot continentur particulae tales in diame
Frustra igitur sit ulterius progredi . Progrediere nihilominus ultra in infinitum , si ratiocinium Geometricum , cujus methodum eXpeditam tradit Snessitis, placuerit continuare.
iradita fructus eximii sunt hi,
Inventio Diametri ex circumferentia. MA Orem terminum unius e proportionibus jam traditis fame primo loco , minorem secundo , circumferentiam tertio ς his tribus inmeris aratur per regulam auream quarius proportionalis; is erit quaesita diameter. Ut si detur circumferentia maximi circuli terra milliaria continere Belgica unius hora 8 6 o, νε ratur terea diameter, sic sabunt termini. 33 3- 3- 864o-
multiplisa iam secundum per tertium, O productum divide per primum p proveniunt milliaria Belgicaaaso 2 pro diametro orbis terra.
264쪽
M Archimede.' Esi Inventio circumferentiae eX Diametro . I minus minor unius e proportionibus supra traditis paruatur primo loco: majorsecundo rviametre nota tertio. His tribus numeris quaeratur quartus proportionalis . Is dabit quassam circum
Ut si detur orbis terra diameter continere mi liaria Belgica unius hora arso Τ' , ct qua tur
Tunc secundum multiplica per tertium, productum divide per primum: troveniunt milliaria Belgica 36 Q. pro ambitu ora is terra. Uuam modice hac circumferentia veram excedat, dictum es supra, excessu videlicet paulo majore , quam Ant diametri terrestris dua panicula decimilitonesima, hoc es 9 circiter, aut I o pedibus Rhrniandicis , quorum I 8ocio constituunt milliare horarium. uuod F utamur proportione Ludolphina etiam priori , cujus termini constant 2I notis , -- venietur circumferentia insensibiliter a vera differens non solum diametro data milliariorum Belgiincorum 27so, qualis est terra ς verum etiam licet diameter ponatur centum milliarium eorundem milliariorum , qualis fortasse est diamerer firmamentis hac enim posita troveniet circumferentia minori quantitate a vera asserens , quam una centimulione a
gaηdam circumferentiam orbis terra utamur proportione Archimedis , intervallum circumferentia- - 'era majoris, ac minoris excedet s milliana
265쪽
Theoremata selecta portio , nisi in quantitate parva ; imo semper mpediet Metiana uti, qua ct modicis consat terminis, ct plusquam millies ex tior est. Circuli dimensio.
SEmidiameter multiplicata per dimidiam circumferentiam producit aream circuli : quemadmo dum pater ex coroll. I. p. S. hujus.
Ut s semidiametrum orbis terra , qua neglet tafractione continet milliaria Belgica I 37s , multiplicemus per dimidium terra ambitum, per militaris nempe Belgica 43ao ; provenient mίlitaria Belgica quadrata s , 9 4o, OOO pro circulo maximo terre. Disserentia inventa circularis area a vera habem si disserentia inventa circumferentia dimidia vera iducatur in semidiametrum datam, aut si dissere' iria semidiametri inventa a vera ducatur in Parare semicircumferentiam o
Dimensio cylindrorum, S conorum
Um hic appono, quod a circuli dimensione per ideat. Olindrus igitur, O prasma quodvis tducitur ex altitudine multiplicata per basem, Comii lo' pyramis ex tertia altitudinis parte in basim e trita; sunt enim partes tertia cylindrorum , ac imatum eandem cum ipsis basim , ct altitudis ' i habentium per IO. 2 7. lib. I a. lSit basis cylindri, aut coni ue o ped. quadrator Maltitudo pedum Ioo.. Duc Ioo in ueo, provem W3 QOo pedes cubici pro soliditate cuindri. Duc Icrriam partem altitudinis Ioci, nimirum 33 in sq=provcniunt 1666 a pedes cubici pro soliditate cεν ν
266쪽
Cisculorum peripheria eam inter se proportionem habent, γεm aiametri . Nam polygonorum similium circulo sine fine in scriptibilium ambitus sunt inter se semper , ut a diametri AF, & IC Sed hi b ambitqs in peri. pherias desinunt. Ergo c etiam peripheriae sunt in ter se ut diametri. Quod erat demonstrandum. PROPOSITIO VIII. Uperficies promatis cylindro tam circumscripti, pig. 1:o quam inscripti aquatur recitangulo , cujus altitudo est latus cylindri , basis vero aqualis perimetro
. Pars . Prismatis conscripti superficies tangit cylindrum secundum lineas ΕΛ , NE, &c. quae itine cylindri latera ; haee autem quod ex hyp. cylindrus sit rectus ad planum baseos resia sunt , ac proinde etiam a recta ad lineas Perda CS, GM , Sc. Suot vero & aequalia intex se. Igitur unum cylindri latus eommunis est omnium rectangulorum C Ο, ΟΜ, M H , M. altitudo . Conseripti igitur prismatis superficies aequatur f rectangulo sub ambitu basis prismacae , prismatis, seu evlindri latere contento . . ext. l.6. Eadem est ratio secundae partis, nam latus cylindri communis rursum est altitudo rectangulo Ium BDΙk, kIQP, &c. quae constituunt superfi-ςiem prismatis inscripti.
267쪽
2 8 Theoremata selecta PROPOSITIO IX.
Fig. D amissis ordinata eono recto circumscripta β perficies aqualis es triangulo , cujus basis dbaseos nramidalis circumferentia FHLD , at ritudo autem latus coni BG. Et nramidis ordinata cono recto inscripta se perficies aquatur triangulo , cujus basis est baseo p ramidalis. circumferentia , altitudo vero perpe 'dicularis BO a vertice in latus baseos deas
x Pars. Ducantur ad contactus G, k, Μ rdi ctae B G, B k, B Μ . Erunt hae recti coni late- i 'ra, ac proinde aequales. Et quia axis ΒΑ a re- . operis. ctus est basis plano FkD, etiam planum b G3Ai- i, plano FkD rectum erit. Λtqui HG perpendicae ie per is. laris c est ad AG communem sectionem plano i rum FkD, & GBΛ. Ergo HG etiam d recta ex desin. est plano GBA, ac proinde perpendicularis quin i M, que ad e ipsam B G. Ergo BG latus coni, est altitudo trianguli FBH . Eodem modo latus ieoni erit altitudo reliquorum HBL, LBD, i Igitur triangulum circumferentia FHLD, ct is tere coni comprehensum aequatur superficiei pyramidis circumscriptae absque basi . Quod es t primum. a Partis similis sere demonstratio est.
268쪽
Ex Archimede PROPOSITIO X. Coersicies p matis ordinati cylindro recto iam Fig. r. eumscripti desinit a in e lindri superficiem: 'n' a. O p ramidis cono recto circumscripta superficies in ι.l. D. coni superficiem desinit.
I Pars. Prismatum ordinatorum cylindro sinesne conscriptorum, & inscriptorum superficies h bebunt tandem inter se differentiam data minorem , uti facile patebit ex 8. & 3. hujus . Μulto igitur magis superficies circumscripti prismatis a superficie cylindri inter inscriptam, & circumscriptam media differet differentia minori quacunque data; hoc est, o desinet in cylindricam superfici-
em minus semper, ac minus excedendo.
In figuris tantum exhibentur e lindri, ct conismisses, ne multitudo linearum confusionem par ret . Caeterum cogitandi sunt Ulindrus , ct conus istegri, quos prismata , ct pyramides circumscripta ambiunt. Sic enim clarius apparet, planas -- perscies circumscriptas esse majore1, ex 3. μιomate.
Lemma ad sequen. Sisi AB, CD , EF proporrionales , fisue KB Fig. 7. dimidia AB, γ' EG dupla EF; etiam ΚΒ, D, EG proportionales erunt. Recta k B est ad A B, ut E F ad E G. R stangulum ergo LB, EG aequatur per Iε. lib. 6. 'stangulo ΑΒ , EF . Sed hoc per II. lib. 6. se
269쪽
Theoremata set elaquatur quadrato CD. Ergo & rectangulum Κ3, EG par est quadrato si Ergo per II. lib. F. ΚΒ, CD, EG sunt puoportionales.
Fig. s. culus, cujus radius GH est medisi ρ portionalis inter recti cylindri latus ric) i
ri ei c)lindrica . Intelligantur circulis ABN, GPH circumscri pia esse ordinata polygona ; adeoque similia ΝΜ, RS , & super N Μ polygono erectum esse pri ma cylindro circumscriptum. Quoniam BD, GH, BC ex hyp. sunt proportionales, etiam ΑΟ isi ἡ-y AN GH, ct dupla BC o proportionales erunt Iam triangulum sub ΑΝ, & ambitu polysρηφH Pstr 4, ΜΝ contentum a sequatur polygono conscrip ' ihq ' ' ΝΜ; rectangulum vero sub BC, seii E f, Τ. Patet eodem ambitu Ν Μ hoc est b triangulum P . res c ambitu N Μ , & dupla BC aequale est si litvjμβ- perficiei prismatis cylindro conscripti. Atqui py t Angulum sub ambitu NM, & AN est ad tri*' is Per a. gulum sub ambitu NΜ, & dupla BC, O ut 3 ad duplam BC. Ergo etiam polygonum ΝΜ H iad superficiem prismatis cylindro conscripti 1 5 AN ad duplam BC. Sed quia jam ostendi ΛΝ, sin i/uplam BC esse proportionales, ratio ΛΝ i perde. plam BC est duplicata d rationis AN ad GH . iiin .i polygonum N Μ ad superficiem prismati nem habet duplicatam rationis AN ad GFs metiam poIygonum N Μ ad simile sibi polygqyy GRQS ra tionem babet duplicatam retioni Λη
270쪽
. Ex Archimede t ' asgGH, ut facile colligitur ex I. lib. I a. Ergo m. hgotium ΝΜ ad superficiem prismatis, & ad polygonum G RQ S eandem habet rationem; quae proinde aequalia e sunt. Eodem modo ostendam, prismaticas superficies cylindro in infinitum cincumscriptibiles semper aequales esse polygonis , quae circulo GPH in infinitum circumscribi possunt . Quare cum & superficies prismaticae s ine lindri superficiem , & potvgona i in circulum GPH desinant , etiam cylindri superficies circulo GPH aequalis it erit. Quod erat dem. Ex egregio hoc theoremate exhibetur circulus a-
t C resistes Ulindri resti aqualis est rectan- Fig. Din gulo sub latere BC , ct baseos peripheria '
Dupla BC ut ostensum supra est ad GH,
ut GH aes BA , seu AN hoc est, ut nperiphe- Per DriR P ad peripheriam ΒΝ . Ergo triangulum sub hμ μδ' prima, nempe dupla BC, & quarta, nempe perbpheria BN sequatur p triangulo sub secunda GH, ct tertia, peripheria scilicet P. Sed triangulum O. sub GH , & peripheria D aequale q est circulo' 'si PH ; hoe est , ν superficiei cylindricae . Ergo Per te etiam triangulum sub dupla BC , re peripheria 'RΤμ
ηN hoc est , f rectangulum sub BC , & per, g Patet pheria BN cylindricat superficiei aequale erit i
stiiod erat demonstr. Ex hoc corollario manifestum est rectangulorum Nprietates superficiebus cylindricis reetis