장음표시 사용
271쪽
communes Esto igitur corollarium
a Cylindricae superficies c ΒΜ, Q sequealtae sunt inter se, ut basium diametri BF, CUJ
Nam rectangula sub peripherus CL, SE, dc rectis aequalibus FΜ, RN comprehensa, quibus cylindrieae superficies d sunt aequales , sunt inter se e ut bases peripheriar, videlicet CL, SE, hoe
est f ut diametri BF , QR . 3 Cylindricae superficies CI, AR, quae ba
ses habent aequales , sunt inter se ut altitudines
Rectangula enim sub aequalibus per hyp. Peripheriis G H, Μ Q, & lateribus TI, BR contenta, quibus superficies g cylindricae sunt aequales, sunt inter i se, ut TI, BR.riw-. h. 4 Similes cylindricae superficies ΒΜ , RI γ,inra. rationem habent duplicatam ejus , quam habent basium diametri BF, QR. Cum cylindri ponantur similes , erit ΜF ado Defin. o ut BF ad QR, hoc est , p ut peripheria, pei . CL ad peripheriam SE . Quare etiam rectanginhv la sub peripheriis CL, SE , & Iateribus Μ F,
Iin contenta similia erunt, ac proinde rationem it Per zo. inter se habebunt ι duplicatam ejus, quam habet
Iindriere superficies M. LFig ead. s Cylindricae superficies ΒΜ, RI) rationem iinter se habent compositam ex rationibus late- ,
quae sunt in basibus. Fig.1 8e 6 Si aequales sunt cylindricae superficies AR, 4 i N- FD , erit ut diameter AB ad diametrum FN , ita reciproce altitudo FH ad altitudinem RB , &
. 7 Denique ex eodem I. coroll. habetur cyli dricae
272쪽
. Ex Archimede e a 33dricae superficiei dimensio , si nimirum altitudo ducatur in baseos peripheriam , ut si altitudo sit pedum ao, peripheria basis pedum 6 ; multiplieazo per ε , proveniunt Izo pedes quadrati pro cylindrica superficie .
partem diametri baseos. Sit GH media proportionalis inter BC,&BD diametrum basis , ac proinde etiam mediZ a Prom a phiportionalis inter ΒΛ, seu ΛΝ, & duplam BC . lem. an- Cireulus GPH radii GH aequatur curvae stipem hulu, 'fetei b cylindriete CD. Sed circulus GPH adus cylindri basim ΑΒΝ rationem habet duplicatam . ei a. e rationis GH ad ΑΝ; hoc est deandem, quam dupla BC ad ΒΛ radium; hoc est eandem, quam &defin. BC ad Bo quartam diametri partem. Ergo etiam superficies cylindrica est ad basim ΑΒΝ, ut BC ad Bo quartam partem diametri BD . Quod erat
Superficies culindri habentis latus diametro basis aequale, baseos quadrupIa est . Si vero Ia-xus fuerit quarta pars diametri baseos, superficies cylindri basi a qualis erit. Utrumque ex propost'
' radium c AC, aqualis est superficiei conicα
273쪽
a s Theoremata flecta Intelligantur circulis AC G, ΟΡL ei reum seris pia esse polygona ordinata EF , ΙΝ, &super polygono EF erectam esse pyramidem cono circum- seriptam.
Quoniam per hyp. ΛC , seu AG est ad OL, '
ut OL ad BC, erit ratio ΛG ad BC duplicata a Defin. a rationis AG ad OL. Sed ut AG ad BC , ita δ' ''Φ' triangulum sub AG, & ambitu EF est ad trian gulum sub BC, & eodem ambitu EF. Ergo ra. tio trianguli sub AG , & ambitu EF ad trian. gulum sub BC , & eodem ambitu est etiam duplicata rationis AG ad OL. Sed trianguIum sub ,. I ' AG & ambitu EF aequale est , polygono EF ,& triangulum sub BC, & eodem ambitu EF aequale e est superficiei pyramidis circumscriptae. : . Ergo ratio polygoni EF ad superficiem pyramidis etiam est duplicata rationis AG ad OL. Αυ imi etiam ratio polygoni EF ad polygonum sibid per i. per constr. simile IN est duplicata d rationis AG ad OL. Ergo polygonum EF ad superficiem py- iramidis , & ad polygonum IN eandem habente Per ν. rationem , quae proinde aequalia e erunt . Eodem
modo ostendam superficies pyramidum, quae Comin infinitum magis magisque polygonae circumscri- tbi possunt, semper aequales esse polygonis , qm icirculo oPL possunt circumscribi etiam in infi-fPer rν, nitum. Quare, cum & pyramidum s superficies it F., i. an Coni superficiem , & polygona in circulum i huius. OPL tandem desinant, etiam eoni l superficies, uiue circulus ΟPL erunt aequalia. Quod erat demonstrandum.
Ex hoc praclaro theoremate exhibetur circulus superficiei conica qualis
274쪽
Sit OL radius media proportionalis inter AC,& B C . Quia periphexta C G est ad peripheriam P, ut a radius Λ G ad radium OL; hoc est per a Per . hyp. ut OL ad BC, erit triangulum sub prima, hq η 'nempe peripheria CG , & sub quarta BC b se. . Patet quale triangulo sub secunda , nempe peripheria ς μ' P, & tertia OL ; hoc est e circulo OPL , hoc π Per s. est d superficiei conicae BCD. Quod erat demon- 'n' 'L.
Ex hoc corollario liquet superficies conicas triangulorum subire leges. Itaque a Superficies conicae BΛF , QXR aequalia la-F-.iori iera, ΒΛ, QX habentes sunt inter se, ut basium M.t. 2-
diametri BF, QR. 3 Et CFT, AZB, quae bases habent sequa les, sunt inter se, ut laxera s CF, Λ L . i- - Et, quae similes sunt B AF, QTR, dupli-Fig.io. Et
eatam habent rationem ejus, quae est inter basium 4 i. D diametrosis 3 Et quaelibet rationem inter se habent com- Fis e d.
possitam ex rationibus laterum B Λ, QT , & di metrorum BF, QR, quae sunt in basibus.
6 Et , quae aequales sunt reciprocant latera , di basium diametros; & quae reciprocant, sunt aequaleS. Quae omnia demonstrantur ex coroll. r. ut supra corollaria de cylindrica superficie deduximus ex corollario isthic primo. 7 intiemur denique conicam superficiem, si latus Fig. is FC a. ra.
275쪽
136 Theoremata selecta FC per baseos peripheriam dimidiam multiplie mus . Ut si latus sit pedum s , peripheria baseos
pedum Io, duc 3 per Io , proveniunt pedes quadrati pro conica superficie . Dem. patet ex e
PROPOSITIO XIV. Coni recta superficies est ad basim, ut latus EC ad basis radium t AC. INter latus BC, & basis radium AC sit media
proportionalis OL . Ergo ratio BC ad AC est duplicata e rationis OL ad AC. Jam circulus radii GL f est aequalis superficiei conicae CBD . Sed hujus ratio ad coni basim AC G est duplicatas rationis OL ad AC, ac proinde eadem cum ra- itione BC ad AC . Ergo etiam ratio superficiei iconicae CBD est ad basim ΛCG , ut BC ad AC. sQuod erat dem. Corollaria . x CVPperficies coni recti a triangulo aquilateno circa perpendicularem KA circumacto geniti
Est enim KB latus aequale BD , adeoque dinplum semisseos AB, quae baseos radius est.
a Superficies coni a rectangulo triangulo a eruri Eo producta est ad basim , ut in quadr/ to diameter ad latus.
276쪽
Ex Archimede aue 7 bisecatur, adeoque ABD semirectus est ; est autem & ADB b semirectus. Ergo DA, BA c ae- b Pereo quales sunt; ac proinde BD est diameter quadra. , ' ζ'ν ti AK, latus vero AD. Est vero eadem AD se e Pe r 6 midiameter baseos PT, cum perpendicularis AB L 'seeet d bifariam ED . Ex quibus , & hac I Patet
patet corollarium. eae ais.l. I
midium latus coni. Nam superficies coni GBN est ad basim ΜI, ut latus B N ad e semidiametrum basis QN ; hoc Perro, ut dimidium lateris BN ad quartam partem i/μ μ ' diametri GN . Est autem basis ΜI ad superfietem culindri GΚ, ut i quarta pars diametri ad Pe a. NK cylindri latus. Eκ aequo igitur superficies co i Riμδ' nica GBN est ad superficiem cylindricam GK , ut dimidium latus coni BN ad cylindri latus K. Quod erat demonstr.
N triati ulo MV duecta sit uD parallela ad Fig.io. . Dico recitangulum sub PN, ct aquari rectangulo sub QP , QD una cum recitaseulo
sis m, O duabus simul sumptis NU, Q
Duc lateri NP perpendicularem ΝΛ aequa lim N V , completoque N O rectangulo , due tur diameter PA . Tum ex Q parallela QE ad N A secet D A in B. Per B ducatur CF paral- ad ΝΡ . Quoniam AN est par NV, pateta parem QD . Igitur rectangulum a Excoisuri est rectang. PNU, &FQ est PQD. Restat,
277쪽
233 Theoremata selectant probemus rectangula OB, EC, BN aequari re
. ctangulo sub N in & duabus ΝΑ, Θ, hoc est sub Nd, & duabus ΝV , QD. Id vero est ma
nifestum : rectangulum enim sub Nin, & NA, . ye QB sequatur.b his tribus rectangulis sub N ,
e Per 3. BN c aequale est. Liquet ergo propositum.
Fig. tr. CI conus rectus sectus sit plano Ora bas ψοδδ o parallelo, dico circulum GH , cujus radius GH est medius inter partem lateris m, CV circulorum VSR, NYO radios uD , N mulsum ptos, aequalem ese superficiei conica inter parat e los circulos uSE, MO intercepta. Inter PN , & NV media sit GF . Item inter PQ , & QD sit media GΚ , describanturque ι p. i. circuli GFL, GKT . Erit hic b aequalis stipe iiujus. siciei conicae QPR, ille superficiei c.NPΟ. Re.ὰaha ctanguIum P N V sequatur d rectangulo P in ,.i ς Una cum rectangulo sub N Q, dc NU, QDip. pei mii sumptis. Sed quia e GF media est propor- const. tionalis inter PN,NV, rectang. PNV est aequa-
fperim te quadrato GF; & quia GK est i media intec' PQ , , rectang. ι PQ D sequatur quadrato .6hi ' GK : di quia GH media m est inter QN , α - I QP, simul sumptas, rectangulum sub QN, hyy. S QD , N V simul sumptis aequala est n quadrai. . I to G H. Ergo quad. GF par quoque est quadratis, GH, GΚ . Ergo cum circuli sint inter ser es φ ut o quadrata radiorum , erit quoque Cir Ma
278쪽
Ex Ariasmede . a s 9 l . GFL aequalis duobus circulis GKT , & GH M.' Atqui circulus GFL est aequalis p superficiei eo. ρ Peritinicae ΝPO . Ergo etiam superficies contea NPΟ, hq μδ aequatur duobus circulis GΚT , & GH M. Atqui superficiei NPO pars una QPR p aequalis es
circulo GKT. Ergo reliqua inter parallelos eir '' culos L L , S S comprehensa aequatur circulo GHM . Quod erat demonstrandum. Lemma ad sequen.
REcta RV, CG, in qua in circulo aquales am Fig. r . cui BC, HU intercipiunt, sum parallela.
Ducatur enim CH. Quoniam arcus BC, HS per hyp. sunt aequales, etiam a Anguli B H C , a Per as. GCH alterni aequales erunt. Ergo bBH,&CGraiii sunt parallelae. Quod erat demonstr. l.s.
I cribatis circuis si urae regularis parilatera,
aquilatera, ducaturque ab extremitate dii metri ad B terminum lateris diametro proximi ; angulos vero aqualiter distantes ab A. iungam recta ΒΗ, C , . Dico, rectangulum, quod diametro AE, oesubtensa EB continetur , aquari reflangulo, quod sit ex latere tino figura inscripta AB , vel BC cstc. ino ex omnibus jungentibus ΒΗ , CG, DF simul Amptis.. CH, DG : quoniam BH, CG, DF intem aphidis. ςipiunt arcus a aequales BC , HG, CD, GF ; i. - t b paralIelae. Pari argumento parallelae sunt
279쪽
o Peria. OE . Ergo e ut una antecedentium ΒΚ ad unam eonsequentium ΚΛ, sic omnes antecedentes ΒΚ,
ΚΗ, CΜ, Μ G, DO , OF hoc est omnes
iungentes BH, CG, DF sunt ad omnes con sequentes'ΛΚ , KL,LΜ, ΜΝ, ΝΟ, OL , ι rei s. hoc est ad diametrum AE.,Sed ut BKadi AK. 1. 6- sic EB ad BA Ergo ut omnes simul BH , CH, t yyy β DF ad AE, sie EB est ad BA. Ergo rectangR Ium sub omnibus jungentibus BH, CG, DF , l& sub BA aequatur rectangulo sub AE, & 23, 1
ig. i . Q 'mento circuli DAF, cujus basis DF perpeti O dictitaris sis diametro AOE, inscribatur An aquilatera, ct parilatera, ducaturque, ut in l cedenti recta EB. lLico, rectangulum sub EB , ct parte diameto l- , qua jegmento axis es, comprehensum apyi rectangulo sub latere uno Agura inscripta, ct o mi' ibus juventibus ΒΗ, CG una cum Do dimitia basia DF simul sumptis comprehenso. Demonstratio eadem, quae praecedentis.
280쪽
. M Archimede rasa Lemma I. ad seqvcn.
I cripta sit sphara maximo circulo figura regu- Fig. 3.
laris, cujus latera quaternarius metiatur, Cimca axem AE consistens, quo manente circulus cum figura circumagatur. λ ' :
Dico sphaera inscriptum iri corpus conicis rectis supersicinus contentum.
Quod Β Λ, ΗΛ, item D E, F E describant
integras conorum rectorum superficies , manifestum o est. Deinde, quia lineae CB , GH ; & GF,
CD concurrunt productae in eodem utrimque pun- l. aa. to diametri AE similiter pertractae, quae jungentes secat normaliter , etiam liquet has describere partes superficierum rectarum conicarum interceptas inter parallelos circulos, quos in sphaerica superficie describunt vertices angulorum B,
Ugmenti sphara, cujus axis Ao, sectio maxi- Fig. 1 .ma esto DAF. Huic inscripta sit figura aquitatera dempta basi, qua circa axem AO in orbem
Dico segmento sphaerico inscriptum iri corpus nicis superficiebus contentum.
Ρ - - e dem, qua in primo lemmate. Et D ' Hora. ἔ- recta EB ab extremitate diametri ἔφ'