장음표시 사용
281쪽
i 61 Theoremata felicta minum lateris diametro proximi.
Dico omnibus superficiebus conicis sphaera inser ptis aequalem esse circulum, cujus radius I ) ρονα poten' eo a rectangulum Ara comprehensum videlicet is
I peii 1. Hoc est θ cujus radius Iὶ est medius propor tionalis inter AE , & EB . Quoniam rectar B H, CG, DF aequantur re , p. i. ctis Bk , C Μ, DO bis sumptis, erit c rectan-ι , oulum sub latere imo figurae inscripto maximo
circulo videlicet sub AB , vel BC , vel CD , vel DE & sub omnibus stimul jungentibus B H, CG , DF aequale rectangulo sub AB , ct Bh , sub BC, & composita ex Bk, & CΜ, sub CD, dc composita ex CΜ, dc Do, sub DE, &D0;
sic enim rectae B h , C Μ, Do singulae fuerunt bis acceptae . Atqui rectangulum sub AB, stomnibus jungentibus B H, CG, DF simul sum
ηrer id. ptis aequatur d rectangulo AEB , hoc est e qua h./'rEi drato I. Ergo quadratum I aequale est rectangu
l O . Sint jam inter AB , ' Bh media proportiona Iis P: inter BC, ct compositam ex Bh, CV media in inter CD , & compositam eκ CM , DO media R: inter DE, & DO media S. Erunt igitur quadrat syst 7 P , Q, R , S atquesta f rectangulis supradictis, Quare eum quadratum Ι jam ostenderim tisiem aequari rectangulis , etiam quadratis P , Q, R, 3 yςx S aquale erit . Cum igitur circuli sint inter ' ' ut quadrata radiorum , etiam circulus radio adescriptus omnibus simul circulis , quorum radiie, I. . P, Q, R, S, aqualisi erit. Atqui circuli radio Da, ruiri cibaequantur ι supersiciebus conicis, qua
282쪽
M Archimede a 63 produxerunt latera AB , ED ; siquidem P est media proportionalis inter A B coni latus , &Bk radium baseos; S vero media est inter ED,& DO; dc circulus radii inest aequalis segmento
a stiperficiei conicae , quae intercipitur inter duos a Peris parallelos circulos diametrorum C G, BH, quia hylμβ media est inter BC, & compositam ex Bh ,CM ; & ob eandem causam circulus radii R aequatur segmento superficiei conicae inter parallelos circulos diametrorum C G, DF interceptae . Er- so circulus radio I descriptus aequatur omnibus simul conicis superficiebus sphaerae inscriptis . I quod erat dem.
Ponantur eadem, qua in a. lemmate, o duca- Fig. t . tur recta EB ab extremitate diametri AE ad terminum lateris AB diametro proximi.
Dico omnibus superficiebus conicis se mento spharico DAF inscriptis aequalem esse circulum , cujus radius es medius proportionalis inter EB, ct segmenti axem - .
Demonstratio plane eadem, quae praecedentis ;sed pro P. et C citetur P. II.
PROPOSITIO XX. Sinerscisi conica sphara inscripta in sphara su--iti
perficiem desinunt. Data sit superficies quantumvis parva Xr manifestum est intra sphae1icam superficiem AC EG dari R Rm posse concentricam, quae ab hac deficiat R quan-
283쪽
quantitate minori , quam sit X. Ambarum pla. no sectarum per centrum maximi circuli sint ACEG, DPLΜ . Ducatur diameter ADE, de in D tangat Ν , Si. arcus ACE bisecetur in C, & residuum bisecetur rursus, & sic deinceps, re a sitet linquetur a tandem arcus AB minor arcu AN; , ni bi si tendatur Iecta AB , manifeshim est, post ii eam non pertingere ad peripheriam PDML, esseque latus figurae aequilaterae , dc parilaterae circulo C AGE in scriptae, cujus nullum latus pertingat ad peripheriam PDΜL. Quare si circa dia metrum AE in orbem agantur omnia, patet, si perficiei sphaericae exteriori inscribendas esse coni. cas superficies , quae includant superficiem sphae, Per Ticam alteri concentricam, ac proinde illa sint b γιο 3 majores . Quoniam igitur sphaerica superficies 'Τ' ' DPLΜ, defieit a superficie sphaerica ACL si lquantitate minori , quam sit data X; multo ma lgis superficies conicae ab eadem spha rica ACLGdeficient quantitate minori, quam sit data X, ace Desi.6. proinde e in ACEG superficiem desinent. Quodi' ' erat demonstr. il l
Fig. i . 'onica superficies segmento sphae eo Din is lscripta in ipsam segmenti sphaericam sui se f
Demonstrabitur eodem sere ratiocinio , .R l
284쪽
Emonstratum es propos 18 , circulum, cujus Fig.i i radius est medius proportionalis inter diam trum AE , O rectam EB , quae ab extremitate diametri ducitur ad terminum lateris A B diam ro proximi, qualem esse omnibus superficiebus cmnicis sphaera inscriptis. Dico hunc circulum desinere o tandem in circist V. destum, cujus radius est AE sphara diameter. Nam si plura semper , ac plura in infinitum
latera circulo maximo inscribantur, quae deinde circa AE in orbem acta conicas producunt superficies in patet latus Α Β fieri tandem quavis dataarecta minus 3 ac proinde subtensam.EB ad diametrum A R accedere ad intervallum etiam quovis dato minus , unde fit, ut disterentia ipsarum AE, BE etiam fiat quavis data minor. Eraro multo magis media proportionalis inter AE, BE; quae semper major est, quam BE , differet ab AE, tandem defectu minori quocunque dato. Ergo etiam circulus, cujus semidiameter est media inter AE, & BE, a circulo, cujus radius est AE , tandem disseret defectu minori quocunque dato, hoc est in i ipsum desinet. Quod erat de- ν Defmonstrandum. laa.
ac per se fatis clara non es necessς opera se monstrare.
285쪽
1 66 Theoremata flecta PROPOSITIO XXIII. U
rig. in 'T Emonstratum est propos I9, circulum, cum radius est medius proportionalis inter EI, O A O segmenti axem , aequalem esse omni, superficiebus conicis portioni sphaerica Din inscii piis Dico hunc circulum desinere in circulum, cujus xadius es recta AD a se menti vertice ducta au
per heriam circuli D QF N , qui basii s se
Nam, quia jam ex praeced. demonst. liquet fadesinere tandem in AE, patebit quoque , mediam proportionalem inter EB , & ΛΟ desinere tandem lin mediam proportionalem inter Λ E, & A0, iis pereo. n hoc est in ipsam AD. Manifestum est i itur,di 0i R PI- & circulum, cujus radius est medius proportios Illis inter EB, & ΑΟ , etiam desinere in circa cillum radii AD. Quod erat demonstrandum. Lemma ad sequen. SI diameter diametri dupla est, circulus cista
quadruplus erit . . IPatet ex propos a. lib. I a. & defin. Io. lib. ue
Fig. iε. sicunque sphaera superficies quadrupu U maximi circuli ejusdem sphara. ποc nobilissimum Archimedis theorema oLX j m praemissis expedite demonstrabi
286쪽
Ex Archimede . a 6 Circulo sphaerae maximo circa diametrum AE intelligatur inscripta esse figura ordinata , cujus latera quaternarius metiatur, quae circa A E in orbem ducta producat conicas superficies superficiei sphaericae inscriptas, ducaturque EB . Demonstratum jam supra a est , omnes Conicas superficies apbria sphaerae inscriptas aequales esse circulo, cujus radi- huius. 'us potest rectangulum AEB , hoc est cujus radbus est medius proportionalis inter A E , & E B. Atque hoc semper eveniet inscriptionibus in infinitum continuatis . Quare cum inscriptae conicae superficies , b tandem desinant in sphaericam super- bperi. sciem; circulus vero, cujus radius est medius in hViv.-ter AE, & EB, desinat o in circulum, cujus ra- e Perra dius AE , ipsa quoque sphaerica superficies d aequa. hq V - . erit circulo radii AE , hoc est e quadruplo ma- huiu, ' ximi circuli ACEG . Quod erat demonstrandum. i. iti Hiam, qua in theoremate nobilissimo demonstran- prae o hactenus usi sumus, Archimedaea multo brevior , ct clariorem esse sciet , qui Archimedem te
EX hoc praeclaro, atque admirabili theorem
te, quo immortale nomen Archimedes apud omnes Geometras consecutus est, exhibetur circulus aequalis superficiei sphaericae, is nimirum, cinjus semidiameter est sphaerae diameter , sive cujus diameter dupla est diametri sphaerae.
Epedita jam erit dimensis superficiei sphaerica .
principis inter omnes chmas. Duplex est modui. , Mensuretur circulus Iphina maximus ultra ditur
287쪽
168 Theoremata selecta ditur in Scholio post P. 6. hujus. ) Et multiplicetur
per ab . Ut si maximus orbis terrae circulus inventus fit continere quadrara milliaria unius hora, s MD ca s, 94O, OO; hic numerus quadruplicatus emhibet quadrata milliaria Belgica a 3 , 76O , Coo, qua in superficie orbis terra continentur. a. Diameter sphaera multiplicata per circum direntiam maximi circuli exhibet sphera superficiem. Ut si terra diametro dentur milliaria unius hora 273O J' , atque is, de maximi circuli circumferen Il . . . . . , tia eliciatur milliariorum 86 o: hi duo numeri, o
missa fra tione , multiplicati per invicem , dabunt xursum quadrata milliaria unius hora aῖ , 76O, Ooo, rotam orbis terra superficiem constituentia. Demonstratio patet ex primo Corollario, prop. s. hujus; re langulum enim sub diametro sphara , ct maximi circuli circumferentia per dictum Corollans quadruplum maximi circuli.
perficies aqualis est circulo, cujus radius est resta, AD ) a mertice portionis ducta ad ci
es basis. Portionis maximae sectioni inscripta cogitetur circaraxem Λ figura aequi latera, & pari latera basii dempta, quae circa AO in orbem acta portioni inscribet conicas superficies . Ducatur quin i, sis 'ς νς 'M EB, ut o supra. Omnes conicae supe tu . scies segmento sphaerico jam inscriptae sequantur hi ui. ''. AE circulo a cujus radius est medius proportion
288쪽
Eae Archimede. 269lis inter E B , & segmenti axem A O . Atque hoe multiplicatis in infinitum inscriptionibus semper continget . Quare cum & conicae superficies segmento inscriptae desinant b in sphaericam seg- ώ per Mamenti superficiem, & circulus , cujus radius inter hMjWβ EB, & AO medius est , desinat c in circulum e Perra. radii AD, etiam d sphaerica portionis superficies ζ'jμ'
Hoc alterum es ex Archimedis inventis nobilioribus , quod perinde ac praecedens, via multo, quam se , breviori, ac clariori jam demonstravimus
PROPOSITIO XXVI. Uindri rem sphaera circumscripti HPSV super scies aequalis est superficiei sphaerae. Et si cylindrus , ac sphara Iecentur planis ad a-x BG rectis , erunt silmula supersiciei lin--rica segmenta segmentis singulis superficiei sphar,
I. Pars. Quoniam cylindri latus H P aequale est o PS diametro basis , erit cylindrica superficies HS , quadrupla a baseos , hoc est maximi circuli sphaerae culindro inscriptae, cujus cum etiam b quadrupla sit sphaerae superficies , erit haec qualis cylindricae. Quod erat demonstrandum. M a Pars. Ducantur rector BO, GO . Quoniam angulus BOG i rectus est in semicirculo, ab eo que cadit O C perpendicularis ad B G, erit cs O media proportionalis inter G B , & B C, est inter IT, & HI. Ergo circulus.1 adii 3 0 d aequalis est superficiei cylindricae H T: ζd idem circulus .aequalis est e etiam segmento Pi si
289쪽
aro Theoremata selecta superficiei sphaericae OB L . AEquales igitur sunt superficies culindrica HT, & sphaerica OBK . lDeinde, quia eodem modo ostenditur cylindr ea H X aequari sphaericae QBR, etiam reliqua culindrica IX reliquae sphaericae QΟΚR inter duos
parallelos circulos interceptae aequalis erit. Ex his patet de segmentis omnibus.
sis QEgmenta superficiei sphaerica parallelis circulis divisa eam inter se proportionem habent, quam segmenta diametri BC, CD , DA, AE, EF, FG ad circulos parallelos recta. Sequitur ex praecedenti . Sunt enim sphaericae
Atque haec eandem inter se rationem habent , b
cc illa. Quod erat demonstrandum. Scholium. EX hac innotescit proportio nonarum , ct climitum inter Ie. Sunt enim ad invicem , ut se menta axis, qua nota piunt ex tabula sinuum. Ex eadem habetur dimensio segmentorum sepe
sciet spharaca. Aiam, quia ct tota sphaera super Dcies nota es ex Scholio Proposit a . ct segmemtorum proportio , utpote eadem , qua partium in xis , etiam datur , liq et segmenta 6Mula innot
. Oterum ci quatuor precedentia theoremata , σνς iqua omnia, qua sequuntur. , omnino AT MNAE s
290쪽
atque admisenda sunt , planeque digna , ad qua intelligenda Geometria studiosi ardenti. sudio im
ex centro ad contaritum ducta es plano tangenti perpendicularis. Secentur planum tangens QN, & sphaera pertactum D duobus planis, quae in sphaera quidem producant circulos O G , OB; in plano autem Ν xectas C O, Io, quae circulos contingent in O. Igitur per 18. lib. Ao perpendicularis est ad utramque Io, Co, ac proinde per Α. l. II. recta plano Q N . Quod erat demonstran
IntelIigatur sphaerae circumscriptum esse corpus aliquod polyedrum, cujus solidi anguli novis planis sphaeram tangentibus abscindantur . Quo facto orietur aliud corpus polyedrum sphaeram continens minus priore , & pluribus constans angintis , ct superficiem habens ex pluribus, ac mino-Tibus planis tangentibus compositam. Si polyedri hujusmodi anguli novis planis tangentibus iterum abscindantur, & tertii polyedri inde nati si liter , atque ita in tofinitum ; fiet tandem , ut A pin