장음표시 사용
291쪽
2 7 a Theoremata selecta& polyedrum excedat sphaeram solido minori quo cunque dato , dc superficies ejus ex planis tangen tibias quae , ut dixi , sine termino & minora, di plura erunt in composita sphaericam superficiem iexcedat quoque plano minori dato quocunque Quod utrumque, licet demonstrari posset, tame , t quia per se satis clarum , postuletur studio bre lvitatis . His ita constitutis quaesitum ita concla
Polyedrum jam expositum componitur ex pJIJ midibus , quarum vertex commuriis est centrum sphaerae, bases vero sunt plana larigentia, qua p. Ivedri superficiem constituunt . Et quia recta e a Perle. centro A ad singulorum planorum contactus este ctae plana a singula perpendiculares sunt, erdὴ Omnium pyramidum , quibus constat polyedrum aequalis altitudo, ipse nimirum A B radius spirae . Si jam igitur planum X ponatur aequale sperficiei ipsius polyedri, superque eo erecta sit pyramis ad altitudinem Μ N etiam aequalem sphrarae radio AB, manifestum est ι omnes purami Vi sipradictas, hoc est totum polyedrum aequari ramidi X N . Ad eundem modum reliqua Orpolyedra sphaeram includentia , quae ex trunca ne perpetua singulorum angulorum , alia
semper aequalia alia nascentur in infinitum r
pyramidibus per XN repraesentatis, quarum etudines MN sunt radius sphaerae, bases vero ν quales superficiebus polyedrorum sphaeram ambi entibus . Quare eum tandem & polyedra sut dii;
ς Per i. Ostendam ) in conum Lo desinant, etiam c sphN d'Desin. xa cono aequalis erit. Quod erat demonstrandum
si in N, Quod autem pyramides X N d desinant in Dum ZO silc ostendo. Polyedrorum superficies det sinunt
292쪽
H Archimede . 37 3 sinunt in sphaerae superficiem , ut postulatum supra Atmi bases X pyramidum XN semper aequales potiriritur superficiebus polyedrorum , & L basis comi TV per livp. aequalis est superficiei sphaerae, ergo etiam bases X desinent in basim Z; ac proinde cum pyramides XΝ sint ad conum ex hup. aeque altum, ut e basis X ad basim Z, etiam pyxamides in conum desinent. Demonstratio iam allata hujus propositionis, ct sequentis penitus diversa est ab ea , qua usus est Archimedes, qua quidem valde subtilis , di in mniosa est, s d prolixa, ct ardua, ad quam videiacet adhibentur duo manifesta, ct propositiones undecim
prater alias non paucas, a quibus illa dependent . Ipsum vero Grerema ab Archimede proponitur hunc in modumr omnis sphaera quadrupla est coni basim habentis aequalem maximo circulo sphaerae, altitudinem vero radium. 3
X hoc. praenobili theoremate figura inter corpo-ὼ reas nobilis a elicitur dimensio. Nam si diametri sexta pars , sive tertia semidiametri multiplicetur per sphara superficiem jam notam per scho . . Num prop. a 3 , proveniet sphaera soliditas. Inventa sit sphara terrestris superficies continere
quadrata unius hora milliaria a 3, 76o, Coo, 'sem diameter esto milliarium horariorum I 373 , cujus
tertia pars est 3 8 d. . Multiplica 18 omissa fractione
per 33,76Q, OQP, provenient Io, 882,o8o,ooo cubica unius hora milliaria pro soliditate orbis terra. cum enim spha fit aqualis a cono, cujus altitudo a pops radisi sphara , basis vero superficies Apharae; coni b-ς 3
293쪽
Theoremata selectas γε, autem soliditas b producatur ex parte tertIa ais Rhol p. tudinis hoc est radii spha ducta in basim . hμjμ- hoe es , I bara superficiem ὶ etiam sphara δε- iliditas obtinebitur ex tertia parte radia iacta ios perficiem.
vis.11. Ignis sector sphaera aqualis est emo, miss altitudo est radius sphara, basis τero se I ris spharica superficies.
F Sto primum sector AECG hemisphaerio
, minor. Intelligatur sectori cimimseriptum esse polyedrum corpus rectilineum. Si caetera ra. tiocinatio omnis ad eundem modum insti inattir , tit in praecedenti, eodem modo concladetur quae situm. Id solum oportebit ostendere, ex quo d. iscursus totus dependet , superficiem polyedri ex ipIanis sphaericam superficiem ECG undequaque tangentibus compositam esse majorem superficie iECG, quod ita fiet. Cogitetur superficiei ECG apponi alia aequalis, & similis, planis tangentibus ieodem prorsus modo cincta, quo prior. Erit jam. Perax. tota e superficies ex planis composita major tota u3 Αμiμ sphaeriea Ergo etiam dimidia ex planis compin hsita dimidia sphaerica ECG major erit. iEsto deinde sector AEBG major hemisphaea phi rio . Uterque sector simul sumptus aequalis d est νηης- cono Hujus altitudo est radius sphaerae, basis amo Patet tem tota superficies, hoc est e duobus conis, qu ση i, rum altitudo eadem , bases vero pares superficiei sphaerim segmentis ECG , EBG . Atqui sectorum onus ΑΕCia hemisphaerio minor per I. partem q- quatur cono, cujus altitudo est radius , basis vero si.
294쪽
m Aresi eae . 1 3 perfietes ECG. Ergo alter ΛEBG aequatur eo. no reliquo , eujus altitu is est radius , basis vero superficies reliqua EBG. Quod erat dem. Corollarium. CVm superficies ECG sit aequalis o circulo ra- .perasὸ dii CG, & supergetes EB G aequalis circu hvsv lo radii BG, erunt sectores ΛECG, & AEBG aequales conis , quorum altitudo est radius sphaerae, bases vero circuli radiorum C G, ct BG. Seholium. EX his habetur dimensio re sectorum , in se Fig. aa. mentorum sphara, fectorum quidem, si mul-ι licetur p tertia pars radii per sphaericam secto- ρ patetram superficiem , iam notam ex scholio proν. a . 'mi0i He per circulum radii CG , et ei BG in segmento ix '' 'rum vero, si mensuretur conus EAG, ct a sectore, si minor es hemispharao, auferatur, si majori eidem adjiciatur. 4eementum m, in quod inter duos circu-ρ sive parallelos , Me non parallelos intentcstur , mensurabis, F segmenta ΓM, O A N jam no-
295쪽
276 Theoremata selecta EOBD, altitudo autem radius AB , est ad conum EBD, a ut basis ad basim , hoc est ut sinperficies hemisphaerica EO BD ad maximuincirculum PT. Ergo cum superficies hemisphaeri- ea EOBD dupla b sit maximi circuli, etiam cinnus pro basi habens stiperficiem ΕΟBD, pro a titudine radium AB duplus est coni EBD. At hemisphqrium aquatur e cono habenti pro altita dine radium , pro basi superficiem hemisphqri cam EO BD. Ergo etiam hemisphaerium codiEBD duplum est. Quod erat demonstr.
PROPOSITIO XXXI. SPhara sit divisa in duo segmὸnta ILBG, si ,
plano NGT per centrum A non tranfesnt idiameter autem plano 1ecanti recta fit ROX .
Pari modo, m - altitudo segmenti IS radium AK , seu AB, ita altitudo OB semim
alterius flat ad aliam BD. Dico T. Coni ING, ct IDG , quorum altit- nes sunt ON, OD, basis vero communis Iaet segmentis Ipharicis sunt aquales. a Segmentorum eadem es proportio , νήιν- DO, No.3 Segmentum ISKG es ad maximum sev fcriprum conum IX G , ut m ad KO , σmentum L G es ad Abi inscriptum conum minimum ras, ut DO ad BO .Pars
296쪽
1. Sphaera , & coni secentur plano per diametrum Bh, producentur in sphaera circulus maximus BL G , in conis vero triangula BIG, ikG; dc quia BOh diameter a recta est circulo is per QT, erit an aulus IOB b rectus. Angulus quoque tr. d.. BIk e in semicirculo rectus est. Quoniam igitur fin. a. l. in triangulo BIE ab angulo recto ducta est Io it perpendicularis in basim Bk, erit BI ad ΙΟ, ut I. ' 'd Bh ad kΙ. Erao ratio duplicata BI ad Io ae a Per s. qualis est rationi duplicatae Bh ad kI ; hoe est quia Bk , kI, kΟ f sunt tres proportionales fPerco- aequalis rationi Bh , kΟ. Deinde, quia est ut Oh ad radium ΑΒ, ita o , per
03 ad BD ; exit quoque invertendo DB ad Bo, i P ut AB ad Oh; & permul. DB ad ΒΛ , ut BO ad Oh; & compon. DA ad BA, ut Bh ad Oh.
quoniam igitur jam ostendi rationem Bh ad Oh duplicatam esse rationis BI ad Io , ac proinde aequalem p rationi circulorum radiis BI, IO deseri. 'piorum, erit quoque DA ad BA, ut eirculus radii ''φ'BI ad circulum radii Io. Igitur conus sub altitudine DΛ, &basi circulo radii Io, hoc est circulo QT aequalis est cono sub aItitudine BA, & basi cir-s Per as. culo radii BI;hoc est i sectori sphaerico AIBG. Qua- :ν ΓΕ, restitam sectori AIBG, quam cono sub DA, & roi p.ro. ςirculo QT addatur idem conus I AG , tota erunt hμjμ 'Rqualia ; videlicet egmentum sphaericum ΙLBGRquabitur duobus conis, quorum unus est, qui fit
iub basi QT, dc altitudine DA, alter I AG Iubς dem basi . , dc altitudine ΛΟ . Sed hi duo co-di conficiunt conum ID G. Ergo segmentum ILBG pite ς'po ID G aequale erit. Quod erat demonstr. τη 4 i Eodem discursu erit segmentum ISkG aequale 'ς'do IN G , eo solum mutato, ut conus I AG sqqi prius addebatur, jam auferatur.
297쪽
srs Theoremata' selecta, Pars 1. Patet ex prima. Nam eoni ID G, &. Per i . IN G sunt inter se n ut DO, & ΝΟ. Ergo &i - segmenta ILBG , ISkG eonis illis aequalia sunt inter se, ut rectae DO, NO. Pars 3. Patet similiter ex prima. Nam e nus
EX prima parte hujus theorematis habetur alia, eaque facillima segmentorum sphericorum da mensio, si nimirum coni IDG, ING men renturi Vi sth, quod siet fi s tertia partes recitarum DO, ciue caxtur in circulum uT.
L . seribitur oe soliditate, ct supersicie tota s
qui alter es. Communis sphaerae, ac eylindri axis esto Bleonus vero maximus hemisphaerio EoBD inseriptus sit EBD . Quia cylindrus Eh semissis tino Per 30 tius GL triplus eii a coni EBD; hemisphstium: phi ,.. vero b ejusdem coni duplum , patet, cylindrum huius. Eh esse ad hemisphaerium, ut 3. ad a. Ergo etiam totus cylindrus Gli est ad totam sphaeram QEM, ut 3. ad a. Quod erat primum. Deinde quia cylindri latus kN est aequale baesis diametro GN , erit ejus superficies absque. Pereo- basibus c quadrupla baseos ΜI, ac proinde cum,ului.'' basibus, hoc est tota cylindri superficies erit se cupia
298쪽
Eae Anchimede . eupla baseos MI , quae par est maximo sphaerae circulo . Atqui sphaerae superficies quadrupla est maximi circuli. Ergo tota cylindri GK superfi-eies est ad sphaerae superficiem , ut 6 ad 4. sive
Igitur cylindrus sphaerae sibi inscriptae soliditate, & tota superficie sesquialter est . Quod erat
OUanii hoc Neorema feeerit Archimedes, a
gumento est, quod tumulo suo hinam eminino inscriptam apponi voluerit. Atque idcirco forira se inter alia tam multa , O praeclara inventa sua hoe illi pra reliquis saeuit , quod corporum , σ superficierum corpora ipsa continentium
eadem esset atque una rationalis proportio . Similem assectionum identitatem axmulos inter , annu-krumque superficies demonstravimus I. . Ulindri-estrum, O annia rimm prop. I 3. et . 1 f. sed σὰ se in sphara aliud mihi hujus rei exemplum i ι re sese obtulit. Deprehendi siquidem, quemadmodum sphara ad Ulindrum rectum se a lentem qui necessario aquilaterus eris in es tam soliditate , quam Iupersi e , ut a. ad ita spharam ad aquilaterum conum se ambientem O soliditate similiter , ct supersiete eam hasere proportionem sqΜβm ad 9. Ex quo deinde illud consequitur, sesquialteram proportionem ab Archmsede in cy-i dro , O sphaera repertam , in iribus solidis ,1 hara, lindro , ct cono aquilatero continuari . Utriusque demonstrationem , pluraque alia there t nostra , quibus spharae natura mirabilis ampliηι innotescet , tredecim sequentibus propositioni Mi comprehensa subi Mam.
299쪽
ago Theoremata selecta PROPOSITIO XXXIII. Fis.1L C perficies sphara dupla es superficiei esistrio quadrati sphara inscripti. I
Quadratum maximo sphaerae eirculo inscriptum, a quo in orbem ducto describitur quadra ius cylindrus , esto AkL , ducaturque AL dia meter quadrato , & sphaerae communis . Qu0' per ν. niam quadratum A L par a est quadratis aequa' ' λ- libus Ah, kL erit duplum unius Ah . Ergo et-β patet tiam circulus diametri AL duplus b est circuli, τλῆ i ia. cujus diameter Ak , circuli nempe CN . Atq0ieret, . superficies sphaerae quadrupla c est circuli, cujus ihujRβ- diameter AL , is enim est maximus sphaerae cis iculus, cum AL sit sphaerae diameter. Ergo sphae' rar superficies octupla est circuli CN . Sed qui. 4 per LE , kA d aequales sunt , cylindrica superficit . rei eo ACL quadrupla e est circuli CN . Ergo cum Di P, a. sphaerae superficies ejusdem cireuli octupla sit , i' μ ' cylindricae superficiei dupla erit . Quod erat monstrandum. l
Pis. 6. CPhara superficies ad solam Olindri quadrati se o bi inscripti supersiciem eam proportionem
Ponantur eadem, quae demonst. praeced. Quinniam cylindri latus Lk , ct basis diameter AIoc aequales sunt , erit superfletes eylindrica xxςxeo. σ quadrupla basis CN, ae proinde tota cylindy, guttar superficies ad utramque basim CN, &SLesta μ 6 ad a
300쪽
Ex Archimede. agr6 ad 1 . Atqui sphaerae superficies est ad utramque simul basim CN, SL , ut 8 ad a , cum in praeced. ostensa sit esse ad imam basim , ut 8 ad I . Ergo sphaerae superficies est ad cylindricam C L superficiem , ut 8 ad 6 , sive ut 6 ad 3.
Quod erat demonstrandum. Corollarium. 'Tota cylindri recti sphaerae ct rcumscripti su- ,
perficies est ad totam superficiem est ri aequilateri inscripti, ut 2 ad x. Nam circumscripta est ad sphaericam, ut 11 ad 8 per 3 a hujus Sphaerica autem est ad inseriptam, ut 8 ad 6 per hanc . Ergo ex aequo circumscripta est ad inscriptam, ut Ia ad 6, sive ut a ad x. i t
PROPOSITIO XXXV. 'CUJuscunque portionis sphaerica superficies IT
A G ad supersiciem coni maximi inferini yy 'eam rationem habet, quam coni latur BG ad basis radium t Gο.
Quoniam portionis ILBG superficies a sequa- a Per δs ιβ est circulo radii BG , erit proportio ejus ad l 'li' 'circulum QT basim nempe suam, & coni duplicata b rationis BG ad Go, hoe est e rationis superficiei conicae I B G ad basim eandem QT.ς Peri Lygo liquet, superficiem I L B G esse ad superfia hμ μ 'ciem conicam IBG, ut eadem conica I BG est