장음표시 사용
301쪽
eam rationem habet, quam in quadrato diameter ad latus: ad superficiem vero coni similis circum scripti, ut latus in quadrato ad diametrum.
'g s. r. Partis demonstratio ex praeedenti est mam nisesta ; est enim portionis cujuscunque , ac pr.' inde & hemisphaerii seperficies EoBD ad Gni- eam inscriptam , ut B D ad D Α. Est autem BADE quadratum, cujus diameter est BD, itus DA. a. Pars. Semissis quadrati circulo cujus ces erum Α eircumscripti esto EBC , qua circ axem Λ B circumacta gignatur conus hemisphη'rio conscriptus. Quoniam quadratum EC dupluo a Patet a est quadrati EB, seis G I, etiam circulus dia et metri E C duplus b est eireuli , eujus diameIty I. 11. Gl, hoc est circuli HGDI . Atqui e superficiti c. I ' hemisphaerii eono EBC inelusi ejusdem circuli A Pla est . Ergo circulus diametri E C seperfici themisphaericae aequalis est. Quare eum superficio a Pest . eontea EBC sit ad detreulum diametri EC, 'i sim nempe suam , ut latus B E ad basis radix'φEA , erit quoque ad superseiem hemisphaeriora sibi inscriptam, ut BE ad EA, hoc est ut di meter in quadrato EBCF ad suum latus . Q qerat demonstrandum.
302쪽
SPhara ad quadratum rhombum conicum fibi tam Fig. ea d. cumscriptum oe soliditate , ct superficie eam Fis proportionem habet , quam in quadrato latus ad fl
ptum ello quadratum EBCF , a quo circa axem BF in orbem acto rhombus conicus gignatur sphaeram ambiens.
Ut EB quadrati latus inspice Fig. 6. lib. . ad diametrum EC, ita fiat S ad R inspice Fig. 33. lib. 3 , quae proportio per quatuor terminos S , R, πιο continuetur. Erit igitur ratio S ad aret deiso triplicata a rationis S ad R , hoe est E B ad si xv.i4EC ; & ratio O ad R exit duplicata rationis oad Q. sive R ad S, hoc est EC ad EB, ac prininde , O est ad R, ut quadratum EC ad quadra- - Pφr . tum EB , unde o est dupla ipsius R . His ita constitutis intelligatur rhombo conico sphaera circumscribi EBCF. Erit igitur sphaera H G DI ad sphaeram EBCF in o ratione triplicata diametri . Peris. GΙ si.e EB ad diametrum EC; hoe est quod ' φ' jam ostendi in erit ut S ad O. Sphaera autem EB CF est ad rhombum conicum sibi inscriptum,s ut 1 ad x, hoc est quod ostendi supra ut o e Per io. d R . Igitur ex aequo sphaera HGD1 est ad G hviv. undem rhombum , qui ei est circumscriptus , ut S est ad R , hoe est , ut in quadrato Iatus EB ad diametrum EC. Quod erat primum. Deinde exsecunda parte praecedentis patet hemisphaerii si perficiem esse ad superficiem coni EBC , ac proinde di totius sphaerae superficiem esse ad superfi
303쪽
. 4 . Theoremata selectaciem totius rhombi EBCF , ut latus in quadrato a diametrum . Ergo sphaera tam seliditate, quam superncie est ad rhombum quadratum EBCF. ut an quadrato latus ad diametrum . Quod erat de monstrandum . ,
BkD. Quod erat demonstrandum .
o'Per eo Igitur niti a 'αι ςrix Rngulus BΛk d recturu Izij. kΛo β o 'quale est e rectangulo L .. 7 Mo i Jηm quin latus aequilateri trianguli absci' die
304쪽
Ex Archimede. 28 die s quartam axis partem ΛΟ , erit rectangu spereor Ium kΛΟ, hoc est quadratum ΒΛ triplum qua-rol a. Pr. drati i Ao. Quare cum quadratum radii L Ο l ra i. quadruplum sit quadrati ΛΟ, erit quadratum ra- is. dii ZO ad quadratum radii ΒΛ, ut ad 3 . Ergo etiam m circulus ΟBkD est ad circulum QT at ad 3 . Ergo sunt quatuor circuli OBED, --, hoc est nenim tota sphae DG superficies ad ciria 'Pξr a , culum QT , ut 16 ad 3 . Atqui o superficies eoni op ido aequi lateri BkD est ad circulum QT, basim nem-x0i xlxεpe suam, ut a ad I , ac proinde coni BED tota '' Ud superficies , una cum basi scilicet , est ad basim, nempe circulum QT , ut 3 ad 1, sive ut 9 ad a. Ergo cum ostenderim sphaerae superficiem esse ad eundem circulum ut I 6 ad 3 , erit sphaerae D Gsuperficies ad totam aequilateri coni superficiem, ut x6 ad 9. Quod erat demonstrandum.
OUoniam aequilateri trianguli latus B D abscindit p quartam axis partem ΛΟ, erit yς ς quoque sphaerica superficies BOD q quarta pars, z.1.
ac proinde superficies BGkD tres quartae superficiei totius sphaerae. Quare si superficies tota statuatur esse 16 , BGkD superficies erit Ia . AN qui superficies BGkD r est dupla superficiei co- . pernicae BkD; ac proinde ad eam est, ut Ia ad 6. P c Ergo totae sphaerae stiperficies est ad conicam BED, ut I 6 ad 6. Deinde, quia superficies coni B
kD , utpote aequilateri dupla I est baseos Q IV,I
T, liquet, superficiem conicam BkD nimirum i .huius. absque basi esse ad totam coni superficiem , uta ad 3, hoc est, ut 6 ad 9. Igitur ex aequo tota sphaerae superficies est ad totam aequilateri Coni
305쪽
186 Theoremata selectani inscripti superficiem, ut Ιε ad y. Quod erat
mg. αι. c Phara superficier ad aquilateri eoni Abi circumo scripti totam superficiem eam proportionem ha bet , quam 4 aa 9 .
Cireulo sphaerae maximo BPM eireumferiptum sit triangulum aequilaterum D O F , a quo circa axem OAB in orbem ducto productus siti comi aequilaterus sphriae circumscriptus . AEquitatem autem triangulo D O F cireumferistus etiam sit 'circulus N D L O F, quem patet esse concentri' cum priori , & axis ΟΛΗ produeatur in Ν. er ςφ' Quoniam ΒΝ est a quarta pars aκis ΟΝ, pyi, i .' tet ON esse duplam EB . Quare eum circulorum. Per a. ratio sit b duplicata rationis diametrorum , erixeireulus BPΜ ad eireulum ΝDLOF , ut et ad . Atqui ostensum jam est in demonstratione Ipraecedenti, circulum ΝDLOF esse ad eirculuae QT basim eoni aequilateri sphaerae FL mseripti, Per 33. ut 6 ad 3 . Ex e sequo igitur circulus BPΜ est hin' ad circulum Q T, ut et ad 3 . Λtqui tota copi 'perein L OF superficies eirculi QT d tripla est. Err .a ' tota eoni superficies circuli BΡΜ noneupla est Quare eum sphaerae T P superfietes ejusdem est ε Per τε euli BΡΜ e quadrupla sit , erit tota coni aeqvi' μ=μφ' lateri Do F superficies ad silperficiem sphaeiην cui circumscripta est, ut 3 ad 4. Quod erat M'
306쪽
Ex Archimede a rvROPOSITIO XLI. II ' uuilateri coni sphara circumscri i tota f. Fig. a I I , perficies quadrupla est superficiei totius conis cripti eidem sphara .
AEquilateri coni Do F circumscripti tota sinperficies est ad sphaerae superficiem, ut a ' ad 6, a Perct sphaerae superficiet est ad coni inscripti aequila- P ateri SET superficiem, ut b Iε ad 9. Ergo exaequalitate perturbata circumscripti aequilateri eoni tota superficies est ad totam superficiem aequi- Ls. Iateri inscripti, ut i 6 ad 4 , sive ut 6 ad 1 . Quod
SPhara ad inscriptum sibi conum aquilaterum B Finis
XC eam rationem haber, quam 3a ad s. Sphaera , ct conus BkC secentur plano per amem communem Eo faciente in sphaera circulum maximum OFkΙ, in cono autem triangulum ab . quilaterum BEC. Ducto deinde plano per cem trum A ad Oh recto, abscindatur hemisphaerium FGLI, cui inscriptus intelligatur conus maximus Fh I. Quoniam triangiat aequilateri latus BC abscindit GP d quartam partem axis ok, erit Ph d Per eo.
ad Ah, ut 3 ad a , hoe est, ut 3 ad 6 . Basis ἔψi; vero QT est ad eireulum OFkI, hoe est ad ba in vlim N D, ut 3 ad 4, hoc est ut 6 ad 3, uti pa
307쪽
188 Theoremata selectatione 9 ad 6, & ex ratione basis QT ad ba
sim ND hoc est eκ ratione 6 ad 8, erit conus BKC ad conum FΚΙ, ut s ad 8 . Quare cumsperio. sphaera CG quadrupla f sit coni FKI , erit co-hvjV nus aequilaterus ΒΚC ad sphaeram CG , ut 3 a. Quod erat demonstrandum.
Comi AEquilaterus sphara circumscriptus coni εquilateri eidem sphara inscripti octi plus est
Coni aequilateri sphaerae inseripti , ct circum scripti sunt SKT, & D O F , & axis communi esto ΟΚΕ. Secentur deinde plano per axem ta*COnus uterque , quam sphaera ; eruntque sectior )triangula duo aequilateras, & eireulus BPM M 'Nimus . Circa triangulum quoque I OF intellidi tur descriptus esse circulus NDOF, & axis 0 3 producatur in N . Quoniam vero aequilateri tri '-guli latus DF abscindit axis ΟΝ quartam ap/ 'tem ΝΒ, patet ΝΟ esse duplam BK. Similitςμ quia aequilateri alterius trianguli latus ST abici' dii axeos ΚΒ o quartam partem BC, erit F
Ergo etiam Bo dupla est C Κ . Igitur ob sim/tudinem triangulorum DoF, SKT, etiam cin)& S Γ diametri videlicet basium conicarum inter se in proportione dupla . Quare cum DOE, SKT sint similes, ac proinde eorum py' portio a triplicata sit proportionis diametro φDF, & ST, quae es, a ad I ; erit con ηd sonum SKT , ut 8 ad 1. Quod erat dom strandum . . PRO- sat i
308쪽
C Phara ad circumscrinum Abi comum aquilat vi,
proportionem habet, quam 4 ad 9 .
Sphaera TΡ est ad inscriptum d sibi e tim
tem SKT conus aequilaterus est ad conum aequi- laterum circumscriptum DOF, ut si ad 8, hoc j preest ut 9 ad 7a . Igitur ex aequo sphaera TP est Pr v suad conum aequilaterum circumscriptum DO Fut 3a ad 73ihoc est ut ad 9 . Propositione autem qo demonstravimus etiam sphaerae superficiem esse ad totam aequilateri coni eircumserioli superficiem, ut 4 ad 9 Ergo sphaera & solidistate , & superficie est ad aeqvilaterum conum sibi circumscriptum , ut 6 ad 9 . Quod erat demonstrandum.
Hinc vero illam ipsam proportionem, ne ess-alteram, quam existere spharam inter, ac cylin-rum Archimedes tradidit, ab aquilatero cono ridiae cum
309쪽
aso Theoremata selecta ex Archimede . eumscripto, ct soliditate etiam , ac superficie eoo nuari nullo negotio jam demon trabimus, atque ita huic pariter opusculo sinem imponemus .
Conui aquilaterus sphara eircumscriptus 9 lindrus rectus sphare Amiliter circumscript i, or ipsa sphara eandem proportionem continuant, η 'mirum Jesquialteram, tam quoad soliditatem, P quoad superficiem totam . Nam per 3 a. huius cylindrus rectus GK sphas
ram ambiens tam seliditate, quam tota superfici est ad sphaeram, ut 3 ad a, sive ut 6 ad 4. pix praecedentem vero circumscriptus sphaerae conu squilaterus BAD, tam soliditate, quam superficie lest ad sphaeram ut 9 ad 4. Ergo idem conus ζad cylindrum tam soliditate, quam superflete εο 9 ad 6 . Quare haec tria corpora conus , essi drus, sphaera sunt inter se, ut hi numeri 9,ε, Rc proinde continuant proportionem sesquialter. Quod erat demonstrandum is
310쪽
sinuum Definitiones. uuid Sinus , Tangentes , Secantes, O
inus , Tangentes , secantes sunt rectae
quaedam lineae , quarum in analysi tri, angulorum in Geometria practica , in Astronomia, aliisque est usus maximini. , . sinuum Definitiones . . . : Esto quadrans circuli ΑCE , cujus circumse- FIsairentia C E divisa sit in partes so aequales quas Gradus vocant, & singuli gradus in partes aequales εο , quae vocantur Μinuta , sicut totus arcus CE divisus sit in partes aequales , seu minuta oo . Ex eentro Λ ad singulos gradus , ac minuta emittantur rectae , quarum unam designo litteris AF . Constituentur hoc facto anguli s oo, quibus subtendunttir arcus totigem uno sese in vicem minuto excedentes. Ex his unum designo litteris CΛF. Primus angulus erit minuti uniusν - . et T s secun