장음표시 사용
311쪽
asa Trigonometria .seeundus duorum minutorum, & sic porro seXagesimus minutorum 6o ; hoc est gradus unius,
ct sic deinceps : postremus E A C est graduum
9 , adeoque rectus. Tandem per minuta singula ducantur rectae ad semidiametrum A C pedipendiculares, quae proinde etiam ipsae numero dirunt 3 oo computando radium Α Ε, quarum v. nam designo litteris F X . Hae appellantur sinus arcuum , & angulorum uno minuto sese mutuo
I Igitur arcus exempli gratia F C , & anguli FAC ab ipso subtensi sinus est recta FX, quae ab F termino arcus perpendicularis est radio AC a Pars radii X C inter arcum , ct sinum imtereepta est sinus versus ejusdem arcus FC , &anguli FAC. 3 Sinus complementi, sive sinus secundus arcus FC , ct anguli FΛC est FI sinus illius arcus, nempe FE , qui quadrantem complet, adeoque &sinus illius anguli, nempe F Α Ε, qui cum priore FAC complet rectum CAE . 4 Sinus totus, sive radius est semidiam . A E. 3 Arcus Q F quadrante major eundem habet sinum F X , quem arcus minor C F , qui cum leo semicirculum constituit: & angulus recto major F Λ eumdem habet sinum FX , quem angulus acutus F A C , qui cum eo emcit duos
Fig. a. 6 In omni triangulo rectangulo BAC , I tus BC recto angulo oppositum , est sinus tintus , sive radius e reliqua vero latera simi sinus ungularum , quibus opponuntur ; latus nimbrum Λ B est sicius anguli O , latus Λ C sinus
312쪽
Liber Unicus 293Nam si centro C intervallo CB deseribatur quadrans FBL , quia latus angulo recto oppositum CB, est jam radius quadrantis, erit CB sinus totus per definit. 4; latus vero ΛΒ per defin. I. erit sinus anguli O , seu FCB . Rursum centro B intervallo BC descripto quadrante QCI patet per eandem defin. r. AC esse sinum anguli R, sive QBC . Ex quo jam nunc apparet, quantus sinuum futurus in Trigonometria sit usus. Desinitiones Tangentium , O Secantium .
telligatur, ut supra, divisus in gradus , ct minuta. Hunc tangat recta infinita BR , & excentro A ad contactum B ducatur radius ΑΒ , qui a cum tangente constituet angulum rectum . Cogitentur deinde per quadrantis gradus singulos , & minuta ex centro Λ emitti rectae A F, AL &c. quo facto constituentur anguli FAB , LAB &c. ad 3 oo, ut supra, quibus subtendum Lur totidem arcus BC, ΒΟ, &c.
est recta BF, secans vero AF , sinus totus ΛΒ : similiter arcus Bo , & anguli BAL tangens est BL, secans AL, & sic deinceps.
drante major Zo eum priore Bo faciens semi- Circulum eandem habent tangentem BL , & se
ctu acuti anguli FΛB tangens est FB ipsi o positum , latus alterum ΑΒ ipsi adjacens est sinus totus, seu radius ; hypotenuia vero A F , seu latus recto angulo oppositum est secans . - . T 3 Patet
313쪽
s 34 Trigonometria Patet ex definit. 6. & propos I 6. lib. 3. si centro A per B describatur circulus. Pari modo respectu alterius acuti anguli AFB tangens est ΑΒ, sinus totus, seu radius est FB, secans FA. Patet ex defin. 8., & prop. I 6. lib. I. si centro F per B circulum descripseris . Hypotenuis igitur utriusque acuti secans est , ae proinde cum hi anguli inaequales sunt, divensis numeris in tabulis sinuum hypotenuia eAprimitur .
Caeterum notandae in primis sunt , ac probe intelligendae definitiones ε ,& 9. ut Sinus, Tan- sentes, Secantes ad usum deducantur. Sinuum, Tangentium, Secantium inventio.
rum proportionem ad radium circuli aut veram, aut a vera insensibiliter aberrantem nume- iris exprimere . Ad eum finem intelligitur circinii radius in plurimas aequales partes divisus, ut
co ratiocinio inquiritur, quot ex illis radii paribbus singuli Sinus, Τ angentes, Secantes contineant, quae inventio, ut postea ostendam, eo accuratior futura est , quo plures in partes radius circuli divisus assumetur. Hoc sinuum artificium primi excogitarunt Hipparchus , di Menelaus, horum inventa deinde contraxit, ct expolivit Ptolomaeus, & novissime Joannes Regiomontanus pedisecit , qui ad radium I ooooooo . Sinus omnium
graduum , ac , minutorum quadrantis supputaxat . Denique horum omnium conatus egregios
Clavius noster , Pitiscus , Rheticus , . aliique somplurea illustrarunt. Quamvis autem ab iis in
314쪽
Liber unicus I 29smnibus praeclare hoc in genere laboratum sit, quia tamen prolixa hujus doctrinae tractatio est , optandum sane videtur, ut facilior ea studiosis, a que expeditior, si fieri potest, essiciatur . Quare animus mihi est, artificium quam utile, tam pulchrum, & clarius, quam caeteri fecerunt, & brevius exponere. Rem omnem tribus Porismatis , di sex Problematibus absolvam. Sit ergo
Ducto radio AF , quadratum AF a aequatur a Per cquadratis FC, ΛC. Quare si ex quadrato radii, i sinus totius auferas quadratum sinus dati FC, remanet quadratum ΛC, hoc est quadratum Fo. Igitur radix quadrata inde extracta dabit rectam FG sinum complementi quaesitum. Pori a IL
semisseos ejusdem arcus invenire.. Λreui IC subtende rectam IC , ad quam e centro perpendicularis sit ΛL, quae tam brectam Per a IC, quam arcum c ILC bissecabit, ac proinde : 'Ei, Io ςst sinus arcus LI semideos arcus ILC . I. s. Ex sinu dato Cy per praecedentem inveni
tur sinus qomplementi CQ , seu FΑ, quo abi is ex sinu toto AI, nota fit F I . Nota igitur est summa quadratorum I F, CF , hoe est quadrati I C . Exi quo eliciatur radix quadrata;
315쪽
296 Trigonometria dabit ea rectam IC , ejusque semissas sinum quaesitum Io .
Ducatur perpendicularis Fo . Erunt L , I O differentiae sinuum LX, IS ad simum FR. Et quia arcus LF est non major que minutis, aseoque parvus, non different arcus LF, IF sensibiliter a rectis lineis, ac proinde LFQ, IFoassiimi possunt ut rectilinea triangula . Quia e go Io est parallela L erit a
ita sinuum datorum maximi, & minimidisserentia ad arcus medii,& minimidisserentiam
ad sinus medii,& minimidisserentiam
uuare cum hujus analogiae tres primi termini sint noti, etiam quartus Io innotescet, quem si addamus sinui dato minori FR , notus erit medius qua situs IS.
. OEmissis subtense alicujus arcus B J s sinus semisseos ejusdem arcus.
Ex centro Λ ducatur radius ΛGF ad CB pe
316쪽
Liber Unicus. 29 pendicularis . Erit ergo CG per desin. I. sinus arcus CF. Λtqui per 3. lib. 3. CG est semissis CB , & per 3 o. lib. 3. CF semissis CFB. Ergo &e. Problema I. Sinum arcus 63 graduum invenire
OUadrantem CFB subtendat recta CB , ad Fig
quam ex centro A sit perpendicularis AGF. quoniam igitur arcus CB 9o grad. a bisectus a per ,.. est in F, erit FB arcus graduum 43 , cujus λ 'nus est BG . Deinde ergo ob aequalitatem late
aequales sunt, qui vero ad Λ rectus erit. Ergo e i ABC, seu ABG semirectus. Est autem d ΛGB r.ti p. rectus reliquus, ergo BΛG e semirectus est, ideo- 34'y, ' que par ipsi ABG. Ergo latera BG , AG n aequa- p. lia sunt. Ergo , quia quadratum ΛΒ aequatur f4 φ utrique quadrato B G , Λ G , unius quadrati n Per λBG dupIum erit. Semissis ergo quadrati sinus totius Λ B sequatur quadrato sinus que graduum 1.r. BG. Quare si ex semisse quadrati sinus totius eliciatur radix quadrata, dabit ea sinum 43. grad. qui , quarum partium sinus totus ponitur Io Ooooo , reperietur earundem esse Iorro 68 .
Problema II. cuum εο, ct 3o graduum Anus invenire. Exo quadrans BC ; areus BF graduum εο, ι si' FQ. a. nus ejus DF. Erit ergo arcus FC graduum
317쪽
Tris metriaso, cujus sinus sit FG ; ducatur autem BF , ex centro AF . Quoniam arcus B est grad . o. hoc est sexta pars circumserentiae circuli, eis pereo-rit BF latus hexagoni , ideoque a aequale radiorol. -Py- AF. Anguli n igitur ad Λ , & B in triangulo. peps. AFB aequales sunt. Cum igitur in triangulis X, 1. 3- Z aequales sint anguli FBD, FAD ; item anguli FDB, FDΛ utpote recti; Iatus vero FD com-ώ Pera . mune, erunt b quoque latera BD, AD aequalia: ac proinde quadratum BD est quarta pars quadrati sinus totius ΛΒ , seu FB ; sed quadratum
'47 FB te quatur c quadratis BD , FD . Auferatur ergo quarta pars quadrati sinus totius, sive quadratum semisseos AD sinus totius a quadrato sinus totius FB, remanebit quadratum FD, cujus radix quadrata dabit rectam FD , sinum fio. graduum . Potito igitur simi toto Iooooooo sinus grad. 6o. est 366oas .
Sinus porro FG grad. 3 o. essemissis sinus totius,
utpote aequalis ipsi DA. Idem patet ex lemmate. Posito igitur sinu toto Io ooo ooo sinus grad. O. est so ooo O.
Problema III. Sinum 36 graduum invenire F g s. T' Sto semicirculus F B G , cujus basi radia ΑΒ rectus insistat. Tum radio AG bisecto in D ducatur recta DB, quae transieratur ex Dipioio. in C. recta B C erit a latus pentagoni circulo
Ex summa quadratorum AB radii , sive sinus totius , & ΛD semisseos radii extrahe ra-
2 v dicem quadratam , dabit ea b rectam D B ,
318쪽
Liber Unicus. 29 hoe est D C . Ex D C aufer D Λ semissem
radii, fiet nota AC, cujus quadratum adde quadrato radii ΑΒ , notum fiet c quadratum CB , ς Per s. ex quo radix elicienda dabit BC latus pentagoni ' subtendens gradus 7a. Illius ergo semissis d dabit a reti sinum 36 graduum. Posito sinu toto rooooooo, kς 'l sinus grad. 36. reperietur partium 33778sa. Corollarium. EX sinu grad. 36. reperietur e sinus Comple- . Permenti, nempe grad. 3 . partium 3 octo tro. Poris. c. Problema IV. Sinum graduum Ia Avenire.
IN quadrante CB sit arcus BF graduum 3o, Figino ΚΒ grad. s , ct eorum sinus DF, GK. Ioiatur erit eorum differentia KF grad. a . complementa vero erunt FC, grad. εο, ΚC grad. 36quorum sinus sint PF, ΝΚ. Sinus NK grad. 36. invellatus per Probl. 3. auferatur ex sinu PF grad. 6o. invento per ProbI. a. remanebit OF nota. Tum sinus FD grad. 3 o. inventus per Problema a. dematur ex sinu ΚGgrad. s . invento per Coroll. praeced. remanebit OK nota. Radix summa quadratorum OF, ΟΚdabit a KF subtensam a grad. illius vero se- ἔ: ς missis dabit b sinum graduum Ia. et per
319쪽
Problema V. Sinus omnium arcuum quadrantis sese ordinati uno minuto superantium invenire. ΕX quatuor sinibus per praecedentia quatuor Problemata graduum videlicet 4s, ε0, 3 Iz reliquos sinus omnes adminiculo trium Poris matum praemissorum inveniemus hunc in modum
Ex sinu graduum 4s inoeniuntur Anus se
P Roblemate r. inventus est sinus arcus graique, sumatur graduum s semissis grad '3o. & semissis horum grad. xt , 13. quae ampli bisecari nequit , sinus harum semissium reperim tur per porisma a. nimirum ex sinu grad. que i Peritur sinus grad. aa, 3 o. & ex hoc sinus gy-.
semisses Ea,3Ο. IIs Is Accipiantur deinde harum semissium compi 'menta , complementum arcus totius grad. 41 quia ipsi aequale, tanquam inutile omittitur.eκ semissibus az, 3 o. II, Is . Complementa 67, 3O. 78, que horum complementorum sinus reperiuntur pς
Poris Rursum ex his eomplementis sumantur st misses semissium, quoties possunt ; tum compleo οβ in semissium, donec complementum occurreri quod bisecari nequeat. Ex
320쪽
Liber Unicus 3o IEx compl. 67, 3O, 78, Semiss 33, que, nulla. Compl. 36, 13. Semiss nulla. Complementa postrema erant grad. 67, 3o , &grad. 78 , que . Ex posteriori , quia bisecari nequit, nihil ultra eruitur. Prioris , nempe grad. ε3, 3 o semissis est grad. 33, 3, cujus sinus per
portis. 2. obtinetur . Hujus complementum est grad. 36, xs , cujus sinus reperitur per poris T. Quia vero complementum hoc ultimum non potest bisecari, hic terminus erit inveniendi ex sinu graduum que . Igitur ex sinu graduum que inventi jam sunt sinus septem, quorum inventionis series in tabella apposita exhibetur. G. M. G. Μ. G. Μ. G. Μ.
Ex Sinu graduum εο inveniantur Sinus I 6. ARcus fio graduum bisecetur quoties potest,
ct accipiantur semissium complementa, quae iterum biseca, quoties potes, tum semissium rumsum accipe complementa, quae denuo biseca , &bisectionis complementum assume. Ex hac alter ηδ acceptione, quae sexies repetita est, habentur 4 arcu