장음표시 사용
331쪽
3rs Trigonometria re oportuit per eductionem radicis ex numeris non quadratis. In reliquis deinde, qui ex his per regulam prop. eliciuntur , idemque proinde vitium participant , alii duo infunt errores proprii, vide-
oe arcus V Is , aut 3 min. absumantur tanquam re- trita linea, atque insuper, cum regula proportionum exercetur, Pod fractio ex divisione residua negligatur. uuo vitio postremo etiam Tangentes , dis cantes, omnes ex Anibus per prop. reg. obtinen-rur , laborent necesse est. Denique cum sinus perpauci tantum immediate reperiantsr , caeteri vero sinus omnes deducantur ex invicem , ex finibus autem Tangentes, ct Secantes ; manifestum est ,singulos prarer errores sibi proprios contrahere Giam vitia e
rum, e quibus ipsi derivantur; unde sit, ut error, qui in sinu immediate invento simplex erat , in secun- do quasi duplicetur, in tertio triplicetur, ct sic deinceps. Unde consequens est, eos Anus esse accuratiores,' qui ex paucioribus derivantur ; exactissimos verσ6se eos, qui immediate, hoc est ex aliis nullis inventi sunt. Ex his ergo capitibus Sinuum, Tangem rium , Secantium defectus oriuntur, qui ne essent no
tabiles, quodammodo evanescerent, radium maximo partium numero divisum assumere oportuit;
quamvis defectus illi sint non unus, sed sui jam o. ' stendi) plures; tamen quod singuli nullius fere mo- menti sunt, etiam simul uncti errorem vix sensibilem inducunt , si assumarur Anus totus partium admo- 'multarum: qua enim proportione augetur na
merus radii , eadem crescunt numeri sinuum, proinde errores , in iis supputandis committi
Deinde Uiud etiam tyrones intelligant , si Sin f,
332쪽
Ger Unicus. 3 3loooo ooo , -a es passim in tabulis reperiuntur, abjectis duabus primis notis haberi Sinus, Tangentes , Secantes ad radium I ocio oo, totidem vides et cy-fris mulctatum. m. v. posito radio Io oocio Oo S
i nus 3 grad. est 139173r , se cupiam minorem ad
radium I OOOoo, omissis duabus primis notis , is erit I 39r7; talis enim Sinus, Tangentis, Secantis differentia a majori solum erit fractio, cujus numerator finx nota abiecta, denominator vero Anus to ius duabus Ufris mulctatus. Itaque sinus 8 grad. 333I7 minoris a majori I 39173r, disserentia erit diametri . Ratio pender ex naima Aristi .
decimalis, exposui Arithm. Practica lib. a. p. 9. C seq. praesertim ex Theor. I. ct a. c. Io. Postremo hoc imprimis hie observabitur, cum Sinus, Tangentes, Secantes expetuntur respectu rad .ex.grii Oo ooo , exactiores fore eas lineas ,si supputenxur re spectu Anus Io oooo oo datum excedentis duabus crfris, Cr ab iis ita supputatis totidem prima nota, ut iam dictum es, abjiciantur. Ratio est, quia errores Ruum multis notis constantium, non versantur nisi in primis notis. Ita Regismontanus, eum Anus cuperet ad partes radii εooo oo, umpsit radium 6COOQQ,
ψ ooo , ct a finibus ad eum radium supputatis pri-
ββ quinque notas sustulit. Similiser Rheticus, ut haberet sinus ad radium Too oo ooo ooo asa μradium, I OOooo , Ocio oo , ooooo, ct a finibu ρςr hunc repertis praseidit quinque notas prima= 9us artificio obtinetur, ut nota residua omnes verae existant, ac proinde sinus ita reperii averis non de sciant per unam integram earum partium , quamm βdius in tabulis, Me canone assumitur . Et tale,
si ut ii omnes , qui in rabulis passim descriptisum. -
333쪽
Triangulorum rectilineorum Anast P.
TRiangulum omne , quod per se manifest
est, tria latera habet, dc angulos tres, qur j simul juncta senarium numerum essiciunt. Et his tria semper nota sint oportet, ut tria reliqua, quae sunt ignota , cognoscantur . Scientia igitui ea , quae ex tribus datis , sive cognitis docet tria reliqua incognita invenire, Analmis Triaη gulorum, ab aliis Trigonometria appellatur. Ηος Invento vix aliud seu praestantius , seu utilius Quod ex nunc tyrones , ut vel eminus per i ciant , non ea solum triangula contemplari de bent, quae in charta, vel tabula delineantur. ἡ iab his cogitationes suas transferre ad ea opor' itet, quae in campis , atque in aere , imo A iipso coelo per radios visuales, & ipsas renim ὀi stantias, longitudinesque describimtur . Opportu num erit ex iis , quae postea erunt uberius ei plananda, exemp. unum, alterumve quali ad Iototius specimen aliquod afferre. Inter Problessi 'ta Trigonometriae hoc erit inter caetera mussit squi dato uno Iatere trianguli rectanguli , θ '' sgula acuto uno, reliqua latera quanta sint, ' sveniri possint .
Fig. 11: EX hoc Problemate montis , aut turris ala'
dinem metiri poteris. Turris alicujus albidii nem referat recta QF; distantiam vero oculi δ' eadem FQ recta δε horiaontalis, cum qua Iς ctum angulum constituit altitudo Fob; raὀi visualem extentum a turris apiee F ad μ' tum in Λ repra sentet recta FA . Habemus triar gutum rectangulum intelligibile in aere descii
334쪽
Liber Unisus. 3Isptum, cuius unum latus est Λ distantia oculia turre, alterum . ipsa turris altitudo, te tium radius visualis ΛF. In hoc triangulo angulus PF ut suo loco ostendam fit notus instrumento; latus Α distantia jam supponatur nota. Ex his duobus cognitis angulo videlicet acuto Q AF, & distantia A , per uniWerisIe Problema jam dictum invenietur quanta sit altitudo turris QF . Λdjungamus di alterum . Inter caetera Problemata Trigonometrica etiam istud occurrit: datis in triangulo quolibet duobus angulis , quaesit latexum inter se proportio, invenire. Ex hoc Problemate ad distantiam Lunae a Ter- Fig. I ra dimetiendam via aperitur. Centrum Lunae esto C, centrum terrae Λ , oculus in superficie te rae in B; semidiameter orbis Terrae AB. Cogutentur tam ex terrae centro Λ, quam ab oculo Rextendi reme ad Lunae centrum C. Quo facto tonstituitur triangulum a Terra ad Lunam peditingens, cujus unum latus est semidiameter Terirat AB , reliqua duo sunt distantiae tam centri Terrae , quam ipsius oculi a centro Lunae. In f hoe triangulo angulus ΛCB astronomico artificio innotescit , angulus vero ABC fit notus per instrumentum. Itaque ex his duobus angulis jam
cognitis per universale Problema iam dictum innotescet, quae sit proportio lateris CB, vel AC ad latus AB; hoc est, quoties distantia Lunae a
terra semidiametrum terrae contineat : ac proin
i de cum alio iam artificio, quot milliaria radius te rae contineat, innotuerit , ipsa etiam distantia tange a terra in milliaribus innotescet. Ad ramiae rei notitiam nor teduxit problema hujulm 1 di , quod tyro forte aliquis nullius esse usus jus dicasset. Haec ergin dicta sint in gratiam eorum,
335쪽
31ε Trigonometria quibus illud in ore semper, cui usui ; ut en his
etiam caetera, quorum usum non perspiciunt, at-stimare discant.
Annotationes quadam pro Tyronibus.
PRriusquam ultra tendamus, expediet hic in
memoriam revocare nonnulla, quae in Ele mentis traduntur , in quibus sub hare initia has rere plerumque Turones solent. Praetereant ista, qui his non indigent. . I Datum , & notum adem significant in hae
x CircumferentIam circuli partiri solent Μωthematici in partes aequales 3 εο, quas gradias a' ipellant, & harum singulas rursus in so aequales,
. 3 Areus circuli, seu pars circumserentiae nota dicitur, cum scitur, quot gradus contineat . ni enim arcus ille, quanta sit totius circumferentia: εpars, innotescet. - lFig. ra. 4 Angulorum mensurie sunt arcus circuli, qui ex vertice anguli tanquam centro inter ejus Cr xa describuntur. Sic anguli C mensura est arcus ioL centro C descriptus inter anguli crura CA, CB. Patet ex ultima Iib. 6. Hac de causa M' sgulus C dicitur esse tot graduum, quot graduum i.est ille arcus OL; ut si arcus OL est grad. μetiam angulus C erit graduum 33. 3 Angulus ille C dari, seu notus esse dicitur, quando scitur, quot graduum .sit, hoc est, quin
graduum sit arcus OL inter ejus crura ex veri,ce , ut Centro descriptus.
6 Angulus rectus dicitur so graduum,quia RTCin inter ejus latera centra vertice descriptus est y. grad.
336쪽
grad. seu quarta pars circumferentiae totius. Et duo recti dicuntur grad. I 8o; quia arcus inter eorum crura descriptus , eosque subtendens, est grad. 18o, semissis nempe circumferentiae. Et quatuor recti dicuntur emcere 3 6o grad. quia subtenduntur a tota circumferentia . et Si ex anguli vertice ut centro inter ejus la- Fig. tera plures describantur arcus O , SV ; minor seque est mensura anguli, ac major; quia minor atque magna pars ess suae circumferentiae totius, ae major suae ; ac proinde si arcus major Ο est ex. G. 32 graduum, quorum tota circumferentia major OQLH est 36o , etiam minor ameus SV est graduum 3a, quorum minor circum- serentia SVRT est 36o. Patet eX Corol. 3. Pr. 33. lib. 6.8 Cujuscunque trianguli tres angilli simul sum-Fis. D. pti essiciunt grad. x8o. Quia per 32. lib. I. tres illi anguli simul sumpti semper essiciunt duos rectos, ac proinde, si ex angulorum verticibus R, 3 , C tamquam centris inter trianguli cujusvis crura describantur , eodem intervallo circini , tresareus FG, XL , OL simul sumpti semper conflabunt semicirculum, hoc est arcum I 8o graduum - Nam si centro C perficiatur semicirculusoLΡ , & arcus F G transcribatur ex L in intertius arcus XL aequalis erit residuo QP; adeoque tres simuI arcus OL, F G, X L conficiunt integrum semicirculum OLQP. 9 Cum in triangulo ABC quociinque , notitat duo anguli Λ grad. Ias, B grad. 34, etiam C tertius innotescit, si utriusque dati gradus
is subtrahantur a Igo gradibus. Remanente vim gradus a I tertii anguli C. Patet ex anno
337쪽
3i3 Trigonometriasa datis duobus angulis, etiam tertius dieitur e
Fig. . I o Pari ratione, si in quovis triangulo ABC notus sit unus angulus B grad. 39. innotescit etiam summa reliquorum C, Α ὶ si gradus amguli noti B grad. 39. subtrahantur a I 8 O gra . . dibus; remanent enim gradus x x in summae duo rum reliquorum C, Λ . Patet ex annot. 8 , ct 3 a. lib. I. Et hac de causa dato uno angulo , dicitur & summa reliquorum dari. Fig. 26. Ir In triangulo rectangulo BAC dato acinio uno C grad. 31 etiam acutus alter B imnotescet, si aeuti dati s Cὶ grad. 3 r. subtrahantur a grad. 9ος remanent enim grad. 39 pro
acuto altero B. Patet ex annotati 8. R 32. L t. Et hae de causa in triangulo rectangulo , cum L datur acutus unus, dari dicitur etiam alter. 11 Quatuor termini A, B, C, -- T dicuntur proportionales , cum,ut A ad B , .
primus Λ est ad secundum B, ita C ad L.
ut tertius C ad quartum L . i. -- 13 Termini noti sunt, qui numeris exprimuntur , hoc est , quando scitur, quot partes alicui
14 Cum e quatuor proportionalibus trea te mini sunt noti, quartus vero incognitus, is semper innotescet, si secundus multiplicetur per ter tium , & productus numerus dividatur per primum; quotiens enim divisionis erit quartus, qui latebat. Atque haec est regula, quae vulgo proportionum ssve trium , & ob summam utilitatem Aurea appellatur ; demonstrata est p. I9. l. 9. Eucl. de γε vide plura lib. 4. Arithm. c. I. - Dato angulo , datur ex tabulis sinus ejusdem: didato
338쪽
Liber Unicus. 339 dato sinu, datur angulus; ut si detur angulus grad.
o, 16; gradus 6O quaere in vertice tabulae, minuta autem I 6 in columna prima ad laevam.
His adscriptum reperies non Ium sinum illis debitum 6 63 6o , sed etiam tangentem 8 7oεao, & secantem 1 3Ios 396. Contra si detur sinus ex. gr. 6 63 6O, cujus angulum ignores, quaere in columna sinuum numerum datum; vel si non reperiatur , ei proxime aequalem ; incolumna prima ad laevam reperies minuta, , in vertice gradus anguli quaesiti. Denique hoc observa : in analysi trianguli r stanguli quamvis solum duo data exprimantur; ut duo latera , vel unum latus cum uno acuto tamen datum tertium semper est ipse angulus τ
stiis, qui quia per se notus est, & triangulo re stangulo nominato satis subintelligitur , ulterius exprimi non solet. ANΛ
339쪽
Problema I lomnibus angulis laterum propo rionem invenire.
BAsi Α C adscribe totum sinum , lateri A flsinum oppositi anguli C , lateri C B snum
anguli oppositi Α . Eadem erit laterum propor' tio, quae sinuum. tDemonstratio patet ex defin. 6. cap. I. Itaque si cupiam scire, quanto latus unum sit altero mδ' ijus, ex. gr. AC quam BC sinum roooooco ὀ, Vide, per .sinum. 313o 38I . Quotiens x a) ssit' bος
Indicabit; sicut enim quotiens est ad x , ita A si 'est ad BC. Vel alterutri lateri circa reeum, puta BC, ς. adscribe sinum totum, lateri ΒΑ tangentem achi iC , basi AC secantem ejusdem anguli C. Ita p ip . bit laterum proportio, ut patet eX defin. s. c. i Problema H.
ΙN triangulo rectangulo hypotenuis , sive b/si
dicitur , quae recto angulo opponitur , laxox
vero, quae Tectum angulum continent. Inven
340쪽
Liber Unicus3M Inmentis lateris M. Ut data basis BC, ad latus AC, prout est λprout est sinus totus nus anguli B grad. IO OOOOΟ 39. 837r673 ita eadem basis BC, ad ejusdem lateris Λ Cprout est pedum pedes quaesi
In quo analogismo , quia tres primi termini sunt noti , etiam quartus incognitus , numerus nempe pedum lateri AC debitorum innotescet per Tegulam proportionum multiplicando videlicet secundum 3 3 7167 3 per tertium Ioo , & productumgue i 673oo dividendo per primum I Ο Ο, quotiens enim 8s DNE . ex ea divisione prove-
Diens, est quartus, qui latebat, numerus pedum scilicet, quos continet latus quaesitum ΑC. Non assimi Iis inventio lateris ΑR . Nam quia datur acutus B grad. 39. etiam per 32. Iib. I. seu annotat. II ' datur acutus alter C grad. 3I; undestiam sinus utriusque dantur. Iam Ut basis BC, prout est sinus totus
ad latus ignotum ΛΒ, prout est sinus an gr. 31. 3I O38 Iad lateris ignoti ΑΒ pedes quaesi
Cum ergo tria prima sint nota , etiam quartum , numerus videlicet pedum lateri AB debito. Tum per regulam trium innotescet. X Demon