장음표시 사용
341쪽
3αα T rigonometria Demonstratio. Hoc unum tum hic, tum sere etiam in seque tibus erit demonstrandum , quatuor supraductos terminos esse proportionales. Id vero ex definitione 6. cap. a. manifestum est. Nam basis BC, Iatus nempe recto angulo Λ oppositum est sinus olus, seu radius, Iatus vero ΛC est sinus anguli oppositi B ex. gr. 39. grad. qui ex tabulis datur 83 7 1673. Igitur quarum paritum sinus totus , nempe basis BC est Iooooooo. earum sinus anguisti B, nempe latus AC est 337 1673 ; ac proinde ut basis BC prout est sinus totus Iooooooo est ad AC 81 16 3 sinum anguli B, ita eadem basis BC ex hyp. 1 oo pedes ad idem latus AC qua situm, sive ad numerum pedum in latere A Ccontentorum. Quod erat demonstrandum .
Pari modo per desin. 6 B C est sinus totus 1 ooooooo, & AB sinus anguIi C 31 grad. qui ex tabulis datur sI3o 38 I. Ergo ut BC sinus to. rus xoooooOo ad ΒΛ sinum uerso 38 I, ita eadem BC ex hypo pedes Ioo. ad eandem BA incognito pedum numero constantem . Quod erat demo strandum .
Fundamentum hujus, ct omnium sequentium Fperationum, ac demonstrationum est , quod quam do dua quantitates A, O Z nota sunt sectindam
quamvis earum mensuram , ct una earum A e iam nota est in alia mensura, ex. v. in pedibus , tum etiam altera Z in pedibus necessaris innos scet per regulam auream, vide cap. I. lib. q.
rium. nostra, ubi id demonstramm est
342쪽
Ex uno acuto dato notus fiat alter: ut siBδε-tur grad. 3 . his subductis a sto. erit C F. 3 6. Inventio lateris AB.
Ut latus datum ΛC, ad latus ignotum AB , prout est sinus totus prout est anguli CIoooooco dato lateri adiacentis tangens 7as ue sotta latus datum AC, ad Iateris ignoti Aa prout est milliariorum milliaria quaesita.
nventio basis BC. Ut latus datum Ata ad basim ignotam BC , prout est sinus totus prout est acuti CIOOOoooo , , dato lateri adjacentis secans 'Ia 36o68o ita latus datum AC, ad ignotae BC baseos sxout est milliariorum milliaria quaesita .
Quare cum in utroque analogismo tria prima sint cognita, etiam quartum utrobique per regibilam proportionum innotescet : erituue latus ΑΒ
milliariorum 716 guti basis vero BC milliario
343쪽
Trigonometria Demonshratist .PEr defin. 9. cap. a. latus ΑΒ est tangens u. guli C grad. 3 6, quae ex tabulis datur 726s I latus vero AC est sinus totus Iooooooo, hoc est, quarum partium latus AC est Iooooooo, eam&est ΑΒ latus et 16s 26. Ergo ut AC Iooooodo est ad AB 7263 26, ita eadem AC ex hyp. Iodo milliar. ad milliaria quaesiti lateris AB , hoe est ad numerum milliariorum in ΑΒ contentorum, ergo dcc. sari modo per defin. 9. cap. a. respectu asgit Ii C grad. 3 6 ΛC est sinus totus 1 ooooooo ' IC secans; quae ex tabulis datur Ia 36o68o. Ergo ut Acmnus totus IoOooooo est ad B C secant:*1236o68o , ita eadem AC ex hyp. Ioo Nil rium ad eandem BC ignotum numerum riorum continentem , ergo &c. Problema LV.
rooo perticarum) ct uno latere I 891 perticarum datis, invenire acutor Hyguus, ct latus alterum AB .
Ut basis data CB ad latus datum AC perticarum Iooo , carum 8yΙ ita basis eadem CB, ad anguli ignoti prout est sinus to- to lateri AC op σὲ
Qui proinde per regulam proportionum rq ' tur 86Ioooος huic in tabula invenitur proxi aequalis 89αbo63 , eui adscriptus est angul0β ἶ''φ3 qMi Per probi. s. cap. a. adhuc reperitur φ
elius Is . ergo est angulus B, qui l xςhδxi:
344쪽
to autem acuto B datur etiam acutus alter C grad. 27.
Quoniam vero jam in triangulo rectangulo nota est basis CB cum angulo C , latus quaesitum BA invenietur per probi. 2. Idem latus independenter ab angulis reperitur per probi. 3. in Scholio prop. 67. lib. I. elem. Demonstratio. Per desin. 6. cap. a. CB est sinus totus Iooooooo,& CA est sinus anguli B; ergo ut basis BC Iocio xpertie. ad latus AC 89 I pertic. ita basis eadem BC prout est sinus totus Iooooooo ad idem latus ΛC prout est sinus ignoti anguli B. Alitera
pertic. 89 I pertiC. IOO ita sinus totus ad secantem ignou ano Io ooooo C datis CB , CAComprehensi . Demonstratio eadem, sed est defin. 9. cap. a. Problema V.
pedum Ioo acutos angulos, o basim im '
Invenientas fit angulus acutus c. Ut datum latus AC ad alterum latus adjacens quaesito ang.C datum AB. . ita sinus totus ' ad nnguli quesiti IooooooO C tangentem a
345쪽
s αε Trigonome ma Quae per regulam prop. reperitur 79ΟΟocio rhuic proxime aequalis invenitur in tabula εr3 66 I s, cui adscriptum reperies angulum 38 graduum , qui probi. 9. cap. a. adhuc reperietur exactius . Tantus ergo es: acutus C, qui latebat, quo ex grad. 9o subtracto datur & alter B grad. 3a, quia vero noti jam sunt acuti anguli , & ex hu. etiam latera per probI a. etiam basis BC fiet nota. Alia basis inventio ab angulis independens traditur probi. a. Scholii prop. 67. lib. I. elem. Demonstratio . Per defin. 9. cap. a. respectu anguli C sinus totus est C A, tangens BΛ. Ergo ut CA ex hup. pedum Ioo ad BA ex hyp. pedum 79 ita eadem Cri, prout est sinus totus Iooooooo ad eandem ΒΛ, ut est tangens quaesiti anguli C.
AN A LYSIS TRIANGULI OBLIQUANGULI.
TRi ngulum , in quo nullus angulus rectus est, obliquangulum voco. Problema VI. Fig. rci. omnibus lateribus lateris segmenta RE,
posito angulo ducta, ct ipsam perpendicularem im
Centro A intervallo lateris minoris Λ B de scribatur circulus secans reliqua latera in O, &m dc produc tur CΑ in L: manifestum est LC esse summηm laterum AC, AB ;. S UC ditaremti m eorundem; item patet ex prop 3. lib. 3. BQbuoctam esse in F. His ita constitutia rectan ulR
346쪽
Liber Unicus. 32 BC , & LCO a aequalia sunt . Ergo per I . acor. 1iLC summam lateis rum reliquorum
rectam CQ Quare cum tria prima sint nota, etiam quartum, nempe Cin innotescet, haec, ii perpendiciniaris intra triangulum cadit, ut in fig. Eo ablata a latere noto BC notam relinquet B., c. jus semissis BF est segmentum quaesitum minus , quo si1btracto a latere BC, etiam majus segmem tum CF innotescet. Quod si perpendicularis cadat extra sui in Fig. ax tunc ex quarta proportionali C subtrahelatus BC, ut innotescat residuum B , hujus enim semissis BF dabit segmentum minus, ad quod adjecto latere BC habetur segmentum majus CF. ν, Ipsa vero perpendicularis AF set nota , si ex quadrato lateris ΒΛ adjacentis minori segmento subtrahatur quadratum minoris segmenti BF , di ex residuo extrahatur radix, ea enim erit ΛF, Patet ex p. 67. lib. I. . Porro Ipsa quarta proportionalis C indicat quando perpendicularis intra triangulum cadat , quando extra , cum enim minor est latere dato BC , in quod incidit perpendicularis , ea cadet
intra triangulum, cum major eXtra.
Hoc problema, quod sane proinde pulchrum, a que utile es , expeditur etiam per propos. 33. Ora. lib. a. ut tradidi in scholio ibidem ; sed in das his traditus aliquanto facilior est. Probi
Ut BC latus, in quod ad perpendicularis cadit, ita OC differentia ad
347쪽
Problema VITFig. M. ' Atis omnibus angulis , laterum proportionem 3- inmenire.
In quovis triangulo eadem est inter latera proportio, quae inter sinus angulorum lateribus oppositorum. Demonstratio. Esto triangulum obliquanguIum ABC Iatera habens inaequalia salias enim res per se esset manifesta in & ex majori CB abscindatur CI aequalis minori AB , ducanturque IL, BF ad AC m pendiculares , quae quia sunt inter se parallelae , apere erit a CI hoc est ΛΒ ad CB, ut IL ad BF. δοι, P Sed posito sinu toto CI est IL sinus b anguli C,ώ ret de- & posito sinu toto AB, s hoc est eodem, quo a te, cum ΑΒ , CI aequales sint BF est e sinus eand. anguli BAC, ergo latus AB est ad latus CB , ut sinus anguli C ad sinum anguli BAC, eadem
erit in reliquorum comparatione laterum demonstratio. Tantum nota. Cum perpendicularis BF extra triangulum cadit, eam nihilominus esse sinum an-α Per guli BAC , quia d sinus est anguli BAF, cum .pei de quo e eundem habet sinum angulus BAC , ejus
complementum ad duos Tectos. .
Problema nuris. r Atis omnibus lineribus, ammtis invenire.
Concipiatur In aliquod latus ex opposito anginio demissa perpendicularis ΛF, di per probl. 6. nota fiant segmenta BF, CF. Tum a
348쪽
Liber Unicus. 3 saeum, quia in triangulo rectangulo BFΛ damtur BA , BF, per probi. 4. similiter innotescet angulus B. Rursum , quia in triangulo rectangulo CFΛ dantur CA, CF, per probi. 6. similiter innotescet angulus C , & per prop. 32. lib. r. seu annot. 9. etiam tertius BAC. Problema LX.
qua latera AB, invenire. Per Problema 7. Ut anguli B, qui dato ad anguli C oppositi
lateri AC opponitur, λ quaesito lateri ΑΒ mnus 62932O4. num 3736376. ita latus datum ΛC ad lateris quaesiti ΛΒxooo passuum passiis
Rursus per Problema I. Ut anguli B dato lateri ad anguli Α oppositi AC oppositi sinus quaesito lateri CB λελ93ao num 8 I9ssarita latus datum AC ad lateris quaesiti CB,
IOoo passuum passiis . In utroque analogismo tria prima nota sent, quartum igitur utrobique , nimirum latera ΛΒ, lm innotescent per regulam proportionum.
Problema X. talis Gobus lateribus ped. ars, BA ped. Fig. 2 ιιι γ angui. gr. I a 3 sis comprehenso,relis vo
349쪽
33o Trigonometria angulos C, B, latus reliquum CB invenire .
Quoniam CA , ΒΛ latera dantur, etiam datur eorum summa 328 ped. & eorundem differentia ped. IO . Rursum , quia datur angulus A grad. II 3, datur & reliquorum ignotorum C, B summa 67 grad. adeoque & semissis summae grad. 33, 3 o. cujus proinde tangens 66188 16 datur ex tabulis: his positis ad Ut lat. datorum CA, BA summa 328. ped. ita tang. 66188s6
semimeos summae incognitorum ang.
laterum C A, BAdifferentiam IO ped. ad tangentem semissios differ. ignotorum
Cum ergo tria prima sint nota, per reg. prop. innotescet quartum , , nempe tangens semineos differentiae anguIorum ignotorum C, B... huic incolumna tangentium proxime reperitur aequalis...,
cui adscripti sunt grad- pro angulo semisseos disserentiae angulorum C , B, quam si addas ad semissem summae grad. 33, 3o, angulorum C, B, habetur B major quaesitus. Si subtrahas, provenies minor C: Iatus reliquum CB reperitur per Praec. jam enim praeter latus, dantur & anguli. Demonstratio Analogismi supra positi est ejusmodi r fiant anguli HPF, FPG aequales angulis ignotis B, C: centro P descripto circulo, qui latera anginiorum secet in II, F, G, ducantur ad FP perpendiculares HR , GL, quae per defin. I, & 6, ct 3 erunt sinus angulorum HPF, FPG, posito sinu toto, seu radio PH , PG , ducatur deinde re
350쪽
cta HOG, dc fiat HX par ipsi Go, iungaturque P X , erit X o differentia ipsarum H O , HX,
hoe est ipsartim HO, OG , denique ex centro P ducatur ad HG perpendicularis Pin a quae bise- a Pet a. cabit HG , quoniam igitur aequales sunt HR, Gin i 3'. AE FIX, Go, etiam Xin, o aequales erunt. Unde do est semissis differentiae X O rectarum HO , o G, ex quo facile etiam ostenditur, angulum H PQ esse semissem summae angulorum HPO, OP G , hoc est b angulorum B, C : & QPO . Per esse semissem differentiae angulorum ΗΡΟ, OPG: ς''st hoc est B , C : his positis disserentia laterum CA, AB esto L. Quia HR est sinus anguli HPF, hoc est B, GL tinus anguli FPG, hoc est C , erit latus e CA ad latus BA, ut HR sinus anguli B ad GL sinum P 'φ' 'anguli C, hoc d est quia aequiangula sunt triangu- :la HRO, GLO ut HV ad OG . Ergo CΛ e est ad . per eo-Z disterentiam laterum C A, BA, ut Ho ad ipsa- νψi; P rum Ho , OG disserentiam XO ; & invertendo la '''' 'terum disterentia Z est ad C Λ, ut disserentia Xo adHO , atqui ut jam ostendiὶ CΑ est ad BA , ut Ho ad OG , igitur ex aequo Z disserentia laterum Per ra. est ad BA , ut Xo differentia ad OG. Ergo invertendo B Λ est ad L, ut o G ad XΟ quoniam ergo ut ostensum supra) CΛ est ad AB, ut Hoad OG , ac proinde g componendo summa CΛ, yςτ 3 AB est ad AB, ut HG ad OG : AB vero ut jam ostendi, sit ad L, ut OG ad Xo,eκ aequo h erit. Pςx summa laterum C Λ, ΛΒ ad T laterum disserentiam, ut HG ad XO . Sed ut HG ad Xo, sic semissis HG , nempe H Q, quae t tangens est anguli HPQ, ς 4ς'
ad semisIem XO, nempe is tangentem anguli et ibid.
QPO. Ergo summa laterum CΑ, ΑΒ, est ad Z disterentiam laterum , ut Hulangens anguli H PQ qui,