장음표시 사용
101쪽
De moru corporum in conicis sectionibus excentricis. P R O P. XI. PRO B. VI.Rεzohatur corpus in Ellipsi e requiritur lex Cis centripetae Iendentis ad umbilicum GibeoS. Esto ellipseos umbilious s. Agatur SP secans cylipseos tum cliametrum DK in E, tum ordinatim aPplicatam Qυ in X, 8c com- Pleatur parallelogrammum QAPR. Patet EP aequalem osse semiaxi majori AC ; eo quod, acta ab altero cilipseos umbilico, H, linea ui ipsi x C parallela, ob aequales CS, CII, aequitur Es, EI, adeo ut EP semisumma sit ipsarum Ps, Pi ; id est sob parallelas HI, PR, M angulos aequaleS I PR, II PZ ipsarum Ps, PH, quae conjunctim axem totum et AC adaequant. Ad sΡ demittatur per-
Sint igitur duae Curvae Apo, AnΕ, axe eommuni As, quae eo modo ad se mutuo sint affectae, ut si 1 quolibet axis planeto, puta I, educantur datis, sed diversis, ad axem As inclinationibus metae pn, rn, quae Curvis in punctis B, D occurrant, habeat νη, ad Fn rationem quandam datam. Unde illud etiam eontequetur, ut areis curvarum totis, si sint illae ex earum genere quae in orbem redeam, vel partibus earum quae ordinatis quibust theteonjugritis intercipiantur, data quaedam ratio intercedat : ea nimirum, quam rectae, a punctis a D in axem Ar ad Perpendiculum demissae, inter se ha - nt. Lemma IV. Cor. II. 3. Conjugatas autem ordinatas eas voco, quae in tu ustiodi eurvis ab c cm axis. inmunis puncto eductae sunt. Iam per has curvas A te, ADE. ferri intelligantur corpori , viribus centripetis,
quae centrum 1 in axe cudVarum com
muni positum respieiant, sollicitata; atque ea quidem lege, ut tempora conversionum integra, si curvae in ortionaredeant; alitervem, ut tempora quibus abs untur sectores quidam, quibus abscita est eommunis, inter se aquailia sint. A quovis axis yu:cto educantur ordinatae conjugatae r a. pi , & sn, so jungantur. jam quod dicit Newtonus hoe est. Vim centripetam in loco a esse ad vim centripetam in loco D ut sa ad sD. ostendimns autem quod Newtonus dicit hoc modo. Ab alio quovis axis puncto, o, educantur ordinatae coniugatae, GP, CE, eum prioribus utiqne νη. FD Parallelae; iunctiique se, sa cors,ora mobilia, si e loco A finiui ea silerint egressa, sectores. rhitae unumquodque suae, as C. D L simul descripserint. Hoc enim eadem argumentatione ac Drius chzilic buuus. Ducta autem recta Eo, quae curvam ABC in B contingat, si haec axi As inio oc-
102쪽
rol. 2. Lem. VII. Qυ quad. ad Qx quad. PUnCtis Q Sc P Coeuntibus est
ratio aequalitatis ς Sc Qx quad. seu Qυ quad. est ad QT quad. ut EP quad.
sive per Lem. XII. Ut CD quad. ad CD quad. Et conjunctis his omnibus rationibus,
Coeuntihus, aequantur et PC M GU. Ergo Sc his proportionalia Lκ QRia QT quad. aequantur. Ducantur haec aequalia in Se siet 1-κ SPq aequale . Ergo per Corol. I Sc 5. Prop. VI. vi
o occurrat, juncta on curvam alteram AnE continget in D. Id enim eisdem prorsus verbis, quibiis antea usi sumus, ostendere licet. Aetis igitur a punctis C, E, rectis CH, Εκ cum illis sn, sn parallelis, quae rectis on, o D. in punctis Η, Κ oecurrant; vis centristera in loco B ad vim centripeta in in loco D rationem hahebit eam, quae, sectoribus asc, D, E in sinizd imminulis, evanescentium eu, κ ultima in cr ipsas erit. Ostendendum igitur hanc rationem ultimam eam esse. qiis est ruetaesa ad SD. Acia cI ut prius, eum axe s A parallela, contingenti Og in I occurrat. I'er I ducaturia cum vn parullula ; ia 1 puncto n, ubi illa L axem secat. agatur xm parallela cum pD, & occurrat illa his contingenti OD in m. Jungatur autem Ean. Propter rectas n4 Fu inter se parallelas, erit ni ad Pn ut no ad op. Atque rursum pr pter re fas nm, FD inter se parallelas, erit no ad op ut κω ad 1 D. Quare ut crit ad ra ut se ad m,. El. v. I t. Permutando xl ad se ut ps ad D n. Est aut cm, propter illam quae Posita eli eurvatum ad se mutuis affectionem, FB ad PD ut sc ad GE. Erit igitur H ad ηm ut oc ad Gn. El. v. m. Sunt autem nt, Gc in er se aequales, utpote quae Parallelogrammi ne ex adverso sint latera. Erunt igitur de se, GE inter se aequalos. El. v - 4.ὶ Sunt aurem parallelae ex constructione. Quare Se Em, Gn parallelae inter se & aequales erunt. Propter duas igitur Ex, Em cum duabus f D, so parallelas, triangula KEm, Dso, ut prius, inter se similia erunt, & Ex erit ad Em ut suad so. Verum tu .ii illa Em aequalis sit rectae citi, etiam illi ut ae liuilis erit. Quare Ex erit ad es ut 1 D ad so. Sed propter duas CH, CI cum duabus st,., o parallelas, triangula illa Flec aso, ut prius, intor se similia erunt, δέ Ct ad Cu ut so ad sa. Ex aequolgitur Eu erit ad eu, ut si, ad sa. Ex quo eodem proilus modo ae ante colligetur vim centri-Petam in loco B esse ad vim centripetam in loco D ut sa ad so. Q. E. D. ' Sunt QR. xv inter se aequales, utpote quae parallelogrammi p.ruat adversa inter se sint latera. Quare QR : v I pae: m. Sed propter rectas ua , DC inter se parallelas, triangiala ν 6 pi aerunt inier se similia. 3e Pae: Pi α PE: PC. Angulus rectus ina , reeio prE aequalis. Sed propter restas Qx, LP inter se parallelas, anguli πιτ, rLν inter se , quales erunt. hi I. et q. Triangula igitur ψx, Pru, inter se similiai. Qt ua: uJ zzPE: PF. El. v I. 4. Quare Qx': QT T rE':r P . El. v I. aa.
103쪽
centripeta reciproce est ut L κ SPq, id est, reciproce in ratione duplicata distantiae SP. Q. E. I. Idem MIcr. Cum vis ad centrum ellipseos tendens, qua corpus P in ellipsi illa revolvi potest, sit per Corol. I. Prop. X. Ut CP distantia corporis ab cllipseos Centro C; ducatur CE Parallela ellipseos tangenti Pst ; Sc vis, qua corpuS idem P circum aliud quodvis ellip-1uos punctum s revolvi Iγotest, si CE M Ps concurrant in Ε, crit
iit per Corol. 3. Prop. VH. hoc est, si punctum s sit
umbilicus ollipseos, ideoque PE detur, ut SPq reciproce. Q. E. I. Eadem brevitate, qua traduXimus Problema quintum ad Parabolam, Ω Ι Iyperbolam, liceret idem hic facere : verum ob dignitatem problematis, M usum Hus in sequentibus, non pigebit
calus caeteros demonstratione confirmare.
Moveatur corpus in 'perbolia ' rcquirisur LX Cis centripe in tendentis ad umbilisum rigurae. Sunto CA, CB semiaXes hyperbolae; PG, KD diametri aliae conjugatae; PF Perpendiculum ad diametrum ΚD ; Sc Qυ ordinatim applicata ad diametrum GP. Agatur sΡ secans cum diametrum DK in Ε, tum ordinatim applicatam Qυ in x, M compleatur P Tallelogrammum RP.M. Patet EP aequalem esse semiaxi transverso AC ; eo quod, adia ab altero hyperbolae umbilico H linea iii ipsi Ec Parallela, ob aequales cs, CH, aequentur ES, EI ; adeo ut EP
Nimi Rura si eorpora duo, quorum alterum vi quadam centrum C, alterum alia vi centrum s reipiciente perpetim urgeatur, orbem ellipticum Ans eodem tempore absolvant, erit in quo is Oi bitae puneto p vis illa qu:e centrum C respicit ad vim aliam, punetum s respicientem, ut EP κ sp ad Er . Prop. vit. Cor. 3. Sit v reeta. ad quain semiaxis Ac rationem habeat eam, quam vis illa quae centrum C respicit, in vertice A, ad vim alteram in dato loco p. Et mutato loco P, reeta v ea emper lege inuat, ut ad semiaxum eAea semper rationem habeat, quam vis punctum s respiciens, in loco p. ad vim quae centrum C relpicit in loco A. Ita vis illa quae ruspicit punctum s semper erit ut recta Y. Jam editi vis illa quae centrum c respicit in loco A, ad vim alteram centrum S respicientem in loco P, rationem habeat eam, quae compolita Est e ratione, quam vis centrum C in Joeo A respiciens habet ad vim idem centrum e respicientem in loco P, cum ea, quatri vis centrum c respicictis in loco P habet ad vim alteram centium ς respicientem in eodem loco p, idcirco ha-- bebit
104쪽
& angulos aequales I PR, HPZ ipsarum PS, PH, quarum differentia axem totum et AC adaequat. Ad s P demittatur Perpendicularis
QT. Et hyperbolae latere recto principali suu dicto L, crit
Qv quad. ad Qxquad. punctis in M P euntibus fit ratio aequalitatis pQx quad. scriuet' quam est ad QTqur EPq ad PFq , id est, ut CAq ad PFq, sive per Lem. XII. ut CDq ad
hebit Ac ad T rationem ex eisdem compositam. Harum vero prior, ea est, quam Ac habet a lyc Prop. X. r. r. posterior autem ea est, quam lillidum epκ si ' habet ad cubum ex Et Prop. VI . Cor. 3.ὶ hoc est, si s umbilicus sit ellipseos, ad cubum excA. Hahet igitur cA ad Urationem eam; quar. Componitur e rationibus rectar ad cp, solidique cν κ se' ad c A' ; sive eam, quae componitur e rationibus solidi cΛ κ sp ad cp κ sp , solidique ep κ sp ad c Ain. Verum solidi cA κsr ad c A' ex elisitem compolita est ra io. Quare oci erit ad Y ut CA κ sP' ad CR ; a cest ut fp ad CA'. Ergo Yκ sp α:cA . Et v α - - . Erit igitur v, ob datum CA , ut ιν' mn
105쪽
ad civ. Sed, punctis P M in Coeuntibus, aequantur 2 PC M Gυ. Ergo M his proportionalia LκQR M QIq aequantur. DUCantur
Corol. I M s. Prop. VI. Vis centripeta reciproce est ut LκsPq, id est, reciproce in ratione duplicata distantiae SP. Q. E. I. Idem aliter. Inveniatur Vis, quae tendit ab hyperbolae centro c. Prodibit haec distantiae CP proportionalis. Inde vero Per Corol. 3. Prop. vi I. vis ad umbilicum a tendens erit ut- i , hoc est, ob datam PE, reciproce ut SPq. Q. E. I.
Eodem modo ε demonstratur, quod corpus, hac vi centripeta in centrifugam Versa, movebitur in hyperbola opposita. L E M M A XIII. Latus rectum parabo e ad Certicem quemzis pertinens es quadruplum isantiae verticis idius ab umbilico rigurie. Patet ex conicis '' .L E M M A XIV. Perpendiculum, quod ab umbilico parabue ad tangen em ejus δε- millisur, medium es troportionale inter distantias umbilici diuncto contactus N is vertice principali figurae.
Sit enim AP parabola, s umbili-CuS UUS, A Vertex Principalis, Ppunctum contaetras, Po ordinatim applicata ad diametrum Principalem, P Μ tangens diametro Principali occurrens in M, M ses linea Perpendicularis ab umbilico in tan-
Immo elidem verim. Hamilton. Conte. Lib. II. Prop. XXV. et Cor.
106쪽
gentem. Iungatur AN; M, Ob aequales Μs M SP, MN M NP, MALi-M AO, Parallelie crunt rectae AN M op ; M inde triangulum sΑNλ' η ' 'rectangulum erit ad A, M simile triangulis aequalibus sNΜ, 3NP : ergo PS est ad sN ut SN ad SA. Q. E. D ). Corol. I. Psq est ad SNq ut Ps ad SA. Corol. 2. Et, oti datam SA, est SNq Ut PS.Corol. 3. Et Concursus tangentis cujusviS PM Cum recta SN, quae ab umbilico in ipsam perpendicularis est, indicit in rectam AN, quae Parabolam tangit in vertice Principali. Ρ R O P. XIII. P II O B. VIII. Moveatur corpus in perimetro Paraboler requiritur lex Cis centrisciae Iendentis ad umbilicum hujus figurae. Maneat constructio lemmatis ; sitque P corpus in perimetro Parabolae, Sc a loco in, in quem corpus Proxime mOVetur, age ipsi SP Parali clam QR, M Perpendicularem QT, nccnon QV tangentir raticiam, ἴc occurrentem tum diametro pG in et , tum distantiae sp in Jam ob similia triangula Pxυ, spM, M aequalia uniuS latera SM, SP, aequalia sunt alterius latera Px, seu QR, M P v. Sed, CX conicis, quadratum ordinatae Qυ aequale est rectangulo sub latere recto Sc segmento diametri PD, i l est per Lcm. x m. rectangulo ψPs κ PU, seu qPS κ t ; 8c Punctis P M Q Coeuntibus, ratio QV ad Q.v per Corol. 2. Lem. Via. sit ratio aequalitatis. Ergo - Qx quad. cca in casu aequale
ProP. IX. Lib. v. Elem. QTq S s A κ QR aequantur. Ducantur haec aequalia in Se siet
) Eli liaec Propositio tricesima Libri securuli Conicorum Hatuit tota.
107쪽
PHILOSOPHIAE NATURALISVI. vis centripeta est reciproce ut SPqκ SA; id est, ob datam 4s A
reciprocu in duplicata ratione distanti e SP. Q. E. I. Corol. I . Ex tribus novissimis prom sitionibus consequens est, quod sit corpus piodvis P secundum lineam quamvis re stam pii quacunque cum Velocitatu exeat de loco P, Vi Centripeta, quae sit reciproce proportionalis quadrato distantiae locorum a centro,
Sir sectio si is conica Aps, quam in I puncto circulus opu osculetur. Huius circuli centrimi la 1.; itinei. que i. p axi sectionis crinicae , C. , t iniveilo quidem si sectio Elliptis fit x ct Huperbola, in P ut o Doccurr.it. Sit c umbilicus sectionis conica . N in junctam PG, puncto L, deducatur ad purpendiculum recta LM. Denique jungatur Mn. I ictiliane MD illam l. p ad perpendi eulum in si uore; hoc cii, nugulos ND , NDI. ructos esse. Si curva i Ai. Elliptis sit vel l lx perbola, 1 t c eius currum, ct cn dimidium axi ς secundi ; at, umbilico c
ymicto P contingit, agatur nil perpendiculum rect i Gn. A lriincto D in ructam PG agatur ad perpcndidulum rectar, Q. Per C centrum iectionis conica: Pgantur Quia CF cumreetis i , P, Pii Parallelae; quarum illa Cu ecta: PM in uo, altera cu rediar i r in T, icctioni conic e in F, Occurrat. Rectangulum LP κ cu quadrato ex cP aequale est Hamilton. Conic. I .ib. v. IS. Cor. et ructangulum DP κ cst quadrato cx cn est aquale. Hamilton. Conte. I.ib. ii. ra. Erit igitur quadra Num ex cr ad quadratum ex Cn ut rectanguluni I. P κ C a d 1γe κ cet, hoc est ut Li ad 1 n. Sed
quadratum ex cr est ad quadratum ex Cn ut quadratum ex GP ad quadratum ex an Hamilton. Conte. Lib. II. 3i.ὶ Et quadratum ex GP cst ad quadratum cX GH ut quadratum ex op ad quadratum cx mc. Este enim GP ad GR ut Dr ad rac id in Lemmate nostro primo dei nonstrando jam ante ostendimus. Quare L p erit ad Piν ut quadratum ex L P ad quadratum ex PK i El. v. ii. sed propter dux illas DKr, ini P rceios, redi:e DK, LM coint inter se parallela . Quapropter quadratum ex or erit ad quadratum ex i K ut quadratum ex Li' ad quadratum ex i M. Erit igitur i. d: pn m L p : PM El. v. tr.ὶ Ac prop urea LP : PM rΜ : ri . Triangula igitur LpM, rari, inter se similia erunt, angulique LM , PDΜ inter se aquales El. VI. 6. Sed angulus LMst rectus; talis enim factus est. Quare de MDP rectus. Qi E. D. Si Parabola sit sectio conica r At, adiis eius cA Productus evntingenti P R in Q ocenrrai, Si perr ducatur TPs diameter parabolae. Anguli et G, stus sint inter se aequales Hamilton. Cotile. Lib. II. is. Quare Ze angulus GPι , qui cum illo QPn rceium conscit, :x qualis erit angulo DPτ, qui cum T PR, i ii ors aequali, reetum etiam conficit. A puncto t. in diametrum PT ad perpendiculum dcinitis: ir tir. In triangulis rectangulis LMI , i. Tr, anguli acuti ν rL, T PL Gen, n rDὶ ολ ii si sunt inter se et e quales. Quare & acuti reliqui, MLr, vi τ, inter
se aequales crurit. Sed latus I r, acutis con
timum, duobus triangulis commune est. Quare reliqua hujus latcca reliquis alterius odi. qualia erunt, ea utique sin tali in eonscrendo, quae anguli aequales ex advelio spect int. Quare rectae pΜ, PT triant inter se aequales. sed PT aequalis est dimidio parametri ad diametrum i mpertinentis; nemiae cevii cx circuli natura, PT se millis lit partis illius diamctri se quam cireulus Nro
108쪽
simul agitetur; movebitur hoc corpus in aliqua sectionum Coni- Carum umbilicum habente in centro virium ; contra. Nam
datis umbilico, te puncto contactus, Sc Positione tangentis, cle- scribi potest sectio conica, quae curvaturam datam ad Puta etiam illud habebit ). Datur autem curvatura ex data vi centripeta, & velocitate corporis m) : re orbes duo se mutuo tangentes Ca
Npo ab indit; quae pars diametri sp p Mamerro illi aqualis est. Hamilton. Cotile. Lib. v. t 7.
Reeta igitur i M sum illis erit para inuiri ad diametrum frT Pertinentis, ac Proinde rectar Dutam inlis. illamilton. Conic. I. ili. II. as. Sed triangulis duobus Myn, ud laetus ro eli commune. Latera igitur duo M P, pix, duohvs ΟΡ, DP aequalia. Angulus autem illius rapi,, hujus angulo Uip cit aqualis. Nam Propter taesus D d Parallelas, angulus uri P aequalis cist angulo τPi, El. I. au. 3 cui etiam M pD iiii elisus eii xuu .ilis. Rcliqui igitur triangulorum illorum Mi D, tu, pangula inter se aequales crunt, conrcrcndo latique quos latera :e Π:alia ex adverto spectant. An gulus igitur Mi P angulo ero aqualis. Rectus aut cin QPo. Quam & Μ DP rectus. E. D.
Circulus, eentro t), radio rγp scriptus, parabolam in duobus planetis contingeret. Nimirum in P, di in altera extremitate rectae a puneto illo P ad axem ordinatim duetae. Quare cum Μν dimidio paruinciri, ad diametrum sp pertinentis, aequalis sit, urii Li' ad PM ut PM ad io IIamilton. Conic. I .ih. v. 17. Cor. Triangula igitur i. pM, M pis inter se ii milia crunt, et angulus Mur angulo LM P aequalis. Rectus igitur Mixi', cum LMν laetus fuerit rediiis. E. D. His autem ostcnss, sacilis erit demonstratio ejus quod Nexvi onus dixit, Datis uni hilleo, iapuncto contactus N po: tione tangenti , describi Polle sectionerti conicam, quae curvaturam datam
Cist cui us enim magnitudine & positione datus spo, sectione ni quandam caniram Azr, cuJas umbilicus G detur, in dato punerti P oleuiuriar; dico sectionem conicam Av. positionc diram esu. Nit I. centrum circuli Nro, ι: axis lectionis conicae Asir, qui, si sectio illa Elli; γlis sit vel Hyperbola, transvcrliis sit. Jungantur L p, G , quarum s r axi c. in D occurriat. Abi in rcet imiae κd perpendicii luin deducatur L M, & rii, jungatur. Jam Propter Puneii P, C dat I, ructa erapoliri i e data est. Et propter circulum Ni O magnitudine & positione datum, ceri: rum ejus 3. et t. m c ii. Rocia igitur L M, a diro puncto L in reciani P . pulitione datam ad perpun- dictitum d du l .i, positione ipsa dabir ur Dur. 3o. Punetum igitur dii datum Dat. 2ς. Νeda tigritias Mi,p ie tu; eli Lemma Il. I l. Recta igitur Mii, a dato poneto ri in reo tam Posi: ione lato in P r. a i perpendiculum deducta, positione isela dabitur sDat. 3o. Puuetum igitur u datu in ' 'at . et s. Sed si, datum. Id cni. ri puli tum eii. Rccia igitur Go, litae est axis lectici iis e ritear, psestione data ci Dat. r6 . Aelique Pit, pix dat vincirculum N po i. lato prineio P coati agat, politionc Irbitur, δή sectionem conicam in pun to p continget. J m li Parabola sit suetio conica, riam circulus Nyo in loco P oscilletur, eum umbilicus ejus datus sit, & nκ is politione ii itus, et cimi rcetam Potirione datam in dato puncto ea contingat, politione ipsa it ita ei it. Id enim exuli mentis conicis satia paret. auod si luetio i la, quam circulus Npo in P osculctur, i lii 3:is sit vel His urb0l , s. t , umbilicus Hus alter, & jungatur Ps. Anguli cavit, si' o ni s rcciae r G, Ps d durab licos diri iae cum con ingente ii de faciunt, inter se aequales erunt. illamilton. Colaic. Lib. II. to & r7. Haro anguli DP a, Dps, qui clam ae Dialibus illia lectos singulati in conificiunt, inter se rex Piatus sunt. Sed, Propter rectas Gy, po positione clatus, angulus 4: o ditus eii QNare ues latus Recta igitur rs, quae a dato puncto p , data inclinatione nil rectam ru pra: itionu latam eii educta, h: rs Positione & ipsa dabi: ur. Dat . e 9. Sed reἰia cis IM .itione data. Quale Punctum s datum. Dat. r;. Seerionis igitur conica, A L. P uitii, licus utem ac datus, & recit Muru, positione datam, in dato puncto illa tangit. Politione igitur & ipsa data cli ui. IV D. EA sit corporis velocitas in claro loco r, quit, elato quo Lam lcmpure, rectam magnitudine ec pol ii ne datam eonficeret : & ea in locri r iit vis centripeta, qua corpus eodem tcmpo is spatio .iquabiliter incitatum, motu accelerato si alium ditum erin si curet, dummodo recta uocum dilectione vis centripetae in loco e Parallel i sit. Et ducatur parabola D. p, cujus diamet i
109쪽
dem vi centripeta e relemque velocitate describi non possunt. Corol. 2. Si velocitas, qUacum corpus exit de loco suo P, ea sit, qua lineola P R in minima aliqua temporis particula describi possit; Sc vis centripeta potis sit eodem tempore corpus idem movere Per spatium QR : movebitur hoc corpus in conica aliqua sectione, cujus latus rectum Principale est quantitas illa quae ultimo siit, ubi lineolae PR, QR in infinitum diminuuntur. Circulum in his corollariis refero ad Ellipsin ; Sc casum cxcipio, ubi corpus recta descendit ad centrum. P It O P. XIV. T H E O R. VI.
Si corpora plura res mantur circa centrum commune, N vis centripeIa su reciproce in duplicata ratione di antia locorum a cen-
Iro ; dico, qu)d orbium lasera recta principalia sunI in duplicata rasione arearum, quas corporia, radiis ad centrum ductis,
eodem tempore describunt. Nam per Corol. 2. Prop. XIII. latus rectum L aequale est quantitati
cum recta eo snt parallelae, quaeque rectam po in P contingat, & per datum punctum A transeat. Haec parabola positione dabitur : & cum corpus P loco P cum velocitate illa, quam posuimus, diseedens, per hanc Parabolam incederet, si vis centripeta eadem maneret, & secundum rectas eum illa parallelas semper ageret ; idcirco huius Parabolie eadem erit, quae orhitae, per quam corpus sertur, in loco P curvatura. Hoc est idem circulus curvam utramque, Parabolam & orbitam, in loco r osculabitur. Circulus autem, qui parabolam Anr positione datam, in dato puncto p osculatur, magnitudine & positione ipse datus erit. Circulus igitur qui orbitam in loco ν osculatur magnitudine & politione datus . in E. D. Eadem Le M ur ω Degasero
ConpoRΛ duo serri intelligantur circa centrum commune s, urgentibus viribus quae centrum illud s respiciunt, quaeque sint semper inter se ut quadrata distantiaruin a ccntro illo contrarthsumpta. Coipora igitur in Orbibus conicis serentur, quorum s umbilicus erit. Sint orbes illi Ars, apb, et sint rsu , t q Orbium sec Ores quidam, qui motu eorporum senui dustribuntur. Dieit Newtonus orbium Ava, ara latera recta rationem inter se habere, arearum Psu , ρις duplicatam. Sint L, I, Orbium Aps, ase, latera rccta. Cum feetores Psα, ρ q, simul describantur; Propter aequa is hi lena et rearum circa centrum s descriptionem, eadem semper sucioribus illis inter ipsos ratio erit, quire inque fuerint illorum magnitudines. Eadem igitur illis semper manet, quae nassientium pii nia fuit. Prima autem nascentium fuit, quae rectangulorum Fr κ QT, ν κ qt nascentium prima. Osseruiendum igitur L ad I nationem habere eam, quae composita est e ratione quadrati ex sp ad quadratum ex sp, εe ratione Prima quadrati P nasce me ad quadratum e nascunt e q/. Sed per Corollarium a. Prop. x m. coeuntibus punctis Q , P, ς' π L κ QR ; εc coeuntibus pune lisq, p, qt l X qr. Quare L κ QR: κ qr α ultimo scilicet, arcubus puta H infinithimminutis. Sed ἐκθν 2Iκ QR α tua. Quare ex aequo I. π ut ad ἰκQR, sive L ad , rationem habet cana. quae compolita est ε ratione prima quadrati h nascente QT ad quadratum enascente qt, & ratione nascentis qr ad nascentem QR. Sed cum feeiores r suo ριε, smul de . scribuntur, ea erit nascentis qr ad nascentem QR ptima ratio, quae vis centripetae in loco ρ ad
vim ecutriPctam in loco P ; sive quae quadrati ex sp ad quadnatum ex U. Ratio igitur L au Icomposta
110쪽
77 PRINCIPIA MATHEMATICA.quantitati quae ultimo sit, ubi coeunt puncta P Sc Q. Sed Lisa
linea minima QR, dato tempore, est ut Vis centripeta generans,
hoc est per hypothesin) reciproce ut
e1t, latus rectum L in duplicata ratione areae QT κ s p h). Q. E. D. Corol. Hinc Ellipscos area tota, eique Proportionale rectangulum sub axibus, cit in ratione composita ex subduplicata ratione lateris recti, Sc ra-Namque area tota est Ut area QTκ SP,
quae dato tempore describitur, ducta in tempus periodicum ' ). P R O P. XV. T H Ε Ο R. VII. Iisdem positis, dico quod tempora poriodica in Ellit bus funt in ratione sesquiplicaid majorum axium P).
Namque axis minor est medius proportionalis inter axem majorcm Sc latus metum ; atque ideo rectangulum sub aXibus est in
eomposita est δ ratione prima quadrati e nascente r nil quadratum d n ucente & ratione qua
drati ex sp ad quadratum ex sp. Atque haec est arearum quae simul conficiuntur duplicata ratio. E. D. ' Oangs conici Ao, apb Ellipses sint, quarum centrum O, semiaxes transversi cA, O, secundi CB, c b. Ellipseos Arn area significetur litera A ; alterius as , litem a. Sint rectae M. N, quarum m habeat ad N proportionem eam, quam tempus conversionis in Ellipti Arn ad tempus conversionis in Ellipsi apb: & capiatur λ, quae laturum rediorum, L, I proportione media lit. Dicit Newtonus esse A ad a, ut Μ κ L ad NH. Capiatur recta Π, quae sit ad Μ ut tempus quo eonficiuntur sediores ruf, mi, ad tempus conversionis in ellipli Ap n. Eadem Il erit ad N ut tempus quo consciuntur te tores illi Pici, stii ad tempus conversionis in ellipli altera orb. Iam area A erit ad se Morem p s ut M ad ri, sive ut Μ κ L ad Π κ L Prop. I. Sed sector pos ad sectorem fis ut L ad λ per Prop. xiv. sive ut ii κ I. ad II κ λ. Et sector pys ad aream a ut li ad N Prop. I. sive ut lI κ λ ad N π λ. Ex aequo igitur arca A ad aream a ut M N L ad N κ λ. E. D. ρὶ Sive rationem axium majorum triplicatam temporum duplicatam esse.