장음표시 사용
71쪽
ilem semirer erit ratio Eltima BD ad bd quae prius, idcoquo cadcm ac AB qua . ad Ab qua . Q. E. D. f. 3. Et quamvis angulus D non detur, sed recta BD ad clatum Planctum convergat, Vel alia quac unque lege constituatur; tamen anguli D, d, Communi lege conitituti, ad aequalitatem semper vergent; SI Propius accedent ad invicem quam Pro differentia quavis assignata, ideoque ultimo aequales erunt, Per Lem. I; Mpropterea lineae BD, bd sunt in cadem ratione ad invicem ac Prius.
Q. E. D. Corol. I. Unde clam tangentes AD, Ad, arcus AB, Ab, 8c eorum sinus BC, bc fiant ultimo chordis AB, Al aequales; erunt etiam
illorum quadrata ultimo iit subtensae BD, bd. Corol. 2. Eorundem quadrata sunt etiam ultimo ut sunt arcuum sagittae, quae chordas bisecant, Sc ad datum Pulaetum convergunt. Nam sagittae illae sunt ut subtensae BD, bd 'Τ). Corol. 3. Ideoque sagitta est in duPlicata ratione temporis quo corpus dat1 velocitate describit arcum. Corol. 4. Triangula rectilinea ADB, Adb sunt uItimo in triplicata ratione laterum AD, Ad, inque sesquiplicata laterum DB, db; utpote in composita ratione laterum AD K Dn, Ad S G cxistentia. Sic ξc triangula ABO, A bc sunt ultimo in triplicatu ratione Iaterum BC, bc. Rationcm vero sesquiplicatam voco triplicatae subduplicatam, quae nempe ex simplici Sc sui duplicata componitur. Cors. 5. Et quoniam DB, db sunt ultimo parallelae 8c in duplicata ratione ipsarum AD, Ad rerunt arcae ultimae curvilineae ADB, Adb sex natura Parabolae) duae tertiae partes triangulorum recti lincorum ADB, Adb; M segmenta AB, Ab
Partes tertiae eorundem triangulorum. Et inde hae arcae et haec segmenta erunt in triplicata ratione tum tangentium AD, Ad, tum chordarum M arcuum AB, A b.
72쪽
Caeterum in his omnibus supponimus angulum Contacius nec infinite majorem esIe angulis contactuum, quos circuli continent cum tangentibus suis, nec iisdem insiluite minorem; hoc est, Curvaturam ad Phinetiam A, nec infinite parvam esse, nec in sinite magnam ; seu intervallum AJ finitae esse magnitudinis. Capionim poteth DB ut ADΤ : quo in Casu circulus nullus per Punctum A, inter tangentem AD & curvam AB, duci Potest, Proindeque angulus contactus erit infinite minor circularibus. Et simili argumento si fiat DB successive ut AD', AD=, ADM, AD', 8 c. habebitur series angulorum contactus Pergens in infinitum, quorum quili-het posterior est infinite minor Priore. Et si ilat Da successsive ut AD', AD , ADt, A D.=, AD , AD , 8 c. habebitur alia series infinita angulorum contactias, quorum Primus est ejusdem generis cum circularibus, secundus infinite major, Sc quilibet posterior insinite major priore. Sed M inter duos quosvis ex his angulis potest serius, utrinque in infinitum pergens, angulorum intermediorum inscri, quorum quilibet posterior erit in sinite major minorve priore. Ut si inter terminos AD' M AD inseratur series ADU, AD*, AD , AD , ADt, AD , AD ', ADI, AD V, MC. Et Tursus inter binos quosvis angulos hujus seriei inseri lκκest series nova angulorum intermediorum, ab invicem in sinitis intervallis disserentium. Neque novit natura limitem ' . Quae de curvis lineis, deque superficicbus comprehensis es monstrata sunt, facile applicantur ad solidorum superficies curvas,8 contenta. Premisi vero haec lemmata, Ut csfugerem taedium deducendi longas demonstrationes, more Veteriam geometrarum,. ad absurdum. Contractiores enim redduntur demonstrationes
per methodum indivisibilium. Sed ipioniam durior est indivisibilium hypothesis, M propici a methodus illa minus geometricae
censetur; malui demonstrationes rerum sequentium ad ultimas quantitatum evanescentium flammas Sc rationes, primasque nascentium, id cst, ad limites summarum M Tationum deducere;
73쪽
M propterea limitiam illorum denaonstrationes, qUa Potui brevitate, Prarmittere. I Iis enim idem Pnc statur quod Per methodum indivisibilium : se principiis demonstratis jam tutius utemur. Proinde in sequentibus, siquando quantitates tanquam eX Particulis constantes consideravero, vel si Pro rectis usurpavero lineolas curvas; nolim indivisibilia, sed evanescentia divisibilia, non summas Sci rationes partium determinatarum, sed summarum M rationum limites semper intelligi; vimque talium demoni rationum ad methodum Praecedentium lemmatum semper revocari. Objectio est, quod quantitatum evaneicentium nulla sit ultima Pr Portio; quiPPe quar, antequam evanuerunt, non est ultima; tibi evanuerunt, nulla est. Sed Sc eodem argumento aeque contendi posset, nullam cile corporis, ad certum locum ubi motus finiatur Pervenientis, velocitatem Ultimam : hanc enim, antequam corpus attingit locum, non cite ultimam; Ubi attingit, nullam eine. Et responsio facilis est : Per volocitatem ultimam intelligi eam, qua corpus movetur, neque antequam attingit locum ultimum M motus cessat, neque Postea, sed tunc cima attingit ; id est, illam ipsam velocitatem quilaum coi Pus attingit locum cillimum, Fe quacum motus cessat. Et similiter ser ultimam rationem quantitatum evanescentium, intelligendam csserationem quantitatum, non antequam evanescunt, non Postea, sed quacum Evanescunt. Pariter 8c ratio Prima nascentium est ratio quacum nascuntur. Et summa prima Sc ultima est qui cum esse vel augeri aut minui incipiunt 8c cessant. Extat limes, quem velocitas in sine motus attingere potest, non autem transgrcili. IIaec est velocitas ultima. Et par est ratio limitis quantitatum M proportionum omnium incipientium M cessantium. Cumque hic linies sit certus δί definitus, Problema est vere geometricum, eundem determinare. Geometrica vero omnia, in aliis 'geometricis determinandis ac demonstrandis, legitime usur
Contendi etiam potest, quod si dentur ultimae quantitatum e Vanescentium rationes, dabuntur Sc ultimae magnitudines: Scsic quantitas omnis constabit ex indivisibilibus, contra quam Euclides de incommoniurabilibus, in libro dccimo Elcmentorum, demonstravit. Vorum l1aec objectio falsee innititur hyoothesi. Ultimae
74쪽
AItimae rationes illae, quibuscum quantitates evanescunt, revera non I x sunt rationes quantitatum ultimarum; sed limites, ad quos quantitatum, sine limite decrescentium, rationes semper aPP Pin quant ἔ 8c quas propius assequi possunt, quam pro data quavis litterentia, nunquam vero transgredi; neque Prixis attingere, quam quantitates diminuuntur in infinitum. Res clarius intelligetur in infinito magnis. Si quantitates duae, quarum data est differentia, augeantur in infinitum, dabitur harum ultima ratio, nimirum ratio aequalitatis ; nec: tamen ideo dabuntur quantitates Ultimae, seu maximae, quarum ista est ratio. In sequentibus igitur, siquando, facili rerum conceptui consulens, dixero quantitates quam minimas, Vel evanescentes, vel ultimas ; Cave intelligas quantitates magnitudine determinatas, sed cogita semper diminuendas sine limite. Areas, quas corpora in nros acta, radiis ad immobile centrum v
rium ductis, describunt, θ' in planis immobilibus conse ere, Nesse temporibus proportionales. SECTIO II.
De inventione virium centripetarum. Ρ R O P. I. Τ H E O R. I. Dividatur tempus in ParteS P
quales ἔ M prima temporis parte dein scribat corpus, Vis insita, rectam AB I Idem secunda tem-
i Poris parte, si nil impediret, recta I ergeret ad c, per 5 IB Leg. I. describens
ut radiis AS, BS, OS ad centrum actis, confectae forent ae-
75쪽
quales areae ASB, BSc. Verum ubi corpus venit ad B, agat vis
centripeta impulsu unico sed magno; cssiciatque, Ut corpus derecta Bc declinet, M pergat in re ita BC. Ipsi Bs Parallela agatur
C, occurrens BC in C ; 8c com Pleta secunda temporis Parte, corpus per Legum corol. I. reperietur in C, in codem Plano cum triangulo AsB. Junge SC; dc triangulum s BC, Ob Parallelas s B, Cc, aequale erit triangido SBC, atque ideo etiam triangulo SAB. Simili argumento si vis centripeta successive agat in C, D, E, 8 C. faciens ut corpus singulis temporis particulis singulas describat rectas CD, DE, EF, 8 c. jacebunt hae omnes in codem plano; M triangulum s CD triangulo SBC, M sDE ipsi scD, M s EF ipsi s DE aequale erit. AEqualibus igitur temporibuS aequales areae in plano immoto describuntur: M componendo, sunt arearum summae quaeVis SADS, SAFS inter se, Ut sunt tempora descriptionum. Augeatur jam numerus S minuatur latitudo triangulorum in infinitum ; ia eorum ultima perimeter ADF, per corollarium quam tum Lemmatis tertii erit linea Curva e ideoque vis centripeta, qu1 corpus a tangente hujus Curvae perpetuo retrahitur, aget indesinetiter; Areae vero quaevis descriptae, SADS, SAFs, temPOribiis descriptionum semper proportionales, erunt iisdem temporibus in hoc casu Pro rtionales. Q. E. D. Corol. I. Velocitas Corporis in centrum immobile attracti est, in spatiis non resistentibus, reciproce Ut PCrpendiculum a centro illo in orbis tangentem recti lincam demissum Est enim velocitas in locis illis A, B, C, D, E, ut sunt bases aequalium triangulorum AB, BC, CD, DE, EF ; Sc hae bases sunt reciproce ut perpendicula in ipsas demissa. Corol. 2. Si arcuum duorum, aequalibus temporibus, in spatiis non resistentibus, ab eodem corpore successive descriptorum 'Chordae, AB, BC, compleant Ur in Parallelogrammum ABCV, Sc hujus diagonalis Eu, in ea positione quam Ultimo habet, ubi arcus
ΛΟ, ΑτuR enim ii puncto e recta ev eum ae parallela, quae cum recta sa in v concurrat, Sciungatur AV. Cum rediae ce, su inter se suit parallelae, necnon ne, cu ; figura cuue parallelogramma erit. Erunt igitur se, cu inter se aequaleρ. El. I. 34. Sed BA, se inter se aequales. Id enirn ostensum. Quare cv, ΕΛ inter se aequales erimi. Sunt autem inter se Parallelae; quare CB, Αν inter se aequales & parallelae erunt. El. I. 33. Figura igitur onAv est parallelogramina, sub chordia as, ac ; de huius diagoiuos erit recta Eu, quae vergit ad centrum virium.
76쪽
transibit cadem sercentrum Virium ' .
Corol. 3. Si artiis non resistentibus, descriptorum B chordae AB, BC ac Um aequalibust temporibus, in spa-
M E sunt ad invicem in ultima ratione diagonalium BV, ΕΖ, tibi arcus isti in infinitum diminuuntur. Nam corporis motu S BC M EF ComponUntur Per Legum Corol. I. ex motibus B c, B v, M V, EZ : atqui BuEZ, ipsis cc M Ff aequales, in demonstratione propositionis hujus generabantur ab impulsibus vis centripetae in B M E; idcoque sunt his impulsibus Proportionales. Corol. Φ. Vires quibus corpora quaelibet, in spatiis non resistentibus, a motibus rectilineis retrahuntur, aC detorquentur in Orbes cumos, sunt inter se ut arcuum aequalibus temporibus descriptorum sagittae illae quae Convergunt ad centrum Virium, Mchordas bisecant, ubi arcus illi in infinitum diminu tur. Nam hae sagittae sunt semisses diagonalium, de quibiis egimus in corollario tertio b . Corol. 5. Ideoque vires caedem sunt ad vim gravitatis, iit haesagittae ad sagittas, horigonti perpendicillares, arcuum Parabolicorum, qtios Projectilia eodem tempore describimi.
'', IUNCTAE oA, Dr, rectis au , EZ in o, occurrant. Armis per puncta tria A, B, C, atquenlius Per alia tria, D, E, F aequalibus tempor:bas confieiuntur. Atque horum chordae sunt rectae Ac, DP quas sagittae go, V mellias dividunt; sunt autem sagittae illae rectarum stu, Er. semisses. Nimirum e sim rectae cA, Bu ; Fn, Ea ; parallelogrammorum caAu, FED 2 fuit diagoniae, atque omnis Parallelogrammi diagoniae medias se mutuo dividant.
77쪽
Corol. 6. Eadem Omnia obtinent per Legum Corol. V. ubi plana, in quibUs corpora moventur, Una Cum centris iurium quae
in ipsis sita sunt, non quiescunt, sed moventur uniformiter in
P R O P. II. ΤΙIEOR. II. Corpus omne, quod moUetur in linea aliqua curva in tuno descrip- id, radio durio ad punctum, ori immobi , Uri motu recti eo uniformiter progrediens, describit areas circa punctum EDd temporibus proportionales, urgetur is bi centripetae rendente ad idem
punctum. f. I. Nam corPUS omne, quod movetur in linea curva, detorquetur de cursu rectilineo per vim aliquam in ipsum agentem per Leg. I. Et vis illa, qua corpus de cursu rcctilineo detorquetur, Mcogitur triangula quam minima SAR, SBC, S CD, AC. cu. p. 43. circa punctum immobile s, temporibus aequalibus, aequalia describere, agit in loco B secundum lineam Parallelam ipti cc per Prop. XXXIX. lib. I. Elem. Sc Leg. II. hoc est, secundum lineam Bs ς ;8d in loco o secundum lincam ipsi cID Parallelam, hoc est, secundum lineam sC, Se C. Agit ergo semper secundum lineas tondentes ad punctum illud immobile s. Q. E. D. f. a. Et, per legum corollarium quintum, Perinde est, sive quiescat supersicies, in qua corpus describit figuram curvilineam,
sive moveatur eadem una Com corpore, figura descripta, Sc puncto suo s uniformiter in directum. CoroI. I. In spatiis vel mediis non resistentibus, si areae non sunt temporibus Proportionales, vires non tendunt ad concursum radiorum; sed inde declinant in consequentia, seu Versus Plagam in quam fit motus, si modo arearum descriptio acceleratur: sin retardatur, declinant in antecedentia. Corol. 2. In mediis etiam resistentibus, si arearum descriptio
' NEMPE producta a a in si ut sit se rectae Aa aequalis, junctisque ce, se; corpus, si in illud nulla egiiset vis externa, quo tempore in locum c pervcnerit, eo tempore locum e rectae Ae attigisset. Vis autem illa quae ictu suo, in loeo a imprello, id effecerit, ut corpus, quod vis insita movendi per rectam Aa, certo quodam temporis punitio, ad locum e appulisset, eo ipso temporis puncto fit in e ; haec inquam vis corpus in a impulerit secundum rectam cum recta ce Parallelam Per Leg. II. eor. a. Sed cum triangula sa A, fac, inter se aequalia sint iid enim politum erat et
78쪽
acceleratur, virium directiones declinant a concursu radiorum Ver-
sus plagam, In quam fit motus. Scholium. Urgeri potest corpus a vi centripeta composita ex pluribus viribus. In hoc casu sensus propositionis est, quod vis illa, quae ex omnibus componitur, tendit ad punctum s. Porro si vis aliqua agat perpetuo secundum lineam superficiei descriptae perpendicularem ; haec faciet, ut corpus deflectatur a plano sui mollis: scd quantitatem superficiei descriptae neC augebit nec minuet, MPropterea in compositione virium negligenda cli. P R O P. III. T H E O R. III. Corpus omne, quod radio ad centrum corporis alterius, utcunque moti, ducto describit areas circa cenIrum EDd Iemporibus proportionales, urgetur vi composu ex Ci centripeta tendente ad corpus EDd alterum, V ex vi omni accelera Irice qua corpus iliud alterum urgetur. Sit corpus Primum L, M corpus alterum Τ : M per Legum corol. VI. si Vi nova, quae aequalis Sc contraria sit illi qua corpus
alterum Τ urgetur, urgeatur corpus utrumque secundum lineas parallelas ἔ Perget corpus Primum, I., describere circa CorPUS alterum, T, areas easdem aC PriUs : Vis autem, qua corpus alterumae urgebatur, jam destriretur per vim sibi aequalem Sc contrariam ; ia Propterea sper Leg. I. corpus illud alterum, T, sibimetipsi jam relictum, vel quiescol, vel movebitur uniformiter in directum et oia corpus primum L, urgente differentia virium, id est,
Urgente Vi reliqua, Perget areas temporibus Pro I et ionales Circa corpus alterum T describere. Tendit igitur per Theor. II. differentia virium ad Corpus illud alterum T ut centrum. Q. E. D. Corol. I. Hinc si corpus uniam, L, radio ad alterum T ducto,
describit areas temporibus proportionales; atque de vi tota sive simplici, sive cx viribus pluribus juxta Icgum corollarium secun-
et triangula sEA, spe inter se aequalia iiii enim emeitur per El. I. 38. erunt triangula s BC, s se, quibus basis sa communis, inter i. aequalia. Rectae ini: ur c . vs inter te parallelae. El. I. 39. Recta igitur Bs a puncto a edi.cta est cum reeta ce parallela. vis igitur centripeta in loco fi se cundum rectam B s corpus impulit. Simili argumento emetetur vim centripetam in loco C secun dum rectam cs, secundum ris in loco D, secundum Is in g, & in omni Curvae puncto secundum rectam a puncto illo versus centrum virium eductam corpus impulisse. E. D.
79쪽
dum Composita , qua corpus prius L urgetur, subducatur per
idem legum corollarium) vis tota acceleratri X, qua Coi PUS alterum Urgetur: vis omnis reliqua, qua Corpus PriuS Urgetur, tendet ad corpus alterum T Ut Centrum. Corol. 2. Et, si arcae illae sunt temporibuS quam Proxime Proportionales, Vis reliqua tendet ad corpus ulterum T quamproximo. C rol. 3. Et vice versit, si vis reliqua tendit quamproximo ad corpus alacrum Τ, erunt arcae illae temPoribus quamProxime Proportionale S.Corol. 4. Si corpus L, radio ad alterum corpus T dxusto, describit areas, quae, Cum temporibus collatae', sunt valde inaequa
les ; M corpus illud alterum, T, vel quiescit, Vel moVetur Uni formiter in dircctum : actio vis centripetae, ad corpus illud ulterumae tendentis, vel nulla est, vel miscetur, M componitur cum aC-tionibus admodum potentibus aliarum virium: visque tota ex omnibus, si Plures sunt vires, composita ad aliud sive immobilesve mobilc) contrum dirigitur. Idem obtinet, ubi corpus alterum motu quocunque moVetur; si modo vis centripeta sumatur, quae restat post subductionem vis totius in corpus illud alterum
Quoniam aequabilis arearum descriptio index est centri, quo lris
Hoe est, Vires eentripetae inter se proportionem gerunt, quae componitur E ratione duplicata arcuum, qui eorporum motu simul sunt eonsecti, & ratione radiorum contraria. DEMONsTEATI NEWTONI Ex LlCAT FACTA. In circulorum Luci, bo, quorum centrum s, Peripheriis corpora duo, R. b, motu unum quodque aequabili intelligantur circum agi. Propter motum corporis B aequabilem, arcus circuli Drν, motu corporis Rconsecti, temporum, quibus fuerint con secti, proportiones inter se servabunt. Sectores autem euius ibet et rculi sunt inter se, ut arcus quibus insistunt. Sectores igitur circuli aD, motu corporis Bdescript i, temporum, ciuibus sunt descrip ti, inter se proportiones servant. Vis igitur centripeta qua corpus motu recto detorquetur, & in circumflexu ci euti BD continetur, in circuli illius cenis
mili argumento efficietur vim ullam ceno tripetam, qua corpus , motu Tecto deis torquetur
80쪽
vis illa respicit, qua corpus maxime assicitur, quaque retrahitur a motu rectilineo, M in orbita sua retinetur; quidni usurpemus
in sequentibus aequabilem arearum descriptionem ut indicem centri, circum quod motus omnis cir laris in spatiis liberis peragitur λ
P R o P. IU. T PI E O R. IV.Corporum, quae disersos circulos aequabili motu deseribunt, vires centripetas ad centra eorundem circulorum tendere ; π se inter se, ut sunt arcuum , H descriptorum quadrata applicata ad circulorum radios d .
Tendunt laae vires ad centra circulorum per Prop. II. M Corol. 2. Prop. I. M sunt inter se ut arcuum aequalibus temporibus quam minimis descriptorum sinus versi per Corol. 4. ProP. I. hoc
est, ut quadrata arcuum eorundem ad diametros circulorum ap-Plicata Per Lem. VII. propterea, cum hi arcus sint ut arcus
temtioribus quibusvis aequalibus descripti, Se diametri sint ut eo
rum radii; Vires erunt ut arcuum quorumvis simul descriptorum quadrata applicata ad radios circulorum. Q. E. D ς . Corol. I. Cum arcus illi sint ut velocitates corporUm, Vires Centripetae erunt in ratione composita ex duplicati ratione velocitatum directe, ia ratione simplici radiorum inverse. Cores. 2. Et, CUm tempora Periodica sint in ratione composita ex ratione radiorum directe, Sc ratione velocitatum inverse ;
torquetur & in circuli iacircumflexu continetur, in centrum illitis eirculi perpetim agere. Corporum igitur, quae circulos diversos, ho, bd, molibus aequabilibus describunt, vires centripetae ad centra circulorum tendunt. Quae prima pars est propositionis Newtonianae. Dico praeterea virium illarum inter ipsas proportionem compositam esse e ratione duplicata arcuum, qui simul describuntur, & ratione radiorum contraria. Sint Et,, bd duo quillhet aretis simul consteti. Ducantur tangentes ac, be, quibus iunctae si , sd et productae in ptinctis C, e occurrant. Propter motus corporum aequabitos, arcus stri, bd, datam aliquam inter se proportionem se abunt; quae ea sit quam recta M, Pro arbitrio sumenda, habeat ad rectam aliam N. Eandem vero halleat Nad tertiam O. Dico vim centripetam, qua eorpus a perpetim urgetur, ad vim centripetarn aliam, qua perpetim urgetur corpus b, proportionem habere quae componitur e proportione rectae Μ ado, S. ratione rectarum S B, sb contrariὰ ; sive eam, quam hahet redi.ingui uni M κ ad rectangillum O ASB. Rectar enim sn, εδ circulis iterum in ptinctis G, g occurrant. Si arcus en, bd infiniteminitantur; Vires centripctae, quihus urgentur corpora B, b, tu locis B, b, inter se rationem gerent, qliae rectarum evanestenti itin ciγ, cu ultima erit. Prop. I. Cor. 4. ofitendendum igitur harum evanescenti uni ultimam inter ipsas rationem eam este, quam reet angillum M X s, habet ad rectangulum ο κ sn. Id autem ostendimus hoc modo. Rectangula Co X CD, re A ia, quadratis ex Ec, M sngulatim sunt aequalia. El. m. 36.ὶ Et evanescentibiis arcubus BD, bd, tangen Ies vc, A arcubus illis Bi , bd fiunt ultimo aequales sper Lem. v xi. Tangentes igitur BC, D eva