장음표시 사용
91쪽
semper tendit, locetur in circumferentia hujus circuli, puta ad vς erit Vis centripcta reciproce ut quadrato-cubus altitudinis s P. Corol. 2. Vis, qua corpus P in circulo APTU circum virium Centrum S revolvitur, est ad vim, qua corpus idem P, in codem circulo Meodem tempore periodico η circum aliud quodvis virium centrum R revolvi
ad orbis tangontem, PG, ducitur, M distantiae corporis a secundo Virium centro Parallela est. Nam, per constructionem hujus Propositionis, Vis Prior cst ad vim posteriorem ut BPqκ PT cub. ad SPqκPV cub. id est, ut sΡκRPqaci
Corol. 3. Vis, qua corpus P in orbe quocunque circum virium centrum S revolvitur, est ad Vim, qua corpus idem P in codem Orbe codemque tempore Periodico circum aliud quo luis virium ccntrum ii revolvi Potest, 1it SP κRPq, contentum utique sub distantia corporis a primo virium contro, s, M quadrato distantia Uus a secundo virium centro, R, ad Cubiam reditu SG, quae a Primo virium centro s ad orbis tangentem PG ducitur, M Corporis a secundo virium centro distantiae RP Parallela est. Nam viros in hoc orbe, ad ejus Punctum quodvis P, caedem sunt ac in cim culo ejusdem curvaturae.
Nimi aura idem ponendum est tempus periodicum, ut areis, eireum centra diversa deseriptis, temporum, quibus describuntur, proportio mancat. Corollaria enim Propositionis sextae, quibus nititur h:ec I ropositio, commune illud omnia sundamentum habent; ira ari inter areas tempo-rtim proportiones. Atque hoc posito, Omnia illa corollaria de vii ibus centripetis, quae vel diversa. centra, vel idem respiciant, aeque vigent. ' l'κοντER T , sa parallelas, anguli Tru, psG inter se aequales. El. I. a9. Et cum recta pG tangat circulum Tru, quem VP secat, idcirco anguli PT v, s PG inter se aequales. El. III. 3 a. Angulus igitur Pu T angulo sGν aequalis, & triangula vPT, GsP inter se similia, & Pu: PT α sci raria.
mi Le Maer'yacquierψ, Ad axem utiquet LEMMA H. I. Siv Ellipsis vel Hyperbola eii iis centrum e, semiaxis transversus tu , secundus e . Si recta
92쪽
P R O P. VIII. P R O B. III. Moveatur corpus in femicirculo PQA: ad hunc effectum rEItabitur lex Uis centri priae tendentis ad punctum adeo Iovinquum, s, ut lineae omnes, PS, Rs, ad id ductae, pro parallelis haberi mo t. A semicirculi centro C agatur semidiameter C A parallelas istas perpendiculariter secans in M M Mia jungatur CP. ob suntlia triangula CPM, PZT, M RZin; est CPq aclPMq ut PR,7 ad QIq : M, ex natura Circuli, PR 7 aequale est rectangulo
, hoc est neglecta ratione determinata reciproce ut PM cub. Q. E. I. Idem facile colligitur etiam ex Propositione Praecedente. Selesium. Et argumento haud multum dissimili corpus invenietur moveri in Ellipsi, vel etiam in Hyperbola vel Parabola, vi centripeta, quae sit reciproce ut cubus ordinatim applicatae 'λ ad centrum virium maxime longinquum tendentis ςς).
recta P t eurvam in puncto P contingat, reeiaque pn, a puncto p ad perpendiculum eum contin gente educta, axi tradisverso in D occurrat, secundo in E; recta pn ad dimidium parametri principalis rationem habebit eam, quam semidiameter, quae eum contingente est parallela, ad lemiaxem secundum. Eademque ructae PE ad dimidium axis transversi ratio erit. Ducatur per eentrum e semidiameter Cr' cum eonis tingente PR parallela. Dico primum, Pr esse ad dimidium parametri principalis ut CP ad Cn. Inveniatur sectionis eonteae umbilicus, C. Ab illo C in contingentem p xt deducatur ad Perpendiculum recta GR. Jungatur Cp, & in C. p. a puncto n. dedueatur ad perpendiculum recta 1 κ. Anguli recti ad , Η, κ, inter se aequales sunt. Et propter parallelas, ori, ro, anguli uGr, Krt inter se aequales El. I. 29. Quare M pG, Mor inter se aequales, & triangula it CP, Kdo inter se εἰ milia erunt. Erit igitur a P ad su ut pD ad νκ. Sed cν est ad oti ut cr ad cn, illamilton. II a Conie,
93쪽
P R O P. IX. PRO B. IV. GFretur corpus in spirali pus fecante radios omnes SP, SQ , θρα. in an rῖιD GIo requiritur lex Gis centripetae tendentis ad centrum spiralis.
Detur angulus indesinite Parvus P Sin, M ob datos omnes angulus dabitur specie figura sPRQT. Ergo datur ratio--, estque
2 ut stet, hoc est ob datam specie figuram illam ut fp .
Conie. Lib. II. 3 i. D p x aequalis est dimidio parametri principalis Hamilton. Conic. Lib. II. a . Erit igitur νn ad dimidium parametri principalis ut cν ad cn. Quod primum demonstrandum erat.
Dico secundo eandein esic rectae PE ad CR rationem : sive PE esse ad C A ut CT ad CB. Recta PR, a puncto p in utramque partem prodiicta, axibus, si opus si, prodiretis, in punctis R, s, occurrat. Propter angulos rectos Rr , Ros, angulumque ad R triangulis duobus fac, DR communem, reliqui illorum anguli a Dp, Rs C inter se aequales erunt. Rectus autCm, RPI , recto Ers aequalis. Triangilla igitur RPD, Ers, inter se similia, & κγ: pD α L pers. El. v I. 4. Ret angula igitur Rν κ ps, Epκpn inter se aequalia. Rectangulum autem RP κ Ps quadrato excr aequale est. ΙIamilton. Conte. Lib. I. st. Rectangulum igitur Ep κ pD quadrato ex Cp aequale erit. Ae propterea rectangulum EP κ PD erit ad quadratum ex PD, hoc est, Ep erit ad pD, ut quadratum ex cr ad quadratum ex PD. El. V. 7. sed, per Partem primam hujus Lemmatis, quadratum ex cu est ad quadratum ex ro ut quadratum ex co, rimidio axis secundi, ad quadratum ex dimidio parametri prinei palis ; hoc est ut cΑ, dimidium axis transversi, ad dimidium para. metri principalis. Erit igitur 1r ad PD ut CA ad dimidium parametri principalis. El. v. 11. sed, per partem primam, rD est ad cp ut dimidium parametri principalis ad ca. Erit igitur ex aquo Ep : CP CA : cs, & Permutando EP : CA α CP : CB. Q . E. D. Cor. i. Rectangulum sub Er, ro aequale est quadrato e cimidio diametri, quae eum continia gente rR Parallela est. Cor. a. Ep est ad PD ut axis transversus ad parametrum principalem. Ex his Deilis erit demonstratio ejus quod Ne tonus dicit, Vim, qua corpus retineatur inoibe conico, si illa agat secundum restas ad axem orbis ordinatim applicatas, esse eontrarie ut cubus ordinatae. Sit arx sectis, eonira, euius axis cA ; & per Curvam pAserri intelligatur corpus mobile, urgente vi quadam, quae sese eundum rectas ad axem cA ordinarim applicatas corpus perpetim impellat. Recta P a contingat curvam DPA in P, Pro ductaque axi cA in puncto 2 occurrat. A puncto P ducatur recta pN ad axem EA ordinatim, rectaque PD ad perpendiculum eum contingente, quae axi CA iii D occurrat. Deniisque ab alio quovis curvae Puncto, π, agantur τRN, Tina illa cum re tia PM, haec cum axe CA Parallela. Erit igitur, propter rectas RN, pΜ inter se parallelas, RP: MN vel ψ α 2P:EM. El. vi. a. Et propter triangula petra, D pN inter se similia, ZP : ZM α DP : PM. El. v I. 3I. 're Rr : ἈαDr: ν Μ Fl. v. i l. ac propterea a P : π α lip : pM . Iam si sectio contea μτAEl ipfis fit vel Hyperbola, & axis e A si transversus ille st; sit recta Mx aequalis dimidio lateris rectipi incipalis; & per partem primam Lemmatis, erit quadratum d recti rix ad quadratum ex Pi,, ut qua leatum ex axe secundo ad quadratum d diametro quae parallela est cum contingente pR : hoc est, ut rectangulum TRκRN Φ IN ad quadratum cx ra. IIamilton. Conic. Lib. I. 3I de 4o. Hoc
94쪽
Mutetur jam utcunque angulus Psin, Sc recta QR, angulum con Let tactiis QPR subtendens, mutabitur per Lemma XI. in duplicat 1 ratione ipsius PR, Vel QT. Ergo manebit cadem quae
ut pu . Quare vis, quae est contrarid ut Trita, erit eontrarie etiam ut ν M'. Q. E. D
TR TRSi vero ex semiaxis secundus sit Ellipseos vel Hyperbolae pet A ; sit ca ejusdem semiaxis transversus. Et pcr paricin secundam Lemmatis, quadratum ex cn erit ad quadratum ex Dp ut quadratum ex axe secundo ad quadratum ex diametro quae parallela est cum contingente pR ; hoc est ut re friangulum et ad quadratum ex PR : desgnante litera E reeiangulum sub segmentis rectae a pulicto κin axem ca ordinatim deducta', ipso puncto a curvaque interceptis. Erit inquam ea : Dp αE: P . Quamobrem cum ostensum sit cise i r ' : pM PR' : υ , erit ex aequo cu' e pM' 'Σ: υ . Invertendo pM :ch QTy:E. Sed CA':cu', vel, si Mae duarum CA, CB proportione tertia sit, ca': Mx α χ:τκκ NΦTN. iniam ex aequo PM : Mx 'r TR κ RN ΦTH. Vel ultimo, arcu ντ evanen
95쪽
prius, hoc cst ut fp 'ς' . Quare est ut sP cub. ideoque per Corol. I Sa s. Prop. VI. Vis centri ta est reciproce ut cubus distantitas P. Q. E. I. Idem aliter. Perpendiculum sY in tangentem demissum, Se circuli, spiralem concentrice secantis, chorda P v sunt ad altitudinem SP in datis rationibus ςς ; ideoque s P cub. est Ut sYqκPV, hoc est per Corol. A Sc s. Prop. VI. reciproce ut Vis centripeta.
ratae gramma omnia circa dat be Elgi eos Ces 'perlohe diametros Vrea is conjugulas dejcripta esse inIcrse aequalia. Constat cx conicis ). P R O P. X. PRO B. V. 1 cIur corpus in Ellipso requiritur lex Cis c Iripetae IendcnIis adcen rum rigilscos. Sunto CA, CB semiaxes Ellipseos; GP, Dic diametri aliae conjugatae ;
AD vim huius demonstrationis explicandam, ponantur sp 'esse arcae, quas corpus in spiria an illorum aequalium, circum euntium s circumactum, temporibus aequalibus descripsdrit. Agantur rectae pn,pr, Piae spiram in punctis P, ρ eontingant; rectae QR, ςr cum radiis sp, Ut, Parallelae; reet. vi te QT, Ψι ad perpendiculum cum illis radiis. Vis centripeta in loco ν ad vim centribietam in iccos rationem habebit eam cpiae arcubus, pst , pq, evanescentibus, solidi 22 Lquidem cum duabus QR, π, liaec vero elim duabus qr, qt proportione sit tertia, vis Gntripeta in loeo p ad vim centripetam in loeo p rationem habebit eam, quae ultima si solidi γ' κ ςE ad soli tum sp κ stet. Dicit autem Newtonus hanc esse eam, quae est e ubi ex V ad cubum ex sp. Fiat angulus 'κ an lo P et aequalia; & agantur γε, χου cum rectis ς' qt parallelae; & capiatur Ecum duabus xi, xet proportione tertia. Evanescentibus autem arcubus I G H, areus , ea lege fluat, ut anguli rsu , ssκ semimr fiat inter se aequales. Sectores igitur SPQ , Uχ, e natura curvae, erunt inter se suntlcs ; trapeata quoque PT iis, fra inter se similia erunt. Erit igitur cui ad ατ it χν ad χτ. Ergo & QR : 'ακ ὴ : χτ . Sed mi': QT'απι : 'η, & : n : E ita Delum enim . Ergo stet : Qt ri t. E. t El. V. 3 i. Permutando QR : M ' Qκ : H. Sedu 3 : xem l : sp ob smilitudinem figurarum se Ruae, Ergo Q κ:χζαsr: v. Et hoc est quod dicit Newtoniis, data specie figura seno τ, esse ut ur, Iloe est ut fp. Evanescen- vittibua
96쪽
gatae ; PF, QT Peri endicula ad diametros; Qυ ordinatim applicata ad diametrUm GP ;8d si compleatur Parallelogram in Q UPR, erit ex conicis rectangulum PCG ad QV quad. Ut PC quad. ad CD quad.
est ad QT quad. Ut PC quad. ad PF quad. Et conjunctis rationibus, rectangulum P vG ad QT quas ut PC q&ad. ad CD quad. M PC quad. ad PF quad. id est, UG ad ut PC quad. ast - Scribo QR pro Pet , R per Lemma XII BCκCA pro CD κ PF, ncc non punctis P M Q coeuntibus 2PC Pro CG, Τί ductis extremis Sc mediis in se mutuo, si et aequalo bE QUO Per Corol. 5. Prop. VIJ Vis centripeta reciprocu ut -'; id os ob clatum ancqκ CAq reciproce ut; lioc est, directe ut distantia PC. Q. E. I.
tibiis autem arcubus x, Μ, ratio ultima evanescentis γε ad evanescentem rq ea erit, quae eth qu dici i ex ad quadratum exstr. Lemma xl. Cor. t. Sunt autum ju, pr inter se sicut reetae. pune: is e, r in rectam sρ ad perpendiculum demisi e : ac demissae illa: iunt iliter se ut xv, quibus sunt aequales. s Nimirum eum rectae εχ, rq pirallelar lint cum ruf:as b, metaeque χτ, qt,. in eandem ad Perpendiculum sint demissae. adrata igitur ex illis te, pr sunt inter se sicut quadrata ex iliis , qt. Erit igitur x. ad yr ultimo ut quadratiam ex χτ, ad quadratum ex gi; hoe est, cum quadrata eX χr, qt, reerangulis ri κφqr κ qm sint a quilia, erit χρ ad qr ultimo ut κ κζ ad qr κ qa. Est autem ra ad qr sicut rudiangulum χ ο κ χς ad rei tannulum qr κ DL AC proinde H κ χς erit ad qr κ χζ ultimo, ut κ γζ ad yr κ qn. Sunt igitur rectangula gr κ E, F κ Ψα ultimo inter se aequalis. Ac propterea reet.e es, ultimo inter se sequales. Et hoc
est quod dicit Newtonus, mutato utcunque angulo Pistorianere -- eanciem quae Pr.us fuerat. Quare cum ostensum sit, esse sp : P QI : H, erit ultimδ δεχ r qe sp r Sp. Q ramobrem solido-rimi si ' κ stet, sp κ ρα rario utrima cuborum ex sp, v inter ipsos ratio erit. Nimirum cum ratio utraque, ultima illa, & cuborum inter ipsos, ex eisdem componatur. Qi. E. I . Nam, propior angulum ad y datum, chorda Pu erit ut radius circuli; ta radius circuli, obmutuam partium figurae limilitudinem, erit ut fp Emer onus au item. Is Ilamilton. Gnic. Lib. IV. I. πὶ Propter illas Q , cx inter se parallelas, anguli Qτ, res erunt inter se aequales. El. I. 20.3 Anguli etiam recti Q τυ, pro inter se aequales. Reliquus igitur τ πν reliquo pro aequalis, bc triangula mi T, rcv intcr,similia erunt El. v I. 4.
97쪽
In recta GP, ab altera parte Pum: i Υ, sumatur punctum v, ut Tu sit aequalis insi Tυ ;
deinde cape uv, quae sit ad usi ut est Do quad. ad PC q&ad. Et quoniam ex conicis est QT quad. ad PCG ut DC quam ad PC quad. erit QV quad.
tum chordae archis PQ aequale rectangulo VPυ
COM sit ex conicis qnadratum ex . ad rectangulum petra. tri quadratum cT DC ad quadratum Ex PC, quadratum autem ex DC ad quadratum ex rc ut tiv ad τc ex eonstructione ei it quadrarum ex v ad rectangulum hic ut uu ad ic El. v. it. hoc est, ut rectangulum κ M v ad reeiangulum piG. Quadratum igitur ex ιυ redi angulo is κ uV aequale erit. El. v. q. Quare ii utrique addatur reeiangulum usti, duo illa, quadratum ex ν & rectangulum uret , simul sumpta duobus rectangulia uv κ pes up κ ri, simul sumptis, hoc est El. II. t. ree angulo Vrς, πqualia crunt. Sed, propter angulum ad T rectum, angulus πιν recto major erit. El. I. 16. Ae propterea quadratum ex ur, qnadratis duabus π, υν, & duplo rcet anguli τυ χ ir, tribus illia simul sumptis, aequale erit. El. II. I r. Rursum propter rectam uet , rccia: Tm duplam lex comi ruetione rectangulum kυ κ ip rectanguli τυ κ υν duplum erit. Duplum igitur rectanguli τυ κ mr cum quadra zo eX mP, re tangulo Q κ ir cum quadrato ex mr, hoc est, s El. II. 3. rect-vngulo uru, requale erit. Et quadrato ex is communiter addito, sient tria illa, quadrata exv et id, & duplum rectanguli τυ P, h.ec inquam tria, quibus quadratum ex in modo ostendi. mus aequale, duobus, quadrato ex sty & rectangulo tiri, simul sumpta si inui sumptis, aequalia erunt. Sed quadratum ex π cum rectangulo υνυ rectangulo uri ossenti m est aequale. Quadratum igitur ex Rr rectangulo VPm se ut pronunciavit Newtonus, aequale erit. RECTA enim 1 centro virium e in tangentem p ad perpendiculum donissa rectae pr aequalis erit. Nempe chm opposita sntillae parallelogrammi latera. Conpo A duo, urgentihus viribus quae centrum commune C respiciant, serri intelligantur in orbibus ellipticis An D, T r , quorum idem centrum C. Dicit Newtonus conversionum tempora inter se aequalia esse. Nos autem ostendimus quod Newtonus dicit ho et modo. Sint AD, τε ellipseon Anii, τι E axes transversi ; sint cs, Cp secundi earum semi. xes. Et axe transverso AD, centro C, scriptam puta ellipsin Ai in ellipseos τrg similem, & hujus ARn sit cis secundus semiaxis. Urgentibus autem viribus quae centrum idem C respiciant, ferri intelligatur ter
tium corpus per cilip lm Dil A. Sint DCM. Dcci areae ellipicon D SA, Dis A motu corporum eodem tempore descriptae. A punetis G, κ ducantur GL, ΚΜ ad axem An Ordinatim. Tempus con
versionis integrae in ellipsi ApD erit ad tempus quo simul deici ibuntur areae DcΚ, DCC, ut arca tota
98쪽
65 PRINCIPIA MATHEMATICA.2 PC ; i lcoque Pu aequalis erit Proinde Vis, qua corpus Planet
in ollipsi revolvitur, erit reciproce ut -s in PFq V per Corol. 3. Prop. vi. hoc est ob datum et D cq in PFq) directe ut PC. Q. E. I.
Corol. I. Est igitur vis ut distantia corporis a Centro ellipseos: Sc vicissim, si vis sit ut distantia, movebitur corpus in ellipsi Centrum habente in centro virium, aut fortu in circulo, in quem utique cli ipsis migrare potest.
Corol. 2. Et aequalia erunt revolutionum, in ellipsibus uni- Versis circum centrum idem factarum, periodica tempora. Nana
tempora illa, in ellipsibus similibus, aequalia sunt per Corol. 3 M8. Prop. IV. in ellipsibus autem communem habentibus aXem majorem, sunt ad invicem ut ollipseon areae totae directe, M area
rum particulae simul descriptae inverse; id est, ut axes minores directe, Sc corporum velocitates in verticibus principalibus inverse; hoc est, ut axes illi minores dircete, M oΠlinatim applicatae ad idem punctum axis communis inverse; M propterea ob aequalitatem rationum dircetarum 8e inversarum in ratione ae
tota ellipseos Ann ad aream nex. Atque tempus illud, quo simul describuntur arcae DCK, Des, erit ad tempus conversionis integrae in ellipsi i,uΛ ut area Dciand aream totam ollipseos i,MA. Tempus igitur eou- versionis integrae in ellipsi naA ad tempus conversonis integrae in ullipsi Dii A rationem hal Febit cana, quae composita est e raticine cli ipseos Di:A ad leetorem DcR. sectorisque D ca ad ellipsin Dii A ; hoc ecti, quae conq*osita est d ratione ellipseos una ad ellilisti Dii A. secto risque Dos ad suciolum DcK. Sed area ellipseos ni Aerit ad aream ellipseos Dil A, ctari usem traiisversiani illae communem habeam, sicut illius lemi .ixis minor, est, ad hujus semiaxem minorem Cis. culina IV. Cor. H. I. Tempus igitur conversi nus interite in ellipsi Da A ad tempus conversionis integrae in ellipsi D, Λ rationem huhebit eam, quae composita uti urationibus rectar Cn ad metam Cu, luetorisque Deci ad suetorem Dec. Neque huic rationi ossicient arearum DCC, DCK magnitudines, ni agnae parvaeve illae fuerint, niodo corporum motu simul fuerint descriptae. Tempus igitur conversionis integrae in ellipsi on ad tempus conversionis in. tegrae in ellipsi Dii A rationem habebit eam, quae componetur . ratione rectae cn ad rectam c::t, cum ea, quae, arcubus DG, DK insnite imminutis, evinescentis sectoris nca ad evanescuntem l ex ultima erit. Haec autem ratio ultima, rectarum quoque Ct., ΚΜ evanescentium ultima iniuripsas erit. Nimirum cum sectores Dcc. Dcia triangulis cia L, curui sunt ultimo aequales, et brectriangula, propter bases c L. CM ultimo aequales, sint ultimo ut GL, ΚΜ evanescentcs ipsorum altitudines. At si iuncta Gx axi AD producta in ν occurrat, rectarum Gr. , κM ratio ultima illarum C. P. PK ultima quoque inter ipsas erit. Tempus igitur convertionis integrae in ellipsi DaA, ad tempus conversionis integrae in ellipsi ni Λ rationem habebit eam, quae eooaposita est e ratione data ruriae CB ad c Η, cum ea quae rectarum evanescuntium or, i x ultima inter ipsas erit. Dueatur DN, quae ellipses in illarum vertice eommuni. D, contingat. Et a punetis G.. κ, ducantur GN, R. cum axe An parallelae, quae eontingunti, in punctis Η, o, occurrant. Jam csim motu corporum in ellipshus DuΑ, DBA, areae DCκ, occi smul deseribantur; areis illis infinite imminutis, rectae evancicentes CN, KO cri ni inter se ultimo ut vires centripetae, quibus corpora, in luco D, verius eςu
99쪽
Si Ellipsis, centro in infinitum abeunte, vertatur in Parabolam, corpus movebitur in hac Parabola ; M vis, ad centrum infinitudi stans jam tendens, evadet aequabilis. I Ioc est theorema G linei. Et si coni sectio parabolica inclinatione plani ad conum stetiam mutata Vertatur in IIyperbolam, movebitur corpus in hujus perimetro, Vi centripeta in centrifugam versa Et quem admodum in circulo vel cli ipsi, si vires tendunt ad centrum figu-
t nim C trahuntur- Ptop. I. Cor. 4. Quamobrem, cuin eadem vi ecntripeta, in loco D, corpus utri inque urgeatur, rectae illae MN, Mo erunt ultimo inter se aequales. Recta igitur Gx erit ultimo lillem cum continis gente i , N parallela, ae Proincle nil axem At, ordinata 1 v. mescentium igitur cv, ν ζ ratio inter ipsis ultima ea
erit, elu:e est cardinatarum inter ipsas quibus abscissa esti', communis. Atque liwe cit, axium c iι, cn inter ipsos data ratio. Tempus igitur conversionis in ellipsi os Anii tempus coiiversionis in ellipli Di A rationem habebit
cam, qu:e composita cit u ratione rectae Cit ad ciι, ruetaque cit ad cnia Tenaliora igitur convertit nunt
in elliptilius ut A, Duri erunt inter se aequalia. Et lipses autem Du A, Err, cum sint inter se similes, &eorpora in ellipsibus illis retineantur viribus, piae commune illarum centrum C respiciant; ideirco vires illae, secundum propositionem x, erunt ubi suu ut ditialitiae corporum a centro ; & couversio-nturi in his elliptibus tempora erutri inter se a qualia. Prop. t v. Cor. 3 & 8. Hoc eli tempus convertionis in ErT tempori conversionis tu i ii A aequale. Huic autem templis conversionis in unA Otaiensum est x litate. Tempora igitur conversionunt in elliptibiis liti Α, Κν τ inter se aequalia. LE. D Cor. H. Si ad axem Aii, qui ellipsitim ni:A, Dii A transversus cii communis, agatur quaevis sordinatini, quae ellipses in punetis R, tr secet; iunctis cR, CR, sectores elliptici iici, lac nolucorporum limul describuntur. Ae proinde rena ex , qu:e Puncta illa clii plium, ou A, una, jungit, quae eorpora mobilia, si ὰ loco D simul fuerint egresta, limul appulerint, recia inquam uet quae haec puncta iungit, non modo ultimo, sed semper quidum ad axem elliptium et Himilitiem Ai, ordi
nata erit. Sectores enim DCR, ncinerunt inter se ut Cri ad Cis, hoc est ut areae totae ulli plium quarum sunt rectore - tamma iv. Cor. H. I. Permutando, area tota ellipseos Dufi, ad sectorem vox ut area tota ellipseos Dii A ad sectorem Dcin. Eil autem arca tota ultipleos Dan ad sectorem DCR ut tempus conversionum in ellipsibus oli A. Dii A ad temPus quo describitur sector Dcκ- Prop. I. in Et area tota ellipseos Dii A ad suctorum DCQ sicut idem lcmpus coiiversionum in clia
lipsibiis DBA, Dii Λ ad tempus quo deteribitur sector ocul Tempus igitur conversioni im in Ellipsibus ad tempora quibus describi intur sectores DCR, Dci eandent rationem habui. El. v. I . . Quare tempora quibus sectores illi descri huntur inter se aequalia ei tuit. El. v. 9.ὶ scctores igit uvilli limul describentur, si eorpora nitibilia e loco D suiuii egressit sucrint. Q. E. D. ηὶ Vide Tom I. Excerp. ex Epist. Iv. Not. ' . SINT Curvae ALC, AD E axe eommuni As, quae eo modo nil se mutuo snt aflectae, ut ordi natis quibuli is, ah coilcm axis puncto exeuntibus, data qutidam ratio intereedat; unde illud etiam consequetur, uti
urcis cum arum totis, si ex earum quintum genere sint quae in Orbem redeant, vel parti laus earum ad communem quamis libet ordinatam terminatis, cadum data ratio in tui cedatia Lemnia Cor. IV. t Iii liis Curvis ferri ii telliganti ir cor pora, viribus centripetis, quae Cuntrum s in axe communi.
positum respiciant, solli irata; atque ea quidem lego, ut
tempora conversionum integra, si Curvae ex earum gcnere
sint quae in orbem redeant; aliter vero, ut tempora, quibus insoluuiuux
100쪽
mae in abscissa positum; hae vires, augendo vel diminuendo ordi-Lima natas in ratione quacunque data, vel cliam mutando angulum 'inclinationis ordinatarum ad abscissam, semper augentur vel diminuuntur in ratione distantiarum a centro, si modo tempora periodica maneant aequalia; sic etiam in figuris univcrsis si ordinatae augeantur vel diminuantur in ratione quacunque data, vel
angulus ordinationis utcunque mutetur, manente tem POTE PCriodico ; vires, ad centrum quodcunque in abscissa. Positum tendentes, in singulis ordinatis augentur vel diminuuntur in rationuclistantiarum a centro mm).
nbsolvuntur sectores quidam tutinis abscissa est communis, inter se aequalia snt. Asntur quaevi
Dr ad axe in sA ordinatim, quae axi illi in puncto F, curvis in B, D occurrat. Jungantur si , SP. Dicit Neri tonus vim centripetam in loeo e esse ad vim centripetam in loco D ut sn, ad AD. Nias autem ostendimus quod Newtomis dicit hue inodo. Ducatur alia quaevis i G ad axem As ordinatim, quae axi in G, curvis in punctis C. E occurrat. Iam cum tempora, vel convertionum tota, si curva utraque in orbem redeat; vel, ii in orbem nenina redeat, tempora tamen quibus abirilvuntur 1 cetores quidam, quibus abscissa eli communis, sint inter se aequalia ; ex eo consequetur, tempora, quibus quilibet lectores quorum abicissa est communi absolvuntur, esse etiam inter se aequalia. Id enim eadem argumentatione obtinebimus, qu.t corollarium nostrum e corollario New toni seeundo demonstravimus. Iune is igitur, sc, fg seeiore As ii, Λs D, quorum communis est abscissa Ar, simul delerit,entur, si eorpora limul loco Λ exierint; nec non sectores Ase, ASL quorum abscissa AG uil communis. Corpora igitur, cum ad loca n, n ea simul appulerint, atque rursum :id loca c, E simul, sectores nsc, D E simul descripterint. Ducatur recta no, qu: e curvam Anc in B contingat. H uc axi s A in o occurrat, et jungatur ori. Propter datam ordinatarum, Pn, ro, inter ipsas rationem, ordinatae illae cum fluxionibus suis pro-Ρortione convenient Geometr. Flux. Prop. rv.) hoe est ro: ra m pD: vn. Et cum OB curvam ALCin B contingat, erit rn : o a r AF. Erit igitur ex aequo ru : ro D: AF. Quare reEia ora curvam Ai γῆ in ιν. continget. Actis igitur ii punctis C, x rectis ci , Eu cum illis sn, sit parallelis. quae reetis os, o D in punctis is, x occurrant, vis centripeta in loco a ad vim centripetam in locor, rationem habebit eam, quae sectoribus L sc, iis si infinite imminutis, eranescentium cu, LM ultima inter ipsas erit. Ostendendum igitur hane mationem ultimam eam esse, quae est reetae s B ad si Agatur Ct cum axe s A parallela, quae contingenti on in Ioccurrat. Per I ducatur miri cum Ordinatis ad axem s A parallela, quae axi in n, eoni ingenti OD in oecurrat: & iungatur Em. ProΡ-Ier reditas duas cis, cicum duabus sn, so parallelas, triangula uch aso inter se sinitia erunt, MCu crit ad Ct ut FB ad So. Propter rectas Pi,, ma inter se parallelas, erit in ad G ut PB ad n D. Est autem, propter illam quae posita est cum arum ad se mutuo affectionem, FB ad D D ut G C ad ME. Ergo Herit ad Lu ut G C ad OE. El. v. it. Sunt autem nt. GC inter se aequales, utpote quae parallelogrammi nc adversa inter se sint latera. Erunt igitur Se G, Ec inter se aequale .έ El. v. I 4.3 Sunt autem ex constructione inter se parallelae. Quare LM, CI parallelae etiam inter te & aequales erunt. . El. I. 33.ὶ Et Em, cum ea sit paralleis cum CL parallela erit cum axe so. El. I. 3o. Duae igitur L M, EM, cum duabus sis, sci sunt parallelae. Unde consequetur, trianis gula Exin, Iaso inter se similia esse, atque Ex esse ad Lis, vel illi aequalem cI, ut so ad so. Sed cicii ad cu ut so ad sa. Id enim iam ante ostensum est. Ex aequo igitur Lx erit ad Cu ut so ad a. Et invertendo cit: Lia α sn: su. Neque huic rationi cisti ei et sectorum csc, D, E magnitudines, magni illi parvi e mutilat. Sedioribus igitur illis, regressit puneiorum E, C, ad manentia i , v, in finire imminutis, rectis evanescentibus cu, Eia eadem inter ipsas ratio, quae est rectis su , SD, Vel ultimo manebit. Quamobrein & vis centripeta in loco ii erit ad vim centripetam in loco D ut suad sD. Q. E. D. Verum dicit Newtonus idem obtinere, et lain si ungulus ordinationis utcunque mutetur. Hoc nutem vere dici rationibus ex iisdem sere sontibus verivatis facile erit Ostendero, modo Priur quRinunte dietum est paulo e datius e Posuerim. .