장음표시 사용
81쪽
Da Moru vires centripetae sunt in ratione comuosita ex ratione radiorum
directe, la ratione duplicata temporum periodicorum inverse ). Corol. 3. Unde ii temii ara periodica aequentur, Sc Propterea velocitates sint ut radii; crunt etiam vires centripetae ut radii: Mcontra.
Corol. 4. Si 8 tempora periodica, Se velocitates sint in rationesu,tuplicata radiorum ; aequales erunt vires centripetae inter se et
nescentes. arcuum evanescentium ultimo inter se rationem habent: linc est, datam rectarum M, Militer ipsas rationem. Quare quadrata ex BC, b. 'evanescentibus, quadratorum ex H, N, sive rectarum N, O, ultimo inter se proportionem induunt. Quare rectangulis quoque c;Cκci , gι κ cii evanescentibus proportio ultima ea erit, quae est rectae M ad rectam O. Rectangula autem GC κ Cn. ge κω evanescentia evanescentibus GD κDc, κ δ ultimo aequalia fiunt; ac proinde evanescentium snκ Dc, sdκdc, ultimo illa dupla sent. Rectangula igitur
centibus sn κ DC, sd κ de proportione ultimo conveniunt. Rectangula igitur so κDc, sdκ d.' evanescentia d.itam ultimo rectarum M, O inter se proportionem gerent, sive rectangulorum Μ π sd, ο κ ad datam.
um sn κ de ut rectangulum O κ sd ad rectangulum ο κ sit. Neque huic rationi olliciet rectae eae magnitudo, magna illa parvave merit. Ex xquo igitur rectangula evancstcntia sDκ Dc, s D κ M. hoc est rectar Cis, ed evanescentes, rectangulorum M κ sa, O κ sit sive M X G, ο κ sa ultimo inter se Proportionem gurent. Atque cailcm viribus centripetis intur ipsas ratio intcrcedet. in E. D. Cor. H. Si capiatur se ejus longitudinis, ut fp. habeat ad illam sE, proportionem illam, quam N ad o I vis centripeta, qua urgetur corpus n, erit ad vim centripetam, qua urgetur corpus b, ut 3 al sE. Nam ratio rectae G ad illam fg componetur E rationibus Huldem sb ad SB, & sn ad sE ;hoc est, e rationibus sb ad 1s, Κ M ad O. Et ex eisdem composita est ratio rectanguli M κsb adrectangulum O κ sa. Quare sb erit ad sE ut M κ sb ad G κsa, hoc est ex modo ottensis ut vis centripeta corporis B ad vim centripetam corporis b. in E. I
PRIMUM quod assumpsit Newtonus, Tempora periodica habere inter se rationem d ratione radiorum cum velocitarum contraria eompositam, ' id nos ostcndi inus linc modo. Habeat recta p, pro arbitrio sumenda, ad rectam aliam et proportionem eam quam tempus conversionis corporis Bad tempus conversionis corporis b. Dico rectam p ad rectam curationem habere eam, quae componitur e ratione sB ad sb, & ratione velocitatum contraria, sive contraria rectarum M,N ; nimirum cum rectae illae M, N sint ut velocitates. Vel quod idem est, dico P ei e ad et ut rectangulum sn κ N ad rectangulum sb κ M. Sunt enim circuitus circulorum spatia a corporibus z, b, Lonversonum temporibus, quae tempora sunt inter se ut p, singulatim consecta. Atqui circuitus circulorum proportione conveniunt cum radiis. Radii igitur an, s3 erunt intcr se ut spatia, temporibus, quae sunt ut P, uti motibus aequabilibus consecta. Et rectae Μ, N sunt inter se ut velocitates quibus spatia illa conficiuntur. Quare rectangulum sn κ N erit ad rectangulum sb κ Μficut P ad c per Theorema v . Galilaei De Motu . Duabili). R. E. D. Hoc autem ostenso, consequetur illud quod Newtonus affirmavit, vires centripetas rationem inter se habere ex radiorum ratione eum duplicata temporum contrariὶ sunt Plu eon Positam. Hoc est si capiatur a , quae proportione eum duabus P, raertia utique conveniat, erit vis centri Peta corporis B ad vim centripetam corporis 3 ut rectangulum svκ R ad rectangulum eb κ p.7 Nam
82쪽
Cores. s. Si tempora periodica sint Ut radii, x ProPterea Ve-Ibi a locitates aequales; Vires centripetae erunt reciproce ut radii ):
Corol. 6. Si tempora periodica sint in ratione sesquiplicata radiorum, ia Propterea Velocitates reciprocu in radiorum ratione subduplicata ; vires centripetae erunt reciproce ut quadriata radicarum e M contra ).
N:im eum p ad a rationem habeat e rationibus rectae N ad N rectaeque sa ad so compostula, qua .dratum ex illa P ad quadratiam ex u rationum habcbit, quae componitur e rati inibus quadrati ex Nad quadratum ex M & quadrati ex sn ad quadratum ex s9. NM Est, si capiatur cum duabus f s. s, proportione tertia, cum sit res v r si ὀc praeterea o ad M ut Ny ad M'; ha. hehir p ad R rationem e rationibus o ad hi et sit ad sp compositam. Est autem O ad M ut xx ad is eonstruet. Cor. H. in Habebit igitur P ad R rationem e rationibus f E ad sa. & sta ad sp com politam. Ex eisdem autem comPolita est ratio ipsius sE ad sF. Erit igitur ν ad n ut sis ad , F. Ratio igitur rectae sΕ ad se, quae composita est ἡ rationibus rectar IE ad Ir, recta que s r ad sh; ea componetur e rationibus rectae r ad R rectaeque s r ad fib. Hoc est, e rationibus rediae P ad st recista que sb ad sn. Tres enitu B, s b, s P proportione conveniunt. Ita enim saetum est. Erit igitur sE : sbαν κ sb: R κ sn. Invertendo sb :sE rasa κ R: 3bκ P. Est autem sb ad sx ut vis centripeta corporis a ad vim centripetam corporis b. COr. H. Erit igitur vis centripeta corporis v ad vim centripetam corporis b, ut rectangulum su κ R ad rcctangulum sue κ P. Q. E. I . CApiΛTUR sis duarum s B, sb proportione media. Et sit p ad et ut xll ad su. Dieit Newtonus vires centripetas eorporum x, b aequales esse. Erit cui in P : v I su : sn . Ergo p : κ -s iii sb. Re tangula igitur, PNsb, R κ sa inter se . eipialia. Vires igitur centripetae, quae sunt utreet .mgula illa sper Cor. a. inter 1 e aequales. E contrarii , si aequales sint vires centripetae. erit p ad nec non hi ad N, ut su ad sit. AEquatis enim viribus contripetis. rectangula suκR,sbκ ν inter se aequalia erunt Cor. a. Ergo ν : R sn: sb; p : QTrsu' : sil ; & γ : h.' sa: sti. Jam vero, cimi r sit ad Q ut sa ad sit, erit per Cor. a. sn κ N: G κ Μαsn : si rasa κ N: su κ N. Quare sι κ M α si κ N. Ergo hi : Nα sit: S, T su : sis. in E. D. μ) Per Cor. I. Capi Arva sc ad quam sF proportionem habeat eam quam sb ad fr: ut quatuor illarum fa,sp. sr, sκ continua sit analogia. Ratio igitur rectae sn ad sκ tripli eata erit ejus, quam sa habet ad , ι. Et ratio rectae' p ad R duplicata est ejus, quam recta P habet ad O ; sive eius, quam tem Pus conversionit corporis 2 habet ad tempus converisionis corporis b. Dicit Nerit onus, ii ratio duplicata temporum eadem sit, quae ratio triplicata radiorum; hoc est, si P lit ad R ut so ad xx, fore ut ratio velocitatum cadem lit, quae radiorum subduplicata contrarie sinuta : live ut Μ iit ad N ut sit ad sar ac praeterea fore ut virium contripet.irum ratio eadem lit quae radiorum dupli est a contrarie suinpta ; iive ut Fb sit ad sΣ ut ,3 ad FB . E contrario, si cadem ponat vii virium cenis tripetarum ratio, quae radiorum duplicata est contrarie sumpta ; hoe est, si ponatur esse ,3 ad . κu: sb' ad say : dicit Newtonus, fore ut eadem lit temporum duplicata, quae radiorum triplicata ratio: sive fore ut e sit ad R ut sa ad , M. Primum vero quod dixit Nexutonus, Polito P : t ' s a z SK, re ut sit m : , ',u : ,s, id no; ossit enitimus hoc modo. Ratio rectae P ad R compulita est e rationibus ructae μου ad , ν recta que o ad M a id enim in demonstrando corollario secundo nos ostendimus. Erit igitur ν ad n ut redi angulum sv κ o ad rectangulum SP κ M. Sed P est ad R, ut s3 ad fg sid enim politum . Rectangulunt' igitur sη κ o crit ad rectangulum sp κ M ut s A ad sx, sive ut rectangulum sn κ o ad ruet angulum, κo. Rectangula igitur sF κ M, FK κ o erunt inter se aequalia. Quare M : o SK : si zzs, : sp. Nud Μ : o α M': N . Quare FU : N bb et iv Σ2sὐ : Mez si : sv . Ac propterea M : N α, Η : n.
83쪽
Corol. 7. Et universaliter, si tempus periodicum sit ut radii Rpotestas quaelibet R', M Propterea velocitas reciproci ut radii potestas R ' ; erit vis centripeta reciproce ut radii potestas n* : de contra . Corol. 8. Eadem omnia de temporibus, velocitatibus, Sc viribus, quibus corpora similes figurarum quarumcunque similium, centraque in figuris illis similitor posita habentium, partes clostribunt, consequuntur c demonstratione Praecedentium ad hosce casus applicata. Applicatur autem 1 ubstituendo aequabilem arearum descriptionem pro aequabili motu, Sc distantias corporum a centris Pro radiis usurpando. Corol. 9. Ex cadem demonstratione consequitur etiam ; quod
CuM sit ν : ααsn κ N : , b κ M Cor. a. si igitur sit ν : usta sa': sb , erit rasa κ N:s3 κ M. Quare sBκ N κ sb αsικ Μ κ su'. Et utramque quantitatem cum rectangulo sbκsa dividendo, set N κ sb' α bi κsa Ergo M : N sr ': si r . Ac praeterea cum stM: o M : N , erit M : o α , b '' : say' - . RcQangula igitur Μκ sue, o κ, ii suiit inter se ut quantitates sbφ' , say ' . Atqui vires centripetae corporum B, b, sunt ut haec rectangula. C r. i. Frunt igitur vires illae ut quantitates sa ', ις' ' contrarie sumptae. Q E. D. E contiario, si vires centripetae corporum B, b, sint inter se ut quantitates sc- ' , sb eon trarid si ut pix, crit P: αα : sb . Nam vires centripetae corporum B, b sunt inter se ut rectiadngula snκκ, εὐκν Cor. a. Quare si vires illae sint ut quantitates s s '' , sb ' eon trarib sim.p:ti , crit, κ R : sbκ e su ' . Ac proptelaea sn 'κ a m 93''κ p. Quare i : κ -sa ' : s, '. Sed p r R α py : Quare P : QT: SER': Fb '. Et P: udrasti' : sς. Q. E. D. Pr λ circuitum circuli Age, euius eentrum D, serri intelligatur corpus quoddam motu aequabili, urgente data vi centripeta quae ad circuli centrum D tendat. Ac interea, eadem vi centripeta corpus quoddam aliud in citatum recto easu seratur secundum rectam ΛD infinith productam. Sint Ε, ν, loca, quae corpora illa duo, E loco A simul egressi, eodem temporis puncto appulerint. Dicit Newtoniis, arcum circuli Ar, diametri illius Aci rectaeque Asi prostortione medium esse mod idem est, ac si recta La a puncto E ad perpendiculum cum
diametro Ac ediicta, quae eum circuli circuitu in B concurreret, junctaque An, dixissiet arcum Ar reetae Ax aequalem esse. Id nox ostendinnis hoc modo. Sint C, ii alia loca, qtiae duo corpora mobilia simul appulerint. rducta l. e nil perpendiculum redici GK, jungatur AK. Sint rectar Μ, Ν, arcubus AF, Aii singula ina aquales. Tum cum redi.e Ar, AG sint spatia, casu corporis, e loco A, aequabiliter accelerato consuc La data enim vis centripeta aequabilem motus accelerationem corpori cadenti necessario
affiret j ideirco nectae illae λου, AG rationem inter se habebunt temporum, quibus sunt confectae, duplicatam
84쪽
arcus, quem Cor S in Circulo, data vi centripeta Vniformitar.re-I
VOlVendo, tempore quovis describit, medius est proportionalis' inter diamctrum circuli, Se descensum corporis, eadem data vi, Codemque tem Pore, cadendo consectum ). Scholium. Casus corollarii sexti obtinet in corporibus coelestibus ), ut orsum collegerunt etiam nostrates Wrennas, molius ) IIa linius ; M l ropterea quae spe stant ad vim contripetam decrescentem in duplicata ratione distantiarum a centris, decrevi fusi is in
Porro praecedentis propositionis 8c corollariorum ejus bencsicio,
duplieatam sper Titeor. II. Galilaei De Isotu Naturaliter Accelerares sive temporum, quibus arcus AF, Au aequabili motu coniiciuntur, duplicatam ; hoc est, arcuum ipsorum AP, ΑΗ duplicatam ;sive rectarum M , N duplicatam, quae rectae arcubus AF, Ais positae simi aequales. Erunt igitur rectae ΑΕ, AG inter se sicut quadrata e rectis N, N. Sunt autem rectae ΑΕ, ΑΓ, iliter se, sicut qu. drata e rectis AB, AK rropter circulum . auadrata igitur e rectis N, N eum quadratis ex An, AK proportione convenient. Hoe est Μ' : Ny IT RH r Axy. Quare M : N α AE : Ax. Peris miliando M : An α N r Ax. Neque huic rationi os scient rectarum N, Ax longitudines, naagnae parvaeve fuerint. Regrediantur igitur ptincta G, M versus A r ea tamen lege, ut loca, quae duci corpora mobilia simul attigerint, punctis illis semper denotcntur. Et manente recta M arcui Antequali, reetia N ea lege fluat, ut a reui Aii fluenti semper illa sit aequalis & simul cum illo evanestat. Iam cum recta re semper sit ad rectam AK ut recta M ad rectam At, id enim modo ostensum est, idcireo ratio ultima evanescentis rectae N ad evetnescentem AK ea erit quam recta Μ habet ad rectam AB. Evanescente autem arcu AK, temporum Proportio, quibus arcus AK, motu aequabili, rectaque AC, casu recto, urgente dat:ὶ vi centripeta, conficiuntur, aequalitatem propius accedit quam pro data aliqua differentia. Sed in omni politione punctorum G, H, arcus quidem ΑΗ motu aequabili eodein tempore conficitur, quo recta AG easti reeto id enim posuimus . Arcus igitur evanescetites ΑΗ, Ακ temporibus, quae ultimo aequalia fiunt, eodem motu aequabili coniiciuntur; ac proinde fiunt a reus illi ultimo inter te aequales. Sed arcui Au sei aer eli ae iii alis recta N iidenim positum . Et arcui evanescenti AK evanescens chorda AK si ultimo aequalis per I .emma VII.) Quare rectae N, Aκ evanescentcs fiunt ultimo aequales. Cuni igitur recta M ad rectam Aarationem habeat eam quae ultima est rectae evanescentis N ad evanescentem AK id enim ostensum ei:), idcireo illae M, Aa sint inter se ci quales. scd reeta M arcui Ar Polita 'cit aequalis. Arcus igitur Αν aequalis erit rectae An. in E. I .
Vide Kepleri Harmonicen Mundi, Lib. v. C. III. ς 8. Et Epitomen Astronomiae Coper
-Πookius 4 i:nino si ΙΙookio fidendum, ille eninis hujus Philosophiae fundamenta iecit, & eum
Newtono communicavit. Verum res ita se habet, ut Cindidiss. Newtonua mihi narravit. Cum sorte inter alia Newtoniis Hoc, io ieriberet, iunium abesse ut Gravo e summitate Turris dedidens ex motu diu mao terrae, ad occidentem a perie turris erect e caderet, ut d contra ad orientem a pede turris terram subiectam artingenei iei licet ob maiorem impetum lapidi ad M summitatem communicatamin et casu Curvam manu luceret is lapide inter cadendum descrip- tam : hancque Curvam infra terrae superficiem, ad modum spiralis, in centro terminatam de- scriberet : teleripiit Hookius, verum quidem eme quod Grave J ad orientem terram attingeret, sed quod non centrum peteret, sed illud praeterlapsum N Ellipticam curvam describens, rursus in altum reverteretur ad summitatem 'l urris. Atque hoc illud est, quod se Ne tono pri-
mum ostendi me jaciat, S: Neri iovi Philosophiam huic soli esse superstruetam.'
85쪽
Dε Μοτυ colligitur etiam proportio vis centripetae ad vim quamlibet notam qualis est ea gravitatis. Nam si corpus in Circulo terrae concentrico vi gravitatis suae revolvatur, haec gravitas est ipsius vis centripeta. Datur autem, e X descensu graVium, M tempus revolutionis Unius, Fc arcuS dato quovis tempore descriptus, per hujus
Corol. 9 '). Et hujusmodi propositionibus Hugenius, in eximio
suo tractatu de Horologio Orici atorio, Vim gravitatis Cum reVOlUentium viribus centrifugis contulit. Demonstrari etiam postunt praecedentia in hunc modum. In circulo quovis describi intelligatur Polygonum laterum qUotcunque. Et si corpus in Polygoni lateribus, data cum Velocitate movendo, ad ejus angulos singulos a circulo reflectatur ; vis, qu1 singulis reflexionibus impingit in circulum, erit ut ejus Velocitas : ideoque summa virium, in dato tempore, Crit ut velocitas illa, Mnumerus reneXionum conjunetim : hoc est si polygonum detur specic ut longitudo dato illo tempore descripta, M aucta vel diminuta in ratione longitudinis ejusdem ad circuli praedicti radium ; id est, ut quadratum longitudinis illius applicatum ad radium : ideoque, si polygonum, lateribus in sinite diminutis, coincidat cum circulo, ut quadratum arcsis dato tempore descripti applicatum ad radium. Haec est Vis centrifuga, qua Corpus Urget circulum; Se huic aequalis est Vis contraria, qua circulus Continuo repellit corpus centrum VersuS. PRO P. .
PER circuitum cireuli Anc magnitudine dati, cujus tentrum D, surri intelligatur corpus quoddam motu .aequabili; urgente scilicet vi quadam centripeta, quae centrum circuli D respiciat, di vi datae Gravitatis apud nos aequalis sit Ducatur diameter cireuli Anc ; & a centro D, ad perpendiculum eum dia
metro Ac, educatur recta L, , quae cum circuli circumnexu in a concurrat. Iunctae Aa capiatur arcus AE aequalis. Conficietur arcus ΑΕ, motu
eorporis in circulo aequabili, eodem temporis spatio, quo, casu corporis recto, consceretur spatium radio AD aequale per Cor. 9. sed propter circuli radium magnitudine datum, datum erit tempus, quo corpus grave spatium illi radio aequale casu rccto conficeret. Tempus illitur, quo coipus in circulo consecerit arcum AE, datum erit. Hujus autem temporis ad tempus conversionis integrat ratio data Est ea scilicet, quam habet arcus magnitudine Ag, sive rccta data A B, ad integrum cireuli circuitum. Tempus igitur eonvertionis integrae datum erit. E. I. Cor. H. Tempus conversionis integrae est ad tempus casus recit per radium ut totius circuli c ircuitus ad chordam quadrantis.
86쪽
PRINCIPIA MATHEMATICA.Ρ R O P. V. P R Ο B. I. Dalia quibuscunque in locis velocitate, quia corpus inguram datam,
viribus ad commune aliquod centrum tendentibus, describit, centrum EDd inCenire. Figuram descriptam tangant rediae tres PT, TQ V, UR in punctis totidem P, Q , R, concurrenteS in T M V. . Ad tangentes erigantur Perpendicula PA, QR, Rc, Velocitatibus corporis in punctis illis P, Q , R, a qUibus eriguntur, reciproce proportionalia ; id est, ita ut sit PA ad QB ut velocitas in Q ad velocitatem in P; M QR ad RC ut velocitas in R ad velocitatem in Q. Per perpendiculorum
terminos A, B, C ad angulos rectoS duCantur AD, DBE, CE, CΟΠ- Charrentes in D M Ε :.et actae TD, VE concurrent in Centro quaesito S.
Nam Perpendicula a centro x in tangentes PT, QT demissa per Corol. I. Prop. I. sunt reciproce ut
Velocitates corporis in punctis P MQ ; ideoque, per constructionem, ut Perpendicula . AP, BQ directe ; id est, ut perpendicula a puncto D in tangentes demissa p . Unde facile colligitur quod puncta s, D, T sunt in una meta l . Et simili argumento Puncta S, E, V sunt etiam in una recta; M propterea centrum S in concursu rectarum TD, VE Versatur. . Q. E. D.
quales erunt. El. I. 34. Is rectas enim τν, et v, de tueantur ad perpendiculum, a puncto quidem, s rectae sX, FZ, puneto autem D ree ae DF, DY ; & XZ, PY jungantur. Ructae , .sE cum metis Dr, DY parallelae erunt. Anguli igitur xst, PDYerunt inter se aequales. Quare elim sx sit ad SE, ut Dp ad D Y id- enim ostensum a Newtono ideirco triangula sxχ, urv inter se similia erunt, & anguli sxa, D Y inter se aequatus. El. VI. 6.ὶ Anguli igitur τxa, TrY, quibus aequales illi sxχ. Di v a rectis abluint, inter se aequales erunt; ac proinde rectae vY, xa inter se parallelae El. I. 23. & triangula TrY, Yxa inter se similia erunt. Quare Tr erit ad τx ut rY ad x E. Sed propter similitudinem triangulorum DPY, sκκ ; PY est ad xa ut vo ad xs. Ergo metit ad xs ut TF ad 'rx. El. v. tr. Ac proinde puncta T, D, s, ad rectam erimi; quod ex seeunda Libri sexti Elementorum lacild efficitur. Nam si T, D, s ad rectam non sint, juncta ets reci e m in punetoa occurrat. Et propter reetas ra. xs inter se parallelas, erit aes ad rarit τx ait Tr. El. vi. a Sed xs ad νt, ut Tx ud τν, ex n' o lo ostensis. Recta igitur xs ad inaequales Fi,, Fa eandem propoxtionem habet. Quod est absurdum iEi. v. q. Sunt igitur ad re tam pundia i , D, s. Et flandi argumentatione efficietur puneta v, E, s, ad rechm esse. iE. Idem rere ad locum patres do. ii:li.ru
87쪽
P R O P. VI. T H E O R. V. Si corpus in spatio non ressi lante, circa centrum immobile, in orBequocunque re matur, C, arcum quemzis jamjam nascenIem
tempore quam minimo describat, Iagitta arcus duci intelliga- Iur, qtiae chordam bisecer, producta transeat per centrum virium e cris Cis centripeta in medio arcus, ut sagitta directo, tempus bis inverse. Nam sagitta, dato tempore, est ut vis per Corol. 4. Prop. I.
Sc augendo tempus in ratione quavis, ob auctum arcum in eadem
ratione, sagitta augetur in ratione illa duplicat1 per Corol et M.3, Lem. XI. ideoque est ut vis semel M tempus bis. Subducatur duplicata ratio temporis utrinque, Sc fiet vis ut sagitta directe tempus bis inverse. Q. E. D .
Idem facile demonstratur etiam Per Corol. Φ. Lem. X. Corol. I. Si corpus P revolvendo Circa centrum s describat lineam CurVam APD tangat vero recta ZPR Curvam illam in punctod DEMONsTRAT io NEW-NIANA EXPLic ATIOR FACTA. 'Corpora A, R, urgentibus viribus centripetis quae centrum s respiciant. Arri intelligantur in orbitis CAD, EB F. Sint CAD, Et F octitarum areus quilibet; hujus autem Ei: P medium sit punctumn et illitis cAD, punc um A. Habeat recta P, pro arbitrio sumenda, ad alium tu proportionem eam, quatri
tempus, quo conficitur arcus DAC moin tu corporis A, ad tempus, quo conficitur arcus PBE motu corporis s. Du
dx ; quas puncta G, x medias dividant et junctaeque so, sκ Curvis in Punctis is, L occurrant. Jam intelligantur arcus cAn, Ear manuntihus punctis mediis, A n infinite minui; ea tamen lege. ut tem Poribus, quibus illi consciuntur, numeat semper mutua rectarun P, ratio ; dicit Newtonus vim tetit rit etam in loco A ad vim centripetam in toto a proportionem habere, quae comi onitur ex ea quae ultima est sagittae evanescentis c. ii ad sagittana evanescentem KL, cum ea, quae rectarum P, Q duplicata est, contrarie sumpta; vel cum ea, quam habet ad P, si illa R duarum, P. Proportione fit tertia. Hoc est, si exponatur recta quaedam, Tu, qtiae ad datam P rationem habeat eam, quam sagitta KL ad sagittam cu ; tum, arcubus CAD, Enr infinite decrescentibus. fi recta Tv ea lege fluat, ut semper sit ad datam ν lieut sagitta κL ad sagittam an illas utique sagittarum, Gil, KL, rectaeque Tu magnitudines conserendo quae simul fiunt , & si Tx sit ultima ructae Tu longitudo, quam, arcubus CAD, Eap jamjam in nihilum abituris, propius illa accesserit quam pro data quavis differentia ; haec inquam fi fiant, dicit Neivioniis, vim centripetam iril A ad vim centripetam in loco ν proportionem habere eam, quae composita est E rationibus rectae R ad P, rectaeque ν ad Ta i hoc est eam qu in recta a habet ad rectam TI. Nos Rulein ORetendimus quod Neritonus dicit hoe modo
88쪽
to quovis P, M ad tangentem, ab alio L εα quoviS Curvae Puncto Q , agatur QR
distantiae sp parallela, ac demittatur Z QT Perpendicularis ad distantiam
illam SP : vis Centripeta erit reci-
modo solidi illius ea semper sumatur quantitas, quae ultimo fit, ubi coeunt Puncta P M Q . Nam QR aequalis est 1 agittae dupli arcus QP, in cujus medio cst P . Et duplum trianguli s QP sive SP κυ, tempori, quo arcus iste duplus describitur, proportionale est; ideoque Pro tem PoriS CXPOnente
Corol. 2. Eodem argumento Vis centripeta est rcciproce ut solidum 'D Ug; si modo sY perpendiculum sit a centro virium in Orbis tangentem P R demissiim. Nam rectangula sY κ QP M SΡ κ Q aequantur ).
Arcubus cAD, Err infinit E imminutis puncta ii, L in loca A, B ultimo devenient; D si Mns sit arcus Orbitat EBF, qui, .motu corporis B, eodem tempore conficitur, quo a reus C An motu corporis A, atque arcus ΜBN. cum praeterea situm obtineat, ut a puncto B, arcus Ezr medio. medius ipse sit divitiis; vis eentripeta in loco A ad viin centripetam in loco n. rationem habebit eam, quae, arcubus cAo, Mnu infinith imminutis, sagittarum evanescentium ΗG, Lo, quae chordas eorum me dias dividant, & ad s virium centripetarum eentrum tendant, ultima inter ipsas erit. Hoc est, si recta Y, pro arbitrio sumenda, habeat ad aliam 2, proportionem eam, quam vis centripeta in loco A ad vim centripetam in loco a , erit ui; ad Lo ultimo ut Y ad Z. Prop. I. Cor. 4.3 Arcu. hus autem MBM, Enr infinith diminutis, sagittarum evanescentium Lo, Lx ratio inter ipsas ultima, duplicata erit ejus, quae areuum inter ipsos ultima est Lemma xl. Cor. a. Hoe est. eum arcus illi sint ultimo inter se ut spatia, velocitate illa, quae est coryoris in loco B, temporibus, quae sunt ut P, Q, aequabiliter .confecta; idcirco ratio ultima evanescentium Lo, L M, temporiam quibus consciuntur arcus M PN, Enp, sive rectaritim P, Q , duplicita erit. Hoc est, cum R daarum
P, α proportione sit tertia, erit Lo ad Lx ultimo ut ν ad x. Et clientum est is ci esse ultimo ad Lo ut Y ad 2. Quare ratio ultima evanescentis ua ad cvancstcntem Lil componetur e rationibus rectae Y ad α rectaeque P ad R ; sive ea erit, quam remissurum Y κ p habet ad et angulum Z R. . Evanescentis autem lis ad evancscentem Lia ratio ultima ea est, quam recta P habet ad metam Tx per construet. Erit igitur P: Tx ' Y κ P : Z κ R. Ac propterea P κ E : Tx κ 2 α Y κ P et 2 κ R. Permutando P κ Re P κ Y ' Σ κ Tx : Z κ R. Ac propterea Z:Y α Tx e R. Invertcndo V: Z R: TX. .
E. D. Quo D se ostendo. In tangente capiatur ra aequalis reciae PR. Asatur rq cum recta se Parallela, & Curvae illa Zq in ρ occurrat. Junc a Q. 3 reetae sp in i oceurrat. Evanescentibu 3 Pr- cubus p. Pq, erit QR ad aq ulrimo licui quadratum ex lip ad quadratum ex Pa. Lemma xl. Cor. 2. Quadrata autem e metis aequalibus ν , PE sunt inter se aequalii. Ergo ii et, ' sent ultimo inter se aequales. Quare cum sint etiam inter se parallelae, fiet ultimo parallela crina Ra El. i. 33. & figura Rc Z ultimo para .lelogramma erit. Q:1are & ara, et 2 ultimo parallelogrammae. Ae propter QR fiet ultioeo aequalis ipii pυ, & dux et imu in . duabus RP, P et aequalibus ultimo aequales siciat; ac proinde ultimo inter se aequales. Erit igitur Pυ cvan scentis arcus Q qtqui evanescentis QP duplus esia sagitta, ibiae chordam ejus mediam dividet, di ad s centrum λι- rium tendet. Et huic νυ ostensa cit ua ultimo aequalis.
) Ultimo stilicet, arcu tu iusiuite decret conle.
89쪽
Corol. 3. Si orbis vel circulus est, vel circulum concentri Cetangit, aut concentrice secat, id est, angulum contactus, aut seC-tionis, Cum Circulo quam minimum continet, eandem habens GUrVaturam eundemque radium Curvaturae ad punctum P ; si Pu chorda sit circuli hujus, a corpore Per centrum virium acta rerit vis centripeta reCiproce ut solidum SYqκ P v. Nam Pu est
Corol. ψ. Iisdem Positis, est vis centripeta ut velocitas his directe, chorda illa inversL Nam velocitas est reciproce ut perpendiculum SY per Corol. I. PTOP. I. Corol. 5. Hinc si detur figura a vis curvilinea APQ , S in ea latur etiam Pultictum s , ad quod vis centripeta lγerpetuo dirigitur ; inveniri Potest leX Vis centripetae, qua corpus quodvis P, licursu rectilineo Perpetuo retractum, in figurae illius perimetrocletinebitur, eamque revolvendo describet. Nimirum computandum est vel solidum g , vel solidum sYoκ PV, huic Vi reciproce proportionale. Mus rei dabimus exempla in Problematis
PRO P. V. P R O B. II. Ggretur corpus in circumferentia circuli; requirisur lex Uis centria petae tendentis.ad punctum quodcunque datum. Esto circuli circumfercntia vQPA ; punctum datum, ad quod
Cor. V. Ex horum Corollariorum tertio siti quotl ait locum recte monuere patres doctissimi LeSoeur 3e Jacquier facile deducenda est lex illa vis centripetae, quam viri praeelari, Joannes Bernovi linlius, Abrahamus Motura iis & Guido Grandus tradiderunt. Nimirum s litera a significet radium circuli cuius curvaturae curvatura orbitae in loco aequalis lit ; is centripeta in P erit contrarie ut
solidum . Nam diameter circuli illius erit ad chordam rv ut fp ad su. Hoc est sp:sY α
90쪽
Vis ceu ad centrum suum ten-l- η
dit, s ς corpus in Circumfercntia latum P ; locus ProXimus, in quem movebitur in; 8c Circuli tangens ad locum priorem P RZ. Per punctum S ducatur Chorda Pu ; M acta circuli diametro UA, jungatur AP ; M ad sp demittatur perpendiculum QT, quod Productum occurrat tangenti P R in Z; ac denique Per Punctum in agatur LR, 'IUM ipsi s P parallela sit, M occurrat tum circulo in L, tum tangenti P Z in R. Et ob similia triangula ΣQR, ET P, VPA η , erit RP quad. hoc est QR L ad QT quam ut AV quad. ad PV quad. Ideoque -πυλώάδ. - aequatur QT quad. Ducantur haec aequalia in-, M punctis P Sc in coeuntibus scribatur PV Pro RL. SIC siet - λ - aequale Ergo per Corol. I 8c 5. Prop. VI. utS centripeta est reciproce ut SP PV ς 3' ' . id est sol, datum Av quad. reciproce ut quadr tum
distantiae seu altitudinis sp M Cubus chordae pv Conjunctim. Q. E. I. Idem aliter. Ad tangentem P R Productam domittatur perpendiculum sY ria ob similia triangula SYP, up A ' ; erit A v ad Pu ut SP ad SY : ideoque aequale sy, 8c - ' ἄ- aequale SY quad. κ PV . Et propterea per Corol. 3 8c 5. Prop. v I. vis centripeta cit reciproco ut*yi V -- ; hoc est, ob datam Av, reciproce ut SPqκPVcub. Q. E. I. Corol. I. Hinc si punctum datum s , ad quod vis centripeta
quem recta PT steat, anguli ZpT, PAv inter se aequales sunt sper El. m. 32. Angulus autem VPA rectus, propter semicirculum i recto igitur ατ p qualis. Quare & reliqui triangulorum Στν, V A, anguli, PET, AVP, inter se aequales, Sc triangula inter se similia erunt. El. VI. O Q. E. D. y guli spY, FAu, ut modo ostensum est, inter se aequales. Rectus autem sYαqualis. Quare de prY, AT p inter se aequales, & triangula, sYr, v r A inter se similia.