장음표시 사용
131쪽
potest quadrilaterum, Cujus latera cluo opposita se mutuo, instar diagonalium, decussant. Sed Me punctis quatuor A, B, C, D POD sunt unum vel duo abire ad in- sinitum, eoque Pacto latera figurae, quae ad puncta illa con-Vergunt, eVadere Parallela et quo in casu scctio conica transibit per caetera Puncta, M in Plagas Parallelarum abibit in infinitum.
Inet enire iunctum P, a quo srem quatuor, Pin, PR, PF, PT, ad alias Iolidem postione datas rectas, AB, CD, AC, BD, svulae ad Putas, in datis angulis ducantur, rectiangulum Iubduabus ductis, PQκ PR, sit ad rectangulum sub aliis duabus,
rum continentcs ducuntur, conveniant cum aliis duabus positione datis lincis in punctis A, B, C, D. Ab eorum aliquo, A, age rectam quamlibet, Au, in qua velis Punctum P reperiri. Secet ea lineas oppositas BD, CD ; nimirum BD in id, M CD in I; M ob datos omnes angulos figurar, dabuntur rationuS PQ ad PR, M p A ad Ps, idcoque ratio PQ ad Ps. Aufercndo hanc is clata ratione PQκpRad ps κ p T, dabitur ratio P R ad PT ; Sc addendo datas rationes p Iad PR, M PT ad PH, dabitur ratio P I ad pH, atque ideo Punctum P. Q. E. I. Corol. r. Hinc etiam ad locum Punctorum infinitorum, P, PUnC- tum quodvis D tangens duci potest. Nam chorda PD, ubi puncta P aC D conveniunt, hoc est, ubi AH ducitur per Punctum D, tangens evadit. Quo in casu, ultima ratio evanescentium I P M pH invenietur,
132쪽
invenietur, ut supra. Ipsi igitur AD duc Parallelam CF, occur-Ι is rarentem BD in F, M in ea ultima ratione sectam in I ; M DE tangens crit, propterea qu ni CE M cvanescens IH Parallela: sunt, iuin E. P sit militer scistae. 'ol. 2. Hinc etiam locus Punctorum omnium P definiri potest. Per quodvis Punctorum A, B, C, D, Puta A, duc loci langentem AE, Sc per aliud quodvis Punctum B duc tangunti parallelam BF occurrentem loco in P. Invenictur autem Punctum F Per Lem. XIX. Biseca BP in G, acta indesinita AG crit politio diametri, ad quam BG lia I G ordinatim applicantur. IIIcc AG OC Ur-rat loco in II, 8 erit AII diameter sive latus transvcrsiim, ait quod latus rectum erit ut I: Gq a lAGκGH. Si AG Ialasquam OCCUrrit loco, linea AH exiliente insi-nita, locus erit Parabola, Sc latus rectum cus acl diametriam AoPertinens crit -. Sin ca alicubi occurrit, locus Ityperbola crit, Ubi puncta A II lita sunt ad casdem partes ipsius G : M Ellipsis, ubi G intermedium cit; nisi foreo angulus Acin rectus sit, M insuper BC qu . aequale rectangulo AGH, quo in casu Circulus ha-
Atque ita Problematis Uctorum de Luatuor Lineis, ab Euclide inccepti M ab Apollonio continuati, non calculus, sed compositio geo metrica, qualem Veteres quaerebant, in hoc corollario exhibetur.
Si parallogrammum quo Cis, Aspin, angulis Gobus Oppossis, A . P, ta vis socii mem quamvis conicam in punctis A N p ; est lateribus unius angulorum i orum ins nise productis, Ain, AS, occurrit fidem se Dioni conicae in B N C ; a punctis autem occi furem, Bes c, ad quintum quo is sectionis conicae punctam, D, vantur VCCIAE HIAE, BD, CD, occurrentes asseris duostis inini, e productista ut so ianimi lateribus, ps, pin, in Τ ω R: crunt semper αδ- ae laterum tartes, pR N PT, ad incitem in data ratione. Et N et contrὰ,
133쪽
contra, si partes Egae abscissae sunt ad inzicem in data ratione, punctum D tanget sectionem conicam per puncta quatuor A, B,
C, P trinseuntem. f. I. Jungantur BP, CP, Sc a Puncto D agantur rectae duae
DG, DE , quarum Prior DG ipsi An Parallela sit, Se occurrat PB, PO , CA, in II, I, G ; altera DE Parallela 1it ipsi Ac, M occurrat PC, PS, AB in F, Κ, Ε : M erit per Leni. xv H. rectangulum DER DP ad rectangulum DCM DII in ratione data. Sed cli vin ad DE scui Q ut PB ad lI B, ideoque ut PT ad Di I ; M vicissim PQ ad ΡΤ ut DR ad DH. Est M PRad DP ut RQ ad DC, ideoque ut lG vel γ Ps ad D G, Vicissim Pst ad Ps Ut DF ad DG8c, conjunctis rationibus, fit
lum DER DF ad rectangulum DG κ DH, atque ideo in data ratione. Sed dantur Pinia PS, MPropterea ratio P R ad PT datur. Q. E. D. Cas. 2. Quod si P R et PT ponantur in data ratione ad invicem, tum simili ratiocinio regrudiendo, sequetur esse rectangulum D Εω DF ad rectanguliam DGκDII in ratione data; ideoque pian tum D per Lem. XVm. contingere conicam sectionem transeu tem Per Puncta A, B,. C, P. Q. E. D. Corol. I. IIinc si agatur BC secans PQ in r, M in PT capiaturpI in ratione ad Pr qUam habet PT ad PR : erit Bi tangens conicae sectionis ad punctum B. Nam concise Punctum D Coire Cum
puncto B, ita ut, chorda BD cvanescente,. BT tangens evadat; MCD ac BT coincident cum CB et Blia
Corol. 2. Et Vice versa si Et sit tangens, M ad quodvis conica sectionis Punctum D conveniant BD, CD; erit PB ad PT Ut Pr adri. Et contra, si sit BR ad P Τ Ut Pr ad Pt; convenient BD, CD
ad conicae sectionis punctum aliquod D. Corol. 3. Conica sectio non secat conicam sectionem in punctis
134쪽
Pluribus quam quatuor. Nam, si fieri potest, transeant duae co-ki ηnicae sociiones per quinque puncta A, B, C, p, O; easque secet recta BD in punctis D, E, Sc ipsam PQ secet recta cu in g. Ergo P.R est ad PT ut Pi7 ad PT ; unde pR M pq sibi invicem aequantur, contra hypothesin. L E. M M A XXI. Si rectis duae mobiles N in uae, nM, CM, per data tun D, B, C, ceu polos duri , concursu suo, Μ, describant tertiam possione datam rectam, MN ; σ ullae duae ins nisae rectae, BD, CD, cum prioribus adius ad tunc a liga data B, C datos angulos, M BD, MCD, est Lentra ducanIur: ilico, quod duae, BD, CD, concurra suo, D, δε- scribent sectionem conicam ter tuncta B, C transcuulem. Et ce versi, s rectae BD, CD concursu suo D describant sectionem conicam ter puncta data B, c, A transeun cm, ρο At angulus DBΜ semper aequalis angulo Ua o ABC, angulusque DCΜ semper aequalis angulo dato ACA : punctum M continget rectam posetionae
Nam in rceta 11N detur punctum N, Sc ubi punctum mobile M incidit in immotum N, incidat PunC- tum mobile D in im-m Ottam P. Iunge CN, BN, CP, BP, Sca Puncto P age rectas
ipsis BD, CD in T MR, 8c facientes angulum APT aequalem angulo dato BNM, Rangulum CPR aequalem angulo dato CNII. .
Cum ergo ex hypothesi aequales sint anguli MBD, NAP, ut M
135쪽
N, P immobilia. Ergo PT M P R datam habent rationem ad N M. proindeque datam rationem inter se; atque ideo sper Lem. XX. Punctum D, Perpetuus reetarum mobilium B T M CR Concursus, contingit sectionem conicam, Per puncta B, C, P transeuntem. Q. E I . Et contra, si punctum mobile D contingat sectionem conicam transeuntem per data puncta B, C, A, Sc sit angulus DB M semper oequalis angulo dato ABC, M angulus DC Msenarier aequalis angulo dato ACB, M ubi Punctum D incidit successivuin duo quaevis suctionis puncta immobilia p, P,
punctum mobile M incidat successive in PUNC-ta cluo immobilia n, N : Per eadem N, N agatur
roeta M liaec eriti acris Perprituus Puncii illius mobilis M. Nam, si fieri potest, versetur Punctum M in linea aliqUa curva. Tanget ergo Plancium D se otionem Conicam Per Prinela quinque B, C, A, I), P transeuntem, ubi punctum MPerpetuo tangit lineam curvam. Sed Se ex jam demonstratis tan-xci ctiam puneium D suctionem conicam Per eadem quinque Puncta B, C, A, p, P, transeuntem, ubi Puncti m M perpetuo tangit lineam rectam. Ergo duae sectiones coniciu transibunt Piereadem quinque Phineia, contra CoroL 3. Lenuriat. XX. Igitur punctum M versari in linea curuli absurdum est. Q. E. D. P R O P. XXII. PRO B. XIV. Traje ctoriam per data quinque puncta dos Ucre. Dentur Puncta quinque, A, B, C, P, D. Ab eorum aliqUO, A, ad alia duo quaevis, Η, C, qtipe poli nominentur, age rectas AB, AC hisque Parallelas TPs, P Rin per pundium quantam P. Deinde a Polis duobus B, C age Per planctum quintum, D, duas BDT, CBD, no Vissime ductis, a Ps, P RQ , priorum priori Sc posteriorem posteriori Occurrentes in T M R. Denique do rectis ΡΥ, PR, acta irecta Ir
136쪽
per Puncta quatuor A, B, C, P transeunte ; M lincis RV, Τί evanescentibus, coit punctum d cum Puncto D. Transit ergo sectio Conicae Q. E. D.
tria quaeVis, A, B, C pia circum duo COTUm, B, C, Ceu POlOS, P tando angulos magnitudine datOS ABC, ACB, applicentur crura BA,
CA Primo ad punctum D, deinde ad punctum P, 8c notentur puncta Μ, N in quibus altera
troque se decussant. Agatur recta infinita 7N, Sc rotentur anguIi illi mobilos Circum polos suos B, C, est lege, Ut crurum, Bl., CL, vel BΜ, CM, intersectio, quae jam sit vi, incidat semper in rectam illam infinitam ΜN ; M crurum BA, CA, Vel BD, CD, intersectio, quae jam sit M trajectoriam quaesitam P ADGdelineabit. Nam punctum d per Lem. XXI. continget scelionem Conicam Per Puncta B, o transeuntem ; M ubi punctum ut accedit ad Puncta L, Μ, N, Punctum d per constructionem accedet ad Puncta A, D, P. Describetur itaque sectio conica transiens Per puncta quinque A, B, C, P, D. Q. E. F.
137쪽
quae trajectoriam quaesitam in puncto qUC- vis dato B Continget. Accodat punctum es ad Punetum B, M rectan devadet tangenSqUM- sta Corol. 2. Unde etiam trajectoriarum Centra, diametri, Sc latera recta invcniri possunt,
ut in corollario secundo Lemmatis XIX.
Constructio prior evadet Paulo simplicior jungendo BP, Ω in est, .s opus cst pro lueta, capiendo ad BP ut ult PR ad PT ; M pcrs agendo rectam infinitam te ipsi s P r Parallelam, R in ea capien-clo semper te aequalem P '; M agendo restas BG Cr Concurrentes in Q Nam cum sint Pr ad Pt, P R ad PT, I B ad PB, te ad Pt in eadem ratione ; erunt te M Pr semper aequaleS. Hac methodo Puncta trajectoriis inveniuntur expeditistimo, nisi mavis curvam, ut in constructione secunda, describere mechanice. Ρ R O P. XXIII. P R Ο B. XV.F'rajectoriam describere, quae pre dola quatuor puncta transbi πrectam conringet posIione datam.
f. I. Dentur tangens ΗΒ, Punctum contactiis B, M alia tria puncta C, D, P. Junge BC, M agendo PsParallelam rectae ΒΗ, 8 P in Parallelam rectae BC, comple parallelogrammum B SPQ. Age BD secantems P in T, Sc CD secantem
138쪽
PQ in R. Denique, agendo quamvis tr ipsi TR parallelam, PQ , PS abscinde Pr, Pt ipliS PR, PT proportionales respective; ianctarum CV, Br concursus d Per Lena xx. incidet semper in tr.i-jectoriam describendam. Lirim HIIEr. Revolvatur tum angulus magnitudine datus, CBH, circa Polum B, tum radius quilibet rediit incus M utrinque Productus, DC, Circa Polum C. Notentur Puncta, M, N, in quibus anguli crus BC secat radium illum, ubi crus alterum, BII, concurrit cum eodCm radio in punctis P M D. Deinde M actam infinitam MN concurrant Perpetuo radius ille CP, vel CD, Manguli crus BC, ia cruris alterius B HConcursus cum radio delineabit trajectoriam quaesitam. Nam si in constructionibus Problematis superioris accedat punctum A ad punctum B, lineae CA M CB coincident, M linea AH in ultimo suo situ siet tan-
l / gens via ; atque ideo constructiones ibi
positae evadent caedem cum constrUC-tionibus hic descriptis. Detineabit igitur cruris BII Concursus Cum radio sectionem conicam I er Puncta C, D, P transeuntem, & rectam BII tangentem in puncto B. Q. E. F. Dentur Pundia qUa- f. 2stuor B, C, D, P, CXtra tangentem ui sita. Junge bina lineis BD, CP Concurrentibus in G, tangentique occurrentibus in H M I. Sccetur tangens in A, ita ut sit
HA ad IA, ut est rectangulum sub media proportionali inter CG 8e GP M media Proportionali inter B H M H D, ad rectangulum sub me lia proportiona i inter DG M Gn ta media Proportionali in-Vo L. II. O ter
139쪽
ter PI M IC; M crit A Punctum contactus. Nam si rectae pi parallela tax trajuctoriam secet in Punetis quibusvis, x M Y : erit sex conicis punctum A ita locandum, ut fuerit HA quad. ad AI quad.
in ratione Composita ex ratione rectanguli x HY ad rectangulumnii D, seu rectanguli CGP ad rectangulum D GA, 8 ex ratione rectanguli BI ID ad rectangulum P IC. InVento autem contactus puncto A, describetur trajectoria ut in casu Primo. Q. E. F. Capi autem potest punctum A Vel inter Puncta H M I, vel extra ; M perinde trajectoria dupliciter describi P R O P. XXIV. P R O B XVI. Arajectoriam describere, qme transibit ter data tria puncta, Nrectas duas positione tacitas continget Dentur tangentes HI, KL, 8c Puncta B, C, D. Per Punctorum dilo quaevis, B, D, age rectam infinitam, BD, tangentibUS Occurrentem in punctis H, Κ. Deinde etiam Per alia duo quamis, C, D, age infinitam CD tangentibus occurrentem in punctis I, L. Actas ita seca in R M s, ut sit IIR ad LR ut est media proportionalis intecBH M H D ad mediam proportionalem inter BL M KD ; M Is ad Ls ut est media proportionalis inter CI M ID ad mediam Proportionalem inter CL M LD. Seca autem Pro lubitu vel intor puncta Κ. M II, I M L, vel extra eadem ; dein age Rs secantem tangentes in A Sc P, Sc erunt A M P puncta contactuum. Nam si A M Piupponantur esse puncta contactuum alicubi in tangentibus sita pia Per Punctorum H, I, K, L quodvis I, in tangente alterutra H Istum, agatur recta Ir tangenti alteri KL parallela, quae Occurrati Curvae in x M Y, M in ea sumatur LZ media proportionalis inter I x MIY : erit, ex conicis, rectangulum XIr, seu IZ quiad. ad LP quad. ut rectangulum CID ad rectangulum
CLD, id est sper constructionem
ut SI quad. ad SL quad. at pie ideo IZ ad LP ut SI ad SL. Jacent ergo.
140쪽
ergo puncta P, Z M A in una recta; ideoque puncta S, P M A sunt in una recta. Et eodem argumento Probabitur quod puncta R, P M A sunt in una recta. Iacent igitur puncta contactuum A MP in recta Rs. Hisce autem inventis, trajectoria describetur ut in casu primo Problematis superioris. Q. E. F. In hac Propositione, M casu secundo Ρropositionis superioris, constructiones eaedem sunt, sive recta XY trajectoriam secet in xia Y, sive non siccet; eaeque non pondent ab hic sectione. Sed demonstratis constructionibus ubi recta illa trajectoriam secat, innotescunt constructiones, ubi non secat; iisque ultra demonstrandis, brevitatis gratia, non immoror.
Figuras in alias ejusdem generis ingurm mutare. Transmutanda sit figura quaevis HGI. Ducantur pro lubitu rectae duae Parallelae, Ao, BL, tertiam quamvis Positione datam, AB, Iecantes in A M B ; M a figurae Puncto quoVis, G, ad rectam AB ducatur quaevis GD, ipsi OA parallela. Deinde a puncto aliquo O, in linea OA dato, ad punctum D ducatur recta OD, ipsi BL Oc- Currens in id, M a puncto oc-Cursus erigatur recta clarum quemvis angulom cum recta BL Continens, atque eam habens rationem ad od, quam habet Do ad oD ; Sc erit g PunC- tum in figura nova Mi puncto
puncta singula figurae Primae A U D I labunt puncta totidem figuriunovae. Concipe igitur punctum G motu Continuo PerCurrere Puncta omnia figurae primae, M punctum g motu itidem Conti-HUO Percurret Puncta omnia figurae novae M eandem describet. Dillinctionis gratia nominemus DG ordinatam primam, Ordi O a natam