장음표시 사용
121쪽
Ium quodvis Iertium, V, insectantur recta duae, SV, HV, quarum una Hv aequalis sit axi principalirigurae, id es, axi in quo umbilici jacent, astera su a perpeniculo TR in se demiso os cetur in T; terpendiculum iEud TR sectionem conicam alicubi tanget: ta contra, si tanguet, cris IIu requalis axi principali
ingurae. Sccet cnim Perpendiculum TR rectam HU Productam, si opus. fuerit, in R ; M jungatur sR. Olὶ aequales TS, TV, aequales c-runt 8c rectae SR, VR, M anguli TRS, TR v. Unde Pulictum R erit ad sectionem conicam, M Perpendiculum TR tanget eandem : MContra. Q. E. D.
P R O P. XVIII. P R O B. X. Datis umbilico G axibus principalibus, describore trajectoriias clypticas G fperbolicas, quae Iransibunt per puncta data, cis recustose Hone datas conlingent. Sit s communis umbilicus figurarum ; AB longitudo axis principalis trajectoriae cujusvis; P PunC- tum Per quod trajectoria debet transire; M TR, recta quam debet tangere. Centro P, intervallo AB SP, si orbita sit Ellipsis, vel Aa SP, si ea sit Hyperbola, describatur circulus I G. Ad tangentem TR demittatur Perpendiculum ST, & producatur idem ad v, ut sit Tu aequalis ST ; centroque v, ia intervallo AB, describatur circulus FII. Hac methodo, sive dentur duo puncta P, p, sive duae tangentes TR, tr , sive Punctum P M tangens TR, de-1cribendi sunt circuli duo. Sit H corum interscctio communis, Se umbilicis s, H, axe illo dato describatur trajectoria. Dico factum. Nam trajectoria descripta eo quod pH sp in Ellipsi, MPH-s P in Hyperbola sequatur aX i) transibit Per punctum P, Sc per lemma superius) tanget rectam TR. Et coclem argumento vel transibit eadem per Puncta duo P, p, Vel tanget rectas duas TR, tr. Q. E. F. P R O P.
122쪽
Ρ R O P. XIX. P R O B. XI. Circa datum umbilicum trajectoriam tarabolicam describere, quae transbis perpuncta data, N rinas pomtione datas continget.
Sit s umbilicus, P punitum, TR tangens trajectoriae desicribendae. Contro P, intervallo PS, describe circulum FG. Ab υmbilico ad tangentem demitte perpendicularem ST, Produc eam ad v, ut sit Tu aequalis ST. Eodem modo describundus cit alter circulus fg, si datur alterum punctum p; Vel inVeniendum alterum punctum C, si datur altera tangens Ir; dein ducenda recta IF, quae tangat duos circulos FG, fg, si dantur duo Puncta P, p; vel transeat per duo puncta v, v, si dantur duae tangentes ΤR, ir; Vel tangat circulum FG, M transeat per punctum v, si datur punctum P Sc tangenS TR. Ad vi demitte perpendicularem SI, eamque biseca in L ; M axe SK, Vertice principali κdescribatur Parabola. Dico factum. Nam parabola, ob aequales sic M IR, SP Sc PP, transibit per Punctum P ; Per Lem. xiv. Corol. 3. ob aequales Sae M Tu, M angulum rectum s TR, tanget rectam TR. Q. E. F.
P It o P. XX. P R O B. XII. Circa datum umbilicum trajectoriam quamvis pecie datam deseriabere, quae per data puncta transbit, ου rectas tanget positione
f. I. Dato Umbilico s, describenda sit trajectoria ABC per Puncta duo B, C. Quoniam trajectoria datur specie, dabitur ratio axis principalis ad dilhantiam
umbilicorum. In ea ratione capc
RE ad as, M LC ad C s. CentrisI B, c, intervallis ΒΚ, CL, describou ii circulos duos ; M ad rectam KL, quae tangat eosdem in K M L, demitte perpendiculum SG, idcm- UOL. II. M que
123쪽
Dr. Moro que seca in A M a, ita ut sit GA ad As, M Ga ad as, ut est ΚΒ ad BS ; 8e axe Aa, verticibus Α, a, describatur trajectoria. Dico factum. Sit enim H umbilicus alter sigurae descriptae, A cum sit GA ad As ut Ga ad as, crit divisim Ga-GA, seu Aa, ad as As, seussa in eadem ratione; ideoque in ratione it Iam liabet axis principalis figurae describendae ad distantiam umbilicorum Uus ; M propterea figura descripta ost ejusdem speciei cum describend1.
Cumque sint ΚΗ ad BS M LC ad C s in cadem ratione, transibit haec si Iura Per Puncta B, C, ut ex conicis manifestum est. f. a. Dato umbilico S, describenda sit trajectoria, quae rectas duas TR, tr alicubi contingat. Ab umbilico in tangonios demitte
rigo perpendiculum infinitum ori, rectamque Us infinite Produciam seca in K M l, ita Ut sit VK ad Ks,ia vi ad is, ut est trajectoriae describericho axis principalis ad umbilicorum distantiam. Super diametro Kk describatur circulus secans ou in ii; se Umbilicis s, II, axe Principali iPsam VH aequante, describatur trajectoria. Dico factuin. Nam biseca Kk in x, Mjunge HX, IIS, HV, HV. Quoniam est v K ad KS ut vh ad is ; Mcomposito ut v x vi ad Ks is ; divisimque Ut vl-vK ad ks-Κs, id est, ut avx ad 2LX M anx ad 2s x, ideoque ut v x ad Hx MNx ad sae, similia erunt triangula VXH,. HXs, 8c Propterea VH erit ad sil ut ux ad XII, ideoque ut VK ad KS. Uabet igitur trajectoriae descriptae axis principalis, VH, eam rationem ad ipsius umbilicorum distantiam, fu, quam habet trajectoriae describonitae axis
principalis ad ipsius umbilicorum distantiam, M Propterea ejus.
lem est speciei. Insuper clim via, CH sequentur axi Principali,& VS, Us rectis TR, tr Perpendiculariter bisecentur, liquet cx Lem. xv. rcctas illas trajectoriam descriptam tangere. Q. E. F. f. 3. Dato umbilico S, describenda sit trajectinia, quae rectam TR tanget in puncto dato R. In rectam TR demitte perpendicularem ST, 8c ProduC eandem ad V, ut sit TV aequalis ST. Iunge
VR, 8c rectam us in sinite productam seca in L M ita ut sit vn ad
124쪽
sΚ, 8c vi ad sh, ut Ellipseos describendae axis principalis ad distan-Litiam umbilicorum ; circuloque
super diametro Kk descripto, secetur producta recta VR in II, 8e umbilicis S, H, axe Principali rectam VH aequante, describatur trajectoria. Dico factum. Namque via esse ad sH ut vK ad SK, atque ideo Ut aXiS Principalis trajectoriae describendae ad distantiam Umbili rum Uus, Patet ex du-mon stratis in casu secundo, Sc Propterea trajectoriam descriptam ejusdem csse lacciei Cum describenda, rectam Vero TR, qua angulus vRs hisecatur, tangere trajectoriam in Puncto R, Patet ex conicis. Q. E. F. f. 4. Circa umbilicum S describenda jam sit trajectoria APB, quae tangat rectam TR, transeatque Per Punctum quodvis P extra tangentem datum, quaeque similis sit figurae sipo, axe principali ab M umbilicis s, is descriptae. In tangentem TR demitte Perpendiculum sae, M produc idem ad V, ut sit TV aequalis ST. Angulis autem VSP, SVP fac angulos hsq, Jhq aequales ; centroque q, Scintervallo, quod sit ad ab ut SP ad Vs, describe circulum secantem siguram apb in p. Junge sp, 8c age sit quae sit ad sis ut est sp ad V, quaeque angulum PSH angulo tu, M angulum VSH angulo pN aequales constituat. Denique umbilicis S, I , D axe principali AB distantiam via aequante, describatur sectio conica. Dico factum. M a Nam
125쪽
Nam si agatur set , qudo sit ad sp ut est sh ad sq, quodque constituat angialum et sp angulo bH 8c angulum Cis angulo 1 sq aequales, triangula suri spq erunt similia; Sc propterea is crit ad re ut est uad sq, id est ob similia triangula usP, hsq) ut ost us ad sp stu ob ad ID. A quantur crgo Sc ab. Porro ob 1imilia triangula VSH, Oh, est vii ad SH ut vh ad sB; id est, axis conicae sectionis iam descriptae ad illius umbilicorum intervallum, Ut axis ab ad umbilicorum intcrvallum sh; M propterea figura iam descripta similis est figurae apb. Transit autem haec figura per Punctum P, co quod triangulum PSH simile sit triangulo psh; Sc quia vuaequatur ii sitis axi, Sc VS bisecatur perpendiculariter a recta TR, tangit cadem rectam TR. Q. E. F.
A datis Iribus iunctis ad quartum non datum insiectere tres rectas, quarum diserentiae via dantur et ei nuine funt. f. I . Sunto puncta illa data A, B, C, M Punctum quartum Z, quod invenire oportet; ob datam disserentiam linearum AZ, BZ, locabitur punctum Z in Hyperbola cujus umbilici sunt A Ω Η, Ω principalis axis differcntia illa data. Sit axis ille MN. Cape pM 'ad ΜA ut est MN ad AB, M orccta P R Perpendiculari ad AB, dc- missaque ZR perpendiculari ad PR; erit, eX natura hujus hyperbolae, ZR ad AZ ut est MN ad AB. Simili discursu punctum et locabitur in alia hyperbola, cujus limbilici sunt A, c, 8c principalis axis differentia inter Ag 8c cZ ; ducique potest QS ipsi AC pcrpcndicularis, ad quam si ab hyperbolae
hujus puncto quovis Z demittatur nommatis Zs, haec fuerit ad AZ ut est illia forentia inter AZ M CZ ad AC. Dantur ergo rationes ipsarum ZR M Zs ad Ag, M idcirco datur carundem ZR MZs ratio ad invicem ; ideoque si rectae RP, SQ Concurrant in T, M agantur
TZ M TA, figura TRZs dabitur specie; δέ recta TZ, in qua Punctum et alicubi
126쪽
locatur, dabitur positione. Dabitur etiam recta TA, ut 8c an-Luina
MIus ATZ ς te, ob datas rationes ipsarum AZ ac TZ ad Zs, dabitur earundem ratio ad invicem; M inde dabitur triangulum A TZ, cujus vertex est Punctum Z. Q. E. I. f. a. Si dure cx tribus lineis, Puta AZ M BZ, aequantur, ita age rectam TZ, ut bisecet rectam An ; dein quaero triangulum A TZ, Ut supra. f. 3. Si omnes tres aequantur, locabitur PUnctum Z in contro circuli per Puncta A, B, C transeuntis. Q. E. I.
Solvitur etiam hoc lemma problemat lcum per librum Tactionum volgonii a Vina restitutum. P R O P. XXI. P R O B. XIII. Trajectoriam circa Ium umbilicum describere, quar transbit per puncta data, est rectas postione daIas continget.
Detur timbilicus S, punctum P, 8c tangens TR, Sc inveniendus sit umbilicus alter II. Ad tangentem demitte Perpendiculum ST, M produc idem ad Y, ut sit TY aequalis ST, A erit FH aequalis ini Principali. Junge SP, Il P, Sc crit SP differentia inter H P Sr axem principalem. IIoc modo si dentur plures tangentes TR, Vel plura puncta P, devenietur semper ad lineas totidem YH, Vel PH, a dictis punctis Y, vel P, ad umbilicum H ductas, quae Vel aequantur axibus, vel datis longitudinibus sp differunt ab iliadem, atque ideo quae vel aequantur sibi invicem, vel datas habent differentias ;S II 8c inde, per lemma superius, datur umbilicus ille altor A. Habitis autem umbilicis Una cum axis
longitudine quae vel ost YH; vel, si trajectoria Ellipsis est, P Η Φs P; sin IIyperbola, PH-s P habetur trajectoria. Q. E. I.
Scholium. Ubi trajectoria est IIyperbola, sub nomine hujus trajectoriae oppositam hyperbolam non comprehendo. CorPUS enim Pergendo in motu suo in oppositam hyperbolam transire non Potest.
127쪽
Casus ubi dantur tria puncta sic solvitur expcditius. Dentur Puncta B, C, D. JunctaS BC, CD Produc ad Ε, F, ut sit E B ad EC Ut SH ad SC, M Fc ad FD ut SC ad sD. Ad EF ductam Sc productam demitte normales S G, B H, inque cas insinite Producta cape GA ad As, M Ga ad as, Ut est HB ad IIS ; M orit A Vertex, M A anxis principalis trajectoriae: quae, Perinde Ut GA major, aequalis, vel minor fuerit quam AS, erit Ellipsis, Parabola vel Hyperbola; puncto a in Primo calii cadente ad eandem Partem lineae GF Cum puncto A ; in secundo Casu abeunte in infinitum ; in tertio cadente ad contrariam Partem linear. GF. Nam si demittantur ad GF perpendicula CI, DK ; erit Io ad HB ut EC ad EB, hoc est, ut sc ad sn ; M vicissim IC ad se ut HB ad SB, sive Ut GA ad SA. Et simili argumento probabitur esse KD ad SD in eadem ratione. Jacciat ergo Puncta B, C, D in coni sectione circa umbilicum s ita descripta, ut rectae omneS,
ah umbilico s ad singula sectionis puncta ductae, sint ad perpendicula a punctis iisdem ad rectam GF demissa in data illa ratione. Methodo haud multum dissimili hujus Problematis solutionem tradit clarissimus Geometra De la Hire, Conicorum suorum Lib.
SEC ΤΙΟ U. diventio orbium ubi umbilicus neuter datur. LEMMA XVII. Si a datae conicae fectionis puncto quovis, P, ad trapezii alicujus, ABCD, in conica illa sectione inscripti, latera quatuor in ite producta, AB, CD, AC, DB, totidem rectae, PQ , PR, PS, PT, in datis angulis ducantur, singulae ad singula: rectangulum ducta um ad oppo
128쪽
sita duo latera. Ροκ PR, erit ad remmulum ductarum ad alia I ista
duo latera opposta, PS κ PT, III Otia ratIsne. f. I. Ponamus Primo lineas ad opposita latera cluetas parallelas esse alterutri reliquorum laterum, Puta P in Sc PR lateri AC, S: Ps ac Pae lateri AB. Sintque insuper latera duo ex oppositis, puta AC M BD, 1ibi invicem Parallela. Et recta, quae bisecat parallela illa latera, erit una ex diametris conicio sectionis, Sc hisc-cabit etiam Ru. Sit o Punctum in quo RQ bisecatur, Sc erit Po ordinatim applicata ad diametrum illam. Produc PO ad Κ, ut sit onaequalis Po, 8c erit ος ordinatim applicata ad Contrarias Partes dia . metri. Cum igitur Puncta A, B, P 8d n sint ad conicam 1e nionem, Se PK secet AB in dato angulo, crit Per Prop. XVII, XIX, XXI 8c xx m. Lib. 3. Conicorum Apri nilyred angulum PQR ad rectangulum AQB in data ratione. Sed unia PR aequales sunt; utpote aequalium Ο Κ, Ο P, Ω Οχ, OR differentiae ; M inde etiam rectangula PQK M PQ κ ΡR aequalia sunt; atque ideo rectangulum PQAPR est ad rectangulum AQB, hoc est ad rectangulum Ps κ ΡΤ, in data ratione. Q. E. D. f. a. Ponamus jam trapcZii latera opposita AC M BD non esse parallela. Age Bd Parallelam AC M occUrrentem tum rectae suin I, tum conicae sectioni in HJunge cd secantem PQ in ' 8c ipsi PQ Parallelam age Dra secantemcd in Μ, M AB in N. Jam ob similia triangula B TI, DBN ; est B. seu PQ , ad Tt ut D N ad N B. Sic& Rr cst ad Ain, seu PS, ut Dra a lAN. Ergin duoendo antecedentes in antecedentes, & Consequentes in consequentes, ut rectangulum PQ in Rr est ad rectangulum Psua Tt, ita rectangulum N DII est ad rectangulum AN B, M Per Cas. I. ita rectangulum PQ. in Pr est ad rectangulum. PS ita Pt,
129쪽
ac divisim ita rectangulum PQAPR. est ad rectangulum PSκΡΤ. Q. E. D. f. s. Ponamus denique lineas quatuor PQ , PR, PS, PT, non esse parallelas lateribus AC, AB, sed adca utcunque inclinatas. Earum vice age Pq, Pr Parallelas i Pli AC I PI, Pt parallelas ipsi AB; ἴc Propter datos an
LEMMA XVIII. Iisdem tostis, s rectangulum d Iarum ad opposita duo D era Ira
pezii, PQ PR, sit adrectangulurn ductarum ud reliqua duo latera, Ps κ PT, in data ratione; punctum P, a quo lineae sicuntur, tanget conicam sectionem circa trapezium descriptam. Per Puncta A, B, C, D M aliquod in sinitorum Punctorum P, Puta p, concipe conicam sectionem dcscribi: dico punctum Plianc semper tangerc. Si negas, junge AP secantem hanc coni
PR ad Ps κ PT. Est M Propter similitudinem trapeZiorum ol. , PQAs, ut M ad ου ita PQ ad Ps. Quare, aPPlicando terminos prioris proportionis ad terminos Co respondentes hujus, erit θn ad bd ut pR ad PT. Ergo traPeZia aequiangula
130쪽
aequi angula D ndii, DRPΥ similia sunt, M corum diagonales Db, DPLi Propterea coincidunt. Incidit itaque is in interstetionem rectarum AP, DP, ideoque coincidit cum Puncto P. Quare Punctum P, ubicunque sumatur, incidit in assignatam conicam sectionem.
Q. E. D. Cors. Hinc si rectae tres, Piu, PR, PS, a Puncto communi Ρ ad alias totidem politione datas rectas, AB, CD, AC, singulae ad tingulas, in datis angulis ducantur, sitque rectangulum sub duabus ductis, PQ κ PR, ad quadratum tertiae Ps in data ratione : Punctum P, a quo rectae ducuntur, locabitur in sectione conica, quae tangit lineas AB, CD in A Sc C ; Sc contra. Nam Coeat linea BD cum linea Ac, manente Positione trium AB, CD, AC; dein cocat etiam linea PT cum linea PS : δ rectangulum PSκ ΡΤ evadet PS quad. rectaeque AB, CD, quae Crirvam in Punctis A B, C Sc D secabant, jam curvam in Punctis illis coeuntibus non amplius siccare possunt, sed tantum tangent. Scholium. Nomen Conicae sectionis in hoc I .cmmato late sumitur, ita ut lectio tam rectilinea, per verticem coni transiens, quam Circularis,
basi parallela, includatur. Nam si punctum p incidit in rectam,
qua Puncta A S D, vel C Ω n, junguntur, conica sectio vertctur ingeminas rcetas, quarum una est recta illa in quam punctum pincidit, Sc altera cit recta, qua alia duo ex punctis cluatuor junguntur. Si trapcgii anguli duo oppoliti simul sumpti aequentur duobus rectis, M lineae quatuor PQ, PR, Ps, PT ducantur ad latera vjus, Vel Perpendiculariter, vel in ungulis quibusvis aequalibus, sit lue rectangulum sub duabus cluetis, PQA PR, aequale restangulo sub duabus aliis, PS κ PT, 1cchio conica evadet circulus. Idem fiet, si lineae quatuor ducantur in angulis quibusvis, A rectangulum sub duabus ductis, PQ κ PR, sit ad rectangulum sub aliis duabus, Ps κ ΡΤ, ut rectangulum sub sinubus angulorum, s, Τ, in quibus duae ultimae, PS, P r, ducuntur, ad rectangulum sub sinubus angulorum,
sibus locus puncti P erit aliqua trium figurarum, quae Vulgo n minantur 1uctiones conicae. Vice autem trapegii ABCD substituti Vo L. II. N potest