장음표시 사용
141쪽
natam novam ; AD abscissam primam, ad abscissam novam: opolum, o D radium abscindentem, O A radium ordinatum Primum,oa quo Parallelogrammum o ABa completur radium ordina
Dico jam quod, si punctum G tangit rectam lineam positione datam, punctum g tanget etiam lineam metam Positione datam. Si punctum G tangit conicam sectionem, punctum G tanget etiam conicam sectionem. Conicis sectionibus hic circulum annumero. Porro si punctum G tangit lineam tertii ordinis analytici, punctum g tanget lineam tertii itidem ordinis ; M sic de curvis lineis superiorum ordinum. Lineae duae criint ejusdem semper ordinis analytici quas Puncta G, g tangunt. Etenim ut est ad auo Α ita sunt od ad OD, dg ad Do, & AB ad AD ; ideoque AD aequalis est ' M DG aequalis est Iam si punctum G tangit rectam lineam, atque ideo in aequatione quavis, qua relatio inter abstissam AD . M ordinatam DG habetur, indeterminatae illae AD M DG ad unicam tantum dimonsionum astendunt, stribendo
aequatio nova; in qua abscissa nova, ad, M ordinata nova, di ad Unicam tantum dimensionem astondent, utque ideo quae designat lineam rectam. Sin
tra, astendebant ad duas cli- mensioncs in aequatione Prima, astendent itidem ad 8c θ ad duas in aequatione secunda. Et sic de tribus vel pluribus dimensionibus. Indeterminatae, ac EI, in aequatione secunda, M AD, DG in prima, ascendent 1emper ad eundem dimensionum numerum, Sc ProPterea lineae, fluas Puncta G, g tangunt, sunt ejusdem ordinis analytici. Dico praeterea, quod si recta aliqua tangat lineam Curvam in figura prima; haec recta, coclem modo Cum curva in figuram novam translata, tanget lineam illam curvam in figuri nova; M Contra. Nam si curvae Puncta quaevis duo accedunt ad invicem M
142쪽
coeunt ita figura prima, puncta eadem translata accedent ad in-Lis1aviccm Sc coibunt in figura novit; atque ideo rectae, quibus haec puncta junguntur, simul evadent curvarum tangentos in figura utraque. Componi possent harum assertionum demonstrationes more magis geometrico. Sed brevitati consillo. Igitur si figura rectilinea in aliam transmutanda est, sussicit rectarum, a quibus conflatur, intersectiones transferre, Sc per easdem in figura nova lineas restas clucci c. Sin curvilineam transmutare oportet, transferenda sunt Puncta, tangentes, M aliae Tectae, quarum ope curva linea desinitur. Inservit autem hoc Lemma solutioni dissiciliorum Problematum, transmutando figuras propositas in simpliciores. Nam rcetae quaevis convergentos transemutantur in parallelas, adhibendo pro radio ordinato primo lineam quamvis rectam, quae per concursum convergentium transit; idque quia concursus ille hoc pacto abit in infinitum ; lincte autem parallelae sunt, quae nusquam concurrunt. Postquam autem Problema solvitur in figura nova; si per inversas operationes transmutctur haec figura in figuram primam, habebitur solutio quaesita. Utile est otiam hoc Lemma in solutione solidorum Problematum. Nam quoties duae sectiones conicae obvenerint, quarum intersectione Problema solvi iratost, transmutare licet carum alterutram, si Hyperbola sit vel Parabola, in Ellipsin : deinde Ellipsis facile mutatur in Circulum. I cetam item Sc sectio conica, in
conitructione Planorum Problematum, vertuntur in rectam S circulum.
P R O P. XXU, P R O B. XVII.. Grajectoriam describere, quae per data duo puncta transbis, rectas
tres continget postione datas. Per Concursum tangentium quarumvis duarum cum se invicem, M concursum tangentis tertiae cum recta ill 1, quae Per Puncta duo data transit, age rectam infinitam; estque adhibita pro radio ordinato primo, transmutetur figurae, per Lemma superiUS, inifiguram noVam. In hac figura tangentes illodi cluae evadent sibi
143쪽
invicem parallelae, M tangens tertia fiet parallela rectae per Puncta cluo data transeunti. Sunto hi, kI tangentos illae duae paralleloe, it tangens tertia, & hi recta huic Parallela trai siens pcr puncta illa, G, b, Per quadconica sectio in hac figura nova transirc debet, & parallclogrammum MN Complens. Secentur rectae hi, ik, Hin c, d, e, ita ut sit hc ad latus quadratum rectanguli aho, is ad id, M te ad id, ut est summa rectarum M M H ad summam trium tricarum, quarum Prima est recta
D, 8e alterae duae sunt latera quadrata rectangulorum abb M aD: Sc erunt c, d, e Puncta contactuum. Εtetiim, eX Conicis, 1 uni hcquadratum ad rectangulum abh, M se quadratum ad id quadratum, M ste quadratum ad id quadratUm, Sc es quadratum ad rectangulum aD in eadem ratione; ia Propterca sc ad latuS quadratum ipsius alo, is ad id, te ad M, Se es ad latus quadratum ipsius albsunt in subduplicati illa ratione; Sc composite, in data ratione omnium antecedentium M M stl ad omnes consequentes, quae sunt Iatus quadratum rectanguli abb, 8c recta ii, Sc latus quadratum rectanguli aD. Habentur igitur, ex dat1 ill1 ratione, Puncta Con tactuum c, d, e, in figura nova. Per invcrsas operationes Lemmatis novissimi transferantur haec puncta in figuram Primam, Mibi per Prob. xiv. describetur trajectoria. Q. E. F. Caeterum
Perinde ut puncta a, b jacent vel inter puncta θ, i, vel extra, debent puncta c, d, e vel inter Planeta θ, i, h, i capi, Vel extra. Si Punctorum a, b alterutrum cadit inter puncta Θ, I, 8c alterum extra, Problema impossibile est. P R O P. XXVI. PROB. XVIII. Trajectoriam describere, qtiae transit per punctum datum, rectas
quatuor postis/Ie Ias contis t. Ab intersectione communi duarum quarumlibet tangentium ad intersectionem Communem reliquarum duarum agatur recta infinita ; M, eadem Pro radio ordinato primo adhibita, transmutetur I figura
144쪽
figura per Lem. xx II. in figuram noVam, M tangentes binae, quae ad radium ordinatum Primum concurrebant, jam evadent Parallelae. Sunto illae hi M H, . ilia hi, continentes Paraliclogrammum
Biti. Sitquep punctum, in hac nova figura, puncto in figura prima clatorcspondens. Per figurae Centrum o
agatur sq, 8c existente Oq aequali Θ, erit q Punctum alterum, Per quoascetio conica in hac figura nova transire debet. Per Lemmatis XXII. Ο-
Perationem inversam transferatur hoc punctum in figuram primam, M ibi habebuntur puncta duo per quae trajectoria describenda est. Por eadem vero describi potest trajectoria illa per Problema XVII. Q. E. F.
Si recZe duie positione dine, AC, BD, ad data puncta, A, B, term nentur, datamque habeant rationem ad invicem, ce recta CD, qua puncta indeterminata C, D junguntur, secetur in ratione data in L : dico, quod punctum K locabitur in rem postione
Concurrant enim rectae AC, BD in Ε, Ω in B E capiatur BG actng ut est AD ad AC, sitque FD semper aequalis datae EG ; 8c crit ex constructione EC ad GD, hoc est, ad AF, ut AC ad BD,. coque in ratione data, MPropterea dabitur specie triangulum E FC- Secetur CF in L, Ut sit c L ad os in ratione Cia ad c K ; ia, ob datam illam rationem, dabitur etiam specie triangulum EF L; . Proindeque punctum L locabitur in rccta EL positione data. Iunge LL, M similia crunt triangula CLς, CFD;. M ob datam FD M clatam rationcm LX. ad F D, dabitur LΚ.. Huic aequalis capiatur EII, 8cerae
145쪽
crit semper ELRH Parallelogrammum. Locatur igitur punctum K in parallelogrammi illius latere positione dato HK. Q. E. D. Corol. Ob datam specie figuram TFLc, rectae tres EF, EL M Eo, id est, GD, HK. MEc, datas habent rationes adinvicem.
Si res Ze tres tangant quamcunque coni se talon , quarum irie parancko sint ac dentur pyilione; dico, quod sectionis semidiameter hisce duabus parasiela, si media troportionalis in er barum segmentia, punctis con actuum cst IangenIi tertiae interjecta. Sunto AF, G B paralleloe duae coni sectionem ADB tangentos in A n ; ΕF recta tertia Coni sectionem tangens in I, 8c occurrens prioribus tangentibus in F M G ; sitque CD semidiameter figurae tangentibus Parallela: dico quod AF, CD, BG sunt continue proportionales. Nam si diametri conjugatae AB, D M tangenti FG occurrant in E M H, seque mutuo secent in C, M Compleatur Parallelogrammum ΙΚCL; erit, cx natura sectionum conicarum, Ut EC ad C A ita C A ad c L, M ita divisim Ec-CA ad c Λ-CL, seu LA ad AL, M compositu EA ad ΕΑΦAL, seu EL, Ut EC ad ΕC ε CA, scu EB ; ideoque, ob similitudinem triangulorum E AF, ELI, ECH, EBG, AF ad LI ut CH ad BG. Esto itidem, cX natura stetionum conicarum, LI seu Cc ad CD ut CD ad CH; atque ideo eX aequo Perturbate AF ad CD ut cD ad BG. Q. E. I . Corol. I. Hinc si tangentes duae FG, PQ tangentibus paralleli S
146쪽
AP, Bo occurrant in F M G, P Sc χ, seque mutuo secent in O; Li, ierit ex cu trio Perturbato AF Sc Bin ut AP ad BG, Se divissim ut i. pi'Ri v qad Gin, atque ideo ut FO ad OG. Corol. 2. Unde etiam rectae duae, PG, Fin, Per Puncta P M G, F M inductae, concurrent ad rectam ACB per centrum figurae MPuneta contactuum, A, B, transeUntem.
Si paralialogrammi latera quatuor insinue producta tangant sectionem quamcunque conicam, ta abscindantur ad tangenIem quamvis quintana; fumantur autem uterum quorumvis duorum conterminorum abscissae terminatae ad angulos opposi os parriLD- grammi: dico, quod abscisa alterutra sit ad larus EDd a quo es abscisa, ut pars lateris alterius contermini, inter tunestam contactus N latus tertium, es ad absit arum altεram. Tangant parallelogrammi MLin latera quatuor, Μ L, IK, KL, MI, sectionem conicam in A, B, C, D ; 8 secet tangens quinta, Fin, haec latera in F, H ME ; sumantur autem laterum MI, Κ I abscissae ME,
abscissae LII, MF : dico, quod sit ME ad Μi ut DL ad Κὶς Ω ΚΗ ad KL ut A M ad MF. Nam per corollaritim Primum Lemmatis superioris est ME ad Ei ut AM, seu BK, ad BD MComponendo, ME ad MI ut BK ad KQ. Q. E. D. Item KH ad HL Ut BK, seu AM, ad AF ; Sc dividendo, RH ad KL ut ΑΜ ad MF. Q. E. D. Corol. I. Hinc si datur paralleIogrammum IKLM, circa datam sectionem conicam descriptum, dabitur rectangulum KQA ME, Ut dc huic aequale rectangulum ΚΗ κ ΜP. AEquantur enim TCctangula illa ob similitustinem triangulorum KQH, MFE. VOL. II.
147쪽
Corol. 2. Et si sexta ducatur tangens, ess, tangentibus ΚI, bii occurrens in q& e; rectangulum ΚΘ ME aequabitur rectangulta Κq κ Μe; eritque Κὶ ad. ble ut Kq ad ΜΕ, Ω clivisim ut QN ad F. e. Corol. 3. Unde etiam si Eq, eQIungantur M hise centur, M recta Per PunCta bisectionum agatur, transibit haec Per centrum sectionis conicio. Nam cum sit us ad Ee ut KQ ad Me, transibit eadem recta per medium omnium Eq, eQ , MK Per Lem. XXIII.) 8c medium. Tectae M K. est centrum sectionis.
P II o P. XXVII. P R O B. XIX. Wrajectoriam describere, quae rectas quinque possione datas continget. Dentur positione tangentes ABG, BCF, GCD, FDE, EA. Figurae quadrilatcrae sub quatuor quibusvis contentae, ABFE, diagonaleS, AF, ΗΕ, biseca in M M N, M Per Corol. 3. Lem. XXV. recta MN, Perpuncta'.
148쪽
puncta bisectionum adia, transibit Per centrum ti ductoriae. Rur-Livi αsus figurie quadrilaterae, BG DF, sub aliis quibusvis quatuor tangentibus contentre, diagonales ut ita dicam np, GF biseca in pia D Sc re, ta PQ , Per Puncha biseetionum acta, transibit per centrum trajestori . Dabitur orgo centrum in Concursu bisecantium. Sit illud o . Tangenti cuivis, BC, Parallelam age KL, ad eam cli1- tantiam, ut centrum o in medio inter Parallelas locetur, aetaΚ L tanget trajeeforiam doscribendam. Secet laetuc tangentes alias quasvis duas, GCD, FDE, in L K. Per harum tangentium non Parallelarum CL, FΚ Cum Parallelis CF, KL Concursus, C Ω Κ, F ML, Me CK, FL conCurrentes in R, M recta OR clueta M producta secabit tangentes Parallelas CF, KL in Punctis contactuum. Patot hoc Per Corol. 2. Lem. XXIV. Eadem methodo invenire licet alia contactuum puncta, Sc tum demum Per construci. I'rob. XIV. trajectoriam describere. Q. E. F. Scio m. Problemata, ubi dantur trajectoriarum Vel centra vel asymPloti, includuntur in praecedentibus. Nam datis punctis Se tan-gCntibus una cum centro, dantur alia totidem Phincia aliaeque tangentes a centro eX altera ejus parte aequaliter distantes. Asymptotos autem Pro tangento habcnda est, M ojus terminus infinite distans si ita loqui fas si pro puncto contacius. Concipe
tangentis cujusvis punetum conta tus abire in infinitum, Sci tangens vertetur in Asymptoton, atque constructiones Problematum praecedentium vertentur in Con1tructiones ubi Asymptotos datur. Postquam trajectoria descripta cri invenire licet axes umbilicos ejus hac methodo. In constructione M sigura Lemmatis
xx I. fac ut angulorum mobilium P BN, PCN Crura, BP, CP, quorum concursu trajcetoria describebatur, sunt sibi invicem parallela, eumque servantia situm revolvantur circa polos suos B, C in si-gura illa. Interea vero describant altera angulorum illorum crura, CN, BN, concursu suo K vel k, circulum BCRC. Sit circuli hujus centrum O. Ah hoc centro ad regulam MN, ad quam altera illa crura, CN, BN, interea concurrchant, dum trajectoria describebatur demitte normalem oti circulo occurrentem in K M L. Et ubi P a Crura
149쪽
TIGcrura illa altera CK, ΒΚ concurrunt ad Punctum illUd Κ, quod re gula: P Pius est, Crura Prima, CP, DP, Parallela erunt axi majori,M pcrpendicularia minori; M Contrarium eveniet, si crura eadem Concurrunt ad punctum remotius L. Unde si detur trajectoriae centrum, dabuntur axes. ΙIisce autem datis, umbilici sunt in
Axium vero quadrata sunt ad invicem ut L H ad Lil, M inde facile est trajectoriam specie datam per data quatuor puncta describerc. Nam si duo ex punctis datis constituantur. Poli C, B,. tertium dabit angulos mobiles, PCK, PBK ; his autem datis descri-hi potest circulus B GKC. Tum, ob datam specie trajectoriam, clabitur ratio OH ad OK, ideoque ipsa o H. Centro O, 8c intervallo ora, describe alium circulum, ia recta, quae tangit hunc circuliam,& transit Per concursum CrUrum C Κ, ΒΚ, ubi Crura Prima, CP, BP, Concurrunt ad quartum datUm punctum, erit regula illa Mescujus ope trajectoria describetur. Unde etiam vicissi m trapezium
specie clatum si casus quidam impossibiles excipiantur) in dati, quavis sectione conica inscribi potest.
Sunt M alia Lemmata, quorum ope trajectoriae specie datae, datis punctis Se tangentibus, describi possunt. raris generis est quod, 1i recta linea per punctum quodvis Positione datUm ducatur, qua datam coni sectionem in punctis duobus intersecet, M intersectionum intervallum bisecetur, punctum bilectionis tanget aliam coni sectionem ejusdem speciei cum priore, atque axeS habentem Prioris axibus Parallelos .. Sed Propero ad magis utilia.
150쪽
Trianguli, specie π magnitudine dati, tres angulos ad rectas totidem postione datas, qua non sunt omnes parrige , singulos adiv
las ponere. Dantur positione tres rectae infinitae AB, AC, BC, M OPortet triangulum D EF ita locare, ut angulus ejus D lineam AB, anguluS E lineam AC, M angulus Flineam BC tangat. Super D Ε,. DP M EP describe tria circulorum segmenta DRE, DGF, EΜF ; quae capiant angulos angulis BAC, ABC, ACB M- quales respeetive. Describat tur autem haec stamcnta ad eas ParteS lineariam DE, DF, EF, ut literae D, R, E, Deodem ordine Cum literis B, A, C, B ; literae D, G, F, Deodem Cum literis A, B,
eodem Cum literiS A, C, . B, A in orbem redeant; deinde compleantur haec segmenta in circulos integrOS. Secent circuli duo Priores se mutuo in G, sintque Centra corum
P M Q. Iunctis GP, PQ , ca e Ga ad AB uteit GP ad PD 8c Centroi G, intervallo Ga, describe circulum, qui secet circulum Primum, DGE, in a. Jungatur tum aD secans circulum secundum, DFG, in b, tum aE secans Circulum tertium, EMF, in c. Et jam licet figuram Ancias constituem