장음표시 사용
151쪽
stituere similem Se aequalem figurae abcDEF. Quo facto Perficitur Probicina. Agatur crat ii Fc ipsi aD occurrens in =r, Τc jungantur aG, bo, QG, QD, PD. Ex Con1tructione eit angulus EaD aequaliSangulo C AB, M angulus a FaequaliS angulo ACB, ideoque triangulum anc triangulo ABC aequianguliam. Ergo angulus anc, seu FIID, angulo ABC, ideoque angulo FbD aequalis
usi ; ἴe propterea Punctum nincidit in punetum b.
centrum GPD, aequalis cst angulo ad circumsc-rentiam GaD ; M angulus G QP, qui dimidius cst anguli ad centrum
G , aequalis eli complemento ad duos rectos anguli ad Circumfereni iam GID, ideoque aequalis angulo GD; suntque ideo triangula GPQ ,
o ab similia; Se Ga eliad ab ut GP ad PQ ; idolt cx constructione ut Ga ad AB. A quantur itaque ab MAB ; Sc ProPterea triangula abc, ABC, quae modo similia esse probavimus, sunt etiam aequalia. Unde, cum tangant insuper trianguli DEF anguli, D, E, F trianguli abc latera ab, ac, bc, respective, compleri potest figura AB cdes figurae abcDEF similis Maequalis, atque cana complendo solvetur Problema. Q. E. F. Corol. II inc recta duci potest, cujus partes, longitudine datae, rectis tribus politione datis interjacebunt. Concipe triangulum DEF, Puncto D ad latus EF accedente, M lateribus DE, DF in directum
152쪽
rectum positis, mutari in lineam rectam, Ciajus Pars data, DE, recti S I.inea positione datis AB, AC, Sc Pars data, DF, rectis positione datis AB, BC, interponi debet; 8e applicando constructionem P cedentem ad hunc casum solvetur Problema.
P R O P. XXVIII. P R Ο B. XX. infectoriani specie γ magnitusne datam describere, cujus tartes
datae rectis tribus, positione datis, interjacebunt. Describenda sit trajectoria, quae sit similis Sc aequalis lineae cur-VM DEF, quaequae a rectis tribus, AB, AC, BC, positione datis, in partes datis hujus partibus, DE M EF, similes M aequales secabitur. si Age rectas DE, EF, DF, M trianguli hujus, DEF, Pone angulo D, E, F ad rectas illas positione datas per Lem. XXvI. dein Circae. triangulum describe trajectoriam curvae DEF similem Sc aequalem. .
Q. E. F..L E M M A XXVI L. Crapezium specie datum d scribere, cujus anguli ad rectas quatuor
positione datus, quae ncque omnes para aegre sunt, neque Gil com mune punctum convergunt, singuli ad singulas cons ent. Dentur Positione rectae quatuor, ABC, AD, BD, CE ; quarum prima secet secundam in A, tertiam in ii, S quartam in C : M. describendum sit irascatum fg hi, quod sit trapeato FGHI simile; . M Cujus angulus L angulo dato P aequalis, tangat rectam ABCca terique anguli h, i, caeteris angulis datis G, H, I aequales, tangant caeteras lineas AD, BD, CE respective. Jungatur FH, M sUPeri FG, FH, FI describantur totidem circulorum segmenta FSG, FTH
153쪽
FVI ; quorum Primum FSG capiat angulum aequalem angulo BAD; secundum FTH capiat angulum aequalem angulo CBD; aC tertium FVI capiat angulum aequalem angulo ACE. Describi autem de hent segmenta ad eas Partes linearum FG, FH, FI, ut literarum F, C, F idem sit ordo circularis, qui literarum B, A, D, B; Utque litem F,T,II,F eodem ordine cum literis C, B, D, C; Sc literae F, V, I,F mclem Cum literis A, C, Ε, Λ in Orbem redeant. Compleantur segmenta in circulos integros, sitquc P centrum circuli primi FSG, M Q centrum secundi FTH. Jungatur Se utrinque producatur PQ , Sc in ea capiatur QR, in ca ratione ad PQ , cpiam habet BC ad AB. Capiatur autem QR ad eas Partes puneti Q, ut literarum P, Q , R idem sit ordo atque literarum A, B, C : Centroque, R M intervallo RF, describatur circulus quartus, FNc, secans circulum tertium, FVI, in c. Jungatur Fc secans circulum Primum in a, M secundum in b. Agantur GG, bil, cI, 8 sigurae abcFGm similis constitui potest fi
gura AB cs M. Quo facto crit trapezium fghi illud ipsum, quod
Secent enim circuli duo primi, FSG, FTH, se mutuo in K. Iungantur PK, QK, R K, GK, bΚ, cΚ, Sc Producatur QP ad L. Anguli ad circumferentias, Faς, FbΚ, Fcς, sunt semimes angulorum FP Κ, FQK, FRK ad centra; ideoque angulorum illorum dimidiis, LPK, LQKν
154쪽
LQK, LRK, aequales. Est ergo figura PQRς figurae abcK aequian-Liset a
gula M similis; M propterea ab est ad bc ut PQ ad QR, id est, ut AB ad BC. Angulis insuper FaG, FbH, FcI aequantur sve, fBh, fCi, per constructionem. Ergo figurae abcFGHI figura similis Ancstbi compleri potest. Quo facto trapezium fg hi constituetur simile trapezio FGHi, Se angulis suis, A g, Θ, i, tanget rectaS ABC,
AD, BD, CE. Q. E. F. Corol. Hinc recta duci potest, cujus Partes, rectis quatuor positione datis dato ordine interjectae, datam habebunt proportionem ad invicem. ΑUgeantur anguli FGH, GHI usque eo, ut rectae FG, GH, HI in directum jaceant; M in hoc casu, construendo Problema, ducetur recta fghi, cujus Partes, fg, D, bi, rectis quatuor positione datis, AB M AD, AD M BD, BD M CE, interjectae, erunt ad invicem ut lineae FG, GH, HI, eundemque servabunt ordinem inter se. Idem vero sic fit expeditius. Producantur AB ad K, M BD ad L, ut sit BK ad AB ut HI ad GH ;M DL ad BD ut GI ad FG ; Sc jungatur KL occurrens rectae CE in 1.
Producatur j ad Μ, ut sit LM ad iL vt.GH ad III, 8c agatur tum ΜχiPsi LB Parallela, rectaeque AD occurrens in g, tum gi secans AB, BD in f, h. Dico factum. Secet enim N rectam Aa in m M. AD, rectam KL in S; M a
155쪽
AD ad Ag, ideoque ut BD ad gQ. Et vicissim, BR ad BD ut BO adseu Jo ad fg. Sed, ex conitru stione, linea BL eadem ratione secta fuit in D M R, atque linea Fi in o M H : ideoque est BR ad BD ut FH ad FG. Ergo fh in ad fg ut FH ad FG. Clim igitur sit etiam gi ad hi ut Mi ad Li, id est, ut G I ad HI, patet lineas FI, si, ing S: Θ, G M H, similiter sectas esse. Q. E. F. In constructione Corollarii hujus, Postiluam ducitur L Κ secanS.CF. in i, Producere licet ig ad v, ut sit Ev ad Ei ut FH ad HI, Magere U Parallelam ipsi BD. Eodem recidit si centro si intervallo ΙΗ, describatur circulus secans BD in X, M Producatur 1X ad V, ut sit iY aequalis I F, M agatur U ipsi BD parallela. Problematis hujus solutiones alias Wrennus M Iradisus olim cx
156쪽
Trajectoriam specie datam describere, quast a rectis quatuor, positione datis, in partes secabitur, ordine, specie cis proportione GIas.
Describonita sit trajectoria, quae similis sit lineae Curvae FGIII,& cujus Partes, illius partibus FG, GH, III similes M Proportionales, rectis AB M BD, AD M BD, BD M CE Positione datis, prima Primis, secunda sucundis, tertia tertiis interjaceant. Actis rectis latas AB, AD, BD, CE, singuli singulas dicto ordine. Dein circa hoc trapezium describatur trajectoria curvae lineae FGHi consimilis. Abolium. Construi etiam potest hoc Problema ut sequitur. Junctis FG, GH, HI, FI, Pr duc GF ad V, jungeque FH, I G, M angulis FGH,
VFH fac ang .lΟS CAΚ, DA L aequales. Concurrant ΑΚ, AL Cum recta BD in Κ. M L, M inde agantur ΚΜ, LN ; quarum ΚM Consti tuat angulum AK M aequalem angallo GHI, sitque ad AK ut est ui ad GH ; M LN constituat angulum ALN aequalem angulo FHi, sitque ad AL ut III ad FH. Ducantur autem ΑΚ, ΚΜ, AL, LN ad Cas Partes linearum AD, ΑΚ, AL, Ut litera: C, A,Κ,Μ,C; A, L, K,A; D, A, L, N, D; eodem ordine Cum literis F, G, H, I, F in orbem redeant; Sc acta MN occurrat rectae CE in L Fac angulum iEP aequalem angulo IGF ; sitque PE ad Ei ut FG ad GI ; M per P agatur P , quae cum recta ADE contineat angulum PQR aequalem angulo FIG, rectaeque Au
occurrat in f, de jungatur j i. Agantur autem PE ad PQ , ad eas Partes linearum C Κ, PE, Ut literarum P, E, GP M P, E,Q , P idem sit ordo circularis qui literarum F, G, ll, I,F; 8e si super lineast, eodem
157쪽
quoque literarum ordine, constituatur trapezium, isti, trapezior GAI simile, Sc circumscribatur trajectoria specie data, solvetur
Problema. Hactenus de orbibus inveniendis. Superest ut motus corporum in orbibus inventis determinemus.
De inventione motuum in ortibus datis. P R O P. XXX. P R O B. XXII. Corporis in data trajectoridparabolica moti invenire locum ad tempus assignatum. Sit s umbilicus, M A vertex Principalis Parabolae, sitque 4 As κ Maequale
A puncto R in ro deducatur ad perpendiculum recta un. Propter an Ium ad G rectum. rectasque GA, Gs inter se aequales, iunctae u A, iis inter se aequales erunt. Punctum igitur A est ad circulum centro R radio iis scriptum, ad quem est etiam punctum Parabolae P. Duae igiturai Α, a P inter se aequales 2 et quadratis ex HG, AG simul sumpta, cum propter angulum ad G ree tum quadrato ex ilA aequalia sint, quadrato quoque cx up erunt aequalia. Sed propter anguis tum ad x rectum, quadratum ex M p duobus quadratis ex ilR, Rν simul sumptis aequale est. Et cum propter sim am Ii ROG parallelogrammam, aequales inter se sint illae ita, Go, necnon illae io, Ro, erit vR' Go α Ao- AGl , et ra taetro Gul . Quare uγ', sive A ' Φ G ii α Ao - Ao I ενο- Gil Eaδm fere Le Saeur Dequiar. a AGNAomsAκAo; nempe cum ca ipsius f A semissis sit. Et FAκAo αἰνο', propter parabolam. Quare Ao' Α- i o - aGAorta Ao Φpo- - : Po' α Ao po . Eadem fere L. Saeue essyaequier, et in notis fuis M . Gregorius. ' κ pom l Ao κ op - so κ op. Sed spatium 3 Ao κ op aequale est areae parabolicae 6 . Aro. Hamilton. Conte. Lib. VI. I 3. 3: so κον aequale est triangulo sor. Quare Ro κ op k so κ op aequale erit areae Parabolicae Aps. Eadem fere Le Sartir es Dequier, ει in notis Dis ΦλGregorius. Verum tota haec demonstratio magis geometriee ad hunc serὶ modum concinnari potest.
158쪽
aequale areae parabolicae abscindendae AP s, quae, radio SP, Vel post exceTum Corporis de Vertice descripta fuit, vel ante appulsum ejus ad Verticcm describenda est. In notescit quantitas areae illius abscindendae ex tempore ipsi proportionali. Biseca As in G, erige iussperpendiculum GH aequale Z A G S 5 3M , circuluS centro II, intervallo us, descriptus secabit Parabolam in loco quaesito P. Nam, demissa ad axem perpendiculari Po, A ducta PH, est AG 7 Guq
GH erat 3Μ, sc indet GHκ As est 4ΛsκM. Ergo area abscissa AP saequalis est abscindendae 4 AS κ Μ. Q. E. D. Corol. I. Hinc GH est ad As, ut tempus, quo corpus descripsit arcum AP, ad temPUS, quo corpus destripsit arcum inter verticem A MCApia τυχ Aet tripla ipsus As ; iungantur Ar, et . Recha autem po circulo, centro H, radio usseripto, iterum in puncto x occurrat. Jam cum puncta quatuor A, s , P, x ad circulum illum sint, ideirco rectangula rox, Aos erunt intcr se aqualia. El. lli. 36. Quare si rectangulum OAs utrique aequalium addatur, duo rox, oAs timui sumpta duobus Aos, OAs limul sumptis, hoc est per El. II. a.) quadrato ex Ao, aequalia erunt. Addatur utrinque rectangulum po κ xR : erunt tria illa, rox, pOX xv, OAs, simul sumpta duobus, quadrato ex Ao et rectangulo po κ xx, simul sumptis aequalia. sed e tribus illis rox, roκxR, DAS, duo quidem, vox, PoκxR, re fiangulum Post eonficiunt. El. II. a. Quare duo pila, OAs sinui sumpta, duobus, quadrato ex Ao rectanguis loque Po κ x R. erunt aequalia. Sive, cum reetae x R, P R inter se aequales lint i El. III. 3. duo γοη,. DAs, duobus, quadrato ex Ao re tanguloque Po κ PR. aequalia erunt. Additoque utrinque rest- angulo pon, fiet duplum redianguli POR eum Dei. ngulo OAs, quadratis ex Ao. simul sumptis. aequale. Hoc est, cum recta ost ipsi .il si aequalis, et rectangi illim o As propter parabolam reuu.de sit parri quariae quadrati ex Po. erit rectangratum et nil κ ro cum parte quarta quadrati ex ro, aequale quadratis duobus cx Ao, ro limul sumptis. Ablataque utrinque parte quarta quadrati cx po, erit Gu κ rro Ao po'. Sed ro ΟΑ κ 3. s propter Parabolam) π: OA κ AZQitare Ao Φ e Poym Ao'q- A κ AZz: Zo κ O A. Erit igitur Gu Rapo α Σοκo. QMapropico ori κ 2Po: oti κ As m Zo κοA : Gu κ As. H. V. 7.ὶ Sed GH κ reo : Gll κ 4 As ' aroe 4 As El. v r. r.γα eo: aAs El. v. t s. 'AO : ἐνο propter parabolam . Quare zo Non : Gli κιAstat Ao : lpo. El. V. Ir.ὶ Sed ut Ao ad iro ita eii quadratum ex Aci ad triangulum PoΑ. El. IM i. & v . I. Quare Eoκ A cit ad Ciική as ut Ais' ad triangulum P A. Et permutando eo ad Ao ut Gn κ As ad triaesu: uin PoA. Sed ut et O ad Ao ita eu triangulum PoE ad triangulum.
159쪽
A M perpendiculum ad axem ab umbilico s erectum d).
unte, velocitas Puncti H est ad velocitatem, quam corpus habuit in vertice A, ut 3 ad 8 ; ideoque in cii ctiam ratione est linea OA ad lineam rectam, quam corpus, tempore motus sui ab A ad P, ea cum velocitate quam habuit in vertice A, describere posset ς . Corol. 3. Hinc etiam vice vers 1 inveniri potest tempus, quo corpus descripsit arcum quemvis assignatum AP. Junge A P M ad modium ejus punctum erige Perpendiculum rectae GH occurrens
Nulga extat rigura Ovalis, cujus area, rectis pro lubitu absissa, possit
ter aequaliones numero ferminorum ac dis dilanuminitas generaliter inveniri. Intra Ovalem detur Punctum quodvis, circa quod, ceu Polum, revolvatur perpetuo linea recta, uniformi Cum motu, & interea in recta illa excat punctum mobile de Polo, Pergatque semper cacum velocitate, quae sit ut rectae illius intra ovalem quadratum.
ΙΙoc motu punctum illud describet spiralem gyris infinitis. Jam si arcae ovalis, a recta illa abscissae, portio per sinitam aequationem inveniri potest, invenietur etiam per eandem aequationem distantia
P A. El. v I. r. 'Triangulum igiturro Z et rectangulum GHκ As ad triangulum roA catulem uti uin yle rationem habet. Triangulum igiturror rc tangulo GH κ 4 s aequale erit. Et cum ructa M pars terita sit rectis Gil, ac Proinde rcctangulum Μ κ Astriens rectanguli Gii κ 4As, idcirco pars tertia trianguli χον rectangulo M κ4A ae piale erit. Iam vero triangulum et op e duobus componitur, PAR, PA . Horum alterius quidem, P AZ, triangulum ps A pars tertia est inempe per Ll. v I. t. eum tessia Aa stadia est tripla ipsius As . Alterius autem, ν ΛΟ, icgmentum parabolicum ATν pars tertia est. Hamilton. Conic. I .ib. III. I 3. Ex triangulo igitur ps A eum segmetito parabolico ATr eonfit pars terita trianguli cγκ. Sed ex eodem triangulo ps A eum segmento paraholico AT p conlit sector parabolicus sAP.
160쪽
tra. pundii a polo, quae huic areae proportionalis est ; ideoque on1-Lias a
ma spiralis puncta Per aequationem finatam inveniri Postunt: MPropterea rectete cujusvis Positione datae intersectio cum spirali inveniri etiam potest Per sequationem finitam. Atqui recta omnis infinitu producta spiralcm iocat in punctis numero infinitis; 8 aequatio, qua intersectio aliqua duarum linearum invenitur, eXhitici earum intorsectiones omnes radicibus totidem, ideoque ascen-clit ad tot climensiones, quot sunt intcrsectiones. Quoniam circuli duo se mutuo secant in punctis duobus, intersectio una non invenietur nisi per aequationem duarum dimensionum, qua intersectio altera etiam inveniatur. Quoniam duarum stelionum conicarum quatuor esse possunt intersectiones, non Iγotest aliqua earum generaliter inveniri, nisi per aequationem quatuor dimensionum, qua omnes simul inveniantur. Nam si intersectiones illae scorsim quaerantur, quoniam eadem est omnium lex M conditio, idem erit calculus in casta unoquoque, M propterea eadem semper conclusio ; quae igitur debet omnes interscctiones simul complecti Et indisserenter exhibere. Unde etiam intersectioncs sectionum conicarum S curvarum tertiae potestatis, eo quod sex osse possunt,. simul Prodeunt per aequationes sex dimensionum; Se inter-1ectiones duarum Curvarum tertiae Potestatis, quia novem este possunt, simul prodeunt Per aequationes dimensionum novcm. Id nisi necessario fieret, reducere liceret Problemata omnia solida
ad plana, M plusquam solida ad solida. Loquor hic de curvis
φὶ REeτA ah umhilico sad perpendiculum eum axe edueta Parabolae in v eurrat, et eapiatur recta Gu tripla eius, quae cum As rectangulum claudat i patio Ar, aequale. Erit G v κ Λ, ' . ATs. Sed ATPs GH κ As. Q lare ΑTPs erit ad Ars, hoe est, tempus quo confici: ur arcus Ap ad tempus quo eonficitur arcus AT, ut GH ad G v. Praeterea clari area ΛTs sit Ψ Λ, Μ sT, et sT κ- qualis fit duplae As, erit Ατs msas . Sud Amsrae: GvκAs. Quare A, Gu κ As. Ac proinde Gumas. Tempus igitur quo conficitur arcus Ap erit ad tempus quo conficitur AT ut Gli ad A . .
scis 3Po. Quare GH : rozz 3 : S; primo scilicet, arcu Ap nascerite. Sed cum recta ro arcui quo Ap nascentes snt primo inter se aquales Lem. vii. ratio prima nascentis ieetae GH, motu
puncti ii scriptae, ad nascetatem P , ea erit quam celeritas prineti u saliena qua motum fauni incipiet habebit ad velocitatem eorporis, per parabolam letati, in ipsὼ vertice A. Sed aequabilis c imotus puncti it, propter aequabilem areae As' descriptionem, cujus utique rationem ructa Gn, cius eundo, constanter servat. Velocitas igitur xquabilis puncti H ad celeritatem cor Poris ιn Paea holae vertiee A, rationem habebit eam quam 3 ad 8. 4 E. D. Propter aequales RP, it A, punctum v erit ad rectam 1 medio puncio niatis AP ad PerPen