장음표시 사용
161쪽
potestate irreducibilibus. Nam si aequatio, per quam curva desinitur, ad inferiorem potestatem reduci possit: curva non critonica, sed ex duabus vel pluribus composita, quarum intersecti nes i ur calculos diversos seorsim inveniri possunt. Ad eundem
'modum interscctioncs binae rectarum sectionum conicarum Prodeunt semper per aequationes duarum dimensionum ἔ ternae rectarum 8 curvarum irreducibilium tertiae potestatis, per aequationes trium; quaternae Tectarum M Curvarum irreducibilium quartae
Potestatis, Per aequationes dimensioniam quatuor; M sic in infinitum. Ergo rectae Sc spiralis intersectiones numero infinitae, cum curva haec sit simplex, in curvas Plures irreducibilis, requirunt et uationes numero climensionum x radicum infinitas, quibus intersectiones omnes possitiat simul exhiberi. Est enim eadem omnium lex M idem calculus. Nam si a Irato in rectam illam secantem demittatur perpendiculum, Se perpendiculum illud, una Cum secante, revolvatur circa Polum, intersectiones spiralis transibunt in se mutuo, quaeque Prima crat, seu Proxima, Post unam revolutionem secunda erit; Post duas, tertia; Se sic deinceps: nec interea mutabitur aequatio, nisi Pro mutata magnitudine quantitatum, Per quas positio secantis determinatur. Unde cum quantitatus illae post singulas revolutiones redeunt ad magnitudines Primas, aequatio redibit ad formam Primam ; ideoque Una eademque exhibebit intersectiones omnes, Sc Propterea radices habebit numero infinitas, quibus omnes exhiberi Possunt. Nequit ergo intersectio rectae M spiralis per aequationem sinitam generaliter inveniri, Se idcirco nulla extat ovalis, cujus area, rectis imperatis abscissa, possit Per talem aequationem generaliter exhiberi. Eodem argumento, si intervallum poli M puncti, quo spiralis describatur, capiatur Ovalis Perimetro abscissae proportionale, Probari potest, quod longitudo Perimetri ncquit per finitam aequationem generaliter exhiberi. De ovalibus autem hic loquor, quae non tanguntur a figuris conjugatis in infinitum pergentibus.
IIinc area Ellipseos, quae radio ab umbilico ad corpus mobile. finitam;
εὶ Sieut ante NeWioniun Wallisius seeerat. Nempe eius est constructio Problematis Kepleriani
162쪽
I 29 ducto describitur, non Prodit eX dato temPore, Per aequationem Lise κfinitam; M propterea per descriptionem Cumarum geometrice rationalium determinari nequit. Curvas geometrice rationales appello, quarum Puncta omnia per longitudines aequationibus definitas, id est, per longitudinum rationes complicatas, determinari Possunt; caetcrasque ut spirales, quadratrices, trochoides) geometrice irrationales. Nam longitudines quae sunt vel non sunt ut Humerus ad numerum quemadmodum in decimo Elementorum sunt arithmetice rationes Vel irrationales. Aream igitur Ellipseos tempori proportionalem abscindo Per Curvam geometrice
irrationalem g), ut sequitur. Ρ R O P. XXXI. P R O B. XXIII. Corporis in data trajectoria elliptica moli inzenire locum ad tempus
assignatum. Ellipseos APB sit A vertex principalis, s umbilicus, M o centrum, sitque P corporis locus inveniendus. Produc OA ad G, insit oci ad OA ut OA ad os. Erige Perpendiculum GH, centroque o, M intervallo o G, describe circulum GEF, M super regula GH, ceu fundo, Progrediatur rota GEF, Te olvendo Circa axem suum, 8 interea, puncto suo A, describendo Trochoidem ALI. Quo facto, cape GK in ratione ad rotae Perimetrum GEFG, ut est tempus, quo corpus progrediendo ab A descripsit arcum AP, ad tempus reVolutionis cinius in Ellipsi. Erigatur Perpendiculum KL OccurrenS
163쪽
Trocho uti in L, M acta L P, ipsi ΚG parallela, occurret Ellipsi in
Nam centro o, intervallo o A, dc scribatur semicirculus Asta ; Marcui Au occurrat L P, si OPUS est Producta, in Q ς junganturque sin, octi Arcui EFG occurrat O Q in F, Sc in eandem Ou demittatur purpendiculum S R. Area APS est ut arca Aus, id est, ut differentia inter sectorem O QA Sc triangulum osts, sive ut disserentia rectangulorum Io I AQ M ORA SII ; hoc est, ob datam ἰοὶ, ut disserentia inter arcum Ainia re tam S R, ideoque Ciam eaedem
h) H ne quidem explieatius diei possint hoc modo. Area Ars est ad areani totaim Ellipseos Apa, ut area Aus ad aream circuli Atu Lemma I v. Cor. H. i): hoc est ut disterentia secioris onactriangulique ons ad aream circuli ΑΒ v, sive ut disturentia rectangulorum lonin Ao & Ι ouin saad rectangulum sub l ou se toto ambitu circuli An v : live rursum, ut disturentia arcilis Ast rectaeque
xx ad totum ambitum circuli An v. Arcus autem An cit ad ambitum circuli AEu, ut arcus spad ambitum circuli ore. Et recta sR ad ambitum circuli An v rationem habet, quae composita est E rationibus reetae sx ad linum arcus AR, snsisque ejus ad ambitum Anu. Sed, propter an is gulum ad x re tiam, resta sR erit adso ut sinus anguli sua, sive, arcus Aua ad radium OA. Peris mutando, sa erit ad sinum arcus AR, ut so ad OA. Sed Soet OA OA : OG. Ita enim iactum est. Et o A est ad oti ut ambitus circuli Acu ad ambitum c ire uti G v. Erit igitur sa ad sinum a reusAuoit ambitus eireuli Aa v ad ambitum circuli GF v. El. v. it. Quae igitur ε rationibus redims x ad sinum arcus A , , imusque illius ad ambitum An V, composita est ratio, ea quidem componetur e rationibus ambitus Asu ad ambitum GrE, si ii si que aresis Axad ambitum Aa v. Verum ex eisdem composna est ratio, quam mitis arcus Aniabet ad ambitum circuli cirE. Quare rectas χ erit ad ambitum circuli AEu ut sinus arctis An ad nnibitum circuli GrE. Cum igitur sit arcus A. ad ambitum Anu ut areus Cp ad ambitum GPE ; atque rursum recta sR ad ambitum Aa v ut sinus arcus Au au ambitum GrE : ideirco disterentia arcus Au rcet aeque sa erit ad ambitum Aa v, ut differentia arcus or sinusque arcus AR ad ambitum GPE El. V. 24. Quare area Ars crit ad aream totam Ellipseos ut disterentia arcus cir sinsisque aresis A et ad am bitum circuli cir E. Sed reeia CR disturentiae arcus GF linui lite arcus A ia aequalis est. Quare arm Ars erit ad aream ellipi eos ut recta GK ad ambitum orE ; hoc est, ut tempus, quo consecta est area Aps, ad tempus conversionis integrae per ambitum Ellipi s. Namque sumpta est cx, quae ha . heret ad ambitum c. rg hane rationem. E. D. Rectam autem Gκ aequalem esse differentiae arcus Oν sinosque a reus Aa , id ostendimus hoe modo. Lineae Trochoidis, AL i, ea est descriptio, ut roia GF Ε, circum centrum suum o, aequabiliter se convertente, centrum ipsum o motu αquabili trana seratur secundum Icctam cum Meta oti parallelam . atque
164쪽
13 Iad GF, ἴe divisim Aχ-sR ad GF - simu arcus AG ut GK differen-Lianatia inter arcum GF M sinum arcus Ain ' . Q. E. D. Scholium.
Caeteriim, cum dissicilis sit hujus Curvae descriptio, praestat so
lutionem vero proximam Exhibere. Inveniatur tum angulus
quidam B, qui sit ad angulum graduum 57. 29ι 78, quem a VS radio aequalis subtendit, ut est umbilicorum di 1tantia sH ad Ellipseos diametrum AB ; tum etiam longitudo quaedam L, quae sit ad radium in cadem ratione inverse. Quibus semel inventis, Problema deinceps consit per sequentem analysin. Per constructionem quamVis, Vel utcunque conjecturam faciendo, cognoscatur corporis locus P proximus Vero ejus loco I . Demissitque ad axem ellipseos ordinatim applicata PR, ex proportione diametrorum ellipseos, dabitur circuli Circumscripti, AQB, ordinatim apPlicata RQ , qUae si- Iius est anguli Aoin existente Ao radio, quaeque ellipsin secat in P. Sussicit angulum illum rudi calculo in numeris proximis invenire. Cognoscatur cliam angulus tempori proportionalis, id est, qui sit ad quatuor rectos, ut est tempus, quo corpus descripsit ar-Cum Ap, ad tempus revolutionis unius in Ellipsi. Sit angulus iste N. Tum capiatur M angulus D ad angulum B, ut cit sinus iste anguli Ao Q ad radium; M angulus E ad anguliam N-AOQΦD,
atque ea quidem velocitate, ut spatium, qliod
tempore integrae comorsonis Γυζae emensum fuerit, rotae Ombitui si si aequale sit. Sit lx tur M locus centri rotae, O, quo tempora putreium et M A lucum l. oceupat. Circulus ccntro vi , Ridio rG., scriptus positionem circuli A in rescτet, quo tempore centrum mi ein locum M pervenerit; ji indiaque ora Cunare 'a GH parallela erit. Et li pcr A ducatur redia AT cum recta Gκ parallela, quae circulo Tl. x in Y occurrat, haec circulos aequales, ARR, τ .X. in punctis A, T continget; iunetaque M T rectam AT ad perpendiculum inlinet ; ac Pro- iride cuna rueta OA parallela erit. Recta igitur L , reetis inter se parallelis oA. Tra, in puncti. N, R Occurrat. Erunt duae N R, ora, necnon duae ust, Ax inter se aeq: inles. Quare in circulis aequalibus, Ros, Ti.X, cum diametrorum Aa, ix partes illae, AN, Ta, inter se aequales sint; ordinatim educi π, NR, R L, erunt etiam inter se aequales. Quapropter arcus etiam A G se, quorum limis sunt illae N L, R I., erunt inter se aeqitales. Jam vero e mi centrum rotae o, recta progredisndo, dipunctum Α, conversione rotae circumactum, in loca M. L simul devenerint, recta Ο et arcus τι
spatia erunt, quae puncta illa simul consecuit.it. Rceta igitur ou erit ad arcum et L, sive illi aequalem Asti ut velocitas puncti o ad vel eitatem pundii A. Est autem ambitus cireuli G S ad ambitum cireuli ARV ut velocitas planeti o ad velocitatem planeti A. Rueta igitur ora erit ad arcum An ut ambitus eirculi G1E ad ambitum circuli Ari v. El. v. ii. Fit autem arcus GF dd Rr cum Ax It ambitus circuli GrE ad ambitum cireuli As v. Reeta initur ora arcusque GP ad arcum RQ eandem Pr Portionem habent. Recta igitur oM, sive illi aequalis RN. arcui or aequalis Orit. s El. V. 0.ὶ Quare N L, cui aequalis est cx, zrcus er rectaeque u i differentia erit. Sud ostunsa est L sinui arces Ainaequalis. Quare o x differentia erit arcus Gr smulque arcus Ain E. ιλ
165쪽
ut est longitudo L ad longitudinem eandem L Cosinu anguli Aod diminutam, ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi major. . Postea capiatur tum angulus P ad angulum B, ut est sinus anguli
est longitudo L ad longitudinem eandem Cosinu anguli AOQ Ediminutam, ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi major. Tertia vice capiatur angulus H ad angulum B, ut est sinus anguli Aod ΦΕΦ G ad radium ;
Η, ut est longitudo L ad eandem longitudinem cosinu anguli AoQ-Ε Φ G diminutam, ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi major. Et sic pergere licet in infinitum. Denique capiatur anguluS Aoq aequalis angulo AOQΦE G I- 8 c. Et ex Cosinu ejus or M ordinata pr, quae est ad sinum ejus qr ut ellipseos axis minor ad axem majorem, hahehitur Corporis Iocus correctus p. si quando angulus N Aouin D negativus est, debet signum in ipsius. E ubique
CapiATua scilicet arem An. qui si ad ambitum Circuli Andi, ut tempus quo conficitur area ASP ad tempus conversonis integrae I er ambitum Ellipseos; et iungantur ON, sua Iam cum sector AON sit ad aream circuli Arai ut arcus AN ad ambitum; cum si etiam area Asci ad aream circuli Ut area elliptica PsA ad aream totam ellipseos, hoc est ut arcus AN ad ambitum circuli Ava; idcirco se stor Aore et area Asin inter se aequales erunt. Quare si aequalium hoc et illud sectori Aod dematur, quae relinquentur, ea quoque inter se aequalia erunt. Sector igitur Notu triangulos PQ aequalis. Quare areus Nn rectae a puncto s in radium on ad perpendiculum demistae sinu.dis erit. Circuli AQB sit arcus or anguli a mensura. Fi eum arcus circuli cujusvis sint inter se ut anguli quos metiuntur, erit areus ille circuli Aea qui radio OA aequalis est, ad arcum Tu ut angulus se r9s 78 ad angulum st, hoe est ut OA ad cis. Arcus igitur TQ ctae so aequalis erit. Et eum arcus nos ectae 1 puncto s in rectam oc ad perpendiculum deductae aequalis sit, erit τα ad N et ut radius ad sinum anguli Acicti Jam elim angulus ΑΟN, motus utique medii, ex dato temporis spatio, quod elapsum fuerit ab appulsu planetae ad opsidum A, datus sit, et eum ex angulo illo dato pulictum N detur, si quomodo desiliri poset amplitudo aresis N datum esset purictum in. Et ex dato ad circuisium, daretur P ad elliplin. Daretur autem arcua Net, si quidem angulus QOA ad centrum circuli datus esset. Nimirum cum arcus ille Noos sit, ad quem datus arciis Tin rationem habeat, quam radius ad sinum anguli es. . Atqui eunt ignotus sit angulus OA, seu motus Veri, angulus eoAaeque ignorabitur. Neque E ratione radii ad anguli ignoti sinum arcus Nin, eNquisita laltem ratione, definiri potest. Illud igitur agendum, quoniam via recta indagiuis nulla pateat, ut anguli QOA aestimatio quaedam conjectura fiat ; et, elicita arcus Nonagnitudine, quae conicctura illi respondeat, Videndum, an arcus AN . circu illo N couctus, assumpto Au aequalis tit, utit qua tum ah eo disicrepet. Ita errorem assumptionis aestimare liceat, et novam anguli Aod conjecturam, vero propriorirem, capere. Quae quidem ipsa iiiiiiii examini subjicienda, et novis rursus asiuniptionibus emendanda erit; donee, errores sentim amoliendo, tantum non ipsam veritatem assecuti fimus. Nen te invento
Punctore, Ponatur arcus t in figata appositi aequalis mensurae anguli D, quo GK tonus e et modo definiend a
166쪽
Ε ubique mutari in- , M signum - in Φ. Idem intelligendumLixta est de signis ipsorum G M i, ubi anguli N Ao Q E F, M N Aou -Ε-G Φ H negativi prodeunt. Convergit autem series in sinita AOQΦΕ Φ GΦΙΦ 8 C. quam celerrime, adeo ut Vix unquam opus fuerit ultra progredi quam ad terminum secundum E. Et fun- clatur calculus in hoc Theoremate, quod area AP s sit ut differentia inter arcum Ast M reetam ab umbilico S in radium Oin Perpendi
culariter demissiam ). Non dissimili calculo conficitur Problema in Hyperbola. Sit
ejus Centrum O, vertex A, umbilicus S, M Asymptotos OK. Cognoscatur quantitas areae abscindendae tempori Proportionalis. Sit ea A, se fiat conjectura depositione rectae SP, quae arcam APS abscindat Verre Proximam. Jungatur o P, M al A M P ad Asymptoton agantur AI, PK A
symptoto alteri Parallelae, M per tabulam logarithmorum dabitur
area AIΚP, eique aequalis area
definiendi. Si locus p in ellipsi in figura Newtoniana pro planetae loco verb assumptus fuerit, vel hetiam aestimatus fuerit angulus Aoet, Itaque arcus Nex illi Nqlineationis nostrae aequalis erit, et punctum g in ipsum rancidet. si in ipsum et non incidat, minus exquisi id collocatum erit punctu ni Q. Sit P punctum ubi in collocari oportuit. Iuncta Og, a puncto s in o et ad perpendiculum demittatur Fr, quae
metae Og in e occurrat. Exiguo extilente angulo uos, id enini ponimus, angulus Mo tantum non rectus erit, et recta es di serentiae reetarum, quae a puncto s in ii ctas N, O a. ad permn diculum demittantur, tantum non aequalis erit. Sed carum differentiae arcus ps tantum non aequalis est. Nempe cum alteri ruciarum arcus Ny aequalis sit, alteri arcus N P propemodum saltem aequalis. Quare pq οῦς me ν : qin sed eF : Mmor: oua mpemodium. Ergo Pq: ins Or UR, et pus os o F Φ o. o . propin nodum. Sed clan o , Qt prispe si .nt aeqiv.les, ut PQAE OF ad OQ. ita erit o Q ad Qv quam Proxima. Quare ins M'onor quam proxime. Jam vero capiatur L quae sit ad a, hoc est ad ipsam odia ut ora id os. Erit igitur quadratum ex o et aequz:le rectan. gulo so κ L. Est autem so ad or. ut radius, hoe est ut ou , ad colinum anguli Ao Propter angulum ad F rectum . Quare conti. A in somoc κ or. Quare I. A so: colin. Aoακ sis Ioακον. Quare rursum L : cos. ADχα OQ.: or. Et convertendo I.: L. coun. Aou oris ur. Sed Οαs Qv α P s αε quam proxim) ex prius ollentis . Quare L eL -Cosin. AD L. r et qquam proxime. Ae proinde juncta or, angulus tu, p erit quam proxime ad angulum nor ut longitudo L ad eandem L colinu anguli Aoruimininutam. Sed ut L ad i. - colin. Ao vita uti angulus E Newtonianus ad angulum H - A α D. Et angulus N - Aou DπΑΟN - Λυαε NI Og - o sQuare L ' - Q ν quam proxime. Angulo igitur E ilἰi Aoα 'blato. reliabit Aor quam proximP.
Et eniculis ad Newtoni praecepta reluetis, si quid reliquum e. t erroris, penitus id tandem amoliri licehit. ture fia Miuius, mel horiam saltem usu muliam ZI., mi, in Actia Phlissopb. las in as'
167쪽
sis Morti angulo ΟΡs relinquet aream abscissam APS. Applicando arcae abscindendae Λ Ω ablcime Aps illiscrentiam duplam, et Aps- 2A, Vel 2A-2APS, ad lineam SN, quae ab Umbilico s in tangentem a P perpendiCularis est, orietur longitudo chordae PQ. Inscribatur autem chorda illa PQ inter A SE P, si area abscissa, APs, major sit arca abscindenda A; secus ad Puiuni P contrarias Partes: Pon tum in crit locus corporis accuratior ). Et computatione reporita invenietur idem accuratior in Perpetuum.
Atque his calculis Problema genoraliter consit analytice. Vertim usibus astronomicis accommodatior est calculus Particularis, qui sequitur. ΕXistentibus Ao, OB, o D semiaxibus Ellipseos, I. ipsius latere recto, ac D disserentia inter semi-aXem minorem OD M lateris recti semissem ἰL; quaere tum angulum Y, cujus sinus sit ad radium ut c1t rce angulum sub differentia illli D, M semisumma axium, AO Φ OD, ad quadratum
' PUTA enim verum esse planetae loeum ; iunctis reta scita si locus e pro vero assiumptus a vero non multum aberraverit, se ior hui ei bolicus SPQ parvus erit, et triangulo a st haud multo maior. Sed triangulum spo , reo anguli sN κ ruta dimidium erit; nimirum cisi, ob parvitatem arcus angulus Tria duobus rediis tantum non aequalis fiat, ut liuae rectae Tr, e i pro una haberi possint. sedior igitur hyperbol .eus si ita icii differentia areae abscissae Asr, et abl. mdcndae Aso dimidio rectanguli sK κ i o halid multo maior erit. Quare dupla illa differentia, sive a Aps - a Α, stangulo illo haud multo mesor. Ae proinde recta P non multo minor erit quam recta z-- Si igitur, aut versus verticem, A, aut ad partes Puneri P contrarias, Prout area Aps
mater ori im aliscindenda minorve fuerit, mscribatur chorda pst rectae rast aequalis, erit o
iociis planetae accuratior; vero tamen eius loco promotior citeriorve, prout area Ars justo minor maiorve sumpta fuerit. Caleulis autem resectis error sunsm amoliendus erit. Eassim feri Leda ar e In quier, re is nori vis 3ISS Gregor . y ' UEL quod eodem redit, scut mox ostendam Lemm. H. v II. capiatur angulus T cujus si ianiis fit ad radium, vel potius qui ipse sit ad angulum s ,r9s78 ut parallu opipedon 1uper quadratum ex os, altitudine pix ructa OD ae sualis lit, ad quadruplum cubi e dimidio axe trans iso. ὶ Vel, quod eodem rcilii. capiatur angulus a qui fit ad Y ut 8si ad 3.Ao-FOD. Huius computationis rationes abditissimas ut in lucem Proseramus, aute omnia ex angulo mediae quem vocant anomaliae. aneuli 2 ii P, ad umbilicum orbitae superiorem constituti, formula inuaedam generalis confici cnda cu cpiae alia su E ae series infinita esse nequit euia ius ope angulorum illorum differetitiam aestimare liceat. Huic differentiae aequationem Newtoianianam, x se v, in orbibus quorum exigua est umbilicorum distantia ratione axia transversi, ita non aequalem ostendemus, ut illud quo haec ab illa aherit, in omnium quidem planetarum orbiistis. si unum Mcrcurium exceperis, pro nihilo habendum lit. Sed ad formulae illius inventionem,ot ad alia quae polliciti suiuus praestanda, nonnullis e Geometria assumptis via nobis munienda est.
168쪽
tum axis majoris AB N ; tum angulum Ζ, cujus sinus sit ad ra-Lirin
dium ut est duplum rediangulum sub umbilicorum distantia, s Η, M differentia illa, D, ad triplum quadratum semiaxis majoris Ao '). His angulis semct inventis; locus Corporis sic deinceps determinabitur. Sume angulum T Proportionalem tem Pori, qUo arcus
BP descriptus cst, seu motui medio ut loquuntur) aequalem; M
angulum V, primam medii motus aequationem, ad angulum Y, aequationem maXimam Primam, ut est 1inus dupli anguli T ad radium ; atque angulum X, aequationem secundam, ad angulum Ζ, aequationem maXimam secundam, ut est cubus sinus anguliae ad Cubum radii. Angulorum, T, V, X, Vel summae, T Φ XΦU, si angulus T recto minor est, Vol disserentiae, Υ Φ X-V, si is recto major est rectisque duobus minor, aequalem cape angulum B H P, motum medium aequatum ' ; Τί si II P occurrat ellipsi in P, acta SP abscindet aream B SP temPori Proportionalem quam proxime
S trianguli AzC a Plus ad A rectus fit, mretitusque ad R ID 'reauxus, Iovi αλ qu.ἱ latus BC, a guto recto a eruem, superat latus nA, rem aregulo exiguaque eon tuum, eum riplo latere vc, latexeque AC, quod exiguo angulo adversem es, qvam proxime proportione terata erit. Centro B, radio BA, scribatur circulus, qui re tae nc in D Oeeurrat. Erit en longitudo illa, qua latus Ec latus ΒΛ superat. Dico ILC : CA CA : CD qu im proxime. A puncto enim A in rectam no dedueatur ad perpendiculum recia Λε. Propior angulos ad A et F. rectos, erit sc : DAαιδε: BE El. I. s. Hoc est, cum BA, BD, propter circulum, sint inter se aequales, tC:st D m n D: ZE. Convertendo, EC: CD BD: DE. Sed propter perexiguam anguli Anc amplitudinem. illae nc, ut, in-C ter te tantum non aeqitales emini. Quare et illa: CD, DE, intcr se tantum non aequales. s El. v. 14. Quare C in tantum non semiissis erit rectae cE. Sed propter angulos ad A et E rectos. erit Rc: EA 'CA: CE. Ac proinde a se: cA etcA: ca α cA : IcE. Hoc est, cium C tantum non aequalis sit dimidiae cE, a BC: cA'cA : CD. E. D
Dueatur enim recta Tra quae ellipsi in puneio p contingat, te in illam a punctis s, ad perpendiculum deducantur sτ, ii R. Sit ρ aliud punctum ad ellipsin, et iungamur sy, i A r'. I in fluvio sectoris v adfluxionem sectoris i sp rationem habebit e.un, quae, cocuntibus Punctis P, p, sectoris P iv nascentis ad nasccntem p ρ prima erit: sive per Lemma VI. quae trianguli nascentis νουρ ad nascena triangulum P p prima erit. Sed eum triangula illa hasn υ semper coam, mem habeant, cadem sem rerit triangulorum ratio, quae rectarum ab horum verticibra , n, s, in CUmmunem basin ad perpendiculum derasiarum. Et rectae in communem narcentium basin oci Perpendiculum demissae laut ipsae va, sT. Quare nurio lecto: is au P erit ait fluxionem suctotis ASP ut
169쪽
Da Moru Haec Praxis satis expedita Videtur, Propterea quod angularum' '' perexiguorum v x, in minutis secundis, si placet, positorum, figuras duas tresve Primas invenire lassicit. Sed satis accurata est ad theoriam Planetarum. Nam in orbe vel Martis ipsius, cujus
uκ ad , T. Verum anguli ilux, si T inter se aequales sunt IIamilton. Conte. Lib. II. r6. et an .stuli ad x et τ sunt reeti. Q re triangula ripst, spT erunt inter se similia, ct HR : s T - κ ν : sp. Fluxio igitur areae sue urit ad fluxioncui area: Esp ut νιν ad sp. El. v. II. E. D.
δἰ a iuncto sue: D r in m af, μῖνι umbiI s, Η, era rvm o, axes Anx, ron, ducatcr md ad axemtea 'ter um An otia norim, it :ixin, FDo gura iratum exsemi iametra, qu femidiametri ol' es esuetatis,f 'rat quaar. ιαμ exf. tuae fcc δ' ad quadratum ex oraeinata I M rationem habebit eam, quam qxu. inaram ex dimidia umbol comm tabunt: I ad quadratum exf. miser fecκndo. Per centriina Ellipseos o dueatur semidiameter OE coniugata eius quae per P ducitur. Iaico OE - Oi, et p, et oi : oo A pnnetis E, F, diametrorum conjugatarum ΟΣ, Οr verticibus, ducantur ΕΚ. PL, in ines AB. rnordinatim. Ducatur etiam Et in axem PD ordinatim. Centroqueo, radio on, qui est semiaxis transveisus ellipseos, scribatur cireulus, qui reeiae P M in Punctis N, α occurrat. Propter angulum ad x rvetum, quadratum ex o L, duobus quadratis ex Ex, ox, sive duobus ex o i, oK limul sumptis, aequale eli. Horum autem illud ex Di rectangulo F l. ix, iterum ex OK rectangulo AMB aequale est. II .unil tuli. Conte. Lib. I v. a. Quadratum igitur ex o L, rectinaugulis duobus rLD, AME simul sumptis aequale erit. Utrique aequalium auferatur quauratum cx OD ; relinquentur oE - OD .
AMB-oi ' inter se aequalia. Sed, propter ei mulum, rectanguli imAΜηα ΝΜ ; et, propter figuram L pMo parallelogrammam, o L pura mare ΟΣ' - Οὐ α NM' - pM' Nrni Jam vero cum propter Ellipsin, rectangultim Axia thoe est quadratum ex NM sit ad quadratum eT PH ut quadratum ex os ad quadratum ex on ;dividendi , erit rupes rM 'OR' :oiγ'. Quare cum N Prui patio OE - ou m o ostensuiu fit aequale, erit etiam OE -oi,' : ν Μ moti to odi in E. D. Coa. t. Deducta pri a quovis puncto P, eorum quae ad ellipsin, in axem transversum ordinatim, erit illud quo rectangulum AΜn, sub segmentis axis, superat quadlatum ex ordinata ν Μ, ae iubie illi quo quadratum ex senaidiametro OB, coniugata utique ejus quae per P ducitur, superat quadratum ex semiaxe seeundo oo. Coa. a. Deducta pi. ii quovis puncto P. eorum quae ad ellipsin, in axem secundum oti ordinatim, erit illud quo quadratum ex ordinata P L superat mctangulum P LD, sub segmentis axis, quale illi quo quadratum ex semiaxe transverso os superat quadratum ex semidiatrictro OE conia iugata utique ejus, quae pere ducitur. Nam eum quadratum ex OE aequale su duohus rectangulis A Mn. rLt, simul sumptis, si aequalium hoc et illud quadrato ex o B auferatur, relinquentur oti OE , ΟΜ - FI n, sive rL' - νLD, inter se aequalia.
Coκ. 3. Deducta pL in axem secundum ordinatim, spatium quo quadratum ex semidiametro OE, conjugata quidem Hus quae Per P ducitur, superatur a quadrato ex semiaxe transverso os, erit ad quadratum ex ordinata P L, ut quadratum ex dimidia umbilicorum distantia ad quadratum ex
170쪽
aequatio centri maxima est graduum decem, error ViX superabit Lin εκ minutum unum secundum. Invento autem angulo motus medii aequati, B H P, angulus Veri motus B SP 8 distantia sΡ in promptu sunt Per methodum notissimam. II adtenuS
I. nes recta EP sia in quomis 'aucto confingente, s a puncto ilis recta ducatur ad alteν utrum umιScorum em eos, anaque ad axem traκ emum ordinatim, tum si per verticem axis transvers Exeariar ree a m eontingente parali D, hare ab illa, quae per umbilicum diaeta es, partem abscindet, contingentem ver-fus, illi quam ordiκatim derim ab axe rean raso absciderit, merticem τersus per ρηem ducia fueris re fricum eontingerie parallela, aequalem.
Ellipsin, cujus axis transversus An, centrum O, umbilici si is, in puncto quolibet P recta PT
contingat. A puncto p ad ali eruistrum umbilicorum, puta ad ii, ducatur recta rit, rectaque pM ad axem traniversum Aa ordinatim. Perverticem alterutrum axis transtersi. Puta per B, ducatur recta DE cunicontingente PT parallela, quae rectae ad unihili eum ductae, ν Η, in E occuris rat. Dico rectae Pu tegmeritum P Ε,
quod reeta x E ab il a absciderit a
Parte contingentis, aequale esse illi ME, quod ordinata PM ab axe transis verso absciderit a parte verticis n. occurrat enim adiis transversus Pro ductus rectae PT in T. Ducatur l ero, centrum ellipseos, recta Ostorum illa pu parallela, qtiae contingenti Tr in Q occurrat, rectaeque t E in F . 'Erit o Troamon: OM Hamilton. Conte. Lib. r. xLvira.) Convertendo oT : Ta α Οa : ΒΜ. Sed propter rectas Teta ην inter se parallelas, OT : TR 'oes str. El. VI. a. Quare o B : BM QF. Sunt autem os, o nter se aequales. Hamilion. Conte. Lib. a. xx II. Quare EM. R inter se aequales. El. v. 14.ὶ Sed, propter figuram pErq parallelogrammam, erunt PE, M inter se aquales. Quare et B M, PE inter se aequales erunt. in E. D. Et si ab altero axis transversi vertice. A, ducatur Ae eum contingente Parallela, quae rectae Pi per umbilicum ductae in e oecurrat, sin ilibus argumentis essicientur ΑΜ, re inter se aequales. Rectae enim Αe recta sto producta in f Occurrat. Jam eum sit oT: oti Troa : o M, erit etiam or Φ ΟΠ, sive ΑΥ, ad on Φ OM, sive AM, ut GT ad OB. Permutando AT : OT HAM : OB. Sed, proPter rectas τδ, Ae inter se parallelas, erit AT : To ctir uo. Quare AM : ovio : in . Sunt autem Oa, inter se aequales. Quare AN,IR , ac propterea AM, ep inter se aequales. in. E. D. COR. I. Rectae per umbilicum pars illa, Ee, quae rectis parallelis 2 E, Ae intcrcepta est, dupla distantiae ordinatae pri a centro, hoe est, duplae o M aequalis erit. Nam ciuia Pe AH, et ruta B l,
COR. a. segmentum rectae per umbilicum, inter umbilicum et rectam eum contingente Parallelam, est ad segmentum axis inter ordinatam et centrum, ut distantia una hi lici a vertice illo, per quem ducta est recta cum contingente parallela, ad dimidium axis transversi. Per centrum cnimo ducatur recta OR cum contingente ντ parallela, quae rectae pis, per umbilicum ductae, in R currat. Propter figuram νη ou parallelogrammam erit pa aequalia illi ou , cui ostenta est aequalisos. QuR R, OB inter se aequales. sed PE, B M inter se aequales. AEquales igitur OM, ER. Ad utramque igitur aequalium OM, Est illa EM eandem rationem habet. El. v. 7. scd, prUP:ςr Cave credas punctam F necessari. a. iasis esse. Id enim is austa Aguia for it - s. VOL. II. 8 rectas