장음표시 사용
171쪽
II adtenus de motu corporum in lineis curvis. Fieri autem potest ut mobile recta descendat vel reeta astendat, D quae ad istiusmodi motus spectant, Pergo jam eXPOnere.
aequasse sit redi mollia r κ κ Ac ex modo ostentis'. et cum A ' - or' aequale iit quadrato ex oti propter ellipsin idcirco erit νx XAG : oti αυν : OA. Q E. D. Host ubi tandem ope sacilis erit formulae, qua opus est, inventio ; quae, si omnia e cilculorum vi perficere volutilumus, magno quidem conllitisset Iahore. t. Is orbe Elliptico cujus axes, transvectus quidem AB, secundus P γ, centrurn o, umbilici s, M. sit s umbilicorum is quem vires centripetae respiciant, punctum p locus quilibet planetae in hoc ortae circumacti. Iunetis Ps, Pii, centro H, radio Fili, qui dimidio axi transverso on aequalis sit, seribatur circulus ; et hiiliis circuli capiatur arcus Eo, qui ad totum circuli circuitum rationem habeat, quam sector nΝr nil aream totam ellipseos. Juneta igitur uo erit ang ilus E RG mediis quem vocant unoni aliae, ejusque mensura pro radio 1 E erit arcus I G. Et si producatur is P circulum usque. cui in K occurrat, crit arcus ΕΚ mensula anguli, tu P, ad umbilicum orbitae superiore in constituti. a. significetur arcus DG litera T, arcus Eia litera E. A punetis R. p in axem ellipseos An deducantur ad pur Rendiculum KL, r M. Erit κL sinus, HI. Diiuus arcus LM; quorum ML senilicetur litet a s, HL li .era A. Jungatur itD, et pero ducatur semidiameter os, conjugata ejus quae Per P. AEquales os, ilE, MI litera a communiter s nisi dentur. Scn laxis secundus on signifi-eetur litora e; et oti, dimidia umbilicorum dise
3. Jam puncto p pcr ellipseos circuitum translato, fluxio sectoris circularis Ei x erit ad fluxionem sectolis elliptici zκp ut quadratum ex uκ ad quadratum ex ur. Ideo se ilicet quia naiacentia seetoriim iii κ, Eup incrementa sui it primo inter se scut triangula inter se similia, quorum triangulorum sunt ii κ, ui latera homologa. Sed fluxio siccioris elliptici Rup ad fluxionem ieetoris. ellipti ei s sp erit ut up ad . , Lemma H. 4. lioc est ut quadratum ex ue ad rect uigillum up κ ps vel ut quadratum ex ue ad quadratum ex ON ; nam quadratum ex ob rectangulo is p κ rs est ae . quale
172쪽
PRINCIPIA MATHEMATICA. SECTIO VII. De corporum asensu ta defensi rectilineo. I 39
quale. Hamiltoia. Conte. Lib. II. i9. Cum i Witur sit fluxio sectoris circularis Euc ad fluxio. item sectoris elliptici stup ut quadratum ex uκ ad quadratum ex ur, et fiuxio lectoris elliptici Elii ad fluxionem sectoris elliptici R. sp ut quadratum ex H P ad quadratum ex ON, erit ex aequo fluxio serioris circularis Dux ad fluxionem sectoris elliptici is r ut quadratum ex ux ad quadratum exos. Hi,e est Ei K: B, P α ii κ' : ore'. Quare cum Eux aequalis sit rectan lo iiiEκEc, sive
s. Agatur per B recta ni eum recta ON parallela, quae rectae Hr in in occurrat. Ita dividetur ip in partes duas, ruis mi ; quarum altera quidem, ruci aequalis erit abscissae ab axe s M, altera
vero uit m T s Lemma II. vi. A Cor. eius a. ὶ Propter rectas KL, pM inter se parallelas.
'I- ΙΣ - - - - ἀ - . IIaee series, si exigua sit η, dimidia umbilicorum distantia
ratione dimidii axis transversi, a, qualiscun ille fuerit arcus di amplitudo, celerrime quidem ad metam properabit: ut tria prima ejus membra pro suinina totius haberi pollini. Ponuiur igitur
r. Jam eum si ἡ : ἡ a: ι Execi pt. ex Epist. iv. Not. . Cor. erit 1Σ σῶ. Rursum. esim stὰ : ; - a : x Excerpt. ex Epist. lv. Not. t. Cor. erit xΣ ai. Quare quantitatis ejus, cui iii venia est ιrs aequalis, ejus inquam membro secundo erit hoc aequale, -x ; tertio autem, hoe.
173쪽
P R O P. XXXII. P R O B. XXIV. Porito quod vis centripeta sit reciproce proporIionalis quadraro di Iantiae locorum a centro, spatia definire, quae corpus, recta cadendo, datis Irmporibus defcribit.
s. Aique formulam hujus quidem smillimam, vel re Potius candem. notis aurein aliam, et alia longo ratione inventam, in notationibus suis Anglicis Emersonus tradidit. Qui tamen formula quam invenerat, ad explicationem eorum, quae λNcri tono sunt praecepta, minus feliciter usus est ; si calculorum ut opinor sustidio, haud enim invianti tarditate lupius; a qua suspicione vir ille acuisti sumus procul abest. Nos autem ad propositum
revertamur. Cum arcus circularis EG sit ad totum circuli circuitum ut area B ps ad aream totam ellipleos cita enim lacium est , erit ketor circularis Ei O ad aream circuli ut sector ellipticus B ps ad areani ellipleos. Et permutando, sector Ens et it ad sedlorem v ps ut circulus ad ellipsin; hoc est, ut quadratum ex RE ad rectangulum op κOD ; vel, cum aequales sint νιε, on, ut v E ad on, sive ut a ad e. Quare sector alio re
ad quem eκ, vel et, rationem habeat quam rat ad aa' in Erit T ' LR - πι--ι .s. Iam cum n, dimidia umbilicorum distantia, exigua sit ratione ipsius a, dimidii axis transeersi id enim sic mPer ponimusὶ hoc est, cum in triangulo Dos, cuius angulus ad o rectus est, angulusonia sit exiguus, erit ori', sive at maniι κ ixu - Do α aaκ a- e Lemma H. III. et nυ 'ra, rae . Hine eta : za- Φ η'c' aa r 4 1' - a ema : rae P. Differentia duarum O, c designetur litera ρ, ut sit a - c . Erit igitur aM - a , . Hine a : rae-e' a': a - . Quareeta erit ad etal a , hoc est arcus Ex ad arcum Est ut a' ad is -ρ'. sed cum ρ non nisi pars mul- . tessima sit ipsius a; hinc ratio illorum .i - , tantum non aequalium ratio erit, et arcus ER, ΕΚ inter se tantum non aequatus. Pro aequalibus igitur habendi sunt. Inde erit T Lκ- a I Vel traiiqvinendo, et q. V m Φ- α κ . Ablatoque ecατ, erit V Gq. V P cx. At etia' 3a aa' Maqui arcus Gκ mensura est anguli clic, se ii differentiae anguli anomaliae mediae angulique Biιν ad umbilicum olbitae superiorem. Haec ita se habent li angulus sup ree o minor sit. Quod si recto maior ille suisset, calculis simili inudo subductis, provenissut arcus Gκ- - - πιε aa' 3ι IO. O TEN
174쪽
TALCU. I. Si corpus non cadit perpendiculariter, describet id per i . Corol. 1. Prop. XLII. sectionem aliquam conicam, cujus Umbili CUs congruit cum centro virium. Sit sectio illa conica ARPB, Mumbilicus ejus s. Et primo si figura Ellipsis est, sui3er hujus axe majore, AB, describatur semicirculus ADB ; M per corpus deci-
a Ir. Cum litera s finum. x cosinum arcus Ex si ilicet, existcnte a radio, erit rectangulum axi . a X sin. azκ. Duplum enim rectanguli sub limi et colinu arcus cujuspiam circulaςis rectangulo sub radio & sinu arciis dupli aequale est. t Keili. Trigonom. Plan. Prop. IV. Cor. Quare - A m
est arcus si tantum non aequalis i* it . Angulus igitur υ Newtonianus angulo Gn I tantum non aequalis. 13. Rursum propter arcus EG, ΕΚ tantum non aequales, eorum sinus tantum non aequales erunt.
I . CAI cur. Is sialiductis invenio anguini Y E. in orbitis planetarum, quales haec Tabella indicat. I s. Caeterum in orbita Mercurii, eumputatio, ex Newtoni praeceptis initituta aequationem- maximam dabit re- 7 - 3i'; quam Halleius partibus, as -oa , minorem izatuit.
175쪽
lcias transeat recta DPC Perpendicularis ad axem ; actisque D s, PS, Erit area ASD areae ASP, atque ideo etiam tempori proportionali S. Manente aXe AB, minuatur Perpetuo latitudo ellipseos ς Sc sempermanebit area ASD tempori Proportionalis. Minuatur latitudo illa in infinitum : Κ, orbe APB jam coincidente cum axe AB, 8 Umbilico s cum aXis termino B, descendet corpus in recta AC, M area An D cvadet tempori ProPortionalis. D bitur itaque spatium AC, quod corpus de loco A, Perpendiculariter cadendo, tempore dato describit, si modo tempori proportionalis capiatur arca ABD, Sc a Puncto D ad rectam AB demittatur Perpendicularis DC. Q. E. I. f. a. Si figura illa RPB Hyperbola est, describatur ad eandem diametrum Principalem AB hyperbola rectangula BED et M se quoniam areae CSP, C P, SUB sunt ad areas CSD, CBED, SD EB, singulae ad singulas, in data ratione altitudinum CP, CD M arca SUB Proportionalis est tempori quo corpus P movebitur Per arcum UR ;crit etiam arca SDRA eidem tem Pori Proportionalis. Minuatur latus rectum hy-Perbolae RPB in infinitum, manente latere transverso, Se coibit arcus PB Cum reclaCB, M Umbilicus s cum vertice B, Ω rceias D cum recta BD. Proinde area BDEB proportionalis erit tempori quo COPPUS C, recto descenso, describit lineam CB. Q. E. I.
f 3. Et simili argumento si figura
RPB Parabola est, Sc codem vertice Principali, B, describatur alia Parabola BED, quae semper mancat data, interea dum Parabola Prior, in cujus Perimetro corpus P movetur, diminuto Sc in nihilum redacto ejus latero recto, conveniat cum linea CB; fiet segmentum
176쪽
segmentum parabolicum BDEB Proportionale tempori, qUO COr-t 'κ
pus illud, P vel C, descendet ad centrum S Vel B. Q. E. I. P R o P. XXXIII. Τ ΙI E O R. IX. Postis jam inventis, dico, quod corporis cadensis Celocisas, in loco quovis C, e i ad velocitatem corporis, cenIro B, intervalla BC, CD-culum describolitis, in subduplicata ratione quam Ac, di antia corporis a Circuli ves 'perbolae rectanguloe Certice ulteriore A, habet adigurae semidiamiarum principalem et AB. Bisecetur AB, communis utriusque figurae RPB, DEB diameter, in O; Sc agatur recta PT, quae tangat saguram RPB in P, atque etiam secet Communem illam diametrum ΑΗ sit opus est productam in T ; sitque svad hanc rectam, MBQ ad hanc diametrum Perpendicularis, atque
tis, velocitas in loco quovis P sit ad velocitatem corporis, intervallo SP, circa idem conicum, Circulum descri-hentis in subduplicata ratione rectanguli I. κ sp ad SY quadratum. Est autem cX Conicis ACli ad CPq ut 2AO ad L; ideoque Saequale L. Ergo velocitates illae sunt ad invicem in subduplicata ratione ς' 1 U- ad sY quad. Porro ex conicis, est Co ad BO Ut BO ad To 'h); M composite, vol divisim, ut CB ad B T. Unde, vel dividendo, vel componendo, sit Bo - vel Φ Co ad Do ut C r ad
177쪽
AT, id est, Ac ad Aout Cp ad BG indeque
figurae RPB latitudo CP ;1ic ut punctum P coeat cum Puncto C, PunCtumque S Cum Puncto B, M linea Si Cum linet, Ac, lineaque SYcum linea BQ ; M COT- Poris, jam recta descendentis in linea CB, Velocitas fiet ad velocitatem corporis Centro B intcrvallo BC circulum
describentis, in subduplicata ratione ipsius ad SYq, hoc est neglectis aequalitatis rationibus sp ad BC M BQs ad sYq in subduplicata ratione Ac ad Ao sive AB. Q. E. D ς .
Corol. I. Punctis B M s coeuntibus, fit TC ad Τs ut AC ad Ao. Corol. 2. Corpus ad clatam a centro distantiam in Circulo quovis revolven S, motu suo sursum verso ascendet ad duplam suam a Centro distantiam.
P R O P. XXXIV. Τ Η Ε Ο R. X. Si rigura BED Parabola es, dico, quod corporis cadentis velocitas, in loco
Per centrum o dueatur os , semiaxis secundus orhitae ara, et OE, semidiameter eius eum contingente T P parallela; & fit m ad n ut velocitas corporis, circum umbilicum s in orbita Rν a lati, in loco P, ad velocitatem corporis, circum centrum s ad distantiam sν, in circulo circumacti. Erit igitur m ad n ut rectangulum II. κ sp ad quadratum ex sY xvi. Cor. 9. Iam vero rectangulum 1Lκ sp ad quadratum ex su rationem habet, quae componitur e rationibus rectanguli LN FP ad quadratum ex sp, quadratique ex sp ad quadratum ex su ; sive h rationibus rectae 4 Lat re am s , quadratique ex fi P ad quadratum ex su ; sve rursum h rationibus rectae ἔ L aclrectam sP, quadratique ex od ad quadratum ex OM. Est enim sp : sY-ΟΣ : ΟΜ Hamilison. onlc.-i . 3I. Habet igitur m ad Prationem eam, quae componitur e rationi-hus rectae 3 L ad sp, quadratique ex or ad quadratum ex ora: sve eam. quae est parallelepipedi 1 ox a'parauel pipiadon , Lκ Ao κ sp a rectangulum enim lLκAo quadrato ex ora aequale est.
178쪽
Oco quovis C, in alis es vesoritati quia corim, centro B, E Hlas i,f. inter Et fui BC, circulum uniformiser d. scribere to es. ηε vNam corporis Parabolam Rpn circa centrum s describentis velocitas in loco quovis P per Corol. 7. PTOP. X v I. aequalis e :t velocitati corporis, dimictio intervalli SP, circulum circa idem centrum S uniformiter describentis. Minuatur Parabolae latitudo CP in infinitum eo, ut arcus parabolicus UB cum recta
CB, centrum S cum Verti CC B, intervallum SP Cum inici vallo nC
incidat, Se constabit propositio.
PRO P. XXXV. T H Ε O R. XI. Iydon positis, dico quod area rigurar DEs, xadio indolaifo sn d scripta, requalis sit areae quam corpus, radio dimidium MIeris
redii figurae DES a quante, circa centrum S uniformiter orando, cod. m tempore describere potes. Nam concipe corpus C, quam minima temporis particula, linco ram cc cadendo describere, M intcrea corpus aliud R, Uniformi ter in circulo oKst circa centrum s gyrando, arcum Kk describere. Erigantur perpendicula CD, cd occurrentia figurae DEs in D, d. Jungantur SD, sd, SK, sh, Sc ducatur Dd axi As occurrens in T, R ad cam demittatur perpendiculum SY. f. r. Jam si sigura n s Circulus est vel Hyperbola rectangula, bisecetur ejus transversa diameter As in o, crit so dimidi-
est. Est autem tr. κ o .' : l 1. κ Q κ sp OE': Ao κsp. Habet igitur Q ad n rationem eam quam quadratum ex Oa ad recrans .lium Q κsr. Capiatur Bωα r. Ita erit Λπ α qualis dii. tanti.e puniti P ab altero curvae xi n. umbilico Hamilton. Conte. Lib. II i*ὶ ac propIurea quacita tum ex on rectangulo nπκποῦ a te .ue urit . illamilton. Conte. I.ib. l I. io . Habebit igi: irrit ad Q rationem e.im quam rccianguhim zπ κ πA ad rectans ibim AO κ SP : live, Propter x qualesnτ, εμ, cam quam recta Aπ' habet ad rectam Ao. Et quacunque tuerit figura Ri u latitudine, perinde chii nubit lia e proportionum similitudo. Latitudine isitur ii l.i in infinitum imminuta, vatio ultima illorum n inter ipsa. ea erit, quae rectae mutabilis Ar ad datam Ao ultima quoque ei it. Latitudine autem c d in infinitum imminuta, ut puncta p, s tandem cura illis c. v coeant, plinetum etiam π cum illo e coibit, si A. evadit ipsi ac x qutilis. Rario igitur uatima duorum my. .e Ca i c.'int AC ad Ao ratio crit; unde ratio ultima ad v, qu e est velocitaris corporis recta cadentis in loco C ad velocitatem eorporis in circulo, radio sp, cirrumacti, haec inquam rati eius quam Λc habet ad Ao subduplicata erit. Ο E. D.
179쪽
Dκ Μοτσ um lateris redii. Et quoniam est TC ad T D ut oc ad Dd, M TDVμ' ' 'μ et g ut en ad sY, erit ex aequo TC ad Τs ut CDκ Cc ad SYκ Dd. Sed per Corol. I. Prop. XXXIII. est TC ad Τs ut AC ad AO, putas in coitu punctorum D, d capiantur linearum rationes ultimae. Ergo AC cst ad Ao, seu SK, ut CDκ Cc ad SY κ Dd. Porro corporis descendentis velocitas in C est ad Velocitatem corporis circulum, intervallo sC, Circa centrum S, describentis in subduplicata ratione AC ad AO, Vel sΚ per Prop. XXXm. Et haec velocitas ad volocitatem corporis describentis circulum OKk in subduplicata rationes c ad se per Corol. 6. ProP. IV. 8c ex aequo Velocitas prima ad ultimam, hoc est lineola Cc ad arcum Kk in subduplicata ratione Ac ad sc, id est in ratione AC ad CD. Quare est CDκ Cc aequale ACκ ΚΦ, 8 P Pterea AC ad SK ut ACκKk ad, sYκ Dd, in loque SK κ Κl aequale SYκ Dd, M SKκ ΚΦ aequale PsYω Dd; id est area Κs. aequalis areae s Dd. Singulis igitur temporis particulis generantur arearum duarum Particulae Κ sh, M SDd, quae, si magnitudo earum minuatur Sc numerus aligeatur in infinitum, rationem obtinent aequalitatis, Sc propterea per Corollarium Lemmatis Iv. areae totae simul genitae sunt semper aequales. Q. E. D.
Φὶ Hamilton. Conte. Lib. I. 47. Quod ita sellieet effeceris, si arcum oκ summae areas Au rectaeque De aequalem si mpseris.
180쪽
f. a. Quod si figura DRs Parabola sit, invenietiar esse ut supra CDκ ad sYκ Dd ut TC ad T s, boC cit ut et ad
quale oste syκ Dd. Sed co Poris cadentis velocitas in coequalis est velocitati, qui circulus intervallo se Uni
PrOP. XXXIV. Et haec Velocitas ad velocitatem qua circulus radio sς describi possit, hoc est, lincola Cc ad arcum' per Corol. 6. Prop. Iv.) est in subduplicata ratione sc ad ἱs c, id est, in ratione SK ad ἰ CD. Quare cit - SK κ Κl aequale ἰ CD κ Cc, ideoque aequale is Y κ Dd, hoCult, area Κ si aequalis areae s Dci, ut supra. Q. E. D. PROP. XXXVI. P R Ο B. XXV. Corporis de loco dato A cadentis deIerminare tempora defensis. Super diametro As, dilhantia Corporis a centro sub initio, desti the semicirculum ADs, ut 8 huic aequalem semicirculum OKH circa centrUm S. De corporis loco quovis C crige ordinatim applicatam CD. Iunge SD, Sc areae As D aequalem constituesectorem os x q). Patet per Prop. XXXV. quod corpus cadendo describet spatium AC eodem tem-POre quo corPUS aliud, uniformiter circa centrum s gyrando, describere potest arcum o K. Q. E.
Ρ R O P. XXXVII. P R O B. XXVI. Corporis de loco GIo furfum vel deorsum projecti desinire tempora ascensus vel descensus.
Exeat corpus de loco dato G secundum lineam cis cum Veloci-
Cor. H. Corinis igitur e loco A detnissum, recta cadendo. eodem temporis syatio centrum usque s pervenerit, quo corpus aliud eirea centrum idem s motu aequabili semicirculum oκu absolverit.