장음표시 사용
181쪽
tate quacunque. In duplicata ratione hujus volocitatis ad uni mmem in circulo Velocitatem, qua corpus ad intervallum datum so circa centrum s revolvi posset, cape GA ad - As. Si ratio illa est numeri binarii ad unitatem, punctum A in sinite distat, quo casu Parabola Vortice S, axe S G, latere quovis recto describenda cst. Patet hoc per Prop. XXXIV. Sin ratio illa minor Vel majorcst quam et ad I, priore casu circulus, posteriore hyperbola rectangula super diametro sA describi debet. Patet Per Prop. XXXIII 0. Tum centro s, intervallo aequante dimidium lateris. rccti, describatur circulus III K, Ω ad corporis defccndentis veΙ'ascondentis locum G, locum alium quemvis C, Crigantur Perpendicula GI, CD occurrentia conic de sectioni vel circulo in i ac
N MIRUM recta C s, qua eorpus centrum versuq cadit, vel ascensii recto centrum fugit, pro ultima liguria sectionis coniecit habenda est, quae umbilicum l. thcat F, axem vero suum in rect i CS Postlim, i mancnte urique latere tr sverso, latere autem recto in infinitum imminuto, sectio illa conica sensim evanescat. Hoc enim e Prop. xxxii'. et scitur. Quod ii velocitas corporis, recta cadentis vel ascendentis, in t eo quovis G, ad vclocita:cm corpori , circa centrum 1 MI distan. tiana So motu niquabili et reulum scribentis, rationem lici beat eam, quae subdiplitata sit cius quam binarius ad unitatem, pro ultima evanesccntis Parabolae s sui: a habenda est retia sc; ; pro I Uip. seos autem evanescentis ulliu a, ii minor si vcloelias illa prima : pro ul:imu denique Hypcrboli, si maor, quam pro ratione binarii ad uni intem subduplicata. Haec enim Propositionibus xxxiii S xxxi V . octienia sunt. Quatnubrem ad hujus .Problen:: ris utice: toneni vel Parabola vel Ciruulos vel Hyperbola aequilateralia, pro varia velocitatum ratione, ii: :i Prenda est, quemadmodam a Ne tono praceptum est. I . HIPec Le a. v cc.
' NAM si viribus talusinod Ontripeii, sollicitatum eorpus aliquod recta non cadat, id utique per Ellipsin deserer ur, cuj0, i illi scos ceutrum ipsu in x iri. in a dein rum eri per Pr P. X. Cor. I. sit Ar F ellipti l illa, A ec: amam cjus si s , selini axis S Et yrr ν, lorum quemvis coryoris percilip ta lati,
182쪽
D. Dein junctis SI, SD, siant segmentis S EIS, SED S sectores II SK, Lx νεηΠSi aequales, & per Prop. XXXV. corpus G describet spatium GC eodem tempore quo corpus K describere Potest arcum Kk. Q.
PROP. XXXVIII. TII EO R. XII. Posito quod vis centripeta troportionalis si aDisusni seu di anti in locorum d centro; dico, quod cadentium tempora, Velocitates Nipatia descripta sunt arcubus, arcaeumque inibus reddis Ninibus versis respecti proporIionalia.
Cadat corpus de loco quovis A secundum reiatam AS ; Sc Centro virium s , intervallo As, describatur circuli quadrans Ag, sitque CD sinus reetias ar
cadendo describit spatium. Ac, inque loCo C
acquiret Velocitatem CD. Demonstratur codem modo e X Propositione X. quo Propositio XXXII. ex Propositione XI. demonstrata fuit ψ' . Corol. I. Hinc aequalia sunt tempora, quibus Corpus unum deIbco A cadendo pervenit ad centrum s , S corpus aliud revolvendo describit arcum quadrantalem A DE.
iam, quibus insis:unt, inter se proportionem gcrant, arcus quoqne Ari, temporis quo conscitur arens cli ipse s Ap proportionem servabit, idque quaecunque suerit ellipseor hi tittillo. Qi: aredi latitudine illa in rutrit uni ebeunte, & arcu Ap cum recta AC congruente, arcus circulari; ADteinptii; cani recti per Ac proportionum scrutabit. E. D.
Arzus igitur An temporum e si s rccii inter se proportiones servare eo lum ex Prop. x'. e il-q:ie e Hlatio ouensim cIt modo, quo prc Polutio Puti tricesimam secunda ex propositioine unde ei:na ostensi fuit. Quod praeterea veto Neritonus dieit, amunm An sitius ocios, cD, velocitatum, quas cori'us in locis c adeptum suerit, protiori toties inter se servare, id nos sic ostendimus. Si per olbcs An , ripae quorum communis est axis traiiversus f A corpora duo dc serantur e Vertire A s:nui iliaresa, vigunte, qualis posita est, virium centralium lege; areus AD, A r a corporibus simul :i ,iblve:: ni: r, quaecunque fuerit o: bis interioris latitudo Prop. x. Cor H retare S: l.::iri: liue ill i iii ire imminueti, eodem tempore absolvetur arcus An, quo recta Ac casu te, io. I ritititur x locirps eorroris recta cadentis, in losto o, ad velocitatem oequabilem corporis, in ciscalo Audi ci en:D: isti, scut fluxio illius versi Ac ad fluxionem arciis Aix, live ut stilus rectus CD ad latam sn, cirrtili utique radium. Tom l. Exeerpet. iv. Not. . Cor. Expotatu igitur data quail. leti rc.: t V, 1.: i 'l: I re ἰα, ea quidem trim mutabilis, ut ad daraui v e .m seniper illa ratio- v nuru :: i)eat, uriam vc: citas corpriris recta ea lentis in i cci quovis c ad cyllam cor- P ris in circulii circumacti velocitatem. Erit in tur m : v α co e sit. Et per u- t. rido π: Cn v : s D. Datarum vero v, s D intur se ratio data. Quare c. mu: a bilium, et . co, rario tamen data erit.
183쪽
Corol. 2. Proinde aequalia sunt tempora omnia quibus corporacle locis quibusvis ad usque centrum Cadunt. Nam revolventium tempora omnia periodica Per Corol. 3. PrOP. IV. aequantur.
Ρ R Ο Ρ. XXXIX. P R O B. XXVII. Posiae cujuscunque generis vi centripes, γ conciosis ingurarum
curvilinearum quadraturis, requiritur corporis rectia ascendentis vel descendentis tum vilocitas in locis sngulis, tum tempus quo corpus ad locum quemvis teret ensete et contVia. De loco quovis A in recta ADEC cadat corpus E, deque loco eius E erigatur semper Perpendicularis EG, vi centripetae in loco illo ad centrum C tondenti proportionalis: sitque BFG linea curva, quam punctum G Purpetuo tangit. Coincidat autem Eo ipso motus initio cum perpondiculari AB, M erit corporis velocitas, in loco quovis Ε, ut recta, quae Potest aream curvilineam ABGΕ. Q. E. I. In EG capiatur ΕΜ rectae, quae potest arcam ABGE, reciProce P portionalis, Sr sit VLM linea curva, quam Punctum M Perpetuo tangit, Se cujus Asymptotos est recta AB Producta; M erit tem Pus, ΡlO mi Pus cadendo describit lineam A Ε, ut area curvilinea ABTV ΜΕ. Q. E. I. Etenim in recta A E capiatur linea quis minima, DE, datae longitudinis ; sitque DLF locuS lineae EMG, ubi corpus vorsabatur in D ; A si ea sit vis centripeta, Ut recta, quae Potest aream ABGE, sit ut desiccndentis vclocitas; erit area ipsa in
duplicata ratione velocitatis: id eli, si pro velocitatibus in D & Ε, scribatur V&v l, erit area ABFD ut
184쪽
2VI II; ideoque ut --; id est, si Primae quantitatum nascentium rationes sumantur, longitudo DF ut quantitas ideoque etiam Ut quantitatis hujus dimidium etc. Est autem tempus, quo corpus cadendo describit lineolam DE, ut Iincola illa directe volocitas u inverie ; estque vis ut velocitatis incrementum I directe de tempus inverse, ideoque si Primae nascentium rationes sumantur, ut hoc est, ut longitudo DF. Ergo Vis ipsi DF, vel EG, proportionalis facit ut corpus ea cum Velocitato descendat, quae sit ut recta quae Potest arcam ABGE. Q. E. D. Porro cum tempus, quo quaelibet longitudinis datae lineola DE describatur, sit ut velocitas inverse, ideoque inve se ut linea redia quae Potest aream ABFD ; sitque DL, atque ideo area nascens
DLME, ut eadem linea recta invcrse: erit tempus ut area DLME, M summa omnium tetmMrum ut summa omnium arearum, hOC est per Corol. Lem. Iv. tempus totum quo linea ΑΕ describitur ut area tota AΤvME. Q. E. D.
Corol. I. Si P sit locus, de quo corpus cadere debet, ut urgente aliqua uniformi vi centripeta not1 qualis vulgo supponitur gravitas velocitatem acquirat in loco D aequalem velocitati, quam corpus aliud vi quazunque cadens acquisivit eodem loco D ; Sc in Perpendiculari DF capiatur DR, quae sit ad DF, ut vis illa uniformis ad vim alteram in loco D, M compleatur rectangulum PDRQ , eique aequalis abscindatur area ABFD ; erit A locus de quo corPUS alterum cecidit. Namque completo rectangulo DRSE, Cum sit area ABFD ad aream DFGE Ut vV ad et VI, ideoque ut ἰVad i, id est, ut semissis velocitatis totius ad incrementum Velocitatis corporis vi inaequabili cadentis ; 8c similiter area PQRD ad aream DRSE iit semissis velocitatis totius ad incrementiam Velocitatis corporis uniformi vi cadentis; sintque incrementa illa ob aequalitatem temporum nascentium) Ut vires generatrices, id est,
ut ordinatim applicatae DP, DR, ideoque Ut areae nascentes DFGE, DF SE; erunt ex aequo areae totae ABFD, P in D ad invicem ut se-
185쪽
De Moro missus totarum velocitatum ; M Propterea, ob aequalitatem
Corol. 2. Unde si Corpus quodlibet de loco quocunque D data cum velocitato vel sursum vel deorsum Projiciatur, Sc detur lex vis centripetae, invenietur velocitas ejus in alio quovis loco e, crigendo ordinatam π, Se capiendo velocitatem illam ad velocitatem in loco D ut cit recta, quae potest rectangulum PQRD area curvi, an i lii Ca DEge Vel auctum, si locus e est loco D inferior, vel diminutum, si is superior cit, ad rcciam quae Potest rcciangulum solum PQR D.
Corol. 3. TemPUS RUoque innotescct cristendo ordinatam em rcci- Procu Proportionalem lateri quadrato ex Pi aD φ Vcl - DFq e, M Ca Piendo tempus, cimo corpus descripsit lineam Dc, ad temptis quo CorPUS alterum vi uniformi cecidit a P 8c cadendo pervcnit ad D, Ut area cur vilinca D L. me ad I ce angulum 2 PDRDL. Namque temPUS, Plo COTPUS
vi uniformi descendens descripsit lincam PD, est ad tempus stilo mi Pus idem descriptit lineam PE, in suh- duplicata ratione PD ad PE, id est lineola DE jamjam nasccnto in ratione PD ad P DΦ. . D E, 1Cu 2 PD ad ad D Φ DE; Τί divisim, ad tompus quo corpus idem descripsit
lineolam DK ut a PD ad DR, ideoque ut me tangulum 2 PDκ DL ad aream DLME; cstque tempus quo corpus utrumque descripsit li- nec lam DE ad tempus quo corpus alterum inaequabili motu cle- scripsit lineam DP, ut area DLME ad aream DLme, M CX aequo tempus primum ad tempus Ultimum ut rectangulum 2ΡDκ DL
Corporum quae a locis A, ν demisia suetint, quorum illud vi in quabili, hoe aeq)iabili, incitari posuimus, eorum in loco D velocitates litera: v, ω delignent. I iturae nutem I, ι vcliacita tum v, i incrementa dcuignent simul genita. Iam conserendo Primas quantitatum naizentiun rationes,
186쪽
De inventione orbium in quibus corpora viribus quibuscunque centripetis uuata revolvuntur.
Si corpus, cogente vi quacunque centripetae, moveatur utcunque, corpus aliud recta ascendat vel descendat, sin que eorum Urio Diates in aliquo aequatium Gisitudinum casu aequales, velocitaIeseorum in omnibus aequalibus altitudinibus erunt aequales. Descendat corpus aliquod ab A per D, E, ad centrum C; Mmoveatur corpus aliud a V in line1 curva VIKk. Centro C, intervallis quibusvis describantur circuli concentrici DI, ΕΚ, re me AC in D M Ε, Curvaeque VI K in I M Κ OCCurrentes. Iungatur IC occurrens ipsi KE in N ; M in I x demittatur Perpendiculum NT ; sitque Circumferentiarum circulorum intervallum, DE Vel IN, quam minimum, M habeant corpora in D SE I velocitates aequales. Quoniam distantiae CD, CI aequantur, erunt vireS Centripetae in D M I aequales. Exponantur hae vires
Per aequales lineolas DE, IN ; M si vis una IN per legum Corol. 2. resolvatur in duas NT 8c ΙΤ, Vis N T, agendo seCundum lineam NT Corporis cursui ITK. Perpendicularem, nil mutabit velocitatem Cor poris in cursu illo, sed retrahet solummodo corpus a cursu rectilineo, facietque ipsum de orbis tangente perpetuo deflectere, inque via curvilinea ITKk progredi. In hoc effectu producendo vis illa tota consumetur: Vis autem altera, IT, secundum Corporis cursum agendo, tota accelerabit illud, ac dato tempore quam minimo accelerationem generabit 1ibi ipsi
proportionalem. Proinde Corporum in D MI a elerationeS, 22-
qualibus temporibus factis, si sumantur linearum nascentium
rationes, erit area AaPD ad aream Drost ut uu ad aI κ v per hanc propositionem fire ut i v ad I. Erit autem area DpGE ad aream DRsx ut Dp ad DR, hoe est ut i ad Rursum erit area DasE ad aream Pu RD ut at κω ad - per hanc propositionem hoe est ut ι ad i Ex aequo igitur area ABFD erit ad aream pudio ut i v ad fi π.
187쪽
' ' poribus autem inaequalibus ut lineae illae M tempora conjunctim. Tempora autem quibus D E M IK describuntur, ob aequalitatem velocitatum sunt ut vise descriptae DE M IR ; ideoque accelerationes, in cursu corporum Per lineas DE & IK, sunt ut DE M IT, DE & in conjunctim, id eli ut DE quad. M iΥκIΚ rectangulum. Sed rectangulum iΥκ IK aequale cli IN quadrato , hoc est, aequale DE quad. M Propterea accelerationes in transitu corporum a D M I ad E M K aequales generantur. AEquales igitur sunt corporum velocitates in E SE R : Sc eodem argumento semper reperientur aequales in subsequentibus aequalibus distantiis. Q. E. D. Sed ia eodem argumento corpora aequivelocia Sc aequaliter a centro distantia, in ascensu ad aequales distantias aequaliter reta dabuntur. Q. E. D.
Corol. I. Hinc si corpus vel oscilletur pendens a filo, vel impedimento quovis politistimo M perfecte lubrico cogatur in linea
CurVst moveri, M corpus aliud recta ascendat vel descendat, sintque Velocitates eorum in eadem quacunque altitudine aequales rerunt velocitates eorum in aliis quibuscunque aequalibus altitudinibus aequales. Namque corporis penduli filo, Vel impedimento vasis absolute lubrici, idem praestatur, quod Vi transversa NT Corpus co non retardatur, non acceleratur, sed tantum cogitur de cursu reciti linco discedere. Corol. 2. Hinc etiam si quantitas P sit maxima a centro distantia, ad quam corpus, vel oscillans, vel in trajectoria quicunque re-Volvens, deque quovis trajectoriae puncto, est quam ibi habet velocitate sursum projectum ascendere possit; sitque quantitas Adistantia corporis a contro in alio quovis orbitae Puncto, M vis centripeta semper sit ut ipsius A dignitas quaelibet A' ', cujus index
II nifieaiana, vis illius emcacia sit ut A litera utique a numerum desises nante; Curva iro Propositionis xxx lx . per ipsum virium centrum C tran- , sibit, ut in signia apposita. Ponatur igitur CA rectae P aequalis, sitque Co aequalis indefinitae A. Eductisque Aa, or ad perpendiculum, velocitas cor-G poris recta cadentis vel ascendetitis in loeo o erit ut recta quae potest aream
188쪽
n-I est numerus quilibet n Unitate diminutus ; .velocitas corporis Liηεη
in omni altitudine A erit ut GP A', atque ideo datur. Namque velocitas recta ascendentis ac descendentis per Prop. xxx Ix.) est in hac ipsa ratione h .PROP. XLI. P R O B. XXVIII. Posita cujuscunque generis vi centripetri conccisis figurarum curvilinearum quadraturis, requiruntur Ium trajectoriae in quibus corpora moSebunIur, tum tempora moIuum in trajectoriis inventis.
Tendat vis quaelibet ad contrum C, M invenienda st trajectoria VIKk. Detur circulus VR, Centro C, intervallo quovis, C v, descriptus ἔ centroque eodem describantur alii quivis circuli ID, ΚΕ trajectoriam secantes in I Ω Κ, rectamque Cu in D M E. Age tum rectam cNIX secantem circulos ΚΕ, VR in N ia x, tum rectan CΚΥ Currentem circulo VR in Y. Sint autem puncta I Sc x sibi in-
189쪽
vicem vicinissima, M pergat corpuS ab v per I K ad k; sitque punctum A locus ille, de quo corpus aliud cadere debet, ut in loco D velocitatem acquirat aequalem Velocitati corporis prioris in I. Et stantibus quae in Propositione XXXIX, lineola I Κ, dato tempore quam minimo descripta, erit ut velocitas, atque ideo ut recta quae potest aream ABFD ; M triangulum I CK tempori Proportionale dabitur; ideoque KN erit reciproce ut altitudo Ic, id est, si detur quantitas aliqua Q , M altitudo IC nominetur A, ut 9: Hanc quantitatem'nominemus Z, M Ponamus eam esse magnitudinem ipsius Q , ut sit in aliquo casu ABFD ad Z ut est IK
per El. VI. ao. Nimirum elim figurae evanescentes cxv, cNx sint ultimo inter se fieutfigurae similes, quarum Cx, cN sunt latera homologa. ') Nempe per quadraturam curvae v Dba, quaerendo abscissam axis v D, quae datae areae longitudo est. Data enim vo dabitur areae curvae avne quae datam habet abscissam vn, cujusque ordiis nata De datam aliquam relationem ad abscissam habet.
Si Nτ vch, Icae sectores orbitae, qui motu corporis temporibus aequalibus conficiuntur, & pune. tis A. x in rectas cu, CI deducantur ad perpendiculum δέ cu. Sectores v b, ICK, temporibus aequalibus confecti, inter se aequales erunt Prop. I. Temporihua vero quibus conficiuntur in finith imminutis, ita tamen ut maneant semper inter se aequalia, sectorea etiam manebunt semper inter se aequales. Uule et evanescentium ultima inter ipsos ratio aequalitas erit. Sectores autem illi evanescentes cum rectangulis Ev κ AI. cIκκn, quorum utique dimidiis ultiino aequales fiunt, Proportione ultimo convenient. Rectangula igitur illa fiunt ultimo inter se aequalia. Recta va. 1 puncto U ad perpendiculum eum recta cΑ educta, curvae BFG in L occurrat. Exponantur rectae R ; quarum illa uia ea sit quae possit aream ABLU, altera vero Ra
190쪽
In ad KN ; Se erit in omni casu ABFD ad Z ut In ad ΚN, MLiaxa ABFD ad ZZ ut Ixq ad KN 7, 8c divisim ABFD-ZZ ad ZZ ut IN quad. ad KN quad. ideoque o ABFD-ZZ ad Z, seu ut IN ad ΚN,
AκKN ut CXq ad Α Α ς , erit rectangulum XYκXC aequale. . Igitur si in Perpendiculo DF capiantur semper
scribantur Curvae lineae is, ac, quas Puncta θ, c Perpetuo tangunt ; deque puncto v ad lineam AC erigatur Perpendicul Um Va, abstindens areas curvilineas V Dba, V Dca, 8c erigatur etiam ordi- natae Ez, EX I quoniam rectangulum Dbκ IN, seu DbzΕ, aequale est dimidio rectanguli, AκΚN, seu triangulo I CK; M rectangulum DcκIN seu DcxE aequale est dimidio rectanguli TXκxc, seu triangulo XCY : hoc est, quoniam arearum V Dba, VI C aequales semper sunt nascentes Particulae DbPE, ICK, 8c arearum ocia, VCX aequales semper sunt nascentes partiCulae Dca E, XCY ; erit arca genita V Dba aequalis areae genitae vIC, ideoque tempori ProPortionalis, M area genita V Dca aequalis sectori genito VCx. Dato igitur tempore quovis ex quo corpus discessit de loco v, dabitur arca ipsi proportionalis V Dba, Se inde dabitur corporis altitudo co vel CI d) ; Marea V Dca, eique aequalis sector v K una cum ejus angulo v cI ς . Datis autem angulo VCI M altitudine CI datur locus I, in quo Pus, ComPleto illo tempore, reperietur. Q. E. I f . Corol.
possit aream ABFD. Erit igitur ost ad Rs ut velocitas corporis in loco v ad velocitatem eius in loco I i Prop. xxxIx ti x Constituantur anguli Mave, an I angulis huc, xis, quibus re 2AECV, cI ad curvam in punctis, v, ae inclinentur, singulatim aequales. Et a punctis o , s, in λεηu , RT demittantur ad perpendiculum ci , s T. Ita efformata eruat triangula rectangula UWαs