장음표시 사용
211쪽
vilinei, quod punctum quodvis in rotae terimetro datum, ex quo globum tetigit, confecit, erit ad dupli Ium snum versum arcus dimidii, qui globum toto hoc tempore inIre eundum tetigit, ut disserentia diametrorum globi ω rotae adsemidiamrerum globi.
Sit AB L globus, C centrum ejus, BPu rota ci insistens, E Centrum rotae, B PUnctum Contactus, M P punctum datum in perimetro rotae. Concipe hanC rotam Pergere in circulo maximo
An L ab A per B vcrius L; M inter eundum ita revolvi, ut arcus, AB, PB, sibi invicem semper aequentur, atque Punctum illud P, in perimetro rotae datum, interea describere viam curvilineam AP.Sit autem Ap via tota curvilinea descripta, cX quo rota globum tetigit in A, M erit viae hujus longitudo AP ad duplum sinum Versum arcus - PB, ut 2CE ad CB. Nam recta CE si opus cst Producta occurrat rotae in V, jUnganturque CP, BP, EP, VP ; M in CP productam demittatur normalis vF. Tangant PH, VH circulum in P M v, concurrentes in H ; secetque PH ipsam VF in G, Mad VP demittantur normales GI, Hic. Centro item C, M intervallo quovis describatur circulus nom, secans rectam CP in Totae Perimetrum AP in O, M viam curvilineam AP in m; centroque V M intervallo vo describatur circulus secans VP Productam in q. Quoniam rota eundo semper revolvitur Circa punctiun contacitis B; manifestum est, quod recta BP perpendicularis est ad lineam illam curvam AP, quam rotae punctum P describit; atque ideo quod recta VP tanget hanc Curvam in puncto P. Circuli nom radius, sensim auctus vel diminutus, aequetur tandem cli1tantiae Cp ;M, ob similitudinem figurae evanescentis Pnomq ia figurae PFGVI,
ratio Ultima lineolarum evanescentium P m, P n, Pst, Pq, id est, Tatio mutationum momentanearum Curvae AP, rectae CP, arciis circularis BP, aC rectae VP, cadem erit, quae linearum PV, PF, PG, PI respective. Cum autem v F ad CF M VH ad CV perpondiculares sint, angulique IIvG, VCF Propterea aequales; M angu luS VII G ob angulos quadrilateri IIvEP ad v M P rectos angulo CEP aequalis est, similia crunt triangula VHG, CEP ; 8c inde fiet ut EP ad CE ita Ho ad Hu, seu HP ; M ita xl ad Κp : M composite, vel clivi lim, ut CB ad CE ita pi ad Px; M, duplicatis consequenti-bUS, ut CB ad 2CE ita P I ad p v, atque ita Pq ad P m. Est igitur
212쪽
decrementum lineae vP, id est, incrementum lineae BV-UP, ad Lia a
incrementum lineae curvae AP in data ratione CB ad 2CE, Sc Prointerea per Corol. Lem. iv. longitudines BV - VP M AP, incrementis illis genitae, sunt in eadem ratione. Sed, eNistente BUradio, est vPω-sinus anguli BV P, seu l BEP; ideoque BU-VP 1inus vorsus est ejusdem anguli; M propterea in hac rota, CUJUS radius est Bu, crit BP-vP duplus sinus versus amus et BP. Ergo AP est ad duplum sinum versum arciis ἰ BP ut 2CE ad CB. Q. E. D. Lineam autem AP in propositione priore Cycloidem eXtra globum ς alteram, in posteriore, Cycloidem intra globum, distinc tionis gratia, nominabimuS.Corol. I. Hinc si describatur Cyclois integra AsL, A bisecetur, Z a ca
213쪽
ea in f, erit longitudo partis Ps ad longitudinem VP quae duplus cst sinus anguli VEP, existente EB radio ut 2CE ad CB, atque ideo in ratione data. Corol. 2. Et longitudo semiperimetri Cycloidis As aequabit uxlineae rectae, quae est ad rotae diametrum BV ut 2CE ad CB.
Facere ut corpus pendulum ostia tur in Cycloide data. Intra globum QVs, centro C descriptum, detur Cyclois QRs,
bisecta in R, M punctis suis extremis, Q M s, superflatet globi
hinc inde occurrens. Agatur CR bisecans arcum QS in O, 8 PrΟ- ducatur ca ad A, ut sit CA ad Co ut Co ad CR. Centro C intervat Io CA describatur globus exterior D AF, A intra hunc globum a rota, cujus diameter sit Ao, describantur duae semicycloides Ain, AS, q e globum interiorem tangant in Q M s, Sc globo exteriori occurrant in A ' . A puncto illo A, filo A PT longitudinem AR aequante, Pendeat corpus T, M ita intra semicycloides Ain, AS OG
cilletur, ut quoties pendulum digreditur a perpendiculo AR, filum parte sui superiore, AP, applicetur ad semicycloidem illam,
APS, Versus quam Peragitur motus, M Cimum eam, Ceu obstacu
lum, flectatur; parteque reliqua, PT, Cui semicyciois nondum objicitur, protendatur in lineam rectam; M pondus ae oscillabitur in Cycloide data QRS. Q. E. F.
Curias motu roiae seripias, cuius diameter est Ao, quaeque a puncto A proficiscatur, eassimi cycloides esse, et in punctis s, et globum interiorem contingere, ad hunc modum ostendimus.. Intellige junctain cs et productam, ut globo exteriori in D occurrat. Iam cum CA sit ad Co ut eo :ul Ea ita factum enim convertendo, erit cΑ ad Ao, ut Co ad OR ; et permutando, CA ad cout Ao, ad oll. Di ametri igitur ratarum, quarum motu scribuntur cycloides intra globos Dr, se cum globorum diametris proportione conveniunt. Arcus autem Circillares AD, os inter se sunt1.miles. Quare et areus illi cum globorum diametris, ac proinde cum diametris rotarum, proporis ione convenient. Hoe est An r os π Ao r OR. Permutando AD : Ao vel os mos : o . Unde cui nos semiis fit armis ejus circularis, quem rota, cujus diameter est OR , integra iiii conversone confecerit, erit Αo semissis arcus eius circularis, quem rota, cujus diameter est Ao, integra sui eon. versione eonfecerit. Quare os axis erit Cycloidis, quam motus hujus rotae generaverit. Unde punctum s ad Cycloidem erit, et a reus As semicyaeois erit. Eam velo globum interiorem in pung-to S contingere, ex eo patet, quod re ia Ds tam cycloidem As, cujus est axis, quam Circulum osvd cuius centrum tendit, ad perpendicilli in secat. Et li initi argumentatione et laiatur punet Q.ad cIcloidem esse, cujus proinde arcus co semicyclois erit, et globum interiorem in continget. Q. E. D. φὶ Recta , ii puncto p ad perpendiculum cum ντ educta, occurrat gl=bo An in P. iniando rotae, e rius diameter est ΛΟ, punctum quo cyclois Aret scribit ir, quod pulictum gencrana vi eatur, quando illud loeum P obtineat, ambitus rotae globum An in a eontinget. Id enim ex oε- moti stratione P potitionis x viii. vel x Lix. mani lium est Et in tali totae situ, diametri Hur, uxiae Per B uileia i erit. extremitas altera ad globi uos superficiem erit. Eadem vero, erit ad citam er, quae cicloidem in x contingit. Per ea quae in demonstrandis Propolit. xLvit r. de xLD
214쪽
lum PT tum Cycloidi QRS in T, tum Circulo. S in V, agaturqUCcv ; Sc ad fili partem
BP, T V, Occurrentia rectae cv in B M W. Patet, ex constructione
pendicula illa, PB, T W, abscindere de CV longitudines V B, VW rotarum diametris o A, OR aequales h . Est igitur TP ad VP duplum sinum anguli VEP existente au radio ut B v ad B V, seu AoΦOR. ad Ao; id est cum sint OA ad co, co ad CR Sc divisim Ao ad ORProportionales) Ut CA Co ad C A, vel, si bisecetur Bu in Ε, ut 2CE ad CB. Proinde sper Corol. I. ProP. XLlX. longitudo Pa tis rectae fili PT aequatur semper Cycloidis arcui Ps, 8z filum totum A PT aequatur semper Cycloidis arcui dimi kb APs,.I1oc est
di Lix. a Newtono Ostensa sinit., Cooeursus igitur rectae PT cum globo uos, hoc est, punctum , extremitas erit diametri rotae, quae lγer ducta suerit, contactum utique rotae et globi FAD. Erit igitur ii,sa xv rotae dianacter, quae per contactuin rotae globique rAu traniit. Vergit igitur eadem ad punctum e centrum globi. Puncta igitur tria c, v. a ad redeam sunt, cujus pars RV, ipsi Ao aequalis est. Iam a puncto τ educta recta τw, ad perpendieulum cum Pr, ipsi cu in in currat. Qitando rota, cujus diameter est Oa, eum situm obtineat, ut globum so Un puncto Ucontingat, diameter ejus per punctum conlaetus v congruet eum parte aliqua rectae Vc; arcus autem rotae, qui a diametro illa & puncto generante, quod vocant, in creeptus sit, is arcui vo aequalis erit. Rota autem, cujus diameter cli Ao, eum situ in obtinente, ut globum ran in s contingat, areus eius, cuius e horda est ne, arcui AB aequalis est. Quare arcus quem diximus rotae prioris ad rotae posterioris areum.. cujus choida ad , rationem habebit quam vo ad AB ; sive can, quam eo ad cA ; sive cani denique quam OR ad Ao. Similes igitur inter se sunt rotatum arcus illi, utpote eum rotarum diametris proportione convenientes. Angulus igitur qtii ad ambitum νotae, cujus diameteπest o R, eonititutus arcum ejus a diametro per punctum v ut puncto generante interceptum hasem habeat, s angulo avr aequalis erit, sive angulo WvT. Quapropter dia metro rotae cum parte aliqua rectae vo congruente, recta a puncto v in punctuin generans extensa congruet cum parte aliqua rectae v T. Rota igitur eum ilium obtinente ni globum nos in reonting. t, punctum generans erit ad rectam v x. Idem v ro ad veloidem sR. Ad concursum ivitur re tae υτ et Cycloidis et hoc est ad ipsum punctum T. Quare rota eum litura obtinente ut globum nos in puncto v contingat. erit T locus puncti generantis. Unde recta TN, ad Perpen es calum eum lucta vT, 'iux eontactum rotae et globi cum puncto generante e jungit, educta, haec Cycloidem in Y continget, retiaque vw, reetis Tu, T xv interceptae, diametri rotae OR κqualis erit. Per ea quae in demovillandia Propositionibus xLviii &.x Lix. a Neae tono sunt ostensa.
215쪽
per Corol. 2. Prop. XLIX. longitudini AR. Et Propterea vicissim si suum manet semper aequale longitudini AR movebitur Puta tum T in Cycloide data QRS. Q. E. D. Corol. Filiam AR aequatur semicycloidi As, ideoque ad globi exterioris semidiametrum AC eandem habet rationem, qUam 1imilis illi semicyclois sR habet ad globi interioris 1emidiame
PROP. LI. THEOR. XVIII. Si vis cenustela tendens undique ad globi cenuum, C, si in locis Angulis ut di mitia loci cujusque centro ; γ, δ δε jos vi agente, corpus T oscidetur modo jam descripto in terimetro Cycloidis QR s r dico, quod of IDIionum uIcunque inaequalium aequalia
Nam in Cycloidis tangentcm T v infinite productam cadat Perpendiculum cx 8e jungatur CT. Quoniam Vis Centripeta, qua corpus T impellitur versus c, est ut distantia CT, atque haec per legum Corol. 2. resolvitur in Partes CX, TX, quarum CX, impellendo corpus directe a P, distendit stilum PT, & Per ejus resistentiam tota cessat, nulliam alium cilcias csscctum; Pars
autCm altera, TX, Urgendo CO pus transversim, seu Versus X, diruete accelerat motum HUS
in Cycloide ; manifestum est, quod corporis acceleratio, huic vi acceleratrici Proportionalis, sit singulis momentis ut longitudo 'rx ; id est, ob datas Cu, Wv, iisque Proportionales TX, TW, Ut longitudo T , hoc cit per Corol I. Prop. XLIX. Ut longitudo ar Cus Cycloidis TR. Pendulis igitur duobus A PT, Ut de Perpendiculo AR inaequaliter deductis, Se simul demissis, accelerationes eorum 1 emper erunt ut arcus describendi, TR, IR. Sunt autem Pa tes sub initio descriptae ut accelerationes, hoc est, ut totae sub initio describendae; ia propterea partes, quae manent describendae, M
216쪽
accelerationes subsequentes, his Partibus Proportionales, sunt e Lim ntiam ut totae; se sic deinceps. Sunt igitur accelerationcs, atque ideo velocitates genitae, M Partes his velocitatibus descriptae, parteiaque describendae, semper ut totae; Sc Propterea Partes describendae datam servantes rationem ad inviccm simul evanescent, id est, corpora duo oscillantia simul pervenient ad perpendiculum AR. Cumque vicissim ascensus perpendiculorum de loco infimo R, per eosdem arcus cycloidales motu retrogrado facti, retardentur in locis singulis a viribus iisdem a quibus dei census accelerabantur, patet velocitates ascensuum ac descensuum per eosdem arcus DCtorum aequales csse, atque ideo temporibus aequalibus fieri; Propterea, ctim Cycloidis Partes duae, RS M RQ , ad utrumque Perpendiculi latus jacentes sint similes M aequalos, Pendula duo οὐ Cillationes suas, tam totas quam dimidias, iisdem temporibus sem-Per Peragent. Q. E. D. Corol. Vis, qua corpus T in loco qUovis Τ acceleratUr Vel reta clatur in Cycloide, est ad totum Corporis ejusdem pondus in loco altissimo, S Vel Q , Ut cycloidiS arcus TR ad ejusdem arcum sRvel QR.
P R O P. LII. P R Ο B. XXXIV. Desnire velocitates Pendulorum in locis sngulis, θ' tempora, quibus tum oscillationes totae, tum singliae oscillationum partes,
peraguntur. Centro quovis G, intervallo GH Cycloidis arcum RS aequante,
Iescribe semicirculum H L M, semidiametro an bisectum. Et si Vis
217쪽
DK Moro centripeta, distantiis locorum a centro proportionalis, iciulat ad Centrum G, sitque ea in Perimetro HIn aequalis vi centripetae inperimetro globi QOs ad ipsius centrum tendenti; M codem tempore quo Pendulum T demittitur e loco supremo s, cadat corpus aliquod, L, ab H ad G : quoniam Vires, quibus corpora urgentur,
sunt aequales sub initio, M spatiis describendis, TR, LG, semper
Proportionales, atque ideo, si aequantur πR M LG, aequales in locis T 8e L; patet corpora illa destrihere spatia sT, HL aequalia sub initio, ideoque subinde pergere aequaliter urgeri, M aequalia spatia describere. Quare per Prop. XXXV m. temPUS, qUO corPus describit arcum sΤ, est ad tempus oscillationis unius, ut arcus VI, temPUS quo cinos H Perveniet ad L, ad semiperii criam
ΗΚΜ, temPuS quo corpus Η perveniet ad M. Et Velocitas corporis penduli in loco ae est ad velocitatem ipsius in loco infimo B, hoc est, velocitas Corporis H in loco L ad velocitatem ejus in loco G, seu incrementum momentaneum lineae HL ad incrementum momentaneum lineae HG, arcubus HI, HK. aequabili fluxu crescentibus ut ordinatim applicata LI ad radium GK, sive ut 3Rq. - TR q. ad sR. Unde clim, in oscillationibus inaequalibus, describantur aequalibus temporibus arcus totis oscillationum arcubus
In sicura Prop. xiax. intelligatur iungi rectam eA. Tum si reeta Ru sensim trestat, ut
recta: Cn ultimo aequalis fiat, arcus Dp ad ambitum eirculi Epu eam ultimo rationem habebit, quam duplus arcus Ag ad ambitum circuli Ac. t 'nde angulus ν Ea duplo angulo ACB ultimo π-
qualis urit. Sed in omni magnitudine rectae uv, angulus pha duplo angulo rva est aequalis. Ut timo
218쪽
hus proportionales; habentur, cX datis temporibus, & vclocitatos Sc arcus descripti in oscillationibus universis. Quae crant Primo
oscillentur jam funipendula corpora in Cycloidibus clivoriis, intra globos diversos, quorum diversae sunt etiam vires absolutae, descriptis : 8c, si vis absoluta globi cujusvis .s dicatur V, Vi S a Celeratrix, qua Pendulum urgetur in circumferentia hujus globi, ubi incipit dire te versus centrum ejus moveri, erit ut distantia corporis penduli 1 centro illo M vis absoluta globi conjuncti ina,
hoc est, ut Co κ V. Itaque lineola HY, quia: sit ut lucc vis acceleratrix Coκ v, describetur dato tempore ; M, si erigatur normatis YZ circumferentiae occurrens in Z, arcus nascens HZ donotabit datum illud tempus. Elt autom arcus hic nascens HZ in subdi plicata ratione rectanguli GIIY, ideoque ut , GlIκCΟκ v. Unde
tempus oscillationis integrae in cycloide QRs cum sit ut semiperiphoria H ΚΜ, quze oscillationem illam integram denotat, directe; utque arcus HZ, qui clatum tempus similiter denotat, inverse fiet ut GH directe M GHκCoκv inverse; hoc est, ob ae
quales GH M s R, ut d ἄ-, sive per Corol. Prop. L. ut
Itaque oscillationes in globis & cycloidibus omnitius, quibuscunque cum viribus absolutis factae, sunt in ratione quae componitur ex subduplicata ratione longitudinis fili directe, M subduplicata. ratione distantiae inter punctum suspensionis D centrum globi inverse, M subduplicata ratione vis absolutae globi etiam inverse. Q. E. I. Corol. I. Hinc etiam oscillantium, cadentium M revolventium CorPorum tempora Possunt inter se conferri. Nam si rotete, qu1 Cyclois intra globum describitur, diameter constituatur aequalis semidiametro globi, Cyclois evadet linea recta per centrum globi transiens ς ; Sa oscillatio jam erit defccnsus M subsequens ascensus in hic redia. Unde datur tum tempus descensus de loco quovis ad Centrum, tum tempus huic aequale, quo corpus iani formiter circa centrum globi ad distantiam quamvis revolvendo arcum qua-
timo igitur, puncto v cum ipso C eongruente, anguli tu , ECA. sve vcr, BCA, inter se aequales fiunt. Congruet igitur recta ον ultimo cum retrii eA linsitione clata, et punctum rota: r. quo in omni rotae magnitudine Cyclois scribitur, erit ad rectam illam cA positione datam, et Cyclois ultimo in rectam illam migraverit.
219쪽
drantalem describit. Elt enim hoc tempus per casum secundum ad tempus semioscillationis in Cycloide quavis QRs ut I ad
Corol. 2. IIinc etiam consectantur quae Wrennus 8e Hugenius
de Cycloide vulgari adinvencrunt. Nam si globi diameter augeatur in infinitum : mutabitur ejus superficies sphaerica in planum, visque centripeta aget uniformiter secundum lineas huic plano perpendicularcs, 8c Cyclois nostra abibit in Cycloidem vulgi. Isto autem in casu longitudo arcus Cycloidis, inter planum illud Mpunctum describens, aequalis evadet quadruplicato sinui verso dimidii arcus rotae inter idem Planum punctum describons ; ut invenit Wrennus et Pendulum inter duas Uusmodi Cycloides in simili aequali Cycloide temporibus aequalibus oscillabitur, ut
demonstravit Hugenius. Sed descensus graVium, tempore oscillationis unius, is erit quem Hugenius indicavit. Aptantur autem Propositiones a nobis demonstratae ad voram constitutioncm Terrae; quatenus rotae, eundo in ejus circulis maximis, describunt motu ClaVorum, Perimetris suis infixorum, Cycloides extra globum ; M Pendula inferius in fodinis N cavernis Terrae suspensa, in Cycloidibus intra glolms oscillari debent, ut oscillationes omnes evadent isochronae. Nam gravitas ut in libro tortio docebitur decrescit in progressu superficie terrae, sursum quidem in duplicata ratione distantiarum a Centro ejus, deorsum. vero in ratione simplici. P R O P. LIII. P R O B. XXXV. Concessis rigurarum curvilinearum quadraturis, invenire vires quia lus corpora in datis curvis lineis oscillaIiones semper Mochronas
Oscilletur corpus T in curv1 quavis linea STRQ , cujus axis
sit AR transiens Per Virium Centrum, C. AgatUr TX, qUae Curvam illam in corporis loco quovis T contingat, inque hac tangente rx capiatur TY aequalis arcui TR. Nam longitudo arcos illius cX sigurarum quadraturis, Per methodos vulgares, innotescit. De puncto Y educatur recta YZ tangunti perpendicularis. Agatur CT perpendiculari illi occurrens in Z, 8c erit vis centripeta Proportionalis rectae TZ. Q. E. I. Nam
220쪽
PRINCIPIA MATHEMATIC A. I 87 Altam TZ Captam ipsi Proportionalem, resolvetur hauC in Vires TY, YZi quarum YZ, trahendo Corpus
o motum ejus nil mutat; vis autem altera TY motum ejus in Curva STRQ directe accelerat, vel cli redievia describenda TR, accelerationes corporis Vel retardationes in oscillationum duarum majoris M minoris partibus proportionalibus cle- scribendis, erunt semper ut Partes illae, Se Propterea facient Ut Par-Corol. I. Hinc si corpus Τ, filo rectilineo AT a centro A pendens, describat arcum circularem sTR , interea urgeatur 1h-ὶ cundum lineas parallelas deorsum a vi alitis, ut arcus TR ad GuS 14nUm TN : P qualia erunt oscillationum singularum tempora. Etenim Oh Parallelas ΤZ, AR, similia oriant triangula ATN, ZTΥ ἔPropterea TZ erit ad ΛΤ ut TY ad T N, hoCretardat. Proinde cum liaec sit ut
tes illae simul describantur. Corpora autem quae Partes totis semper proportionales simul describunt, simul describoni totas. Q. E. D. qua, quae si ad Vim uniformem gravita- est, si gravitatis vis uniformis exponatur per longitudinem datam AT ; vis TZ, qua oscillationes cvadent isochronae, crit ad vim gravitatis AT, ut arcus TR, ipsi TY aequalis, ad arcus illius sinum TN. Corol. 2. Et Propterea in horologiis, si vires, a machina inpendulum ad motum conservandum impressio, ita cum vi graVitatis componi possint, ut vis tota deorsum semper sit ut linca,
quae Oritur applicando rectan lum sub arcu TR radio AR ad sinum TN, oscillationes omnes crunt isochronae.