장음표시 사용
231쪽
faciendo, ut systema corporum T M L eX una parte, M corpus sex aliena, justis cum velocitatibus, gyrentur circa commune gravitatis centrum C. Tali motu corPus S, eo quod suna mavisium motricium SD κ T M SD κL, distantiae C s Proportionalium, tendit Versus centrum C, describit Ellipsin circa idem C; M punctum D, ob Proportionales cs, CD, describet Ellipsin consimi-
lera o rcgione. Corpora autem T 8c L Viribus motrici hus sDκτ&sDκL, Prius Priore, Posterius Posteriore, aequaliter D secundum lineas rarallelas TI M LX, Ut dictum cI , attracta, pergent per legum Corollarium quintum M sextum) circa centrum mo-hile D cllipses suas describere, ut Prius. Q. E. I. Addatur jam corpus quartum V, M simili argumento concludetur hoc M punctum C Ellipses, circa omnium commune Centrum gravitatis B, describere, manentibus motibus priorum cor-IMrum T, L M s circa centrum D M C, sed acceleratis. Et estis clem methodo corpora Plura adjungere licebit. Q. E. I. Haec ita se habent, etsi corpora Τ M L trahunt se mutuo viribus acceleratricibus majoribus Vel minoribus, quam quibus trahunt corpora reliqua Pro ratione distantiarum. Sunto mutuae Omnium attractiones acceleratriccs ad invicem ut distantiae cludito in corpora trahentia, Sc ex praecedentibus facile deducetur, quod corpora omnia aequalibus temporibus periodicis Ellipses varias, circa omnium commune gravitatis centrum B, in plano immobili describunt. Q. E. I. P R Ο Ρ. LXU. T H Ε Ο R. XXV. Corpora plura, quorum vires decrescunt in duplicata ratione di antiarum ab eorundem centris, moveri pose inter se in Einbibus; θ', radiis aes umbilicos ductis, areas describere temporibus proportionales quam proxime. In Propositione superiore demonstratus est casus, ubi motus jures peraguntiu in Ellipsibus accurate. Quo magis recedit lex vitium
232쪽
virium ii Iege ibi posita, eo magis corpora Perturbabunt mutuos Lleva motus; neque fieri Potest, ut corpora, secundum legem hic po- 'sitam se mutuo trahentia, moveantur in Ellipsibus accurate, nisi
servando celetam proportionem distantiarum ab invicem. In 1equentibus autem Casibus non multum ab Ellipsibus errabitur. f. I. Pone Cor ra Plura minora Circa maximum aliquod, ad
varias ab eo distantias, revolvi; tendantque ad singula vires absolutae proportionales iisdem corporibus. Et quoniam omnium Commune gravitatis Centrum per legum Corol. quartum vel quiescit vel movetur uniformiter in directum, fingamus Corpora minora tam Parva esse, ut corpus maΥimum nunqtiam distet sensibiliter ab hoc centro : ia maximum illud vel quiescet, vel movebitur uniformiter in directum, sine errore sensibili; minora autem revolventur Circa hoC maximum in Ellipsibus, atque radiis
ad idem ductis describent arcas temporibus proportionales; nisi
quatenuS errores inducuntur, vel Per errorem maximi a Communi illo gravitatis centro, Vel Per actiones minorum corporum in se mutuo. Diminui autem mslunt corpora minora, usque donec error iste, M actiones mutuae sint datis quibusvis minores ;atque ideo donec orbes cum Ellipsibus quadrent, M areae respondeant temporibus, sine errore, qui non sit minor quovis dato. Q. E. O. f. a. Fingamus jam systema corporum minorum, modo jam descripto circa maximum revolventium, aliudve quodvis duorum, Circum se mutuo re luentium, corporum systema progredi uniformiter in directum, M interca vi corporis alterius longe maximi M ad magnam distantiam siti urgeri ad latus. Et quoniam aequales Vires acceleratriCes, quibus Corpora secundum lineas Parallelas urgentur, non mutant situs corporum ad invicem, sed ut systema totum, servatis partium motibus inter se, simul transferatur, efficiunt : manifestum est quod, ex attractionibus in corpus maXimum, nulla Prorsus orietur mutatio motus attractorum inter se, nisi vel cx attractionum acceleratricum inaequalitate, Vel ex inclinatione linearum ad invicem, secundum quas attractiones fiunt. Pone ergo attractiones omnes acceleratrices in corPUs maximum esse inter se reciproce ut quadrata distantiarum; augendo corporis maximi distantiam, donec rectarum ab hoc ad reliqua duetarum
233쪽
c. i. .u ductarum dissici cntiae, res Pectu earum longitudinis, M inclinationes ad invicem minores sint, quam datae quaeVis ς perseverahunt motus Partium systomatis inter se sine erroribus, qui norismi quiliusvis datis minores. Et quoniam, ob exiguam Partium
illarum ab invicem distantiam, systema totum ad modum corporis unius attrahitur ; movebitur idem hac attractione ad modum corporis unius : hoc est, centro suo graVitatis describet circa corpus
maximum 1ectionem aliquam conicam vio. Ityperbolam vel Parabolam attractione languida, Ellipsin fortiore ia radio ad maximum ducto describet areas temporibus proportionales, sine ullisci roribus, nisi quas Partium distantiae, perexiguae sane Se pro lubitu minuenda', valeant ossicere. Q. E. O. Simili argumcnto Pergere licet ad casus magis compositos in
infinitum. Corol. I. In casia secundo, quo Propius accedit corpus omnium
maximum ad systema duorum vol plurium, eo magis turbabuntur motus Partium systematis inter se ; propterea quod linearum, a corpore maXimo ad has ductarum, jam major est inclinatio ad in-Vicem, maiorque Proportionis inaequalitas. Cores. Σ. MaXime autem turbabuntur, Ponendo quod attractioncs acceleratrices Partium systematis, Versus corpus omnium maximum, non sint ad invicem reciproce ut quadrata distantiarum a corpore illo maXimo; praesertim si proportionis hujus inaequalitas major sit quam inaequalitas proportionis distantiarum a Corpore maximo. Nam si vis acceleratrix, aequaliter Sc secundiim lineas Parallelas agendo, nil perturbat motus inter se, necessu cst, Ut ex aetionis inaequalitate perturbatio oriatur, majorque sit, Vel minor Pro majore, vel minore inaequalitato. Excessus impulsuum majorum, agendo in aliqua corpora M non agendo in alia, neccssario mutabunt situm eorum inter se. Et haeC Perturbatio addita Perturbationi, quae cx linearum inclinatione Minaequalitate oritur, majorem reddet Perturbationem totam.
Corol. 3. Unde si systematis hujus partes in Ellipsibus, Vel Circulis, sine perturbatione insigni moveantur; manifestum est, quod
caedem a viribus acceleratricibus, ad alia Corpora tendentibus,
aut non urgentur nisi levissimo, aut urgentur aequaliter, M secundum lineas ParallelaS quamproximo.
234쪽
P R O P. LXVI. THEO R. XXVI. I. sis
Si corpora tria, quorum vires decrescunt in duplicata ratione distantiarum, se mutuo trahunt; γ miractiones acceleratrices Oinorum quorumcunque in tertium sint infer se reciproce ut quadrata di antiarum; minora cuum circa maximum revoman- Iur e dico, quod interius circa intimum N maximum, radiis adit m ductis, describet areas temporibus magis proportionales, liguram ad formavi Elii eos, umbilicum in concursu radiorum Babentis, magis accedentem, si corpus maximum his attractionibus agitetur, quam si maximum iEud via a minoribus non attractum quiescat, vel minus vel multo magis at- Iractum aut mullo minus aut multo mazis visetur. Liquet fero ex clemonstratione Corollarii secundi Propositionis P ecedentis; sed argumento magis distincto Sc latius cogente sic
evincitur. CV I. Revolvantur corpora minora P M s in eodem plano Circa maximum Τ, quorum P describat orbem interiorem PAR, M s exteriorem E SE. Sit sK mediocris distantia corporum P MS ; Sc corporis P versus s attractio acceleratrix, in mediocri ill1 Uistantia, exponatur per eandem. In duplicata ratione sK ad sp Capiatur sL ad sΚ ; M erit sL attractio acceleratriX corporis P Versus f in distantia quavis sp. Junge PT, eique Parallelam age LM Occurrentem sT in Μ ; M attractio sL resolvetur per legum Corol. 2.) in attractiones s M, LΜ. Et sic urgebitur corpus P vi acceleratrice triplici. Vis una tendit ad T, M oritur 1 mutua attractione Corporum T M P. Hac vi sola corpus P circum CO
Pus T, sive immotum, sive linc attractione agitatum, describere VoL. II. C c deberct
235쪽
deberet areas, radio P T, temporibus Proportionales, M Ellipsin, cui umbilicus est in centro corporiS T. Patet hoc Per Prop. XI. M Corollaria a M 3. Theor. XXI. Vis altera est attractionis LM; quae, quoniam tendit a P M T, superaddita vi priori coincidet cum ipΩ, M sic faciet ut arcae etiamnum temporibus Proportionales describantur Per Corol. 3. Theor. XXI. At quoniam non est quadrato distantiae PT reciproce Proportionalis, comPonet ea, Cum vi priore, vim ab hac PrOPOrtione aberrantem, idque eo magis, quo major est proportio hujus Vis ad Vim Priorem, Caeteris paribus. Proinde Cum per Prop. XI. de Per Corol. 2. Theor. XXI. Vis, qua Ellipsis circa umbilicum T describitur, tendere deboat ad umbilicum illum, Sc esse quadrato distantiae PT reciproce proportio natis ς vis illa composita, aberrando ab hac proportione, faciet ut orbis PAB aberret a forma Ellipseos umbilicum habentis in T ;idque eo magis, quo major est aberratio ab hac proportione; atque idco etiam quo major est Proportio Vis secundae LM ad vim Primam, caeteris Paribus. Jam Vero ViS tertia, s M, trahendo corpus P secundum lineam ipsi ST Parallelam, componet cum viribus prioribus vim, quae non amplius dirigitur a P in T; quaeque ab hac determinatione tanto magis abernat, quanto major est proportio hujus tertiae Vis ad Vires Priores, caeteris paribus : atque ideo quae faciet ut corpus P, radio TP, areas non amplius temporibus Proportionales describat; atque ut aberinatio ab hac proportionalitate tanto major sit, quanto major est proportio vis
hujus tertiae ad vires c teras. Orbis Vero PAB aberrationem a
forma elliptica Ρnaetata haec vis tertia duplici de causii adaugebit; tum quod non dirigatur a P ad T, tum etiam quod non sit reci- Pro e proportionalis quadrato distantiae P T. Quibus intellectis, manifestum est, quod areae temporibus tum maxime fiunt Proportionales,
236쪽
Dortionales, ubi vis tertia, manentibus viribus caeteris, fit miniJ ηε
ma; M quod orbis PAB tum minime accedit ad Proetatam formam ellipticam, ubi vis tam secunda quam tertia, sed praecipue vis tertia, sit minima, vi Prima manente. Exponatur corporis T attractio acceleratrix versus S Per lineam sN ; M si attractiones acceleratrices sΜ, SN aequales essent; hae, trahendo corpora T M P aequaliter M secundum lineas parallelas, nil mutarent situm corum ad invicem. Iidem jam forent corporum illorum motus inter se per legum Corol. 6. aC si hae attractiones tollerentur. Et pari ratione si attractio sN minor osset attractione sΜ, tolleret ipsa attractionis SM partem SN, M maneret pars sola MN, qua temporum M arearum Proportionalitas, M orbitae forma illa elliptica pereurbaretur. Et similiter si attractios N major esset attractione sΜ, oriretur ex differentia sola MN pe turbatio proportionalitatis M orbitae. Sic per attractionem sesreducitur semper attractio tertia superior sΜ ad attractionem ΜN, attractione prim1 M secunda manentibus prorsus immutatis: MPropterea areae ac tempora ad proportionalitatem, Sc orbita PAB ad formam praetutatam ellipticam tum maximo accedunt, ubi at tractio MN vel nulla est, vel quam fieri possit minima; hoc est, ubi Corporum P SE T attractiones acceleratrices, factae veris Corpus S, accedunt quantum fieri potest ad aequalitatem ; id est, ubi attractio sN non est nulla, neque minor minimi attractionum omnium sΜ, sed inter attractionum omnium sΜ maximam Sc minimam quasi mediocris; hoC est, non multo major neque multo minor attractione SK. Q. E. D. f. a. ROVolvantur jam Corpora minora P, S circa maximum T in planis diversis : M vis LM, agendo secundum lineam PT in plano orbitae PAB sitam, eundem habebit effectum ac Prius, neque corpus P de Plano orbitae suae deturbabit. At vis altera, NΜ, agendo secundum lineam quae ipsi sΥ parallela est atque ideo, quando corpus S Versatur extra lineam nodorum, inclinatur ad planum orbitae PAB praeter perturbationem motus in longitudinem jam ante eXPositam, inducet pereurbationem motus in lati tradinem, trahendo corpus P de Plano suae orbitae. Et haec Pe turbatio, in dato quovis corporum P M T ad invicem situ, erit ut
Vis illa generans MN, ideoque minima evadet ubi ΜN est minima; C c et hoc
237쪽
hoc est uti jam exposui ubi attractio SN non est multo major,
neque multo minor attractione SK. Q. E. D. Corol. I. Ex his facile colligitur, quod, si corpora plura minora P, S, R, MC. reVOlVantUr Circa maXimum Τ, motus corporis intimi P minime perturbabitur attractionibus exteriorum, ubi corpus maximUm Τ Pariter a caeteri S, Pro ratione Virium acceleratricum, attrahitur M agitatur, atque caetera a se mutuo. Corol. 2. In systemate Vero trium corPorum T, P, S, si attractiones acceleratrices binorum quorumcunque in tertium sint ad in vicem reciproce ut quadrata distaiatiarum ; corpus P, radio PT, aream circa corpus T VelociUS describet Prope conjunctionem A Roppositionem B, quam Prope quadraturaS C, D. Namque Vis omnis qua corpus P urgetur Sc coi Pus T non Urgetur, quaeque non agit secundum lineam PT, accelerat vel retardat descriptionem arcae, perinde ut ipsa in consequentia vel in antecedentia dirigitur. Talis est vis NM. Haec in transitu corporis P a C ad A tendit in consequentia, motumque accelerat; dein usque ad D in antecedentia, Se motum retardat; tum in consequentia usque ad B, Sc ultimo in antccedentia transeundo a B ad C ς . Corol. 3. Et eodem argumento Patet, qUod Corpus P, Caeteris paribus, velocius movetur in Conjunctione M oppositione quam in quadraturis. Corol. 4. Orbita corporis P, Caeteris Paribus, Curvior est in quadraturis quam in conjunctione M OPPositione. Num corpora velociora minus deflectunt recto tramite. Et praeterea vis KL, vel NM, in conjunctione M oppositione contraria est vi, qua corpus T trahit corpus P ; ideoque Vim illam minuit; corpus autem P minus deflectet a recto tramite, tibi minus Urgetur in corpus P. Corol.
Tota vis r.M agit secundum rectiam ντ, et nili in iplis coniunctionibus pars aliqua alterius vis NM. Nam Per P, centrum corporis P, agatur PE cum lineia Ts parallela, et capia. tur PE aequalis refix NM, modo centrum corriporis s situm lit in plano orbitae Anac. lycrE agatur Er cum recta ilist, quae Oi bitam in P contingat, parallela. Ita vis NM, sive PE, relolvetur in duas PF, TE; quarum PF, cum secundum rectam pT agat, velocitatem de
238쪽
corPOre T in quadraturis, quam in conjunctione M oppositione. 'IIaec ita se haliciat excluso motu excentricitatis. Nam si orbita corporiS P e XCentrica sit, excentricitas ejus ut mox in hiijus Corol.
9. ostendetur evadet maxima ubi apsides sunt in syzygiis ; indeque sicri potest ut corpus P, ad apsidem summam appellans, absit longius a cortrare ae in syZygiis quam in quadraturis.
Corol. 6. Quoniam vis centripeta corporis centralis Τ, qUa Corpus P retinetur in orbe suo, augetur in quadraturis per additionem vis LM, ac diminuitur in syZygiis per ablationem vis KL, Mob magnitudinem vis KL, magis diminuitur quam augetur ; est autem vis illa centripeta per Corol. 2. Prop. IV. in ratione composita cx ratione simplici radii TP clii cete Sc ratione duplicata tem Poris Periodici inverse : patet hanc rationem compositam diminui per actionem vis KL; ideoque tempus periodicum, si maneat orbis radius T P, augeri, idque in 1 ubduplicata ratione, qua vis illa Centripeta diminuitur: auctoque ideo vel diminuto hoc radio, tempus Periodicum augeri magis, vel diminui minus quam in radii hujus ratione sesquiplicatst per Corol. 6. Prop. IV. Si Vis
illa corporis centralis Paulatim languesceret, corPus P minus semper Sc minus attrac tum Perpetuo recederet longius a centro T ; Mcontra, si Vis illa augeretur, accederet propius. Ergo si actio corporis longinqui s, qua vis illa diminuitur, augeatur ac diminuatur per Vices: augebitur simul ac diminuetur radius Ti' pervices; 8c tempus Periodicum augebitur ac diminuetur in ratione composita ex ratione sesquiplicata radii, Sc ratione stibilii Plicata, qua vis illa centripeta corporis centralis et , Per incrementum Vel decrementum actionis corporis longinqui S, diminuitur vel augetur.
Corol. 7. EX Praemissis consequitur etiam, quod Ellipseos a corpore P descriptae axis, seu apsidum linea, quoad motum angula Tem, Progreditur Sc regreditur per vices, sed magis tamen proscriptionis areae nillil initat. Altera, . νs, auget velocii tem illam, dum ii e ad A. vel a D ad acorpus transeat; minuit vicissim, corpore ab A in D, vel a sine tr. nseunte. in od figura ipsa, ni fallor, satis monstrat. Quud si eorpus s extra planum Orbitae Anac litum sucrit, tamen partem illam vis NM, quae eum Plano orbitae parallela sit, in duas res,lvendo, quarum altera agat secundum rectani Te, altera luci indum rectaui ιpiae parallela sit eum ea quae orbitam in P contingat, eadem sere essicientur.
239쪽
Da Moro . greditur, M per excessum Progressionis fertur in consequentia.' ' Iam vis qua corpus P urgetur in corpus T in quadraturis, ubi Vis MN evanuit, componitur ex Vi LM M vi centripeta, qua corpus T trahit corpus P. Vis prior L M, si augeatur distantia PT, augetur in eadem fero ratione cum hac distantia; M vis posterior decrescit in duplicata illa ratione : ideoque 1umma harum virium decrescit in minore quam duplicata ratione distantiae PT, M propterea per Corol. I. Prop. XLV. cssicit ut aux, seu apsis summa, regrediatur. In conjunctione vero M OPPositione Vis, qUa Corpus P urgetur in corpus T, differentia est inter vim, qua corpus T trahit corpus P, Sc vim KL ; M differentia illa, propterea quod Vis KL augetur quam Proxime in ratione distantiae PT, decrescit in majore quam duplicata ratione distantiae PT, ideoque per Corol. I. Prop. XLV. essicit ut aux Progrediatur. In locis inter sy-ZVgias Sc quadraturas pendet motus augis ex caua utraque con-jumnim, adeo ut pro hujus vel alterius exceta Progrediatur ipsa, vel regrediatur. Unde cum vis KL in syZygiis sit quasi duplo major quam vis LM in quadraturis, excessius erit Penes vim KL, transistatque augem in consequentia d . Veritas autem hujus Mimae dentis Corollarii facilius intelligetur, concipiendo systema cor-
Porum duorum Τ, P Corporibus Pluribus S, S, S, MC. in orbe Es Econsistentibus, undique cingi. Namque horum actionibus actio ipsius Τ minuetur undique, decrescetque in ratione Plusquam duplicata distantiae. Corol. 8. Cum autem Pendeat apsidum progressius vel regressus a decremento vis centripetae facto in majori vel minori quam clu-plicata ratione distantiae Τ P, in transitu corporis ab apside ima adapsidem summam ; ut M a simili incremento in reditu ad apsidem imam ; atque ideo maximus sit ubi proportio vis in apside summa ad vim in apside ima maxime recedit a duplicata ratione distantiarum inversa : manifestum eth, quod apsides in syzygiis
suis, per vim ablatitiam KL seu NM - LΜ, Progredientur Velo- Cius, inque quadraturis suis tardius recedent per vim addititiam LM ς . ob diuturnitatem Vero temporis, quo Velocitas P gressus Vel tarditas revellus continuatur, fit haec inaequalitas longo
240쪽
Corol. 9. Si corpus aliquod, Vi reciprocὐ proportionali quadra-Liax
to distantiae suae a centro, revolveretur circa hoC Centrum in
lipsi ; M mox, in descensu ab apside summa, seu auge, ad apsidem
imam, vis illa per accessum Perpetuum Vis novae aUgeretur in ratione plusquam duplicata distantiae diminutae : manifestum est, quod corpus, Perpetuo acccssu Vis illius novae impulsum semper in Centrum, magiS Vergeret in hoc centrum, quam si urgeretur vi sola crescente in duplicata ratione distantiae diminutae; idcoque orbem describeret orbe olliptico interiorcm, M in apside ima propius accederet ad centrum quam Prius. Orbis igitur, accessu hujus vis noVae, fiet magis excentricus. Si jam vis, in recessu corporis ab apside ima ad apsidum summam, decrescerev iisdem gradibus quibus ante creverat, rediret corpus ad distantiam priorem ; ideoque si vis decrescat in majori ratione, corpus jam minus attractum alcendet ad distantiam majorem, M sic orbis excentricitas adhuc magis augebitur. Quare si ratio incromenti Sc decrementi vis centripetae singulis revolutionibus augeatur, augebitur semper excentricitas ; Τί contra, diminuetur cadem, si ratio illa decrescat. Jam vero in systemate corporum Τ, P, S, ubi AP-sides orbis PAB sunt in quadraturis, ratio illa incrementi ac decrementi minima est; ia maxima fit, ubi apsidus sunt in syzygiis. Si apsides constituantur in quadraturis, ratio prope apsicles minor est, M prope syzygias major quam duplicata distantiarum ; D. ex ratione illa majori oritur augis motus directus, uti jam dictum c1t. At si consideretur ratio incrementi vel decrementi totius in Progresti intor apsides, hae minor est quam duplicata distantiarum. Vis in apside ima est ad vim in apside summa in minore quam duplicata ratione distantiae apsidis summae ab umbilico Ellipseos ad distantiam apsidis imae ab eodem umbilico : M Contra, Ubi alinsides constituuntur in sygygiis, vis in apside ima est ad vim in aps de summa in majore quam duplicata ratione distantiarum. Nam
viros LM in quadraturis additae viribus corporis ae componunt Vires in ratione minore, M vires KL in syzygiis subductae a viribus corporis T rclinquunt vires in ratione majore. E1t igitur ratio decrementi Se incrementi totius, in transitu inter apsides, minima
Nempe eum vis κι in syzygiis maxima sit, his LM iii quadraturis tantum non ad nihilum redacta sit.