장음표시 사용
221쪽
Concessis ingurarum curvilinearum quadra uris, inυenire tempora, quibus corpora vi qualibet centripetd in lineis quibuscunque cur- et ij, in plano ter centrum virium transeunte descriptis, descen-rini δ' afrendent. . Descendat corpus de loco quovis S, Per lineam quamVis CVrvam STt B in plano per Virium centrum C transeunte datam. Jungatur CS, M dividatur cadem in partes innumeras aequales, sitque Dd partium illarum aliqua. Centro C, intervallis CD, Cul, describantur Circuli DT, di, lineae curvae STIR OCC rentcs in T M t. Et ex dat 1 tum lege vis centripetae, tum altitudinecs, de qua corpus cecidit; dabitur velocitas corporis in alia qu1vis altitudine CT per Prop. XXXIX. Tem -PUS autem, quo corpus describit lineolam Tt, est ut lineolae hujus longitudo; id est, ut secans anguli taec directe, M velocitas inverse. Tempori huic proportionalis sit ordinatim applicata DN, ad rectam C s per punctum D Perpendicularis; ia, ob datam Dd, erit rectangulum Ddκ DN, hoc est area DN , eidem tempori proportionale. Ergo si pNn sit curva illa linea, ' quam punctum N per tuo tangit, ejusque Asymptotos sit rectasin, rectae C s perpendiculariter insistens : erit area s QPND proportionalis tempori, quo Corpus descendendo descripsit lineam sT ;proindeque ex inventa illia aret dabitur tempus. Q. E. I. PROP. LV. T H E O R. XIX. Si corpus movetur in superscis quacunque curva, cujus axis percen rum virium transiit, ὼ corpore in axem demittatur perpendicularis, eique parat D N aequalis ab axis p uncto quovis Io ducaIur: dico, quod parallata Ela aream tempori proportionatim describer. Sit BKL superficies curva; Υ, corpus in ea revolvens; STR, trajectoria, quam corpus in eadem describit; s, initium trajectoriae;
222쪽
OΜΚ, axis superficiei curvae; TN, recta a corpore in aXem Persen Linεα dicularis ; OP, huiC parallelaia aequalis a puncto O, quod in axe datur, educta; AP, Uestigium trajectoriae, 1 Puncto p in lineae volubilis o P plano, AOP, descriptum ς A, Vestigii initium puncto s respondens;
-Τc, recta a corpore ad centrum ducta; ΤG, pars ejus Vicentripetae, qua corpUS urgetur in centrum C, Proportionalis ; TM, recta ad superficiem Curvam Perpendicularis; TI, Pars ejus vi Pressionis, qua corpus urget superficiem, Vicissimque urgetur versus Μ 1 superficie, proportionalis; PTE, recta axi parallela Per corPus transiens; M Gg, Ita, rectae a PUnctiSG M I in parallelam illam PHTF perpendiculariter demissae. Dico jam, quod area AOP, radio OP ab initio motus descripta, sit tempori proportionalis. Nam Vi S TG per legum Corol. 2. resolvitur in vires TE, EG ; M ViS TI in Vircs TH, HI : Vires autem ΤΕ, TH, agendo secundum lineam PE plano AOP perpendicularem, mutant solummodo motum corPoris quatenus huic plano perpendi larem. Ideoque motus ejus quatenus secundum positionem plani factus; hoc est, motus puncti P, quo trajectoriae vestigium Ap in hoc plano describitur, idem est ac si vires TR, Ti I tollerentur, SI Corpus solis viribus EG, HI agitaretur; hoc cit, idem ac si corpus in plano AOP, Vi centriPeta ad centrum o tendente, M summam virium EG M HI aequante, describeret curvam Ap. Sed vi tali describitur area AOP per Prop. I tempori proportionalis. Q. E. D. Corol. Eodem argumento si corpus, a Viribus agitatum ad centra duo uci plura in eadem quavis redita co data tendentibus, describeret in spatio libero lincam quamcunque curvam ST ; foret area AOP tempori semper Proportionalis.
PROP. LVI. P R Ο B. XXXVII. Concessis Aurarum curvilinearum quadraturis, datisque tum Pge
223쪽
Cis centripetae ad centrum datum tendentis, ium superflcie cuimetra, cujus axis per centrum illud transet; invenienda es Iraj c- Ioria, quam corpus in eadem superWcie describra, de loco dato, data cum velocitate, versus plagam in superscis ida datam grcissum. Stantibus quae in superiore propositione constructa sunt, exeat corpus et , de loco dato S, secundum re fiam Positione datam, in tra-jcetoriam inveniundam s TR, cujus vestigium in plano B Lo sit AP.Εt cx clatti corporis velocitate in altitudine SC, dabitur ejus velocitas in alia quavis altitudineaec. Est Cum velocitate, clato tempore quam minimo, describat corpus trajectoriae suae Particulam Tt, sitque υvestigium ejus in plano AOP descriptum. Jungatur op; Mcircelli, centro T, intervallo Τt in superficie curva descripti, vestigium in plano AOP sit cl-lipsis sq. Et, ob datUm magnitudinc circellum TI, datamque ejus ab axe eo distantiam TN, Vel Po, dabitur ellipsis illa su specie Sc magnitudine, ut Sc positione ad rectam Po. Cumque area POp sit tempori Pro- Portionalis, atque ideo ex dato tempore detur, dabitur angulus Pop. Et inde dabitur cilipseos Sc rectae . intersectio Communisi, Una cum angulo OP p in quo trajectoriae vestigium APp secat lineam OP. Inde vero confercndo Prop. XLI. cum Corol. moa. ratio determinandi curvam Apst facile apparet. Tum ex singulis vestigii punctis P, origendo ad planum AOP Perpendicula PT, superficiei curvae occurrentia in T, dabuntur singula trajectoriae puncta 'r. Q. E. I.
De motu corporum viribus centripetis se mutuo petentium. Hactenus exposui motus corporum attractorum ad centrum immobile,
224쪽
mobile, Quale tamen vix eXtat in rerum natura. Attractiones I.rs Est
enim fieri soloni ad Corpora; M corporum trahentIum M attractorum actiones semper mutuae sunt M aequales, per legem tertiam : adeo ut neque attrahens Possit quiescere neque attramina, si duo sint corpora, sed ambo per legum Corollarium quartum quasi attractioue mutust, circum gravitatis Centrum Commune revolvantur : M si plura sint corpora, quae vel ab Unico attrahantur,ia idem attrahant, vel omnia se mutuo attrahant; haec ita inter se moveri debeant, ut gravitatiS centrum commune Vel quiescat, vel uniformiter moveatur in directum. Qua de causii jam pergo motum exponere corporum se mutuo trahentium, considerando vires centripetas tanquam attractiones, quamvis fortasse, si physice loquamur, verius dicantur impulsus. In Mathematicis enim
jam versamur; M propterea, missis disputationibus physicis, familiari utimur sermone, quo pollimus a lectoribus mathcmaticis facilius intelligi. P R O P. LVII. Υ Η Ε Ο R. XX. Corpora duo se invicem trahentia describunt, circum commune. centrum gravisatis, π circum se mutoo, inguras similes.
Sunt enim distantiae corporum a communi gravitatis centro Te ei proco Proportionales corporihus; atque ideo in data ratione ad invicem, A componendo in data ratione ad distantiam totam in-ter cortrara. Feruntur autem tuu distantiae circum terminum suum communem aequali motu angulari, propterea quod in cli- 'rectum semper jacentes non mutant inclinationem ad se mutuo. Lineae autem rectae, queto sunt in data ratione ad invicem, M aequali motu angulari circum terminos suos feruntur, figuras Cir-CUm eosdem terminos in planis, quae unli cum his terminis vel quiescunt, Vel motu quovis non angulari moventur,. describUnt
omnino similes. Proinde similes sunt figurae, quae his distantiis circumactis describuntur. Q. E. D. P R O P. LVIII. T H Ε Ο R. XXL Si corpora duo viribus quibusvis se muruὸ trahunt, cst interea revomuntur circa gravitatis centrum commune: dico, quod liguris,
quos corpora sic mora describunt circum se mutuὸ, potes ingurssmilis:
225쪽
, Iis N . qualis, circum corpus alterutrum immotum, Ciribus
Rovolvantur corpora S, P Circa commune graVitatis centrum C,
pergondo de S ad T, deque P ad Q . A dato PUncto S iPsis SP, TQ aequales M Parallelae ducantur semper sp, sq; M Curva M., quam punctum ρ, reVolvendo circum punctum immotum S, describit, crit similis M aequalis Curvis, quas corpora S, P describunt circum sumutuo: Proindeque sper Tlaeor. XX. similis curvis sΥ Ω PQ v, quaS eadem corpora describunt circum commune gravitatis centrum C : idque quia proportiones linearum SC, CP, M SP, Vel Sp, ad invicem dantur. f. I. Commune illud gravitatis centrum C, Per legum CorollariUm quartum, vel quieicit, vel movctur uniformiter in di- Tectum. Ponamus primo, quod id quiescit; inque s Sc p locentur Corpora duo, immobile in f, mobile in p, corporibus S M Psimilia M aequalia. Dein tangant rectar PR M pr Curvas Pin&pq in P M p ; Sc Producantur cinia sq ad R 8e r. Et ob similitudinem figurarum CPRQ , sprq erit RQ ad rq ut CP ad sp, ideoque in data ratione. Proinde si vis, qua corpus P versUS CONUS S, at que ideo Versus centrum intermedium C attrahitur, esset ad Vim, qua Corpus p versus centrum s attrahitur, in eadem illa ratione data; hae viros aequalibus temporibus attraherent semper cor rade tangentibus PR, pr ad arcus PQ , pq, per intervalla ipsis Proportionalia RQ , rq; ideoque vis posterior efficeret, ut corpuSs gyraretur in Curv1 pqυ, quae similis esset Curvae PQ v, in qua Vis Prior essicit, ut corpus P gyretur; M revolutiones iisdem temPO-Tibus Complerentur. At quoniam vires illae non sunt ad invicem in ratione CP ad sp, sed ob similitudinem Sc aequalitatem Corsorum S M S, P M A M aequalitatem distantiarum SP, sp sibi mutuo aequales; corpora aequalibus temporibus aequaliter tra- et lientur
226쪽
lientur de tangentibus: M propterea, Ut corPUS posterius p tra-L καὶ atur Per intervallum majus rq, requiritur tempus majus, id-η quo in subduplicata ratione intervallorum ; Propterea quo l Per lumina dccimum spatia, ipso motus initio descripta, sunt in il . plicata ratione temporum. Ponatur igitur Velocitas corporis posse ad velocitatem corporis P in subduplicata ratione distantibu spad distantiam CP, co ut temporibus, quae sint in cadem subduplicata ratione, describantur arcus tq, PQ , qui sunt in ratione integra : ct corPora, P, P, Viribus aeqUalibiis semper attracta, du- scribent circum centra quiescentia C M s figuras similes PQV, iqv, quarum posterior t7υ limilis cit de aequalis figuriu, quam corpus P circum corpus mobile S describit. Q. E. I . f. a. Ponamus jam quod commune gravitatis centrum, unucum spatio in quo cori ora moventur inter se, Progreditur uniformiter in dircetum; Sc per legum Corollarium sextum) motus omnes in hoc spatio peragentur ut Prius; ideoque corpora describent circum se mutuo figuras easdem ac Prius, Sc Propterea figurae pqυ similes M aequales. Q. E. D. Corol. I. IIinc corpora duo viribus distantiae suae proportionalibus se mutuo trahentia, describunt Per ProP. X. M circum commune gravitatis centrum, circum se mutuo, Ellipses concentricas ; M vice verssi, si tales figurae describuntur, sunt vires distantiae proportionales. Corol. 2. Et Corpora duo, Viribus quadrato distantiae suae reciproce proportionalibus, describunt per ProP. XI, XV, Xm. MCircum Commune gravitatis centrum, Se circum se mutuo, sectiones conicas umbilicum habentes in centro, Circum quod figurae describuntur. Et vico versa, si tales figurae describuntur, vires centripetae sunt quadrato distantiae reciproco proportionales. Corol. 3. Corpora duo quaevis circum gravitatis centrum commune gyrantia, radiis Sc ad centrum illud D ad se mutuo ditistis describunt arcas temporibus ProportionaleS. P R O P. LIX. T H E O R. XXII. Corporum morum S Gr P, circa commune grGUitalis centrum C revom Iium, Icmptas teriodicum elige ad Iempus teriodicum corporis ah u rius P, circa alterum immotum s rarantis, Ninguris,
qtiae corpora circum se mutuo describunt, riguram smilem cly ι UOL. II. B l, qualem
227쪽
qualem a cribentis, in subduplicata riatione corporis asterius s, adsummam corporum S Φ P. Namque, ex demonstratione suPerioris P Positionis, tempora, quibus arcus quivis similes PQ M H describuntur, sunt in subduplicata ratione distantiarum CP M SP, vel st; hoc est, in subduplicata ratione corporis S ad surn mam corporum S Φ P. Et componendo, summae temporum quibus arCUS omnes similes PQ M pq describuntur, hoc est, tempora tota, quibus figurae totae similes du1hribuntur, sunt in eadem subduplicata ratione. Q. E. D. P R O P. LX. T II E O R. XXIII. Si corpora duo s P, viribus, quadra o Q III ne se e reciproce proporIionalibus, se mutuo trahentia, rePomuntur circa gravia talis coreum commune : dico quod Ellipseos, quam corpus alterutrum P hoc motu circa alterum s defcribit, axis principalis erit ad axem principalem EE Meos, quam corpus idem P circa alterum quiescens s eodem tempore periodico deserabere poset, ut summa corporum duorum S P ad primum duorum medie propo tionalium inter banc summam ω corpus iamd alterum s. Nam si descriptae Ellipses cssent sibi invicem aequales, tempora periodica per Theorema superius forent in subduplicata ratione corporis S ad summam corporum s in P. Minuatur in hac ratione tempus periodicum in Ellipsi posteriore, M tempora periodica evadent aequalia; Ellipseos autem axis Principalis Per Prop. XV. minuetur in ratione, cujus hsec est sesquiplicata, id est in ratione, cujus ratio s ad s in P est triplicata; ideoque erit ad axem principalem Ellipseos alterius, ut Primum duorum medio Pro rtionalium inter s p M s ad s P. Et inverse, axis principalis Ellipseos Circa Corpus mobile descriptae erit ad axem principalem descriptae
Si τ Arn Ellipsis eliis per omnia sinitis et aequalis, quam eorpus p motu suo circum s scribit, sive ejus quam ρ cireum sin p. I9a. Sitque C D Ellipsis alia, cujus circuitu.ri corpus D, eireum umbilicum immobilem, eodem tempore absolveret, quo eorpus P eonversionem suam circum eorpus s. Ellipseos autem prinue axis transversus sit AB ; alterius, co. Exponaturrecta s datae cujusvis longitudinis ; aliaqile sp, quae ad datam s rationem eam habeat, quam summa corporum duorum,s Φ ν, ad colpus s. Sint duae, ι, e, inter duas sp, s p portione mediae. Dicit Newtonus rcctam Aa ad rectam CD proin portionem habere eam quam sp ad ι. Id vero hisce ser) nr1N- mentis
228쪽
scriptae circa immobile, Ut s P ad primum duorum medie pro-L εκ Portionalium inter s ε P Sc s. Q. E. D . r VP R o P. LXI. Τ Η Ε Ο R. XXIV. Si corpora duo viribus qui is se mutuo trahentia, neque alias agitata vel impedita, quomodocunque moUcantur; molus eorum
perinde se habebunt, ac si non traherent se muttia, sed utrumque
Λ corpore IerIio, in communi gravitatis centro consituto, viri iisdem traherHur: et Cirium Irahentiam e Em erit lex, rein speem di anthe corporum is centro illa communi, atque respectui antiae totius inter corpora. Nam vires illae, quibus corpora se mutuo trahunt, tendendo ad corpora, tendunt ali commune gravitatis centrum intermedi um ; ideoque caedem sunt, ac si a corpore intermedio manarent. Q. E. D. Et quoniam datur ratio distantiae corporis utriusvis a centro illo communi ad distantiani inter corpora, dabitur ratio cujusvis potestatis distantiae unius ad eandem potestatem distantiae alterius ixit Sc ratio quantitatis cujusvis, quae ex una distantia & quantitatibus datis utcunque derivatur, ad quantitatem aliam, qUM eX altera distantia, & quantitatibus totidem datis, datamque illam dii tantiarum rationem ad priores habentibus, similiter derivatur. Proinde 1i vis, qua corpus unum ab altero trahitur, sit direm vel inversu ut distantia corporum ab invicem; vel ut quaelibet hujus distantiae potestas; vel denique ut quantitas quaevis ex haC distantist Sc .quantitatibus datis quomodocunque derivata : crit ea dem vis, qua corpus idem ad commune gravitatis centrum trahitur, directe itidem vel inversu, ut corporis attradi i distantia a centro illo communi; vel Ut cadem distantiae hujus potestas; vel denique ut quantitas ex hac distantist analogis quantitatibus datis similiter derivata. Hoc est, vis trahentis eadem erit leX, respectu distantiae utriusque. Q. E. D.
mentis Probat. Cum corpora ρ. ii eisdem viribus cenimalibus per Ellipses AEa, cro serantur, id enim omnino ponendum est duplicata temporum con visionum ratio, axium triplicata erit POP P. XV. At Vcio ratio corporum s εν ad corpus s, live reetae sp ad metam s, duplicata est ejus quam temPus conversionis corporis p per . Ea liabet ad tempus conversionis per CFI per Theorema novissimum. Quare cubus ex An erit ad cubum ex eu ut re a sν ad rectam s p vVe ut cubus ex se ad cubum ex s. Quare Ax: CD et s. in B. D.
229쪽
PHILOSOPHIAE NATURALIS P R O P. LXII. P R O B. XXXVIII.
Corporum duorum, Vme Viribus quadrato dis liae siti e rcciproce. proportionalibus se mutuo trisunt, ac de locis datis imitIun-rtir ' , determinare motus. Corpora per Theorema novissimum perinde movebuntur, aC si a corpore tertio, in communi graVitatis centro conlii tuto, traherentur; Sc contrum illud, ipso motus initio, quiescct per hypothesin ; 8e Propterea per legum Corol. semper quiescet. Dc- terminandi sunt igitur motus corporum per Prob. xxv. Perinde ac si a viribus ad centrum illud tendentibus urgcrentur, Sc habebuntur motus corporum se mutuo trahentium. Q. E. I. P R o P. LXIII. P II O B. XXXIX. Co porum duorum qitie viribus quadrato di anti sitie reciproce proportionalibus se mutuo trabunt, deque locis datis, secundum datas rectas, datis cum vclocitatibus exeunt, dcterminare motus. Ex datis corporum motibus sub initio, datur uniformis motus centri communis graVitatis, ut 8c motus spatii, quod una cum hoc centro movetur uniformiter in directum, nec non corporum motus initiatos respectu hujus spatii. Motus autem lubsequentes per legum Corollarium quintum, M Theorema novissimum perinde fiunt in hoc spatio, ac si spatium ipsum Una cum communi illo gravitatis centro quiesceret, M corpora non traherent se mutuo, sed a corpore tertio, sito in contro illo, traherentur. Corporis igitur alterutrius in hoc spatio mobili, clo loco dato, secundum datam rediam, data cum Velocitate cXctantis, Sc vi centripeta ad centrum illud tendente correpti, dulci minandus est motus per Problema nonum Sc vicesimum sextum : Sc habebitur 1imul motus corporis alterius circum idem centrum. Cum hoc motu Componendus est uniformis ille systematis, spatii Sc corporum in eo gyrantium,
Nempe ut solis viribus eentralilius incitata recta cadant. Nirar RUM data velocitate quaciam corpus T e loeo r, secundum rectram positione datam, exeat, dataque in eodem loco vi centrali, dabitur Ellipseos, per quam sumtur corpus v, in loco Teurvatura. Vide Se h. Ill. Nor. . Sed reeta, quae Elliptin illam in loco τ contingit, positione data; nempc eum ipsa lit secundum quam eorpus eloco τ exeat. Circulus igitur, qui Ellip:in in loco τ osculabitur, magnitudine et politione datus. Quam igitur de recta υτ, positione data, circuliis ille partem abicindat, ea magnitudine data. Verum ea lateri recto diametri DT aequalia
230쪽
gyrantium, motus Progressivus mPra inventus, M habebitur mo-I.iatatus absolutus corporum in spatio immobili. Q. E. I. y V 'P R O P. LXIV. P R O B. XL. ViribuS, quibus corpora se mutuo trahunt, crescentibus in simplici
ratione di an iarum a cenIris I requiruntur motus plurium corporum inter se.
Ponantur Primo corpora duo Τ M L commune habentia gravitatis centrum D. Describent haec per Corollarium Primum Theorematis xx I. Ellipses contra habentes in D, quarum magnitudo ex Problemato v. innotescit ς . Trahat jam corpus tertium, s, priora duo, T M L, ViribuS ac- Celeratricibus, sΥ, s L, M ab ipsis vicissim trahatur. Vis sT per legum Corol. 2. resolvitur in vires s D, DT ; M vis S L in Vires SD, D L. Vires autem, DT, DL, quae sunt ut ipsarum summa TL, atque ideo ut vires accoleratrices quibus corpora Τ 8c L se mutuo trahunt, additae his viribus corporum T 8c L, Prior Priori Sc PODterior Posteriori, componiant vires distantiis D Τ ac DL Pr Portionales, ut prius, sed viri
bus prioribus majores; ideoque
per Corol. I. Prop. X. M Corol. I 8 8. Prop. IV.) cssiciunt ut Corpora illa describant Ellipses ut prius, scd motu celeriore. Vires reliquae acceleratriccs SD M s D, actionibus motricibus SDκΥΩ SDκ L, qU22 ssint ut Corpora, trahendo corpora illa aequaliter Msecundum lineas TI, LR, ipsi Ds parallelas, nil miatant situs eorum ad invicem, sed faciunt ut ipsa aequaliter accedant ad lineam IK ς quam ductam concipe per medium corporis S, M lincae D sPerpendicularem. Impedietur autem iste ad lineam Iia accessus,
cir. Hamilton. Conic. Lib. ς. Prop. xvii. Quare latus rectum ejus diametri magnitudine datum. Diameter autem ipsa magnitudine linia. propter seinissem Hua, DT, datam. Quare et conjugata eius magnitudine data, utpote i piae diametri et lateris ejus recti propiartione media sit. Eadem vero conjugata politione data, quoniam per datum punetum n centrum Ellipseos transeat, et parallela sit cum rccta politione data, qu:e Ellipsim in x contingit. I ltipleos igitur, per quam sertur corpus τ, diametri duae magnitudine et Politione datae ; quae per r, quaeque eius conjugata. Ellipsis igitur ipsa magnitudine & positione data. E. D. Simili modo ostendamus Ellipsin alteram, Per quam scratur eorpus I., magnitudine et Politione datam.