장음표시 사용
261쪽
sectiones planorum M axis; Se Hpumnum quodvis in Plano EF. Puncti H vis centripeta in corpus-
ercita, est ut distantia PH ; Sr per legum Corol. 2. secundum lineam
PG, seu versus centrum S, Ut longitudo Po. Igitur Punctorum Omnium in plano EF, hoc est plani totius vis, qua corpusculum P trahitur versus centrum s, eit Ut distantia PG multiplicata per numerum punctorum ; id est, ut solidum quod continetur sub plano ipso EF 8c diliantia illa Pa. Et similiter, vis Plani in qua
corpusculum P trahitur Versus centrum s , Cit ut planum illud ductum in distantiam suam Pg, sive ut huic aequale Planum EF
ductum in distantiam illam Pg; Sc summa virium plani utriusque ut planum EF ductum in summam distantiarum PG V, id est, ut planum illud ductum in duplam contri Se corpusculi distantiam
Ps, hoc est, ut duplum planum EF diustum in distantiam Ps, velut summa aequalium planorum EF ε es ducta in distantiam candem. Et simili argumento, vires omnium planorum in sphaera tota, hinc inde aequaliter a centro sphaerae distantium, sunt ut summa planorum ducta in distantiam Ps, hoc est, ut sphaera tota M ut distantia Ps conjunctim. Q. E. D. f. a. Trahit jam corpusculum P sphaeram AEBF. Et eodem argumento Probabitur quod vis, qua sphaera illa trahitur, erit ut distantia PS. Q. E. D. f. 3. Componatur jam sphaera altera ex corpusculis innumeris P ; M quoniam Vis, qui corpusculum unumquodque trahitUr, est ut distantia corpusculi 1 centro sphaerae primae M ut sphaera eadem Conjunctim, atque ideo eadem est, ac si prodiret tota de corpusculo unico in centro sphaerae ; Vis tota, qu1 Corpuscula omnia in sphaerh secunda trahuntur, hoc est, qua sphaera illa tota trahitur, eadem erit, ac si sphaera illa traheretur vi prodeunte de corpusculo unico in centro sphaerae primae, M Propterea Proportionalis est distantiae inter centra spl1aerarUm. Q. E. D. f. 4. Trahant sphaerae sic mutuo, M vis geminata Proporti nem Priorem servabit. Q. E. D.
262쪽
229 f s. Locetur jam corpusculum p intra sphaeram AEBF ;quoniam vis plani ef in corpuiculum est ut solidum contentum subplano illo Sc distantia re; M vis contraria plani EF ut solidum contentum sub plano illo M distantia pG; erit vis ex utraque composita ut differentia solidorum ; hoc est, Ut summa aequalium Pla 'norum ducta in semissem disserentiae distantiarum, id est, ut summa illa ducta in ps distantiam corpus.
culi a centro sphaerae. Et simili argumento, attractio Planorum omnium EF, ef in sphaera tota, hoc est, attractio sphaerae totius, est conjunctim ut summa planorum omnium, seu sphaera tota, M ut ps, distantia corpusculi a centro sphaerae. Q. E. DP R O P. LXXVIII. T H E O R. XXXVIII. Si sphaerae in progressu a centro ad circumferentiam sint utcunque dissimilares N inaequabia , in progressu vero per circuitum ad datam omnem a centro dilatantiam sint undique ilares; de vis attractiva puncti cujusque sit ut distantia corporis attractio dico quod vis tota, qua hujusmodi sphaerae duae se mutuo trahunt, sit
proportionalis distantiae inter centra sphaerarum..
Demonstratur ex Propositione praecedente eodem modo, quo Propositio LXxVI. ex Propositione Lxxv. demonstrata fuit. Corol. . Quae superius in Propositionibus x M LXIV. de motu cor- Porum circa centra conicarum sectionum demonstrata sunt, V
lent ubi attractiones omnes fiunt vi corporum sphaericorum conditionis jam descriptae, M attracta corpora sunt sphaerae conditi nis ejusdem.
Scholium. Attractionum casus duos insigniores jam dedi expositos; nimirum ubi Vires centripetae decrescunt in duplicath distantiarum ratione, vel crescunt in distantiarum ratione simplici; efiicientes in utroque casu ut Corpora gyrentur in conicis sectionibus, M com-Ponentes corporum sPhaericorum vires centripetas eadem lege, in recessu a centro, decrescentes vel crescentes cum seipsis: quod est
263쪽
notatu dignum. Casus caeteros, qui conclusiones miniis elegantes exhibent, sigillatim Percurrere longum cssct. Malim cunctos methodo generali simul comprehendere aC determinare, ut
A describantur, centro s, circulus quilibet ΑΕΒ, π, centro P, circuli duo EF, ef, Iccantes priorem in E, e, En inique Ps in F, f; Nad Ps demittantur perpendicula ED, cd: dico quod, si is Ita arcuum EF, ef in infinitum minui intesistatur, ratio ultima lineae evanescentis Dd ad lineam evanescentem Ff ea sit, quae lineae PE
ad lineam PS. Nam si linea Pe secet arcum EF in q; Sc recta Ee, qUM CUmarcu evanescente Ee Coincidit, Producta occurrat rectae Ps in Τ ;& ab s demittatur in PE normalis so : ob similia triangula DTE,
G DES ; erit Dd ad Ee, ut DT ad TE, seu DR ad Es ; M ob triangula EU, FSG per Lem. VIII. R. Corol. 3. Lem. VII. similia ς , erit Ee ad em seu V, ut Ea ad So; Sc ex aequo, Dd ad Ff uti si ad sci; hoc est ob similia triangula PDE, PGs ut PE ad PS. Q. E. D. P R O P.
Anguli recti rur, sua inter se aequales sunt. Ablatoque eommuni EF, relinquentur PE s, sive GEs, eE inter se aequales. Anguli autem ad G et g aequales, namque redii. Quapropter triangula GEs, oe erunt inter se similia. Nimirum vis qua corpustulum in ν positum trahitur versus centrum s ab annulo evanescentespliae leo, convertione evanescentis a reus Er genito, fluxio est virium, quibus corpus idem trahitur versus illum centrum s a superfiete sphaerieii, quae conversione arcus integri Er generatur. Ex iis autem quae hactenus 1 Newtono disputata sunt, id scilieet efficitur, ilicini virium fluxionem redhaliguli PD κ Iut, sive ro κ PD, sive inκ ν D, rationem conitanter servare. Sive spatii rν κ FD FD κ FD. Huius autem spatii spatium rν κ pD - I pD' siuens erit. Quare vires ipsae spatii pν κ6 FD
264쪽
Si superscies ob latitudinem in De diminutam jamjam manescens EFfe, conυolutione sui circa axem Ps, describat Iesidum i aeriacum concavo-convexum, ad cujus particulas Ingulas aequales tendunt aequales obes centripetae: dico quod vis, qua solidum iEud trabit corpusculum sum in P, es in ratione composta ex ratione folidi DEqx ta ratione vis, qua particula data in locors traberet idem corpusculum. Nam si primo consideremus vim superficiei sphaericae EF, quae
Convolutione arcus FE generatur, M a linea de ubivis secatur in r; crit superficiei pars annularis, convolutione arCUS E genita, ut lineola Dd, manente sphaeriu radio P Ε uti demonstravit Archia medes in Lib. de Sphaerά M Cylindro. Et hujus vis, secundumque ut PD.κ Dd. Dividi jam intelligatur linea Dp in particulas innumeras aequales, quae singulae nominentur Dd; 8c superficies FE dividetur in totidem aequales annulos; quorum Vires crunt ut1umma omnium PDκ Dd, hOC eis, ut ἰ PFq- et PD7, ideoque ut DE quad ' . Ducatur jam superficies FE in altitudinem Ff; Mfici solidi EFfe vis exercita in corpusculum P ut DEqκσI Puta sicletur Vis, quam Particula aliqua data, Ff in dissiliati 1 PF exercetrn - FD , vel inter se rationem gerent, vel datis maiores minoresve erimi, quam ut rationem illam gerere possint. Geometr. Flux. Th. Iv.ὶ Evanescente FD punctum D tandem cum ipso νiungatur, rectaque PD in nihilum aheat. Si sterficies ipsa sphaerica rE. eum viribus suis simit in nihilum abierit. Non igitur datis maiores minores e erunt vires illae, quam ut spatii illius inter se rationem gerant. qilocum uua in nihilum abierint. Gerent igitur constanter spatii Pp κ Pn - νD' inter se rationem. Juncta vero PE, dimidium quadrati ex νΕ rectangulo i ν κ FD aequaleae iit. Qitate νφκ PD - ἐν D' disterentiae quadratorum ex ar, νn dimidium erit: hoc est, diiamidium quadratum ex L D. Vires igitur, quibus superficies spherica conversione arcus EF genita Corpusculum in P politum Uerlu s trahunt, quaecunque fuerit areas illius amplitudo. quadrati exuo, hoc est, e sinu arcus, rarionem inter se con: anter gerunt, sicut Nexutonus assirniavit.
lineas, PE Vel Pr, undique in si, perficie conica. sitas, exercita, ut sub clato sphaerae radio P E M lineola illa Dde at secundum lineam, PS, ad centrum S tendentem, minor in ratione PD ad PE, ideo-
265쪽
in corpusculum P. At si vis illa non detur, fiet vis solidi EFfe ut solidum DEqκ Ff M vis illa non data conjunctim. Q. E. D. P R O P. LXXX. T H Ε Ο R. XL. Si ad sphaerae alicujus ABEL, centro S descriptae, particulas singulas aequales tendant aequales vires centripetae, M ad sp rae axem AB, in quo corpusculum aliquod P locatur, erigantur de punctisingulis, D, perpendicula, DE, sphaerae occurrentia in g, in ipses capiantur longitudines DN, quae Ant ut quantitates '' f 2ω vis, quam sphaerae particula, sita in axe ad disantiam Pg,
exercet in corpusculum P, conjunctisue dico quod vis tota, qua corpusculum P Irahitur versus sphaeram, es ut area ANE conI-prehensa sub axe sphaerae AB, N Enea curva AN B, quam sun rum N perpetuo tangit. Etenim stantibus quae in Lemmate 8c Theoremate novissimo constructa sunt, concipe axem sphaerae AB dividi in particulas innumeraS aequales Dd,
Se sphaeram totam dividi in totidem lami
erigatur Perpendiculum O. Per Theorema superius, Vis, qua lamina EFfe trahit corpusculum P,
est ut DEq κ Ff 8e vis Particulae unius ad distantiam PE Vel PF exercita conjunctim. Est autem per Lemma novissimum Dd ad Ff ut PE ad Ps, & inde Ff aequalis M DEqκ Ff aequale Dd in V Τ ''; M propterea vis Iaminae EFfe est ut Dd in M vis pateticulae ad distantiam PF exercita conjunctim, hoc est ex hypothesi) ut DNκ Dii, seu
area evanescens DNnd. Sunt igitur laminarum omnium vires, in PPUS P eXercitae, ut areae omnes DNnd; hoc est, sphaerae vis tota ut area tota AN B. Q. E. D. Co I. I. Hinc si vis centripeta, ad particulas singulas tendens, eadem semper maneat in omnibus distantiis, M siat DN ut DEqκ
266쪽
; erit vis tota, qua corpusculUm a sphaera attrahitur, uti
Corol. 2. Si Particularum vis centripeta sit reciproco ut distantia corpusculi a se attracti, Sc fiat DN ut --; erit Vis, qua corpusculum P 1 sphaera tota attrahitur, ut area AN B. Corol. 3. Si Particularum vis centripeta sit reciProce ut cubus distantiae corpusculi a se attracti, Se fiat DN Ut - erit vis, qu1 corpusculum a tota sphaera attrahitur, ut area AN B. Corol. 4. Et universaliter si vis Centripeta ad singulas sphaerae Particulas tendens ponatur esse reciproce ut quantitas v, fiat autem Des ut-; erit vis, qua corpusculum a sphaera tot1 attrahitur, ut area ΑΝΗ.
P R O P. LXXXI. P R O B. XLI. Stantibus jam postis, mensuranda es area AN B. A puncto P ducatur redi a PH sphaeram tangens in II, 8c ad axem PAB domita normali Hi, bisecetur PI in L; ec crit per P P. XII. Lib. 2. Elem. PEq aequale Psy - SEqΦ2PS D. Est autem sEρ scus il ob similitudinem triangulorum SPII, SHI aequale rectangulo Ps I. Ergo PEq aequale est contento sub Ps M PS SI Φ2s D, hoc cst, sub psia 2Ls - 2s D, 4d est,
Nam I sq-SEq, seu LSq-sA Per PTOP. VI. Lib. 2. Elcm aequatur rectangulo ALB. Scribatur itaque asLD-LDq-ALB Pro DEq ;M quantitas quae secundum Corollarium quartum Propositionis praecedentis est ut longitudo ordinatim applicatae DN, Te solvet sese in tres partos U --' --: ubi si pro V
scribatur ratio inversa vis centripetae, Sc pro P E medium PrOPO VOL. II. G g tionale
267쪽
tionale inter Ps M 2LD ; tres illae Partes evadent ordinat im applicatae linearum totidem Curvarum, quarum areae Per methodos vulgatas innotescunt. Q. E. F. - . I. Si vis centripeta ad singulas sphaerae particulas tendens sit reciproce ut distantia; pro V scribe distantiam PE ; deicieti sκLD Pro PEq, M siet D N Ut SL- LD----. Pone D N aequalem ejus duplo 2SL-LD--: M ordinatae pars data et sL ducta in longitudinem AB describet aruam rectangulam 2s L κ AB ; Mi ars indefinita I D ducta normaliter in eandem longitudinem permotum continuum, ea lege, Ut inter movendum crescendo vel decrescendo ae luctur scmper longitudini L D, describet arcam id est, aream sI.κ AB ; quae subducta ste area priore asLω AB relinquit aream SLκAB. Pars autem tertia Tir, dueta itidem per motum localem normaliter in eandem longitudinem, describet aream hyperbolicam; quae subductacle area SLκ AB reliDquet arcam quaesitam ANE. Unde talis emergit Problematis coi structio. Ad Puncta L, A, B erige Per Π-dicula I. Aa, Bb, quorum Aa ipsi BD, Scab ipsi LA aequetur. Asymptotis I ; LB, Per puncta a, b describatur hypei bola ab. Et aeta chorda ba claudet aream aba areaeqripositae AN B aequalemia Lxempl. a. Si vis centripeta ad singulas sphinae particulas ten
dens sit reciproce ut cubus distantiae, vel quod Perinde est ut cubus ille applicatus ad planum quodvis datum ; scribe pro
268쪽
PRINCIPIA NI A Τ H E M ATIC A. 23s
id est, ob continue Proportionales PS, AS, SI ut Si ducantur hujus partes tres in longitudinem AB, prima - generabit aream hyperbolicam ; secunda :s I, aream AB κ SI ; tertia', aream si , m est ΔΑΒκSI. De Prima subducatur summa secundae M tertiae, Sc manebit area quaesita AN B. Unde talis emergit Problematis constructio. Ad Puncta L, A, S, B, erige Pei Pendicula Ll, Aa, Ss, Bb, quO-ἶ rum Ss iPsii SI aequetur, Perque Punctum
t, asymptotis Ll, LB, describatur hyperbola
iau, OCCUrrens Perpendiculis Aa, Bb in a Mo; M rectangulum et As I subductum de area huperbolica AasbBrelinquet aream quaesitam AN B. Exempl. 3. Si ius Centripeta, ad singulas sphaerae particulas tendens, decrescit in quadruplicata ratione distantiae a particulis; scribe pro V, dein ' a Ps κ LD Pro P Ε, Ω fiet D N ut
tes ductae in longitudinem AB producunt areas totidem, viz.
hae post clcbitam Te- ductioncm fiunt
269쪽
tola, qua corpusculum P in sphaerae centrum trahitcir, est ut id est, reciproce ut PS cub. κ PI. Q. E. I.
Eadem methodo determinari potest attractio corpusculi siti intra sphaeram ; sed expeditius Per Theorema sequens. P R O P. LXXXII. TII EOR. XII. In Bbitrά centro s intervasio SA descripta, si capiantur SI, SA, SP continue proportionales: dico quod corpusculi intra sphaeram, in loco quovis I, attractio es ad attractionem ipsus extra sphaeram, in loco P, in ratio; e compos Id ex sub N a d raIione disantia-rtun δ centro Is, Ps, subduplicatά rasione Virium centripetarum, in locis illis P ω I, ad centrum tendentium. Ut, si Viros centripetae Particularum sphaerae sint reciproce ut distantiae corpusculi a se attracti; vis, qua corpusculum situm in I trahitur a sphaera tota, erit ad vim, qua trahitur in P, in ratione composita ex subduplicata ratione distantiae si ad distantiam SP, Se ratione subduplicata vis contripetae in loco I, a Painicula aliqua
in centro oriundae, ad vim centripetam in loco P ab eadem in contro Particula oriundam, id cst, ratione subduplicata distantiarum SI, SP ad invicem reciproce. Hae duae rationes subduplicatae componunt rationem aequalitatis, M propterea attractiones in I MP a sphaera tota factae aequantur. Simili computo, si vires particularum sphaerae sunt reciproco in duplicata ratione distantiarum, colligetur quod attractio in I sit ad attractio nem in P, ut distantia sp ad sphaerae semidiametrum S A r si vires illae sunt reciproci in triplicata ratione distantiarum, attractiones in I M P erunt ad invicem ut SP quad. ad SA quad. si in quadruplicata, Ut s P cub. ad SA cub. Unde cum attractio in P, in hoc ultimo casu, inventa fuit reciproco ut PS cub. κ PI, attractio in I erit reciproch ut.s A cub. κ PI, id est ob datum SA cub. reciprocὐ ut PI. Et similis est progressus in infinitum. Theorema vero sic demonstratur. Stantibus
270쪽
Stantibus jam ante construetis, Sc existente corpusculo in locoI.i a
quovis P, ordinatim applicata D N inVenta fuit ut i;E . Ergo si agatur I Ε, ordinata illa, Pro alio quovis Corpusculi loco I, mutatis mutandis, evadet ut 'M. Pone vires centripetas, i sphaerae puncto quovis E manantes, esse ad invicem in distantiis IE, Pp, ut pΕ' ad ΙΕ' ubi numerus n designet indicem potestatum PE MI E M ordinatae illae fient ut ς quarum ratio adinvicem est ut ps κ IEκ IE' ad Is Μ PERPE . Quoniam ob continuo ProPortionales SI, SE, SP, similia sunt triangula spE, SEI, M inde fit IE ad PE ut Is ad SE vel f A ; pro ratione IE ad PE scribe rationem IS ad SA; M ordinatarum ratio evadet Psκ IE ad SARPE .
Sed ps ad sA subduplicata est ratio distantiarum Ps, SI ; M iE' ad PE ob proportionales IE ad PE ut is ad sA subduplicata est ratio virium in distantiis Ps, i S. Ergo ordinatae, M PrOPterea areae, quas ordinatae describunt, hisque proportionales attractiones, sunt in ratione composita ex subduplicatis illis rationibus. Q. E. D. PRO P. LXXXIII. P R O B. XLII. Invenire vim qua corpusculum in centro fraterae localum ad ejus segmentum quodcunque attrahis . Sit P corpus in centro sphaerae, M RBS D segmentum ejuS Plano RDs M supersicie sphaerica RBs contentum. Superficie sphaerica EFG centro P descripta secetur DB in F, ac distinguatur segmentum in ParteS BREFGS, FEDG. Sit autem superficies illa non puro mathematica, sed physica, profunditatum habens quam minimam. Nominetur ista Profunditas o, erit haec superficies sper
temonstrata Archimedis ut PF κ DF M o. PonamVS Praeterea vires attractivas particularum sphaerae esse reciproce ut distantiarum dignitas illa, cujus index est ri ;& vis, qua superficies EFG trahit corpus P, erit per Prop. LXXIX. ut , id -- g . Huic propor-