장음표시 사용
271쪽
tionale sit perpendiculum FN ductum in o ; M area Curvilinea BDI, quam ordinatim applicata FN, in longitudinem DB Permotum continuum ducta, describit, erit Ut Vis tota qua segmentum totum RE AD trahit corpus P. Q. E. LPROP. LXXXIV. P R O B. XLIII. Invenire Cim, qua corpus curum, extra centrum sphaerae in axeset menti cujusciis loca ram, attrahitur ab eodem segmento. Λ segmento EBK. trahatur corpus P in ejus axe ADB I atum. Centro P intervallo P E descriiratur superscies sphaerica ELPK, qua distinguatur segmentum in partes
n tur Vis Partis Prioris per Prop. LXXXI. M Vis partis posterioris Per ProP. LXXXIII ; M summa virium erit vis segmenti totius ΕΒΚ DE. Q. E. I. Sehesium. Explicatis attractionibus corporum sphaericorum, jam Pergere liceret ad leges attractionum aliorum quorundam eX Particulis at-
traictivis similiter constantium corporum; sed ista particulatim tractare minus ad institutum spectat. Suffecerit Propositiones quasdam generaliores de viribus hujusmodi corporum, deque motibus inde oriundis, ob earum in rebus philosophicis aliqualem usum, subjungere. SECTIO XIII. De corporum non ip ricorum inridius attractivis. PROP.
Nam in Exemplo eundo, si eorpus P tangat superficiem sphaericam in A, punctum L eum ipso a eongruet, rectaque Aa eum hyperbolae asumptot I. Unde vis, qua corpug trahitur verissus centrum sphaerae, eum ipsa area hyperbolica, infinita evadet.
272쪽
Si corporis attracti, ubi attrahenii conting uum es, attractio longe fortior At, quam cum Uel minimo intervalla separantur ab invicem e vires parsicularum Iralculis, in recessu corporis a tracti, decrescunt in ratione plusquam duplicata dis antiarum istarticulis. Nam si vires decrescunt in ratione duplicatli distantiarum liparticulis; at trest io versus corpus sphaericum, propterea quod Per Prop. Lx xl V. sit reciproce ut quadratum distantiae attracti corporis a centro sphaerae, liaud sensibiliter augebitur cX conta tu ; atque adhuc minu S augebitur ex contactu, si attractio in recessu corporis attracti decrcscat in ratione minore. Patet igitur Propositio de sphaeris attradii vis. Et par est ratio orbium sphueri-COrum concavorum Corpora externa trahentium. Et multo magis res constat in orbibus corpora interius constituta trahentibus, cum attractiones Passim Per orbium cavitates ab attractionibus contrariis per Prop. I. xx. tollantur, ideoque vcl in ip1o Contacta
nullae sunt. Quod si sphaeris hisce orbibusque splizericis Partes
quaelibet a loco contactus remotae auferantur, M Partes novae ubi is addantur : mutari postunt figurae horum. corporum attracti Vorum Pro lubitu, nec tamen partes additae vel subductae, cum sint a Ioco contactus remotae, augebunt notabiliter attractionis CXcessum, qui ex contactu oritur. Constat igitur Propositio do corporibus figurarum omnium. Q. E. D.
P R O P. LXXXVI. T II E. O R. XLIII. Si particularum, ex quibus corpxs a rea rivum componitur, Uiros in recessu corporis attraeli decrescunt in triplicata, CH prus iam triplicata ratione di antiarum a particulis: aItra o longe formetior erit in con actu, quam cum attrabens M at Iractum iure se valla via minimo separanIur ab invicem. Nam attractionem, in accessis attracti corpusculi ad hujusmodi sphaeram trahentem, augeri in infinitum, constat per solutionem Problematis XLI. in exemplo secundo ac tertio exhibitam - . Idem,
In Exemplo autem tertio, si corpus superfietem sphaericam itidem in A tangat, fiet Pa α As, rectaque Pr in nihilum abierit, puncto utique I aequὰ ac P cum ipso A eongruente. Hinc qudn titas es cub. κ pr in nihilum plane abierit; vires autein, quae contrariam quantitatis hujas intoria rationem gerunt, . infinitae fient.
273쪽
Dκ Mois per Exempla illa M Thooroma XLI. inter se collata, facile colligitur de attractionibus corporum Versus orbes ConcaVO-ConVeXos, sive corpora attracta Collocentur Cxtra orbes, sive intra in eorum cavitatibus. Sed ia addendo vel auferendo his sphaeris x orbibus ubivis, extra locum contactus, materiam quamlibet attractivam, eo ut corpora attractiva induant figuram quamVis assignatam, constabit Propositio do corporibus universis. Q. E. D. P R O P. LXXXVII. T II E O R. XLIV. Si corpora duo sibi invicem stadia, N ex materia aequaliter a Ira Ima consan D, seor im attrahant corpuscula sibi ibis propor D- notia γ ad Hyin Efer tofIae a tractiones Gccelera rices corpusculorum in corpora tota erunt Mi attracitones acceler arrices corpusculorum in eorum particulas totis proportionales, ου in rotis, Viter tostas. Nam si corpora distinguantur in particulas, quae sint totis proportionales, M in totis similiter stae; erit, ut attractio in pani-Culam quamlibet unius corporis ad attractionem in Particia iam correspondentem in cortκ re altero, ita attractiones in particulas singulas primi corporis ad attractiones in alterius particidas singulas Correspondentes ; ia componendo, ita attractio in totum primum Corpus ad attractionem in totum secundum. Q. E. D. Corol. I. Ergo si vires attractivae panicularum, augcndo disitantias Corpusculorum attractorum, decrescant in ratione dignitatis cujusvis clittantiarum.; attractiones acceleratriceS in Corpora tota erunt ut corpora directe, Sc distantiarum dignitates illae inverse. Ut si vires particularum decrescant in ratione duplicata distantiarum a Corpusculis attractis, Corpora autem sint ut A cub. M B cub. ideoque tum corporum latera cuhica, tum COPPUsculorum attra torum distantiae a corporibus, ut A SE B : attractiones acceler
trices in corpora erunt ut id est, ut corporum latera illa Cubica A ia A. Si vires particularum decrescant in ratione triplicata cli1hantiarum a corpusculis attractis ; attractiones acceleratrices in corpora tota erunt ut 8c id est, aequales. Si vires decrescant in ratione quadruplicata; attractiones in m Pora
274쪽
B. Et sic in caeteris. Corol. 2. Unde vicissim, ex viribus, quibus corpora si milia trahunt corpuscula ad se similiter Posita, colligi potuit ratio decrementi virium particularum attractivarum in rccessu corpusculi attracti ; si modo decrementum illud sit directe vel inverte in ratione aliqua distantiarum. P R O P. LXXXVIII. Τ H E O R. XLV. Si particularum aequalium corporis cujuscunque vires attractavin sint ut dissantiae locorum a parIiculis r Cis corporis totius tentiet ad ipsius censrum gravitatis; N eadem erit cum vi globi ex mat ria cons misi M aequali consantis, π cenIrum habentis in edius
centro graUitaris. Corporis RSTV particulae A, B trahant corpusculum aliquod Z
viribus, quae, si particulae aequantur inter se, sint ut diltantiae AZ, BZ ; sin particulae statuantur inaequales, sint ut hae particulae 8e ipsarum distantiae AZ, BZ conjunctim, sive si ita loquar ut luo
particuIae in di1tantias suas AZ, BZ respcciive ductae. Et ex IM-nantur hae vires per contenta illa Aκ AZ M Bκ BZ. Iungatur AB, M secetur ea in G, ut sit AG ad BG ut particula B ad Particulam A ; M erit G commune centrum gravitatis Particularum A Sc B. Vis ΑκΑZ. per legum Corol. 2. resolvitur in vires ΑκGE MA κ AG ; Sc vis B κ BZ in Vires BκGZMBR BG. V ires autem A κ AGM B κ BG, ob proportionales A ad B M BG ad Aci, zuquantur; ideoque cum dirigantur in Partes con
V est, vim eandem ac si particulae attractivae A M B consisterent in eorum communi gravitatiS centro G, globum ibi ComponenteS. Eodem argumento, si adjungatur particula tertia C, Sc COm-VoL. II. H h Ponatur
275쪽
ponatur hujus vis cum Vi ΑΦBκGZ tendente ad Centrum G; vis inde oriunda tendet ad Commune
centrum gravitatis globi illius in G, Sc Particulae C; hoc est, ad
commune centrum gravitatis trium Particularum A, B, C ἔ eadem crit, ac si globus M particula C consisterent in centro illo com-τ muni, globum majorem ibi componentes. Et sic porgitur in infinitum. Eadem est igitur vis tota particularum omnium corporis cujuscunque RSTV, ac si compus illud, servato gravitatis centro, figuram globi indueret Q. E. D. Cores. Hinc motus corporis attracti Z idem crit, ac si corpuς attrahens RSTu esset sphaericum : 8c propterea si corpus illud attrahens vel quiescat, vol progrediatur uniformiter in dircetum ;corpus attractum movebitur in Ellipsi centrum habente in attrahentis centro graVitatiS.
Si corpora sint plura ex particulis aequalibus consantia, quarum vires sunt ut dilatantve locorum a singulis: vis ex omnium viribus composeita, qua corpusculum quodcunque trabitur, rendes ad trahentium commune centrum gravitatis; π eadem erit, ac si traiahentia ista, servato gravitatis centro communi, coirent M in globum formarentur. Demonstratur eodem modo, atque Propositio superior. Corol. Ergo motus cori oris ali radii idcm erit, ac si corpora trahentia, servato communi gravitatis centro, coirent M in globum formarentur. Ideoque si Corporum trahentium commune gravitatis centrum vel quiescit, vel progreditur uniformiter in linea recta; corpus attractum movebitur in Ellipsi, Centrum habente in communi illo trahentium centro graVitatis.
276쪽
Si ad inrula circuli cujuscunque tuncta tendant vires aequales c tripetae, crescentes vel decrescentes in quacunque di antiarum ratione e invenire Cim, qua corpusculum a Irabitur ubisis postum in recta, quia plano circuli ad cenIrum ejus terpendiculariter insedit. Centro A, interVallo quoVis AD, in Plano, cui re sta AP Perpendicularis est, describi intelligatur Circulus; ia invenienda sit Vis, qua corpusculum quodvis, P, in eundem attrahitur. A Cir- Culi Puncto quovis, E ad corpusculum
attrae tum P agatur recta PE. In recti
P A capiatur PF ipsi PE aequalis, Sc erigatur normalis FΚ, quae sit ut vis qua punctum E trahit corpusculum P. Sitque IKL curva linea, quam Punctum K Perpetuo tangit. GCurrat eadem circuli plano in L. In P A capiatur PH 22-
qualis PD, M origatur scri)endiculum III Curvae praedime occurrens in I; Merit corpusculi P attractio in Circulum ut area AHi L ducta in altitudinem A P. Q. E. I. Eicnim in A E capiatur linca quam minima Le. Jungatur PM in PE, PA capiantur Pc, Psipsi Pe aequales. Et quoniam ViX, qua annuli, centro A intervallo AE in plano praedicio descripti, Punctum quodvis Ε trahit ad se corpus P, Ponitur esse ut FK ; Minde vis, qua punctum illud trahit corpus P versus A, est Ut - , M Vis, qua annulus totus trahit corpus P versus A, ut annulus M -ώ - - conjunctim; annulus autem isto est ut rectangulum sub radio AE Sc latitudine ge, M hoc re tangulum ob Proportionales PE M AE, Ee M CE aequatur rectangulo PEκ CE seu PEκ Ff; erit vis, qua annulus iste trahit corpus P Vert HS A, ut PEκ Ff M conjunictim ἔ id est, ut contentum σκFΚκ AP, sive ut area Fxυ ducta in Ap. Et propterea summa Virium, quibus annuli omnes in circulo, qui centro A M intervallo AD dc-H h a scribitur,
277쪽
scribitur, trahunt corpus P Versus A, est ut area tota AHIKL clueta in AP. Q. E. D. Corol. I. Hinc si vires punctorum decrescunt in duplicati distantiarum ratione, hoc est, si sit FR Ut , atque idco area AHi KL Ut - - ας erit attractio corpusculi P in circulum ut I
CoroI. a. Et universaliter, si Vires Punctorum ad distantias nsint reciproce ut distantiarum dignitas quae ibet D', hoc es , si sit
Corol. 3. Et si diamctor circuli augeatur in infinitum, M numerus n sit unitate major; attractio corpusculi P in Planum totum infinitum crit rcciproce ut PA' ', P Pterca quod terminus alter - en evanescet ς).
P R O P. XCI. P R O B. XLV. Invenire atIractionem corpusculisti in axe Solidi Rotundi, ad cujus puncta sim uia tendunt vires aequales centripetae in quacunque di antiarum raIione decrescenI . In Solidum DECG trahatur corpusculum P, situm in ejus me AB. Circulo quolibet RFs, ad hunc axem Perpendiculari, secetur hoc solidum, Se in ejus semidiametro Fs, in Plano aliquo PALΚBPer axem transeunte, capiatur per Prop. XC. longitudo FK vi, qu1 ' γ Ut di l .
s Recta utique pii cum illa An infinite aucta. -ὶ u R v AE, Lxx QN A v R A T U R A. Pro scribatur litera b. Hoe est, designet litera b datam illam rectam cujus longitudinem, in Arithmetica quantitatum a stimatione, pro unitate haberi velis. Datam re tam Ai, designet litera a; indesinitam pr, litera x. Ita, propter angulum ad F remum, νη his notis designanda erit; δ' - ata ordinataque rκ, cum Per Cor. I. Prop. xC. aequanda sit quantitati I --, idcirco haec erit , --- . . Hinc siuxio areae curvi linearis LxI, quae aba
symptota νο, u pumno P cum axe pa ad perpendiculum educta, initium suinit, quaeque ad ordinatam FK terminata est, hujus i quam fluxio, sive νκ κ κ μ M --. Quare area ipsa lFΚ κ at lux sta spatio M - ὁ 'si' ε a', quod stuens est nuxionis M - κ,vel aequalis erit,ues illo major minorve dato
278쪽
qua corpus ulum P in circulum il-I.ia Rium attrahitur, prOPortionalis. Tangat autem Punctum K cumam lineam L I, Planis cXtimorum Circulorum, AL M BI, Occurrentem in L M I ; M erit attractio corpusculi pila Solidum ut area LABI. Q. E. I. Corol. I. Unde si Solidum Cylindrus sit, parallelogrammo A DEB circa a Xem AB revoluto descriptus, n
describit aream I γ A BE M vires centripetae, in singula ejus puncta tendenteS, sint reciProce ut quadrata distantiarum a Punctis :d crit attractio corpusculi P in hunc cylindrum ut AB-PE Φ PD. Nam ordinatim applicata FK per Corol.
I. Prop. XC. erit ut I--. Hujus pars I ducta in longitudinem AB,
M pars altera ducta in longitudinem Pst, describit aream I. in PE-AIγ id quod eX Curvae L ΚΙ quadratura facile ostendi potest ; Se similiter pars cadum ducta in longitudinem P A describit aream I in PD-AD, ductaque in ipsarum PB, PA differentiam, AB, describit arearum differentiam, I in P Ε- PD l . De contento Primo, I κ AB, auferatur contentum postremum, I in ΡΕ-PI , 8c restabit area LABI aequalis I in
dato Geometr. Flux.Th. iv. Vel, quod codem redit, spatium is x κ xl Φ b - Φ a rectaruulo M vel aequale erit, vel illo majus minusve dato. Evanescendo fluat meia Pp, ut eongruente tandem puncto ν eunt ipsis P, recta rv sev x ad nihilum plane redigatur. Qiro facto, pro spatio omni i r K κ .ui in b,i a' manebit quidem re tangulum ba datum. Quando igitur ordinata mobilis pκ cum ipsa νο eongruat, spatium t κ κ I Φό Qx' Φ a' rectangulum bi dato ba extuperabit. Quoniam rectangiituiti bae in nihilum abierit. Quare et in omni situ ordinatae νκ spatium illud hoc rectangulum eodem dato exsuperabit. Quare trκ κ ii Φ b Ux Φ..' - b M. Unde lςκκωl α ι κα - Φa- Φ a. Atque haec erit dimensio areae, quae Curva Lxi, Asymptota po, Ordinaia FK, Ablcissisque yp interclusa est, quaecimque fuerit aliscissae illius pr, seu x, longitudo. Ponatur igitur x aequalis primum rectae toti PB, tum datae rius parti pA; arearumque opaI, orΛL a for '
279쪽
AB PE PD. Ergo Vis, huic arcae proportionalis, est ut AB
Corsi a. Hinc etiam vis innotescit, qua Sphin
rois AGBC attrahit corpUS quodvis P, exterius in axe suo AB situm. Sit NKRM scci io conica,Cujus ordinatim applicata ER, ipsi PE perpendicularis, aequetur semper longitudini PD, qυ de ducitur ad punctum illud D, in quo applicata ista sphaeroidem secat ς). A Jhaeroidis verticibus A, B ad ejus
Sestone eoni a Ac B, eukωι rexitum si axes A B, cs. 's coaee data, s in recta in ora vatim as a alter titrium eati Τί capiatui En, qu qualis sit re, ro, qxor terminum ordisa in eum puncto P, ia oen Λ dato, janeat ; puncta m R e/ it ad aliam ahes m fictionem eonicam positiois datam. Per puncta A, B, quae vertices uiiqne sunt axis AR, d .cantur AM, BN, cum ordinatis Enparallulae. Capiantur bine inde Ax, Ah, inter se rectaeque νΑ aequales. Junctae νς, rh rectae nMin puractis N, m, reetae vero E R in Punctis Σ, Σ currant. Ita erunt rectae RM, Em, inter lerectaeque RP, rcctae EZ, En, intcr se rectaeque νου aequalcf. Per R ducatur recta Re is cum oeciar M parallela; quae illis sM, An in punctis uoV, Occurnat. Pr pter L R. PD inter se reis quales, quadratum ex ta aequale erit duohus quadratis ex PE, ED simul sumptis: hoe est, prop) r e . 17. inter se usu lcs, duobus quadratis, ex ΕΖ, ED sin ut sumptis. Cum vero recta Ea media i r dixi in in Puncto E, quadratum ex Est aequale est quadrato ex Ea cum rectangulo xR κ μ E. Elein. I l. 6. Quadratum igitur ex Et cum rectangulo αR κ RZ, quadratis ex ala, En simul sumptig a quale st. Quadi alcque cx ΕΣ eommuniter den Pio, manebit rectangulum x κ ν 2 quais erat , ex Elν aequale. At vero quadratum ex En ad rectangulum AE R LB, Propter sectionem conicam Aci positione datam, ea iam rationem habet. Quare et rectangulum Ση κ Ra ad rectanguis tum AE κ En rationcm datam habet. Rectangulum autem ΑΕ κ ΕΒ ad rectangulum x Z κ ZM ratio. item habet datam: nimirum eam. quam quadratum ex data P A ad quadratum ex data PK ; El. v t. ro. nempe cum sat lcim ΑΕ ad x et quam EB ad ZH ut PA ad PR. Rectanguli igitur Ea κ RE ad reci angulum ΚΖ κ χM, sive xv κ Ru , ratio data est 8. dat A puncto igitur a in rectas quatuor, ΝΜ, im, Rh, ram, post zione datas, ecducuntur quatuor, Ri, v. xv, datis inclinationibui. Quodque deductarum duae, stet, adi, rectangulum claudunt, ad rectangulum. ulieris duabus deis luctarum conclusum, datam rationem hahet. Erit igitur punctum n ad sectionem conicam positione datam. Q. E. D. C M og TIO LOCI 2 LIDI. Ductit per A, p. rectis Ax, EM cum axe sc parallelis. fiant AK, Aa rectae p A sngulatim aequales. Junctae r κ, PI , rectae pM in punctis M, m oecuriant. jungatur pc, & in axe bc producto capi di ir
280쪽
axem AB erigantur Perpendicula ΑΚ, BM, ipsi S AP, BP aequalia re-L ηε spective, M propterea sectioni conicae occurrentia in L M Μ ; Mjungatur ΚΜ auferens ab c1dem segmentum LMRΚ. Sit autem sphaeroidis centrum s , Sc semidiameter maxima SC : 8c Vis, qua Sphaerois trahit corpus P, erit ad Vim, qua sphaera diametro AB descripta trahit idem corPus, ut
Et eodem computandi fundamento invenire licet vires segmentorum sphaeroidis. Cores. 3. Quo i si corpusculum intra sphaeroidem in axe collocetur; attractio erit ut ipsius distantia a centro. Id quod facilius hoc argumento colligitur, sive particula in axe sit, sive in alia quavis diametro data. Sit AG o F viri Q. p. 25o2 sphaerois attrahen S,. S CCntrum ejus, M P corpus attractum. Per corpus illud P agantur tum semidiameter sPA, tum rectae duae quaevis DE, FG sphaeroidi hinc
tur ετ iundiae re aequalis. Per puncta quinque, κ, π, Μ, m, F, scribatur sectio conica. E a I . 3-cus erit punctorum R. Hoe est, si meta En, qtiae ad axem At Curvae A a ordinatim est educta, Letionae conicae x lini in puncto st oecurrat, recta Est junctae pli aequalis ei di.
sectionis conicae Aca axis Go reclis pM, PH in pund is L, I occurrat. Propter sectiunem contincam KTrrim , me angillum Σκ , erit ad xv κκα. live Σκ κ 2M, sicut et L κ TI ad quadratum ex LM. Hamilton. Conic. Lib. r. Prop. Lur. Cor. Rectati guliim autem Rae. κ RΣ ad ruet in gulum AE κ Ea rationem habet, quae componitur e rationibus rectariguli Ret X Rα ad 2ς κ tra et angulique Zκ κ EM ad AEκΕt; sive e rationibus rectanguli i Lκ ut ad quadratum ex I. M, quadratique ex LM ad quadratum ex sa. Ex ei idem vero componitur ratio illa, quam H κ Tl ha tad quadratum ex sa. Quare a 2κRE erit ad Ag κ fia ut τι κ TI ad quadratum ex sB. At veris edi angulum τL κ Tl quadnato ex sc aequale est. Nam, propter mi tales sT, PC, quatim tum ex ετ duobus quadratis ex ps, se simul sumptis est aequale; sive duobus ex sL, xc simul sumptis. Et eum recta Ll media sit divisa in puncto s. quadratum ex sT. quadrato ex su cum res ringulo τι κ TIeli aequale. T. II. 6. Quadratum igitur ex sti eum rectangulo TLκ TI quadratis duobus ex sL, sc limul sumptis est aequale. Quadratoque ex sti communiter ablato, manet mcl.In ingulum TLκ et I quadi ato ex se aequale. Rectangulum igitur et L κ TI quadratumque ex se ad quadratum ex ss eandem utrumque rationem habent. ,ed ostensum eii redi. mgulum a Zκκα ad A Εκ EB rationem hisbere eam, quam TL κ TI ad quadratum ex sp. Erit igitur rectangi illim Zκ RE ad AER EB licui quadratum ex sc ad quadratum ex sa et hoc eis, propter lectionem conicam Aca sicut quadratum ex DE ad me tanguli im AEL. Reet angulum igitur Ra κ Ret et quadratum ex DL, cimi ad rediai gulum AE A Et eandem rationem gerant, erunt inter se aeq ialia. i El. v. 9.ὶ Quadratoque ex tet communiter addito, rectangulum κα κ ar eum quadrato ex Ea, hue est quadratum ex ER, quadratis ex ED, Eet, simul sin apris aequale erit. Quare eum ΕΖ, Ε p sint inter se aequalos, quadratum ex Ea quadratis ex En, Ep limul sumptis, hoc est quadrato ex PD, aequale erit. Quare recta Ea aequalis erit metae PD. Qi Eia I .HAEc velim Lector conseras csim iis, quibus alii ostendere conati sunt, quod a Newtono amrmatum eli, lineam KRM, sive locum puncti R. Curvam etse E conteis. Senties, ni fallor, quantum lucis, si Diis placeat, quantum compendii, cum calculis illis suis Algebra rationibus Geometricis attulerit CAPIATun enim εν quae sit ut vis, qua circulus, euius centrum R, radius ED. trahit eo usi eulum in F politum. sitque L νi Curva. quam puli etiam ν perpecuo tangit, quae planis AK, sphaeroidem ita verticibus axis sui contingentibus, in punctis L, I oecurrat. Erit igiIur L '