장음표시 사용
281쪽
-, vel si b det signet rectam illam quam pio unitate liaberi velis, Er 'δ - E.
282쪽
2ψ9 PRINCIPIA MATHEMATICA.vo in B M C, posterior secet easdem recitas in H, I Κ, L. II I I PER beant autem sphaeroides omnes axem Communem, M erunt reC-- tarum,
sinu: in nihilum abierit. Et pro omni spatio
c - - r. b Φ ob P, in cs - A, nem area LARI, nee non vis qua sit haerois AG ac corpus in P positum verius centrum sium trabit, servabit. IAN Vero manentibus As, ps, recta Cs minuatur paulatim vel erescat, ut rectae As aequalis tandem evadat; ita vero Ellipsis Acas in Circulum abierit, & sphaerois Λcns in sphtaram perluctam. VOL. II. Ii Ructaque
283쪽
tarum partes hinc inde interceptae DPM BE, FP M CG, DH M IE, FK M Lasibi mutuo aequales; propterea quod redita DE, PB, M HI bisecantur in eodem puncto, Ut Sc rectae FG, PC, Ω ΚL. Concipe jam DPF, EB G designare Conos oppositos, angulis verticalibus D PF, Ε pci infinite parvis descriptos, M lineas ctiam Dil, RI infinite parvas elle ; ia conorum Particulae sphaeroiclum supersiciebus abscissae DHKF, GLIF., ob aequalitatem linearum DIT, EI, crunt ad invicem ut quadrata distantiarum suarum a corpusculo P, 8c Propterea corpusculum illud aequaliter trahent. Et pari ratione, si superficiebus sphaeroidum innumerarum, similium, concentricarum, M axem communem habentium, dividantur spatia D PF, EG CB in particulas, hae omnes Utrinque aequaliter triaticiat corpus P in Partes contrarias. AEquales igitur sunt vires coni DPp 8c segmenti conici EGCB, M per Contrarietatem se mutuo destruunt. Et par est ratio virium materiae omnis extra sphaeroidem intimam PCBM. Trahitur igitur corpus P a sola sphaeroide intim1 PCBM, M propterea per Corol. 3. ProP. LXXII. attractio ejus est ad vim, qu1 corpus A trahitur a sphaeroide tota AGOD, ut distantia ps ad distantiam As. Q. E. D. PROP. XCII. P R O B. XLVI. Dato corpore attractivo, invenire rationem decrementi virium centripetarum in ejus puncta singula tendentium. E Corpore dato formanda est Sphaera, vel Cylindrus, aliave figura
vero exsistente Acas Circulo, sectio conica NxRM Paral olt erit, cujus axis Na, Paranacter aps. Id quod ex aequatione illa, et , sue ER ,αμ- .aa.xΦ --π' satis patet: quae rectis, b, a, δPropter circulum Acac iam lactis aequalibus, in hane migraverit, ER'me lacri Ulae.
3 Quare area Parabolica KRMBA 3 es
284쪽
2SIgura regularis, cujus lex attractionis, Cui vis decrementi rationi Libin Congruens per ProP. LXXX, Lxxx I 8e xcI. inveniri potest. Dein y ' 'factis cxperimentis invenienda est vis attractionis in diversis dii tantiis, M lux attraditionis in totum inde patefacta dabit rationem decrementi virium partium 1ingularum, quam invenire oportuit. PROP. XCIII. ΥΙΙ ΕΟ R. XLVII. Si Solidum ex una parte planum, ex reliquis autem partibus insx tum, conset ex particulis o qualibus aequaliter attractisu, quarum Cires in recessu δ Solido decrescunt in ratione potesatis cujusvis istantiarum plusquam quadraricae, est vi Solidi totius corpusculum ad utramvis ani partem consismum trabalure dico quod Solidi Cis illa a tractisa, in recessu ab ejus supremis plana, decrescet in ratione potesatis, cujus latus es di antia co=pusculi Λ plano, M index ternario minor quδm index potesatis di Mntiarum.
f. I. Sit LGl planum quo Solidum torminatur. Jaceat Solidum autem ex Parte Plani hu-
jus versus I, inque Plana in-nnmera m ΗΜ, Π IN, oKO, MC. ipsi GL parallela resolvatur. Et primo collocetur CorPUS attractum C extra solidum. Agatur autem CGHI planis illis innumeris perpendicularis, iadecrescant vires attractivae Punctorum solidi in ratione
potestatis distantiarum, cujus index sit numerus ri ternario non
285쪽
minor. Ergo per Corol. 3. PrOP. XC. Viti qua Planum quo vis mΗΜ trahit punctum C, est reciProch ut cris'. In plano mAM capiatur longitudo HΜ ipsi Chi' ' reci Proce Proportionalis,M erit vis illa ut HΜ. Similiter in planis lingulis lGL, NIL, oKO, Ac. capiantur longitudines GL, IN, Κ o, MC. ipiis CG , Cim , CK' &c. reci proco Prolaortionales ; Sc Vires Planorum corundem crunt ut longitudines Captae, ideoque summa virium Ut sumina longitudinum; hoc est, vis Solidi totius ut area GLOK in infinitum versus OK Producta. Sed arca illa per notas quadraturarum nacthodos) est reciproce utco' in, M propterea vis Solidi totius est reciproce ut CG O. E D. f. a. Collocetur jam corpusculom C cx parte Plani IGL intra Solicium, capiatur distantia cx aequalis distantiauco. Et soli li pars LGloKo, Planis Parallelis lGL, ouo tot minata, corPURulum C, in medio situm, nullam in Partem trahel; contrariis c prositorum punishorum adtionibus se mutuo P r o qualitatem tollentibus Proinde corpusculum C sola vi Solidi ultra planum oc siti trahitur. ILuc autem vis per casum primum est reciproce ut CK' in, hoc est ob aequales CG, CK reciproce ut CG' in. Q. E. D. Corol. I. Hinc si Solidum LGi N planis duobus infinitis parallelis LG, IN Utrinque terminetur; innotescit ejus vis attrae iva, subducendo de vi attramva Solidi totius infiniti LGKO vim attractivam Partis ultorioris Nixo, in infinitum Vertias Ko Productae. Corol. 2. Si Solidi hujus infiniti pars ulterior, quando attractio ejus collata Cum attractione Partis Citerioris nullius pene est momenti, rejiciatur: attractio partis illius citcrioris, augendo distantiam, decrescet quam Proxime in ratione potestatis CG i. Corol. 3. Et hinc si corpus quodvis finitum, A CX una Parte PIa
286쪽
253 muri, trahat corpusculum e regione medii illius plani: ra distantia l.i, gainter corPusculum M planum, collata cum dimensionibus corporis 'μ attrahentis, perexigua sit; constet autem Corpus attrahens ex Particulis homogeneis, quarum Vires attradi Aze dccrescunt in ratione potestatis cujusvis Plusquam quadruPlicatse distantiarum: vis attractiva corporis totius decrescct quamprox iri tu in ratione Potestatis, cujus latus sit distantia illa perexigua, Sc index ternario minor quam indeX Potestatis prioris. De corpore LX Particulis Constante, quarum vircs attractivae decrescunt in ratione I otestatis triplicatae distantiarum, assertio non Valet; Propterea qUod, in hoc casu, attractio Partis illius ulterioris corporis infiniti in Corollario secundo, semper est infinitu major quam attractio Par tis citerioris. Schuyum. Si corpus aliquod perpendiculariter versus Planum datum trahatur, M cX data. lcge attractionis quaeratur motus cori)Om : sblvetur Problema quaerendo per ProP. XXX lx.) motum corporis recta descendentis ad hoc planum, M per legum Corol. et ) componendo motum istum ciam uniformi moto, sccundum lineas eidem Plano paralicias facto. Et contra, si quaeratur lex attractionis in planum secundum lineas Pei Pendicularcs s aciis, ea conditione ut corpus attractum in data quiit Unque curva linc a moveatur, 1blvetur Problema operando ad c ccmPliam Problematis Tertii. Operationes autem contrahi solent rcsolvendo ordinatim applicatas in series convergentes. Ut si ad balem A in angulo quovis dato ordinatim applicetur longitudo D, qtuae si tit balis dignitas quaelibet AG ; Sc quaeratur vis qua corpus, sccundum Position Omordinatim applicatae vel in basem attractum, l a basi fugatum, moveri possit in curva linea, quam ordinatim ni Plicata termino suo superiore senapcr attingit: suppono b sena augeri Parte quam minima o, M ordinatim applicatam, A o rclblvo inserici ain-8 C. atque hujus ici mino
in quo o duarum est climcntionum, id est, tcrmino
287쪽
vim proportionalem ciso suppono ς . Est igitur vis quaesita ut -- A ; vel quod Perinde est, Ut B - . Ut si ordin lina applicata Parabolam attingat, eXistente ni π 2, Mn α I : set vis ut clata et i; id coque dabitur. Dati igitur vi corpus movehitur in Panabola, quemadmodum Gali us demonstravit. Quod si ordinatim applicata Ilyperbolam attingat, eXistente m - Ο-I, v α I ; si et vis tit 2A seu 2BΤ : ideoque vi, quae sit ut cubus Ordinatim aPPlicatar, corpus movebitur in Hyperbola. Sed missis liiij usmodi Propositionibus, pergo ad alias quasdam de motu, quas nondum attigi. SECTIO XIV. De motu corporum minimorum, quae viribus cen ritetis ad in Has magni alicujus corp ris tartes Iendentibus agitantur.
P R O P. XCIV. T H E O R. XLVIII. Si media duo similiaria, spatio planis paralgesis utrinque terminato, di in ruantur ab invicem, M corpus in translu ter hoc spatium
affrabatur Ues imprigatur perpendiculariter Cersus medium au ru rum, neque ulla alia Ui visetur vel 11 ematur; sis autem attractio, in a qualibus ab uIroque stano di antiis ad eandem ipsus turlem captis, ubique eadem e dico quod inus incidentis in planum
Nirat aura in sgura Problematis tertii, fit Abstissa AuzTA, Ordinata pM m B. Curvae autem APQ ea sit na-
tura, ut sit A li, sue A - n . Reeta a P, quae Curvain in ν contingat, occurrat axi MAiti O, & Ordinatae N Lin R. Recta autem MN. ordinatis N , Net interjecia. dicAturo. Si corpus quodpiam, viribus sccundum reeias parallelas PM, QN incitatum, per Curvam Are seratur, vires illae rationem inter se eius quae rectarun --, evanescente arcu Paci est ultima eon. eotrariam, neecsse est constanter gerant f Prop. vI. Cor. s. Sive ejus contrariam, quae, evanescente arcu PQ :ltima est rediarunt . . Namque propter metas PM, Mi parallelas, et angulum ad T ctum, ad N aut rectum aut datum, reetae QI, MN, aut aequales erunt inter se, aut da-πa tarn saltem inter se rationem gerent. Jam vero propter A ', erit Tecta Me α -
Ge metiri Analyt. Prop. Iv. Mod. t. Et propter rectas PM, Na inter se Parallelas, erit
288쪽
antim alterutrum eris ad um emergentiae ex plano aureo in Liaxa
ratisne data. f. I. Sunto Aa, Bb plana duo Parallela. Incidat corpus in planum Prius Aa secundum lineam GH ; ac, toto suo Per spatium intermedium transitu, attratiatur vel impellatur verius medium incidentiae, eaque actione describat lineam curvam HI, Memergat secundum lineam IK. Ad planum emergentiae Bo erigatur Perpendiculum IM, occurrens tum lineae incidentiae GH productae in M, tum Plano incidentiae Aa in R ; M linea c- mergentiae, Κ. I , Producta Occurrat HΜ in L. Centro L intervallo LI describatur circulus, secans tam
H M in P R λ , quam MI Productam in N ; M primo si attractio, Vel impulsus, Ponatur uniformis, erit ux demonstratis Galil i Ciarva AI Parabola; cujus haec est proprietas, ut rectangulum lati clito latere recto M linea IM aequale sit HM quadrato; sed Mlinea ura bisecabitur in L δ . Unde si ad Mi demittatur perPCn-
Vires igitur, de quilius agitur, quantitaturo
propter illam O infinitd imminutam, quantitatum --A . Recte igitur posuit Neritonus
vires illas eum his quantitatibus Proportione convenire. ' Id quod Reilh essicitur ex xLvxi . Lib. i. Conicorum Hamiltoni, si per u ducatur recta eum illa I.I, quae Parabolam in I contingit, parallela.
289쪽
liculum Lo, aequales erunt Mo, OR ; εc additis zequalibus O , o I, fient totae aequales MN, IR. PΓΟ- inde clim IR detur, datur etiam MN ; citque rectangulum NMI
ad rectangulum sub latere 1 celo M Ial, hoc est, ad ΗΜ 1, in data
ratione. Sed rectangulum NMI aequale est rectangulo PMQ , idost, differentiae quadrato mMLq, M PL7 seu LIq ; dc HΜqilatam rationem hahet ad sui ip- M sius quartam partem MLq r e go datur ratio MLq-I. Iq ad ΜLq ; M conVertendo ratio Li i ad MLq, ἴe ratio dimidiata LI ad ML. Sed in omni triangulo LMI, 1inus angulorum sitiat proportionales lateribus oppositis. Ergo datur ratio sinus anguli incidentiae LMR ad sinum anguli eme gentiae LIR. Q. E. D. Cf. 2. Transeat jam corpus successive Per spatia plura parallelis planis terminata, Aran, BbcC, 8cc. 8c agitetur Vi, quae sit in singulis separatim uniformis, at in diversis diversa ; re Per jam demonstrata, sinus incidentiae in planum primum Aa erit ad sin Um Emergentiae ex plano secundo Bb, in data ratione ; Se hic sinus, qui cit sinus incidentiae in planum secundum Bb, erit ad sinum emergentiae explano tortio cc, in data ratione ; M hic sinus ad sinum emcrgentiae ex Plano quarto Des, in data ratione ; 8c sic in infinitum : Mox aequo, siaus incidentiae in planum Primum ad sinum emergentiae cx Plano ultimo in data ratione. Minuantur jam planorum intervalla, M augcatur numerus in insinitum, eo ut attractionis vel impulsus acti O, secundum legem quamcunque assignatam, continua reddatur ἔ 8c ratio sinus incidentiae in planum primum ad sinum emergentiae ex Plano ultimo, semper data eXi1tens, etiamnum dabitur. Q. E. D.
290쪽
ejus velocitaIem pos emergentiaDI, ut sinus emergentiae a suis uincidentiae. Capiantur Ais, id aequales, x erigantur Perpendicula AG, Goccurrcntia lineis incidenti ae emergentiae GH, IK, in G M K. In GH capiatur TH aequalis IK, ad Planum Aa demittatur normaliter Τυ. Et per legum Corol. 2. distinguatur motus coryoris in duos, unum Planis Aa, Bb, Cc, 8 C. Pei Pendicularem, alterum iisdem parallelum. Vis attractiori nis Vci impulsis, agendo secundum lineas perpendiculares, nilo mutat motum secundum Parallelas;
sc Propicrca coimus hoc motu COAsiciet aequalibus temporibus aeqHa- lia illa secundum parallulas inter Valla, quae sunt inter lineam AG Sc Punctum H, interque Punctum I Sc lineam dia ; hoc est, aequalibus temporibus describet lineas GH, IK. Proinde velocitas ante incidentiam cst :d velocitatem Post cinergunt iam, Ut Cil ad IK vel TH, id est, ut A II vel II ad CH, hoc uit respectu radii ΤII vel 1 ) ut sinis cmerguntiae ad sinum incidentiae. Q. E. I . P R O P. XCVI. TII EO R. L. Iisdem to Vis, 2 qu)d motus ante incidentiam et elocior si q .npo lsae dico quod corpas, ines nando Eneam incitaentiae, resec D- Iur laudem, G avulus renexionis si aequalis cD A incidens Le. Nam concipe corpus inter Parallela plana Aa, Bb, Cc, 8 C. de--Π scribere arcus Parabolicos, ut supra; sintque arcus illi up, PR, Q R, &C. Et sit ea lineae incidentiae, GII, Obliquitas ad Planum Primum Aa, Κ k. Ut