장음표시 사용
291쪽
ut sinus incidontiae sit ad radium circuli, cujus est sinus, in ea ration 2, quam habet idem sinus incidentiae ad sinum omergentiae explano Dd, in spati iam DRE: M ob sinum emergentiae jam fastum aequalem radio, angulus emergentiae erit reditis, ideoque linea emergentiae Coincidet cum Plano DL Perveniat corpus ad hoc
quoniam linea emergentiae coincidit cum eodem Plano, perspicuum est, quod corpus non potest ultra Pergere Versus planum Le. Sed nec potest idem Pergere in linei emergentiae RE, Propterea quod Perpetuo attrahitur vel impellitur versus medium incidentiae. Revertetur itaque inter Plana cc, Dd, describendo arcum Parabolae QBq, cujus Vertex principalis juxta demonstrata GaIV 0 cst in B ; secabit Planum Cc in eodem angulo in Π, ac prius in D dein pergendo in arcubus Parabolicis ini,1 Θ, 8 c. arcubus prioribus QP, PH similibus M aequalibus, secabit reliqua plana in iis lem angulis in I , h, 8 c. ac Prius in P, II, 8 c. cmergetque tandem cadem obliquitate in b, qua incidit in M. Concipe jam Planorum Aa, Bb, C , Dd, Ee, S c. intervalla in infinitum minui L numerum augeri, eo ut actio attractionis vel im-Pulsus, secundum legcm quamcunque a1Iignatam, contin Ua reddatiar ; Sc angulus emergentiae semper angulo incidentiae aequalta cxi Ilcns, cidem etianii: rim manebit aequalis. Q. E. D. Scholium. Harum attractionum haud multum dissimiles sunt lucis reflcxiones Fc re si actiones, factae secundum datam secantium rationem,
ut invenit Meius, M per consequens secundum datam sinuum rationum, Ut exposuit Carte Ius. Namque lucem successive propagari, Oe spatio quasi septem vel octo minutorum primorum astita ad terram venire, jam constat per Phaenomena selehlitum D- vj, observationibus cliversorum astronomorum confirmata. Radii autem in aere existentes uti dudum Grimaldus, luce per foramen in icnebrosum cubiculum admissit, invenit, M ipse quoque expertus sum in transitu suo prope corporum Vel OPacorum Vel Perspicuorum angulos quales sunt nominorum ex auro, argento Metere
292쪽
aere culorum termini rectanguli circulares, & cultrorum, lapi-Lclum aut fractorum vitrorum aci CS incut Vantur Circum Coi Pora, quasi attracti in eadem ; ex his radiis, qui in transitu illo pro- Ditis accedunt ad corpora, incurvantur magis, quasi magis attracti, ut ipse otiam diligenter observavi. Et qui transeunt ad majores distantias minus incurvantur; M ad distantias adhuc majores incurvantur aliquantulum ad Partes contrarias, Τί tres colorum fascias efformant. In figura designat s aciem cultri vel cunei cujusvis AsB ; M gorvog, snuns, Emim , Hud sunt radii, arcubus Ozzo, min, mim, III versus coltrum incurvati; idque magis vel miniis pro distantiacorum a cultro. Clim autem talis incurvatio radiorum fiat in aere eX-tra cultrum, debebunt etiam radii,
qui incidunt in cultrum, Pritis incurvari in acre quam cu trum attingunt. Et par est ratio inciduntium in vitrum. Fit igitur refractio, non in Puncto incidentiar, sed paulatim por continuam incurvationem radiorum, factam partim
in aere antequam attingunt Vitrum, Partim ni falloio in vitro, postquam illud
ingressi sunt: uti in radiis citc, bito, chra inci lcntibus ad r, p, Se intor stia z, i Θ Ω x incurvatis, dclineatum est. Igitur ob analogiam quae est inter Propagationem radiorum lucis DProgrcssiim corporum, visum eth Propositiones sequentes in usus opticos subjungere; interea de natura radiorum utrum sint cori ora necne) nihil omnino disputans, sed trajectorias Corporum trajectoriis radiorum persimiles solummodo
PRO P. XCVII. P R O B. XLVII. Posto quod res incidentie in supersciem aliquam AP ad um
mergenitae in data ratione; quodque incurvatio Cie corporum
juxta super lam i amici in spar o bi missimo, quo ut punctam Κ k a confiderari
293쪽
consul rari tossit: Eclerminare supers clam, qtiae corpuscula omnia de loco dato succcsive manantia conet ergere faciat ad alium δε-
cum tactum. C N MSit Λ locus a quo corpuscula divergunt; B locus in quem Convergere dclient; CDE curva linca quae circa aXem AB revoluta
describat superficiem quaesitam; D, E Curvae illius Puncta duo
quicuis; M EF, I G Perpendicula in corporis Vias AD, DB demissa. Accedat Punctum D ad punctum Ε ; M lineae DF, clua AD augetur, ad lineam DC, qtra DB diminuitur, ratio ultima erit eadem, quae sinus incidentiae ad sitium cmergentiae h). Datur orgo ratio incrementi lincar AD ad decrementum linctu DB ; M Propterea, si in axe AB sumatur ubiVis punctum C, per quod Curva CDE transire debet, Sc capiatur ipsius AC incrementum, cΜ, ad ipsius BC decrementum,c N, in data ilia ratione, centrisque A, B, M intervallis AM, BN describantur circuli duo se mutuo secantes in D ; punctum illud D tanget Curvam quaesitam CDE, cademque ubivis tangendo clc- terminabit. Q. E. I. Corol. I. Faciendo aratem ut Punctum A vel B nunc abeat in infinitum, nunc migret ad alteras Partes puncti C, habebuntur figurae illae omnes, quas Carisius in optica M Geometri1 ad refraetiones exposuit. Quarum inventionem cum Cartesius cela verit, visum fuit hac Propositione exponere. Corol. 2. Si corpus in superficiem quamvis CD, secundum lineam rectam AD, lege quavis illi x tam incidens, emerget secundum aliam quamvis rectam DR, M a puncto C duci intelligantur lineae --- curVN CP, C Psis AD, DR sem-A ς per Porpendiculares et erunt incrementa linearum PD, QD, atque ideo lineae ipsae PD, QD, incrementis istis genitae, ut sinus incidentiae M emergentiae ad in
' Iuncta enim or, anguli rectilinei Der, DEG, quorum snus sunt DF, Do pro radio commuta
294쪽
PRO P. XCVIII. P R O B. XLVIII. Ii di in tostis, c,' circa axam AB descrips super te quacunque a
re bis CD, regusari et es irregulari, ter quam corpora de loco dato A exeuxtia transre debense invenire supersciem fecundam attractivam EF, qtiae corpora Egia ad locum datum B conzergere facis . Juncta AB secet superficiem primam in C M secundam in Ε, plancto D utcunque assumpto. Et posito sinu incidentiae in su- Persiciem primam ad 1inum emergentiae ex eadem, M sinu emergentiae e superficie 1bcunda ad sinum incidentiae in candem, ut
quantitas aliqua data M ad aliam datam N : Produc tum ΑΒ adiit sit BG ad C E ut Μ- N ad N ; tum AD ad H, Ut sit AH aequalis AG ; tum etiam DF actK, Ut sit DK ad DH ut N ad Μ. Jχ nge ΚΒ, M Centro D intervallo DΗ describe circulum occurrentem ΚΒ productae in L, ipsique D LParallelam age BF : M punctum F tanget lineam EF, quae Circa axem AB revoluta describet superficiem quaesitam. Q. E. F. Nam concie lineas CP, C in ipsis AD, DF respective, M lineas
ΕR, Es iPsiS FR, FD ubique Perpendiculares esse, ideoque us ipsi CE semper aequalem ; M erit per Corol. 2. Prop. XCVII. PD ad QD ut M ad N, ideoque ut DL ad DK vel FB ad Fn ; Sc divisim ut
Eadem methodo Pergore liceret ad superficios tres vel plures.
muni DE, hi, evanescente arcu DR, fiunt angulis, ille incidentis radii, hic emergentis, ultimo aequales. Erunt igitur DI, Di; ultimo ut simis illia
295쪽
De Mors Ad usus autem opticos maxime accommodatae sunt sigurae sph:cricae. Si perspi illorum vitra obieei va cx vitris duobus sphaerice figuratis M aquam inter se clauduntibus constentur; fieri lUteit ut a refractionibus aquae crrorcs refractionum, quae fiunt in vitrorum superficiebus extremis, fatis accurato corrigantur. Talia autem vitra objectiva Vitris ollipticis x hyperbolicis praeserenda sunt, non sol im quod facilius Se accuratius formari possint, sed otiam quod ponicillos radiorum cxtra axem vitri sitos accuratius iefringant. Veruntamen cliversa diversorum radiorum refringibilitas impedimento est, quominus optica per figuras Vel sphaericas vel alias quascunque perfici possit. Nisi corrigi possint o rorcs illinc oriundi, labor omnis in caeteris Corrigendis imperite col ocabitur.
296쪽
SECTIO I. De motu corporum quibus rese itur in ratione velocisaliso P R O P. I. T H E O Ria I Corporis, cui res itur in ratione velocitatis, motus ex re buntuamisus es ut spatium movendo confectum. NAM cum motus singulis temporis particulis aequalibUS a-Lista
missus sit ut velocitas, hoc est, ut itineris confecti parti- Sy'' 'η Cula et erit, componendo, motus toto tempore amissus ut iter totum. Q. E. D.
Corol. Quam si corpus, gravitate omni destitutum, in spatiis liberis sola vi insit1 moveatur; ac detur tum motus totus sub initio, tum etiam motus reliquus Imst spatium aliquod consectum et dabitur spatium totum quod corpus infinito tempore describere Poteit. Erit enim spatium illud ad spatium jam descriptum, ut motus totus sub initio ait motus illius panem amissam.
297쪽
siet A ad B Ut v ad C M C ad D, 8 c. Q. E. D. PRO P. II. TII EO It. II. Si corpori res itur in ratione velocismis, ta idem δεοί Ct infra per medium, Vare mo a ur, fumantur autem Iemtora a qualia CPAcisDIos in triDcipiis ita uorum temporum sunt in prost colanea come risu, ta Italia sugulis temporibus defcripla sunI ui veloci ales. I. Dividatur tempus in particulas aequales ; si ipsis particularum initus agat vis rosiitcntiae impulsu unico, quae fit ut vclocitas : crit decrementum velocitatis, singulis temporis particulis, Ut cadem velocitas. Sunt ergo velocitates differentiis suis Proportionales, Se Propterea per Lena. I. Lib. 2. continue Proportionales. Proinde si cx aequali Particularum numero componantur tempora quaelibet aequalia, crunt Velocitatos ipsis temporum initiis, ut tormini in progressione continua, qui per saltum capiuntur, omisso Passim coquali terminorum intermediorum numero. Componuntur aUtem horum terminorum rationes eX rationibus inter se iisdem terminorum intermediorum aequaliter re- Petitis, Zc propterea cae quoque rationes Compositae inter se eaedem sunt. Igitur velocitates, his terminis Proportionales, sunt in progressione geometrica. Minuantur jam aequales illae tem Tum Particulae, M augeatur earum numerus in infinitum, ob ut resistentiae impulsus reddatur continuus; M velocitatos in princi-Piis aequalium temporum, sempor continue proportionales, erunt in hoc cliam casu continue proportionales. Q. E. D. f a. Et clivi sim velocitatum disserentiae, hoc est, earum ParteS singulis temporibus amissae, sunt ut totae: spatia autem singulis temporibus descripta sunt ut volocitatum partes amissae per Prop. I. Lib. a. M propterea etiam ut totae. Q. E. D. I Corol.
298쪽
Corol. Hinc si asymptotis minangulis AC, CII I.rasta describatur hyperbola BG, sintque AB, Do a l ' ' asymptoton AC Pei Pendicularcs, & cxponaturtum corporis Velocitas tuni resistentia modii, ipso motus initio, per lineam quamvis datam AC, clarso autem temPore aliquo per lineam indefinitam DC : exponi potest tempus per aream ABGD, M spatium eo tempore descriptum ivir lincam A D. Nam si area illa permotum puncti D augCatur inlisormiter ad modum temporis, decrescet rccta DC in ratione geometrica ad modum velocitatis, MPartes rectae AC, aequalibus temporibus descriptae, decrescent in
Ρ R O P. III. P R O B. . I. Corporis, cui, dum in medio suntlari rectia ascendis vel descendit, re-
itur in ratione Celocitatis, quodque ab uniformi gravitate urgetur, des, Dire moti m. Corpore ascendente, CX ponatur gravitas Per datum quodvis rectangulum BAcii, Sc resistentia medii, initio ascensus, Per rectangulum L ADE sumPthim ad contrarias partes rectu: AB. Asymptotis rectanguliS A C, C H, PCrpunctum B describatur hyperbola secans perpendicula DE, de in G, g; A coi pus ascendendo tem-lγore Dorides ritici spatium EGI Glcmporc DGBA spatium ascentiis totius EGA ἔ tempore ABKI spatium doscensus BFK, atque tempore i Rhi spatium descensus Ri 2;M velocitates cortioris resistentiae medii proportionatus in horum temPorum Periodis crunt RBED, A Beri nulla, AB FI, Ansi res PectiVE ; atque maxima velocitas, quam corpus destendendo Potuit acquirere, erit BACH. Resolvatur Onim rectangulum BACH in rectangula innUmcra Ah, Κέ Lm, Mn, MC. quae sint ut incrementa volocitatum M JUali- . 'bus totidem temporibus facta ; ia crunt nihil, Ah, At, AVI, AN, VOL. II. L l Scc.
299쪽
tic. ut velocitates totae, atque ideo
per hypothesin ut resistentiae medii principio singulorum temporum aequalium. Fiat AC ad ΑΚ, vel ABHC ad ABkK, ut vis gravitatis ad resistu entiam in principio temporis secundi ; deque vi gravitatis subducan-
cipio singulorum temporum urgetur, atque ideo per motus legem II. ut incrementa velocitatum, id est, ut rectangula At, ΚέM' Mn, 8cc. M Propterea per Lem. I. Lib. O. in progressione geometric1. Quare si rectae Kk, LI, Mm, Nn, MC. Productae occurrant hyperbolae in q, r, S, t, MC. Orund are; ΑΙ; Κ, Κ L, L MIHΜstN, S c. aequales; ideoque tum temporibus tum viribus gravitatis semper aequalibus analogae. Est autem arca ABqς per Corol. 3. Lem. VII. 8c Lem. VIII. Lib. I. . ad aream. ut Κq ad 2 hq seu AC ad ρ Ac, hoc est, ut vis gravitatis ad resistentiam in medio temporis primi. Et simili argumento areae qΚLr, rLMs,.s3 Dei, 8 c. sunt ad areas MD, r 1, smnt, Scc. ut vires gravitatis ad resistentias in medio tempori secundi, tertii, quarti, MC. Proinde cum areae aequales BAκq, rLMS, SYNI, S c. sint viribus gravitatiS analogae, crunt areae Bhq, ων, rims, Smni, Sec. resistentiis in mediis singulorum temporum, hoc est per hypothesin velocitatibus, atque ideo descriptis spatiis analogae. Sumantur analo garum summae, M erunt areae I hq, Bl , -- Bnt, MC. spatiis totisdcscriptis analogae; necnon areae ABqΚ, ARM., ABIM, ABIN, 8 c. temporibus. Corpus igitur inter descendendum, tempore quovis Ani L, describit spatium BD, M tempore L rtN spatium rint. Q D. Et similis est domonstratio motus expositi in ascensu. Q. E. D. Corol. I. Igitur Velocitas maXima, quam Corpus cadendo potest
dirierentii, eadem ratione Moim ii ea im dumidunt; huc est ea, qua deerestum differenti quibus vel itatus corporis cadentis suiit 1 vulocitate maxima, quam ultimo illud adeptum tuerita
300쪽
acquirere, est ad velocitatem dato quovis tempore acquisitam, Ut Linrvis data gravitatis, qua corpus illud perpetuo urgetur, ad vim resistentiae, qua in sine tomporis illius impeditur. Corol. 2. Tempore autem austo in Progressione arithmetica, summa velocitatis illius maximae ac Velocitatis, in ascensu ; atque etiam carundum dilserentia, in ascensu, decrescit in Progressione
Corol. 3. Sed Sc differentiae spatiorum - , quae in aequalibus temporum disserentiis describuntur, duci cicunt in eadem Progressione geometrici. Corol. 4. Spatium vero a corpore descriptum differentia est duorum spatiorum, tuorum alterum est ut tempus sumptum ab initio descens iis, M alterum ut velocitas, quae etiam ipso descensus initio aequantur inter se.
P R O P. IV. P R O B. II. Pos o qu)d Cis gravitaIis in mesis aliquo migari uniformis sit, aerendar perpenticulariter ad planum horizontis; demnise motum projec Elis in codem, res en iam velocitali proportionalem parientis.
E loco quovis D egrediatur Projeci ite secundum lineam quamvis rectam DP, 8c per longitudinem DP cxl onatur ejusdem Velocitas sub initio motus. A puncto P ad lineam horizontalem DC demittatur Perpendiculum PC ; Sc secutur DC in A, ut sit DA ad Ao ut resistentia medii, cX motu in altitudinem sub initio orta, ad vim gravitatis; vel quod perinde est ut sit rectangulum sub DAM DΡ ad rectangulum sub Ac M CP ut resistentia tota, sub initio motus, ad vim gravitatis. Asymptotis DC, CP describatur hyperbola quaevis GTBs secans Perpendicula DG, AB in G 8c B ; M compleatur Parallelogrammum Do Rc, CujUS lathas GR. secet AB in Q. Capiatur linea N in ratione ad QR, qua DC sit ad CP ; M ad recta
Nam redrangula Ca, z cm, en i ii ratione eum differentiis velocitatum illi rum nun:iuntur. Cum vero rectangula Ai, xl, Lm, Μis D metricd decrescant, eorum etiam daserentiae, sive d: flerentiae spatiorum n q, .gἐθ, Hω, ιmuti similiter deerescent : lioe eit pro rati rue distere ii rarum, quiluis velocitates corporis cadentis a maxima velocitate abstini. Si uili modo otiendatur dii serenita spatiorum, cr ae, aequalibus temporum disserentiis, corpus ascendendo consecerit, pro ratione suinime velocitatis eorporis ascendentis ves ocitatisque n:aximor, qu cum ascensum inchuaverat. decrescure.