장음표시 사용
301쪽
Dc punctum quodvis R erecto Perpendiculo RT, quod hyperbolsa in T, Τί rectis ΕΠ, GK, DP in I, t M v occurrat; in eo cape Vr aequalem Vel quod perinde est, cape Rr aequalem
DRTG perveniet ad Punctum Γ, describens curvam lineam DIGF, quam Punctum r semper tangit, Perveniens autem ad maximam altitudinem a in per Pendiculo AB, ἴc Postea semper appropinquans ad alymPtoton PC. Estque velocitas ejus in puncto quovis r ut curvae tangCnS rL. Q. E. I.
E1t enim N ad QB ut DC ad CP, seu DR ad RV ; ideoque Ruaequalis -M R= id ost Ru - vr, seu
Exponatur jam tempus Per aream RI GT, Sc perlogum Corol. 2.) distinguatur motus corporis in duos, Unum a tacensus, ait crum ad latus. Et cum resistentia sit ut motus, distinguetur etiam haec in partes duas partibus motus proportionales MContrarias : ideoque longitudo, a motu ad latus descripta, erit per Prop. II. hujus) ut linea DR, altitudo vero Per Prop. III. hujus ut arca ς , DRκAn-RDGr, hoc est, ut linea Rr. Ipsi, autem motus iniἰio area iiDGr aequaliS est rectangulo DR κ Ain, ideoque
302쪽
seu QB ad N, id est, ut CP ad Do ; atque ideo ut motus in altitudinem ad motum in longitudinem suis initio. Cum igitur Rr semper sit ut altitudo, ac DR sempor ut longitudo, atque Rr ad DR sub initio ut altitudo ad longitudinem : necesse est, ut Rr semper sit ad DR ut altitudo ad longitudinem, propterea ut corPUS moveatur in linea Dris F, quam Punctum r Perpetuo tangit q). Q. E. D. Corol. I. Est igitur Rr aequalis : ideoque si producatur RT ad x, ut sit stx aequalis id est, si compleatur Parallelogrammiam Ac Pr, jungatur DY secans CP in Z, M producatur RT donec occurat DY in x ς); crit xr aequalis - 'T, MPropterea tempori proportionalis. Corol. 2. Unde si capiantur innumcrae cli, vel, quod Perinde est, innumerae Zx in progressione geometrica ; erunt totidem X rin Progressione arithmetica. Et hinc Curva D/YZF Per TabUlam Logarit limorum facile delincatur. Corol. 3. Si vertice D, diametro DG deorsum producta, Sc latere recto quod sit ad 2DP ut resistentia tota ipso motus initio nil vim gravitatis, Parabola construa
irc debet de loco D secundum rectam DP, ut in medio UnisOrmi resistento describat Curvam D323F, ea ipsa erit qu1cum exire debet de codem loco D, secundum
303쪽
cst ob proportionales DR DC, eandem rectam DP, ut in spatio non resistente describat Parabolam. Nam latus rectum Para-lisae hiijus, ipso mollis initio, est; M vr cst stu
Recta autem quae, si duceretur, layperbolam GT S tangeret in G,
parallela est ipsi DK , ideoque
rectum, yyy I ' , prodit id est ob proportionales ini Sc
cx, DA M Ac '' - ideoque ad 2DP, ut DPκ DA ad CP κ AC; laoc est, ut resistentia ad graVitatem. Q. E. D. Corol. 4. Unde si corpiis de lOCo quovis D, data cum velocitate, secundum rectam quamvis positione datam DP projiciatur; M resistentia medii ipso motus initio detur: inveniri potest Curva DraF, quam corpus idcio describet. Nam ex data vclocitatu datur latus rectum Parabolae, ut notum cst. Et sumendo 2DP ad latus illud rectum, ut est vis gravitatis ad vim resistentuo, datur DP. Dein secando DC in A, ut sit CPκ Ac ad DPκDΛ in cadem illa ratione gravitatis ait resilientiam, dabitur punctum A. Et inde clatur
Corol. s. Et contra, si datur Curva D;DP, dabitur M velocitas corporis, & resistentia medii in locis singulis r. Nam ex data ratione CPκ AC ad DPκDA, datur tum resistentia medii sub initis mollis, tum latus rectum Parabolae : Sc inde licitur cliam velocitas
Nam recta ac, si ducta esset, illam DF: mediam divideret. Nempe eum omnis parallelo. grammi diagoniae se mutilo medias dividant. Qriare et re tam per pimetiim G duciam eum illa DκPariallelam, reeiis CA, CK hine illine oecurrentum, pune iam illium G mediam dividei et . Quare recta illa hypei bolam in ca contingeret. Hamilton. Conte. l.ib. 3. Prop. xxxv I. Nam ex eo quod modo probavimux, re tam pur Puneium G, quae cum reo a iiK Parallela sit. lyperbolam in o. eontingere, tequitur nascentcs τι, νει esse primo iii ter se aequales. scd propter parallelas cia, Rr. cii Ox : Ra Cia r Da. R 'anguluin igiIur c κ κ Da rectangulo cra κ Rr ae quale erit. Eidem igi:ur cx κ DR nalaetis illud ei, κ at primo quidem aequale crit. Unde τι '
304쪽
tas sub initio motus. Deinde LiataeX longitudine tangentis rL, da .RςV: P tur M huic proponionalis Uelocitas, M velocitati proporitonalis resistentia in loco quovis CoroI. 6. Cum autem longitudo 2DP sit ad latus rectum parabola: ut gravitas ad resilientiam in D ; Ω cx aucta velocitate augeatur resistentia in c1dem ratione, at latus rectum Parabolae αυgeatur in ratione illa
duplicata : patet longitudinem 2DP augeri in ratione illa simplici, ideoque velocitati semper
ProPortionalem esse, neque e X angulo CDP mutato augeri vel minui, nisi mutetur quoque --
Corol. 7. Unde liquet metho dus determinandi Curvam DI e X. Phaenomenis quampi mime, M inde colligendi resistentiam, Sc velocitatem quacum corpus Projicitur. Projiciantur corpora duo similia Sc aequalia eadem cum velocitate, de loco D, . secundum angulos diversos CDP, CDI, 8
cognoscantur loca F, I. Ubi incidunt in horiae antale Planum De . Tum, assumpta quacunque longitudine Pro DP vel Di, singatur quini resistentia in D lit ad gravitatem in ratione qualibet, S exponatur ratio illa Per longitudinem quamvis sal. Deinde per computationem c , cX longitudine illia assumpta DP, inveniant hic longitudines
305쪽
et et 'PHILOSOPHIAE NAΤURALI scis, . ,i longitudines DF, Q, ac de ratione V per calculum inventa, au-
1eratur ratio cadem Per experimentum inventa, 8c exponatur cli Dfercntia per Perpendiculum ΜN. Idem fac iterum aC tertio, a11 umendo semper novam resistentiae ad gravitatem rationem sM, M Colligendo novam differentiam MN. Ducantur autom illi -rcntiae assirmativae ad unam partem rectae SM, M negativae ad alteram ; M Per Ptincta N,
laris NNN secans rectam sMMΜ in X, Sc erit saevera ratio resistentiae ad gravitatem, quam in enire vortuit. Ex hac ratione colligenda est Iongitudo DF per Calculum; SI longitudo, quaa sit ad aTumptam longitudinem DP, ut longitudo DF per
experimentum cognita ad longitudinem DF modo inventam, erit Vcra longitudo DP. Qua inventa, habetur tum curva linea DrGI quam CorPus describit, tum corporis velocitas Sc resistentia in locis singulis. Scholium. Caeteriim, resistentiam corporum esse in ratione velocitatis, hypothesis est magis mathematica quam naturalis. In mediis, qu ea igore omni vacant, resistentiae corporum sunt in duplicata ratione velocitatum. Etenim actione corporis velocioris communicatur cidem medii quantitati, tempore minore, motus major in ratione majoris velocitatis; ideoque tempore aequali, ob majorem medii quantitatem
306쪽
quantitatem perturbatam, Communicatur motus in duplicata ra- Liπεκtione major; estque resistentia Per motus Leg. 2 8c 3. ut motus communicatus. Videamus igitur quales oriantur motus ex hac lege resistentiae.
SECTIO II. 'De motu corporum quibus ressi tur in duplicata ratione velocitatum. P R O P. V. T H E O R. III. Si corpori res itur in Celocitatis rarione duplicata. N idem solae ei insitae per medium similare movetur; tempora vero fumantur in
progressone geometrica a minoribus terminis ad majores pergenteo dico, qu)d velocitates initio singulorum temporum sunt in eadem
progressione geometrica inverse ; π quod spatia sunt aequalia, quae singulis temporibus defcribuntur.
Nam quoniam quadrato Velocitatis proportionalis cst resistentia medii, M resistentiae proportionale est decrementum velocitatis ;si tempus in PartiCulas innumeras aequales clividatur, quadrata velocitatum singulis temporum initiis erunt velo--Citatum earundem differentiis proportionalia. Sunto temporis Particulae illae AK, KL, LΜ, MC. in recta CD sumptae, erigantur Perpendicula ΑΒ, Κl, Ll, Μm, 8 c. hyperbolae Bl G, Centro C, asymptotis rectangissis CD, CH descriptae, occurrentia in B, k, 4 m, &c. M erit AB ad Kk ut CK ad CA, Sc divisim AB-ς ad xl ut AK ad c A, vicissim AB - Κst ad AK ut Kk ad CA, ideoque ut ABkKk ad AnκCA. Unde, CUm AKM ABκ CA dentur, erit AB Rhut ABkKk; Sc ultimo, ubi coeunt AB M ΚΦ, Ut ABq. Et simili argumento crunt K - Ll, LI-M MC. ut Kk quad. ta quad. 8ec. Linearum igitur AB, ΚΦ, Ll, vim quadrata sunt ut earundem disterentiae - ; Se idcirco cum quadrata
aequalia fient. Desilietur igitur pulictum p ducendo sM, eum asymptota cp parallelam, quae λb dein l.it aream sMa datae Eas aequalent. Q. E. D. N NI Ru M si Hyperbola ac motu rectae Aa, eum asymptota en paralle'ae, supera tela a mP . VOL. II. M in tot1
307쪽
drata velocitatum fuerint etiam ut ipsarum clytarentiae, similis erit ambarum Progressio. sequentes Ll, Μm, 8cc. M longitudines destri Ptae Per areaS LI, Mm, 8cc. Et composite, si temtras totum exponatur per summam partium suarum AM, longitudo tota descripta eXPonetur per summam Paritum suarum AMmB Ἐλ). Concipe jam tempus A Μ ita dividi in partes AK, KL, LM, MC. ut sint C A, C Κ, CL, c Μ, 8 C. in Progressione geometrica; Sc erunt partes illae in eadem progressione, M VelocitateS AB, ΚΦ, Ll, Μ ia C. in Progressione madem inversa, atquc spatia descripta Ast, ΚΓ Ll, 8cc. aequalia. Q. E. D. Corol. I. Patet ergo quod, si tempus exponatur per asymptoti partem quamVis AD, M Velocitas in principio temporis per ordinatim applicatam AB ; Velocitas in fine temporis exponetur per ordinatam PG, M spatiam totum descriptum per aream hyperbolicam adjacentem Am D ; necnon spatium, quod corpus aliquod eodem te ore AD, velocitate prim 1 AB, in medio non resistente describere posset, Per rectangulum ARNA D. Corol. 2. Unde datur spatium in medio resistente descriptum,
capiendo illud ad spatium quod velocitate Uniformi AB in medio non resistente simul describi posset, ut est area hyperbolica ABGD
tota ineedentis scribatur, fluxiones ineedentium Aa duplieatam ipsarum Aa rationem inter se eoninsumter servant. Propter datam enim rectanguli ea κ Aa magnitudinem fluxio ei ita nulla erit. Rectangula igitur c. π AB, CR κ AB, quorum utique differentia, siquidem ulla esset, fluxio esset rectanguli cA N Alliah:ee inquam rectangula inter se aequalia erunt ne fluat rectangulum cA N as, quod e natui a hyperbola: manet. Erit igitur Aa ad cA ut AB ad eA. Hoe est, fluxio rectae Aa erit ad fluxionem abicissae AC, in ΑΒ ad Cn. Ponatur Aa motu uniformi ferri. Itaque constans erit fluxio abscissae ac
Quo demonstrato, consequenS est etiam ut arcae, his lineis descriptae, sint in progressione Consimili cum spatiis quae velocitatibus describuntur. Ergo fi velocitas initio primi temporis AKeXPonatur per lineam AB, 8 velocitas initio secundi EL per lineam Κst, Mlongitudo primo tempore descripta per
aream AK B ἔ Velocitates omnes subsequentes exponentur per lineas sub-
308쪽
Corol. 3. Datur etiam resistentia medii, statuendo eam ipso mo-Lingatus initio aequalem esse Vi uniformi centripetae, quae in cadente FS' ' corpore, tempore AC, in medio non resistente, generare posset velocitatem AB. Nam si ducatur ΒΤ quae tangat hyperbolam in B, M occurrat asymptoto in T; recta AT aequalis erit ipsi Ac ς , M tempus exPonet, quo resistentia Prima uniformiter Continuata tollere posset Velocitatem totam AB. Corol. 4. Et inde datur etiam proportio hujus resistentiae ad vim gravitatis, aliamve quamvis datam Vim Centripetam. Corol. s. Et vice veria, si datur Proportio resistentiae ad datam quamvis vim centripetam ; datur tempus AC, quo Vis Centripeta, resistentiae aequalis, generare possit Velocitatem quamvis AB r Minde datur punctum B per quod hyPerbola, asymptotis CH, CD, oescribi debet; ut M spatium ABGD, quod corpus incipiendo motum suum Cum vel itate illa AB, tempore quovis AD, in medio
similari resistente describere potest. P R O P. VI. T V Ε Ο R. IU. Corpora obaerica homogenea N aequalia, res entiis in duplicata ratione velocitatum impedita, π yblis Oiribus insitis incitata, emporibus, quae sunt reciproce ut Celocitates sub initio, describunt, per aequalia spatia, de amittunt panes Gelocitatum propor
rionales totis. Asymptotis rectangulis CD, CH de-icripta hyperbola quavis, BbEe, secante Perpendicula AB, ab, DE, de, in B, b, E, e, eXPonantur velocitates initiales Per Perpendicula AB, DE, M tempora Per lineas Aa, Dd. Est ergo ut Aia ad
Dd ita per hypothesin DE ad AB, Mita ex natura hyperbolae c A ad CD ;
ine, eritque fluxio incedentis Aa ad re stam datam ut Aa ad e . . sive ut quadratum ex As ad rect angulum datum AR κ CA. Pari ratione eadem data recta erit ad fluxionem rectae Miu, ut As κ CAM quadratum ex ram. Ex aequo AB r Mm Aa : bim . Q E. D. Velocitates igitur, quarum fluxiones duplicatam ipsarum rationem inter se constanter se ant, lineis As, x , Ll, Μm, quibus similis est decrescendi lex, haud ineommode representari poterunt. hi Vide Lib. t. Sin. I. Lemma X. Not. s. Patet per Prop. xxxv I. Lib. t. Conicorum IIamiltoni.
309쪽
pe conηκmendo, ita CG ad CH Ergo areae ABba, DE 'd, hoc est, spatia clu- scripta aequantur Inter se, M velocitateS primae AB, DE sunt ultimis ab, de, M propterea, dividendo, Partibus etiam suis amissis, AB- , DE- PTOPorti nates. Q. E. D.
II. TII EOR. U. Corpora Boaerica quibus res itur in duplicata ratione velocisatum,t poribus, quae sunt ut motus primi direcce res enIM: primae
inverso amittent partes motuum proportionales Iolis, ω baria describent temporibus tulis G Celocitatibus primis conjunctim proso; Iionalia. Namque motuum partes amissi sunt ut resistcntiae M tempora conjune tim. Igitur ut Partes illae sint totis proportionales, debebit resistentia D tempus Conjunctim esse ut motus. Proinde tem pus erit ut motus directe M resistentia inverse. Quare temporum particulis in e1 ratione sumptis, corpora amittent semPer particis-las motuum Proportionales totis, ideoque retinebunt velocitates velocitatibus suis primis semper proportionales. Et ob datam velocitatum rationem, describoni semper spatia, quae sunt ut velocitatos primae M tempora Conjunctim. Q. E. D. Corol. I. Igitur si aequivelocibus corporibus resistitur in duplicata ratione diametrorum e globi homogenei, quibuscunque Cum velocitatibus moti, describendo spatia diametris suis Proportionalia, amittent Partes motuum proportionales totis. Motus enim
globi cujusquc exit ut ejus velocitas massa conjunctim, id est, ut velocitas u cubus diametri; resistentia per hypothesn erit ut
quadratum diametri M quadratum velocitatis conjunctim; M tempus per hanc propositionem est in ratione priore direm M ratione posteriore inverse, ist est, ut diameter directe Sc velocitas in vcrssi; ideoque spatium, tempori & Velocitati proportionale, est
ut diameter. Cores. a. Si aequivelocibUs corporibus resistitur in ratione QR
quiplicata diametrorum : globi homogenei quibuscunque cum ve-6 locitatibus
310쪽
trorum, amittent Partes motitum proportionales totis.
Corol. 3. Et universaliter, si aequivelocibus corporibus resistitur in ratione dignitatis cujuscunque diametrorum : spatia, ciuibus globi homogenei, quibuscunque cum Velocitatibus moti, amittent partes motuum ProportionaleS totis, erunt ut cubi diametrorum ad dignitatem illam applicati. Sunto diametri D M E ; Sc si resistentiis, ubi velocitates aequales Ponuntur, sint Ut D' Se Ε' : spa tia, quibus globi quibuscunque cum velocitatibus moti amittent
partes motuum ProPortionales totis, erunt ut Di M Et '. Et propterea globi homogenei describendo spatia ipsis Di Ω Ε3' proportionalia, retinebunt velocitates in eadem ratione ad invi Cem aC sub Initio.
Corol. 4. Quod si globi non sint homogenei, spatium a globodcnsiore descriptum augeri debet in ratione densitatis. Motus e nim, sub pari volocitate, major est in ratione densitatis, M tempus per hanc propositionem augetur in ratione motus directe, ae spatium descriptum in ratione temporis. Corol. s. Et si globi moveantur in mediis diversis ; spatium in medio, quod caeteris paribus magis resistit, diminuendum erit in ratione majoris resistentiae. Tempus enim per hanc propositionem diminuetur in ratione resistentiae auctae, M spatium in ratione
Momentum Genisae aequatur momenIis Laterum Angulorum gener an rium in eorundem larerum indices dignitatum N coepicientia con Iinue ductis. Genitam Voco quantitatem omnem, quae eX lateribus Vel ter minis quibuscunque in Arithmetica per multiplicationem, divisio. nem, Se extractionem radicum; in Geometria per inventionem vel contentorum Sc laterum, vol extremarum dc mediarum Proportionalium, sine additione M sul, luctione generatur. Quia modi quantitates sunt facti, quoti, radices, rectangula, quadrata, cubi, latera quadrata, latera Cubica, M similes. Has quantitate ut indeterminatas Sc instabiles, Sc quasi motu fluxuve Perpetuo crescentes vel.decrescentes, hic considero; re carum incrementa eL