장음표시 사용
311쪽
vel decrementa momentanea sub nomine momentorum intelligor ita ut incrementa pro momentis addititiis, seu assirmativis, ac decrementa pro subductitiis, seu negativis, habeantur. Cave tamen intellexeris particulas sinitas. Particulae finitae non sunt momenta, sed quantitatos ipsio ex momentis genitae. Intelligenda sunt Principia jamjam nascentia finitarum magnitudinum. Neque aaim spectatur in hoc Lemmate magnitudo momentorum, sed prima nascentium proportio. Eodem recidit si loco momentorum risurpentur vel velocitates incrementorum aC decrementorum quas etiam motus, mutationes M fluxiones quantitatum nominare licet) vel sinitae quaevis quantitates velocitatibus hisce Propo tionales. Latoris autem Cujusque generantis Coessiciens est quan 1itas, quae oritur applicando genitam ad hoc latus. Igitur sensus Lemmatis est, ut, si quantitatum quarumcunque Perpetuo motu Crescentium vel decrescentium Α, Β, C, MC. momenta, vel his Proportionales mutationum Velocitates dicantur a, θ, C, MC. momentum Vel mutatio geniti rcchanguli, AB, fuerit GA - θA; ia geniti contonii ABC momentum fuerit aBC - θAc ΦcAa r 8 genitarum dignitatum Ay, ΑΤ, A , A , Α , R , Αε, A A G Ω Α momenta 2G2ga A . 4GAΤ, laetaAl, iaA' , laΑ γ, -GA' , M - et GA l respective. Et generaliter,
ut dignitatis cujuscunque momentum fuerit GA . Item ut genitae Α Β momentum fuerit aaAAΦθA' ; M genitae A)B'c m mentum saA B'c' UA)A'c' - 2cA'B'C ; M genitae o, sive A'A ', momentum 3a A B --2bA Η ': M sic in caeteris. Demonstratur vero Lemma in hunc modum. f. I. Ιlectangulum quodvis motu perpetuo a1retum, AB, ubi de lateribus A M u deerant momentorum dimidia ἰa 8e fuit Α--a in B -τθ, seu AB-zaB-τθA- ab; M quam Primum latera A Sc B alteris momentorum dimidiis aucta sunt, evadit A εἰ a in ΒΦ b, seu AB aB εἰ ΘΛ ab. De hoc rectangulo subducatur rectangulum Prius, Sc manebit excessiis a AΦθA. Igitur laterum incrementis totis a Sc o generatur rectanguli incrementum aBΦθA. Q. E. D. CV 2. Ponatur AB semper aequale G; M Contenti ABC, seu GC,
momentum per Cas. I erit 'et co, id est si pro G Ag scriban,
312쪽
α79 tur AB M aBεθA aBC Φ bAC cAB. Et par est ratio contenti sub Liaeta lateribus quotcunque. Q. E. D. S cun f. 3. Ponantur latera A, B, C sibi mutuo semper aequalia; Mipsius A', id est rectanguli AB, momentum an ΦθA erit aaA ; ipsius autem Ain, id est Contenti ABC, momentum a BCΦθAC-cAB erit 3a Ala Et eodem argumento momentum dignitatis cujuscun-quc A' est naA' '. Q. E. D. f. 4. Unde cum in A sit I, momentum ipsius - ductum in A, una cum ducto in a, erit momentum ipsius I, id est, nihil. Proinde momentum ipsius seu ipsius A ', est Et generaliter cum in A' sit I, momentum ipsius ductum in A una cum in naA' ' erit nihil. Et propterea momentum ipsius D , seu Α erit- n. Q. E. D- f. s. Et cum A, in A, sit A, momentum ipsius A ductum in 2A erit a, Per Cas. 3 2 ideoque momentum ipsius A, erit sive ZaA x. Et generaliter si ponatur H aequale B, erit A aequale B', ideoque maA ' aequale nθB' , M maA aequale nθB' ,
seu nb A π ; ideoque et aA aequale θ, id est, aequale momento ipsius L. - Q. CV 6. Igitur Genitae cujuscunque, A B momentum est momentum ipsius A luctum in B , una cum momento ipsius B ducto in A , id est ma A si Φnba A ; idque sive dignitatum indices m M n sint integri numeri vel fracti, sive affirmativi vel negativi. Et par est ratio contenti sub pluribus dignitatibus. Q. E. D. Corα I. Hinc in continue proportionalibus, si terminus unus
datur, momenta terminorum reliquorum erunt ut iidem termini multiplicati Per numerum intervallorum inter ipsos M terminumdatUm. Sunto A, B, C, D, E, F continue proportionales ', M si detur terminus C, momenta reliquorum terminorum erunt inter se ut - 2A-B, D, 2E, 3 F. Corol. 2. Et si in quatuor proportionalibus duae mediae dentur, momenta CXtremarum erunt ut caedom extremae. Idem intellisendum est de lateribus rectanguli cujuscunque dati ..
313쪽
Corol. 3. Et si summa vel differentia duorum quadratorum detur, momenta laterum erunt reciproce ut latera. Scholium.
In Epistola quadam ad D. I Collinium nostratem Io Dccem 2 16 et data, cum descripsissem methodum Tangentium, quam 1
picabar candem esse cum methodo Stasi tum nondum communicata, subjunxi: Hoc es unum particulare, via Corollarium potius, m rhodi generalis, qme extendit se cura molesum udum calculum, non modo ad ducendum tavrantes ad qua is Cumas, sive Geon Iricas, sive Mechanicas, vel quomodocunque rectas lineas a lia e Cumas respicientes, verum etiam ad refomendum alia a diu ora Problematum genera de Cumitatibus, Areis, Longitudinibus, Centris Gravitatis Curvarum, πc. neque quemadmodum Huddenti methodus de Maximis N Minimisy ad solas refringitur aequationes illas quae quantuatibus furdis sunt immunes. Hanc mettiodum intertexui asteri Dii, quae
aequationum e Pola instruo, reducendo eas adseries insinuas. Hacternis Epistola. Et haec ultima verba spectant ad tractatum quem anno I 67 I de his rebus scripseram. Methodi vero hujus gen xalis fundamentum continetur in lemmate praecedente
Ρ R o P. VIII. T H E O R. VI. Si corpus in medio uniformi, gravi ate uniformiter vente, reciuascendat vel descendat, cst spatium totum descriptum di ingua-etur in partes aequales, inque principiis singularum partium famdendo ressi retiam medii ad vim gravitatis, quando corpus ascendis, zeli ducendo ipsam quando corpus descendit investigentur vires absolutae; dico, quod vires i in absolutae sunt in progressione geometrica. EXPonatur enim vis gravitatis per datam Iincam AC ; resistentia per lineam indefinitam Ax ; vis absoluta in descensu corporis Perclifferentiam KC ; velocitas corporis per Jineam AP, quae sit media P Portionalis
SPh.h m My iis is Hinne Seetin δα In literis quae mihi eum Geometra peritissimo G. G. Lennico annis abhine deeem intereedeis hant, eum fgnificarem me eompotem esse methodi determinandi Maximas ti Vinimas, ducendi Tangentes, & similia peragendi, quae in terminis surdis ae iubae in rationalibus proeederet, & literis transpostis hane sententiam involventibus f Datu aequatione quotcunque fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire, At vine versiiJ eandem eelarem : rescripsit Vir Clarissimus, se quo. que in eiusmodi methodum incidisse, & mei hodum suam communicavit a mea vix 'bludentem praeterquam
314쪽
proportionalis inter AK M AC, idcoque in subduplicata ratione resistentiae; incrementum resistentiae, data temporis Particula,
faetiam per lineolam KL, Se contemporan in Velocitatis incrementum Per lineolam PQA 8c centro C, a1ymptotis rectangulis, CA, CH, describatur hylγerbola quaevis BNs, crectis perpendiculis AB, KN, LO Occurrens in B, N, o. Quoniam AK cit ut AP 7, erit hujus momentum KL Ut illius
momentum 2APQ : id est, ut AP in KC; nam velocitatis incrementum P in Per motUS L g. 2.
Proportionale est vi generanti KC. Componatur ratio ipsius K L cum ratione ipsius KN, Τί si et rcctan-
perbolicae x No L ad rectangulum L LYLN ratio ultima, ubi coeunt Puneta L M L, eli aequalitatis. Ergo arca illa hyperbolica ovanescens est ut AP. Componitur igitur area tota hyperbolica ABOLex particulis ΚNOL Velocitati AP semper proportionalibus, Sc prosterca spatio velocitate ista doscripto proportionalis cst ς . Dividatur jam area illa in partes aequales AB MI, IMNK, KNOL, S C. M. Vires absolutae AC, Ic, Κ C, LC, S c. crunt in progressione geometrica. Q. E. D. Et simili argumento, in ascen si corporis, sumendo, ad contrariam Partem Puncti A, aequales areas AB. , ni, knes, iac. constabit quod viros absolutae AC, Q, kC, R, MC. sunt continue proportionales. Idcoque si si alia omnia in ascensuia descensu capiantur aequalia; omnes vires absolutae Κ, kc, Κ, AC, IC, Κc, LC, MC. erunt continue proportionales. Q. E. D. Corol. I. HinC si spatium descriptum exponatur per aream hyperbolicam ABNK ; cxponi possunt vis gravitatis, VelocitaS corporis, M ressilentia modii per lineas Ac, AP M AK respective; Zc vice Verta
praeterquain in verborum Ze notarum ' sormulis 3c Icta generationis quantitatum . Utriusque fundamentum continetur in hoc Lemmate. Ni NI Ruri, tempore aequabiliter fluente, area BAr.o ea lege fluit, ut illius siuxiones velocitatum corporis cadentis inter se rationes gerant. Sed tempore aequabiliter fluente, spatii, quod casu recto corporis consu itur, fluxisnes velocitatum quoque rationes induciat. Areae igitur EA Lo spatiique quod casu recto eorpori eonficitur, fluxiones prcetiorii ne inter se convenient. Area ieitur tria spatiumque,cem simul a nihilo generari ineeperint, proportione inter se eonvenient. Geometr. Flux. Prop. IV.
315쪽
cires. a. Et Velocitatis maXimae, quam corpus, in infinitum descendendo, potest unquam acquirere, exponens Est linea AC. Corol. 3. Igitur si in data aliqua velocitato cognoscatur resistenistia medii, itavcnietur velocitas maxima, sumendo ipsam ad vel citatem illam datam in subduplicata ratione, quam habet vis gravitatis ad medii resistentiam illam cognitam. P R O P. IX. THEOR. VII. Positis jam demorabatis, dico quod, si tangentes angulorum sectoris circularisqfoedioris operbolicisumantur velocitatibus proporIionales, exigunte radio jusae magnitudinis erit tempus omne asecendendi ad locum summum ut ferior circuli, ta tempus omneta frendendi d loco summo ut sector perbo e. Rectae AC, qua Vis gravitatis cXponitur, Perpendicularis M aa
qualis ducatur A D. Contro D, semidiam tro AD, describatur tum circuli quadrans AtE ; tum hyperbola rectangula A UZ axem habens AX, Verticem principalem A, M asymptoton DC. Ducantur , DP, Sc erit sector Circularis AtD ut tempus omne ascendendi ad locum summum; M sector hyperbolicus ATD ut tempus omne descendendi 1 loco summo: si modo sectorum tangentes Ap, ΑΡsint ut velocitates.
CV I. Agatur enim Duq abscindens sectoris ADt M trianguli Αυ momenta, 1eu particulas quam minimas simul descriptas, i 8c Dre. Cum particulae illae, ob angulum communem D, sunt in duplicata ratione laterum, erit particula IDυ ut id est, ob datam tD, Ut - t. Sed pD quad. est AD quad. Φ v quad. id est, AD quad. Φ ADκAst f , seu ΑDκ cst; M q. est AD κH. Ergo sectoris particula IDυ est ut-; id est, ut velocitatis decrementum quam minimum pq dirceth, M vis illa Ck, quae velocitatem diminuit, inverse; atque ideo ut Particula temporis decremento velocitatis respondens g . Et, Componendo, fit summa particularum
sive Ae quad. - Ae κ ia; id est sElem. II. 3. Ae κ es, sive propter AC, AD inter se aequalea, AD Y Cl. Nam fluxio velocitatis, erit ut vis illa quae vel itatem mutat. & fluxio temporis coniunctim. Quare fluxio temporis erit ut fluxio velocitatis directὸ et vis illa quae veIocitatem mutat, contrarie.
316쪽
escularum omnium tDv in sectore ADt, ut summa panicularum
temporis singulis velocitatis dccrescentis Ap particulis amissis torespondentium, usque dum velocitas illa in nihilum diminuta c-vanuerit; hoc est, sedior totus ADt est ut tempus totum ascenden-Hi ad locum summum. Q. E. D. f. a. Agatur Detu abscindens tum sectoris D Au, tum trianguli DAQ particulas quam minimas ΥDV M PDin; Sc erunt hae Particulae ad invicem ut DTq ad DPq, id est si Τx M AP paralleloe sint ut Dx3 ad DAq vel TXq ad APq, 8c divisim Ut Dxq-Υxq ad DAq - APq. Sed, ex natura hyperbolae, DXq - TXq est ADq,
Apet est AD κ ΑΚ. Ergo particulae sunt ad invicem ut ADqad ADq- AD κ ΑΚ ἰid est, ut AD ad AD- ΑΚ, seu AC adcx : ideoque sectoris Particula TDv cst
ideo ob datas AC SE AD, ut id est, ut incrementum volocitatis directe, utque vis generans incrementum inversu ; atque ideo ut Particula temporis incremento respondens y . Et componendo lit summa Particularum temporis, quibus omnes velocitatitis AP Particulo PQ generantur, Ut summa Particularum sectoris ATD, id est, tempus totum iit sector totus. Q. E. D. Corol. I. Hinc si AB aequetur quartae parti ipsius AC, spatium, quod corpus tempore quovis cadendo describit, erit ad spatium, quod corpus Velocitate maxima Ac, eodem tempore unimrmiter Progrediendo describere potest, ut arca ABNK, qua spatium ca-
317쪽
dondo descriptum exponitur, ad aream ATD, qua temPUS eXγ-nitur. Nam cum sit AC ad AP ut AP ad AK, erit Per Corol. I. Lem. a. hujus) Lu
hoc est, ut et AP ad Ac, M inde LΚ ad Pin ut AP ad Z AC, vel AB ; est M LN ad AC, Vel AD, ut AB ad cn ; itaque e aequo I K No ad DPQ ut AP ad CR. Sed erat DPQ ad DTu Ut CK ad AC. Ergo rursus ex aequo Et Lx No est ad DTV ut AP ad AC ; hoc est, ut velocitas corporis caduntis ad velocitatem maximam, quam corpus cadendo Potest acquirere. Clim igitur arearum ABNK M ATD momenta, LΚNo M DTu, sunt Ut Velocitates, crunt arearum illarum partes omnes simul genitae ut spatia simul descripta, ideoque areae totae ab initio genitae ABNK M ATD ut spatia tota ab initio descensus descripta. Q. E. D. Corol. 2. Idem Consequitur etiam de spatio, quod in ascensu describitur. Nimirum quod spatium illud omne sit ad spatium, uniformi cum velocitate AC eodem tempore descriptum, ut est area ABnk ad sectorem ADt. Corol. 3. Velocitas corporis tempore ATD cadentis est ad velocitatem, quam eodem tempore in spatio non resistente acquireret, ut triangulum APD ad sectorem hyperbolicum ATD. Nam Velocitas in medio non resistento foret ut tempus ATD, M in medio resistonte ost ut AP, id est, ut triangulum APD. Et Velocitates illae initio descensus aequantur inter se, perinde ut areae illae ATD,
Cors. 4. Eodem argumento velocitas in ascensu est ad volocitatem, qua corpus codem temPore in spatio non resistonte omnem suum ascendendi motum amittere Posset, ut triangulum ApD adsuctorem circularem AID ; sive ut recta Ap ad arcum Atia
318쪽
Corol. 5. Est igitur tempus, quo corpus in medio resistente cadendo Velocitatem AP acquirit, ad tempus, quo velocitatem maxi- Sμ' ' 'mam AC in spatio non resistente cadendo acquirere posIet, ut sector ADT ad triangulum ADC : M tempus, quo Velocitatem V in medio resistente ascendendo possit amittere, ad tem Pus quo Velo- Citatem eandem in spatio non resistento ascendendo IMTet amittere, ut arcus At ad ejus tangentem Ap. Corol. 6. II inc ex dato tempore clatur spatium ascensu vel descensu descriptum. Nam corporis in infinitum descendentis clatur velocitas maxima per Corol. 2 8 3. Theor. VI. Lib. 2. indeque datur tempus quo corpus velocitatem illam in spatio non resistente cadendo posIct acquirere. Et sumendo sectorem ADT, Vel ADt, ad triangulum ADC in ratione temporis dati ad tempus modo inventum; dabitur tum velocitas AP Vel Ap, tum area ABNK vel ABnt, quae est ad sectorem ADT vel ADt ut spatium quaesitum ad spatium, quod tempore dato, cum volocitate illa maXima jam ante inventa, uniformiter describi potest. Corol. 7. Et regrediendo, ex dato ascensus vel descensus spatia ABnk vel ABNK, dabitur tempus ADt Vel ADT.
PRO P. X. P R O B. III. Tendas uniformis Cis gravisa is directe ad planum borizontis, si quere iresia ut medii densetas ta quadrarum velochalis conjinesim . requirisur Ium medii densias in locis gulis, qua faciat ut cor pus in data quavis linea curoa moveaIur; tum corporis Uclo A
tas N medii res entia in locis gulis.
Sit PQ Planum illud plano schematis perpendiculare ; PFH Q li
in Punctis P M QI G, H, I, Κ loca quatuor corporis, in hac Curva, ab F ad in Pergentis I M. CB, HC, ID, RE Ordinatae quatuor parallelae ab his punctis ad horigontem demisistae, M lineae horizontali PQ ad Puncta B, C, D, E insistentus; SE sint BC, CD, DE distantiae ordinatarum inter se aequales. A P HV
nea curva Plano huic Occurrens
319쪽
tis o M H ducantur rectae, GL, HN, Curvam tangentes in o M II, Sc ordinatis, CH, DI, sursum Productis occurrentcs in L M N ;8c compleatur Parallelogrammum ΗcDΜ. Et tempora, quibus Compus describit arcus GH, HI, erUnt in subduplicata ratione altitudinum, LU, NI, quas Corpus temporibus illis describere posset, a tangentibus Cadendo; ia velocitates erunt ut longitudines destri Plae, GH, Hi, directe, M tempora inversu. EXPOnantur tem-
Iocitatis, tona Pore t factum, cXPonetur Per Hoc decrementum oritur a resistentia corpus retardante, Sc graVitate corpus accelerante. Gravitas, in corpore cadente M spatium NI cadendo describente, generat velocitatem, qua duPlum illud spatium eodem tempore describi potuisset, ut Galilaeus domonstravit; id est, Velocitatem -- : at in corpore arcum H I describente, auget arcum illum sotti longitudine Hi-HN, seu - ; ideoque generat tantum velocitatem Addatur haec Velocitas ad decremcntum praedictum, Τί habebitur decrementum Velocitatis ex resistentia sola oriundum, nomPc-- π Φ πο . Proindeque cum gravitas eodem tempore in corpore cadente generet velocitarem
Centro ii, rad o uv, scribatur artus eireularis N , qui Curvae it in n currat. Eoanescente arcu Hr, erunt MN, Ma ultimo aequales. Unde ui -HN et. Angulus autem Du, eum recti s ultimo fiat, recto ibiti erit ultimo aequalis. Anguli. mire M i is figuris duabus HIN, n N est communis. Quare eis vanescente areii iii, fgurae illae ultimo fiunt triangula, inter se similia, eontra-HE potita. Quare lineis rur, an, eadem quae illis ut, Im erit ratio ultima. Restangilla igitur Mi κ MI, ui κ in ultimo inter se aequalia. Unde in, sive
320쪽
- ; resistentia erit ad gravatatem in
Iam pro abscissis CB, CD, CE scribatur-o, O, Io. Pro ordinata cH scribatur P, M pro MI scribatur series quaelibet sto Roo so lac. Et seriei termini omnes post primum, nempe Roo Φsoy 8cc. erunt NI in , M ordinatae DI, ΕΚ, M BG erunt P QO
o I - QO - - sunt arcus GH M HI. Praeterea, si ab ordinatachi subducatur semisumma ordinatarum BG aC DI, M ab ordinathni subducatur semiiumma ordinatarum CH M ΕΚ, manebunt arcuum GI M HK sagittae, Roo, Sc Roo 3so . Et hae sunt lineolis Lit& NI proportionales, ideoque in duplicata ratione temporum infinitδ parvorum T M te M inde ratio est seu -; M, substituendo ipsorum GH, HI, MI M NI V
Velocitas autem ea est, quacum corpus de loco quovis H, Ω-cundio tangentem H N egrediens, in parabola, diametrum.Hc M.