장음표시 사용
321쪽
tatus rectum seu αγ' η) habente, deinccps in vacuo moveri Potest. Et resistentia est ut medii densitas Τί quadratum velocitatis conjunctim; te propterea medii densitas cit ut resistentia directe M quadratum velocitatis inverse, id est, ut aqkii lirecte, M
inverse, hoc est, Ut -- Q. E. I. Corol. I. Si tangenS HN Producatur Utrinque donec occurrat ordinatae cuilibet AF in Υ : erit aequalis , I in QT ' , ideoque in
superioribus Pro σ1 ε iust scribi potest. Qua ratione resistentia erit ad gravitatem ut 3SκHT ad 4RR κ AC, Velocitas erit ut
ia medii densitaS erit ut st ni, Corol. 2. Et liinc, si curva linea PFH in definiatur per relati nem inter hasem, seu abscissam, AC, Sc ordinatim aPPlicatam Cis, ut moris est ; Ω valor ordinatim applicatae Tesblvatur in sericm conVCrgentem : Problema per primos strici terminos expedite solvetur, ut in Exemplis sicquentibus. Exempl. I. Sit linea PFH Q semicirculus super diamctro Pindescriptus, Fc requiratur medii densitas, quae faciat, ut Projectile
Hujusmodi series distinguo in terminos successivos in hunc modum. Terminiam Primum appello, in quo quantitas in sinito Pa a o non e tat; secundum, in quo quantitas illa est unius dimensionis; tertium, in quo extat duarum; quarium, in quo trium
s Nempe bire'. Sed et evanescente en, vel o, NM α de ultimo, et
322쪽
um est; M sic in infinitum. Et Primus terminiIs, qui hiC est e, Line denotabit semper longitudinem ordinatae, ces, insistentis ad initium ' '' 'indefinitae quantitatis o. Secundus terminus, qui hic est P, denotabit differentiam inter CH M DN, id est, lineolam MN, quae abscinditur complendo parallelogrammum H CDΜ, atque ideo PO-sitionem tangentis Hr; semper determinat; ut in hoc casu capiendo MN ad HM ut est -- ad o, seu a ad e. Terminus tertius, qui Ι1lc cst designabit Encolam IN, quae jacet inter tangentum Sc
Curvam; ideoque determinat angulum contactuS I HN, seu cu Vaturam qUam curva linea habet
in ii. Si lincola illa IN finita est magnitudinis, designabitur Per
terminum tertium Una cum 1equentibus in infinitum. At si lineola illa minuatur in infinitum, termini sequentes evadent insinite minores tertio, ideoque negligi possunt. Terminus quartus determinat Variationem curvaturae, quintus variationem variationis, M sic deinceps. Unde obiter patot usus non contemnendus harum serierum in solutione Problematum, quae pendent a Tangentibus M Curvatura Curvarum q). Conseratur jam series e - - - - Scc. Cum serie P-Qo- Roo-SoΤ- MC. M Perinde Pro P, Q , R M s, scribatur ' M
ia pro σ1 ε L scribatur 1 - , seu *; 8c prodibit modii de stas ut ' , hoc est ob datam 1 ut θ, seu id est, ut tangentis
longitudo illa HΥ ), qudo ad semidiametrum AF ipsi PQ norma liter insistentem, terminatur: Se resistentia erit ad gravitatem ut
Vide Analys. per AEquat . Infin. Cop. III. I s. εc Geometr. Λnalve. Cap. I. I 8. Confer l .ili. I. Sin. t 3. Selicilium, de Scholium ad finem Libri De Quadratura Curvarum. Nimirum iuncta Aii essiceret triangula duo Α1ic, Alix inter se sit ilia. propter anguliss ad
323쪽
siet ad 2n, id cst, ut 3 AC ad Circuli diametrum Pin: Velocitas autem crit ut , CH. Quare si corpus justa cum velocitate secundum lineam ipsi PQ Parallelam exeat cle loco F, 8c medii densitas in singulis locis, is, sit ut longitudo tangentis IIT, Se resistentia
otiam in loco aliquo II sit ad vim gravitatis ut 3 AC ad PQ , corPUS illud describet circuli quadrantem. v c D L in FHQ. Q. E. I. At si corpus idem de loco P, secundum lineam apsi PQ perpendicularem egrederetur, M in arcu semicirculi PT in moveri inciperet, sumenda esset AC, seu a, ad contrarias partes centri A ; M propterea signum ejus mutandum essui, M scribendum - a Protin a. Quo pacto Prodiret modii densitas ut - Negativam autem densitatem, hoc est, qUM motus corporiam accelerat, natura non admittit: M Propterea naturaliter sieri non Potest, ut corpus, . ascendendo a P, describat circuli quadrantcm PF. A l hunc essec tum deberet corpus a medio impellente accelerari, non a re si 1tente
Ex a. Sit linea PFQ Parabola, axem habens AF horizonti :PQ Perpendicularem, Sc requiratur medii densitas, quae faciat ut projectile in ipsa moVcatiar. Ex natur1 Parabolae, rectangulum PDQ , , aequale est rectangulo sub ordinata Di Scrc Ita aliqua data: hoc cit, si dicantur recta illa θ; PC, a; PQ , c; CH, e; M CD,
Di, idcoque Di aequale o- Jam scribendus esset hujus scrici secundus terminus o Pro Q , tertius item termi nus Pro Ruo. Clim Vero Plures non sint termini, debebit quarti cocssiciens s evanescere; M Propterea quantitas --L--, Cui me-ὰ dii
Et vix nragis naturaliter fieri possit, meo saltem iudieio, ut corpus, E loco P proiceriim, Per circuli
324쪽
densitate movebitur projectile in Parabola, uti olim demonstravit Exempl. 3. Sit linea AGK Hv-Perbola, asymptoton habens Nxplano horizontali AK Perpendi- Cularem; Sc quaeratur medii densitas, quae faciat ut Projectile moveatur in illic linea. Sit Mx asymptotos altera, o clinatim applicatae DG productae occurrens in V; M ex natura hyperbolae, rectangulum xv in vo dabitur. Datur autem ratio DN ad VX, M propterea datur C-tiam rectangulum D N in VG. Sit illud ob: M completo parallelogrammo DNXZ ; dicatur BN,G; BD, o ; NX, c; M ratio data vZ ad Zx, Vel DN, ponatur esse . Et erit D N aequalis a-o, VG aequalis UZ aequalis a-o, M
Gallaeus. Q. E. I. minus secundus ' o z. o usurpandus est pro sto, tertius cum signo mutato - o' rro Sc quartus cum signo etiam mutato - ΟΤPTO SO', CorumqNe Coessicientes - - - , n Ω - scribendae sunt in regula superiore Pro Q , R Sc s. Quo facto prodit medii densitas iit
vireuli quadrantem retdeseratur. Cum ad triem corpo is mcitum ea opus esset materi:e, prenuam Iter ei laetendum esset, densitate, quae in loeo lumino r nulla esset, in loco ubnsnita.
325쪽
PHILOSOPHIAE N ΛΤ URALI sipsarum x et M aY quadrata . Resistentia autem invenitur in ratione ad gravitatem quam habet 3xY ad et Yo v); M velocitastix ea est, quaCum corpus in Parabola Pergeret Verticem G, diametrum D G, M latus rectum
si habente ). Ponatur itaque, quod medii densitates in locis singulis G sitit reciproce ut distantiae XY, quodque resistentia in loco aliquo G sit ad gravitatem ut 3 XY ast 2YG; M corpus V de loco A, justa cum velocitate omissum, describet hyperbolam illam AGK. Q. E. I. Emem . 4. Ponatur indefinite, quod linea AGK hyperbola sit, Centro X, asymPlotiS MX, NX, ea lege destripta, ut, constructo rectangulo XZDN, cujus latus ZD secet hyperbolam in G asymptoton
Caeterum dentitatem materiae, per quantitet eorpori faciendum esset, quod cursu suobyperbolam Accseriberet, meum quantitate - proportione eonvenire, elegantius longh ad hunc modum conclusedetur. Recta το producta cum asymptota xv in P concurrat. Erunt τG, GP inter se aequales. Ηamil. ton. Conic. Lib. I. Pris. xxxv I.1 Ac Proinde, cum Parallelae sint vG,.xτ, erunt ru, v x inter sex. quales. Sed va, v v inter se aequales. Id enim factum est. Duae igitur ru, vs, duabus xv, v Ysingulatim sunt aequales. Angulusque κνY angulo Euci aequalis- Ei .. I. xs. Quare x ,. FG EhI. 4. ac Proinde xv, GT erunt inter se xsuales. D.nsitas igitur, si lar ex Corollario a'. quantitatis
rationem servabit. NIMla ubi evanescente recta BD, ut illae EN, DN ultimo aequales sant, renixus materiae strit ad vim gravitatis sper Cor. r. ut 3s κ GT ad 4RR N MN ; hoc eli, cum aequales sint GT, XY Not. ut 3ι κ xY ad 4 2 κ BN ; sive ut - Μ xv ad - κιν, hoc est ut 3axY, sive 3RN κ xY ad 4b L.
326쪽
symptoton ejus in V, fuerit vo reciproce ut ipsius Ex vel DN dignitas aliqua DN', cxijus indeX est numerus =i r 8 quaeratur medii densitas, qua Projectile progrediatur in hac Curva. Pro BN, BD, NX scribantur A, O, C respective, sitque vZ ad x Z vel DN ut d ad e, M VG aequalis erit D N aequalis A - ,
seriei terminus secundus - Ο -- Ο usurpanduS est Pro QO, ter
η , ideoque si in v Z capiatur UY aequalis nκ VG, densitas' illa ost
nixus igitur materiae erit at vim gravitatis, in loco utique o, ut 3xY ad aYG. VEL cITAs enim eorporis, Epuncto a hyperbolae egredientis, ea erit, quacum secundum ductum parabolae diametro DG, latere recto cujus symbolum csIet -, corpus idem Per inan
serri possit. At vero per Corollarium primum Φ sto f. Ultimo scilicet evanescenteno, ut illae BN, DN aequales habeantur. Et R, E natura hyperbolae, Unde J-1 28--.
lint, et illud ' . - huic fit ultimb aequale. Quare sive latus metum parabolae
327쪽
M ZY quadrata *δ . Resistentia autem in eodem loco G sit ad gravitatem Ut 3 S in ad 4RR, id est, ut XY ad - vG 'μ' . Et velocitas ibidem ea ipsa est, quacum corpus projectum in Parabola Pergeret, Verticem G, diametrum GD, M latus rectum seu* γ habente ςς . Q. E. I.
328쪽
Eddem ratione qua prodiit dentitas medii ut si in Corollario primo, si resistentia ponatur ut Velocitatis, v, dignitas qua:libet v , prodibit densitas medii ut -2- κ ' Et propterea si
- Curva inveniri potest ca lege, ut data fuerit ratio ad
s M PEL Formula, per quam vis renitentis materiar ait vim gravitatis rationem Ne .utomis reprae uniari docuit, ea quam maxim) generalis elle ac quaecimque tuerit lux, qua vim illam renixus veloe laribus attemperari ponas, ratio vis ejus ad vim gravitatis senipur ea crit, quae quantitatis 3s Vi Φ Dr ad quantitatum 4RR r quantitatibus utique illis, s , α, R, pro varia lege renixus varii 3. Velocitas quoque quacum corpus per Curvam Pnebatum Vid. iig. p ai loco ii di cedit, . pro omni lege renixus, ea erit quacum ex eodem loco νι secundum rectam MN Emitti oporteret, ut seeundum duetum Parabolae, diametro uc, latere rceto cujus illud ---γ6mbolum esset, pecinane ferri possct. Denique, quaecimque fuerit lex renixus, manet aequatio illa, Corollario primo constituta, .
Quaecunque igitur metit renixus lex, velocitas quantitatis Irita rationem subduplicatam servabit, secundum doctrinam Galilaei. Erit igitur velocitas ut Ponamus igitur renixum esse ut densitas materiae et potestas velocitatis 1 numero n denominata coniunetim, hoc est Iiteria r renixum signifieante, litera i, densitarem, litem v velocitatem, ponamus r esu ut DR v ; itaque erit D ut . At vero cura r sit ad vim gravitatis aequabilein ut 3si i ad 4 2, si pro vi illa aequabili gravitatis ponatur i, erit ν ' L - - IL κ . Rursum veli itas
H:lius igitur quantitatis ratibnem, it a D, sive densitas materve, constanter servabit. Propter numeres autem 3, 4, datos, huius etiam, - - κ --, eadem Pa
329쪽
PIII LOSOPHIAE NATURALI svcl-: ad I ε ini': corpus movebitur in hac Curva in uni λ mi medio, cum resistentia quae sit ut velocitatis dignitas u . Sed
redeamus ad Curvas simpliciores. Quoniam motus non fit in Parabola nisi in medio non resistente,
in Hyperbolis vero hic descriptis sit per resistentiam perpetuam; perspicuum est, qciod linea, quam projectile in medio uniformiter resistente describit,' propius accedit ad hyporbolas hasco quam nil parabolam. Est utique linea illa hyperbolici generis, 1 ed quae circa verticem magis distat ab asymptotis; in partibus 1 vertice remotioribus propius ad ipsas accedit, quam Pro ratione hyperbolarum quas hic descripsi f . Tanta vero non est inter has Millam deserentia, quin illius loco possint hae, in rc bus praeticis,
non incommode adhiberi. Et utiliores sorsan futurae sunt hae, quam hyperbola magis accurata Sc simul magis composita. Ipsae vero in usum sic deducentur. Compleatur parallelogrammum XVGΤ, recta GΤ tanget hyperbolam in G, ideoque densitas modii in G est reciproce ut tangens GT, M velocitas ibidem ut resisterilia autem ad vim
graVitatis ut GT ad . . , ' In GV.
Proinde si corpus do loco A secundum rectam AH projectum describat hyperbolam AGK, M AII producta occurrat asymptoto Nx in H, actaque AI eidem Parallela occurrat alteri asymptoto MX in I: erit medii densitas in A reciproce Ut AII, 8 corporis velocitas ut ac resistentia ibidem ad gravitatem ut Aia ads Cura nulla tamen earum omni ex parte eonveniet. Clim corporis per quamlibet earum motus eam mitulaverit niateriae eir in suis: densitatem, eui immutabili esse non liceat, siquidem octae mutabilis xv rationem contrariam necesse est ea constante r servet. Le Mur ου Dcquier ad PUTAeorpori. h loco A, secundum tangentem Al , ea cum velo. citate projecto. quaeum projiciundum csiet corpus :illud, quod, per materiam varie in variis locis, lege qua oporteret, condensatam, per hypertini u i AGκ vid. fig. text. p. '07ὶ incederet, hae in tu ira velocitate, ὲ li,eo A, secundum tangen.em Au, Proiecto corpori per materiam, nis rini quadam densit te praeditam, puta iter faciundum esse. Jam Is si densitas illa uniformis ea sit, quae, corpore per hyperbolam Aci ς in ἀeedente, maximam ii Cur minimumque m toriae circi infusae dentitatem media esset, iisnsitas materiae circa locum A. quae motum corporis pur liyperbolam illam praestaret, uniformi iii dentitate minor esset, ob tangentem Aii medii, si ita dicam. tangente majorem. Renixus igitur niliteriar unii orna s, per quam corpus iter facere potuimus, ita loco A, renixu illo
qui motum per i perbolam AGac praestaret, validior. Impetus igitur eorporis v loco A projecti in
330쪽
in AI. Unde prodeunt sequentes regulae. Reg. I. Si servetur tum medii densitas in A, tum velocitas quaeum corpus projicitur, Sc mutetur angulus NAH; manebunt longitudines AH, AI, HX V . Ideoque si longitudines illae in aliquo casu inveniantur, hyperbola deinceps ex dato quovis angulo NAH expedite determinari potest. Reg. 2. Si servetur tum angulus NAH, tum medii densitas in A, M mutetur Velocitas quacum cornus Projicitur; servabitur longitudo AH, M mutabitur AI in duplicat 1 ratione velocitatis reci-
Reg. 3. Si tam angulus NAH, quam Corporis Velocitas in A, gravita'UC aC- celeratrix scrvetur, Sc Proportio resistentiae in A ad gravitatem motricem augeatur in ratione quaCUn-que ς augebitur Proportio AH ad At in cadem ratione, manente Parabolae praedi tae latere recto, eique Proportionali longitudine Sc propterea minuetur AH in eadem ratione, M AI minuetur in ratione illa duplicata 'Τ', . Augetur Vero Proportio resistentiae adan materisi uni sarmi citius languescet, et corpus per Curvam quandem, ALN, seretur hyperbola AGK parte saliena ascen dente interiorem, ut in figura hic apposita. Curva igitur interior, circa verticem deprellior, ampliore sinu brachia pandens, asumptotas. ias proprias utique habinit, infima parte, propiu, accessura est, quam hyperbola illa tuas.
i γ NAM data densitate dabitiir Au. Datuque velocitate dabitur recta-. Quae si dieatura, erit quadratum ex AH refrangulo At κ a aequale. Quadratum autem ex data An dabitur. Da hitur igitur rectangulum Ar ΜΛ. Redia autem a data. Quare et AI. Rectarum autem H x, AI ritia ratio data. Nam si producatur u A euilum usque asymptotaex M, e natura hyperholae LGA, Pars illa omnis tangentis ii A, quae duabus alumptor is xx, x M intercepta est, ad partem illam quae a Puncto contactus, A. ad asymptotam x M pertingit, rationem habet quam numerus nin i ait r. Quare et M x ad AI eandem numeri κΦ t ad a rationem habebit. Rectae igitur rix ad rectam Aietatio data. Data igitur illa hi, dabitur quoque Ilx. Dat. a. Tres igitur Au, AI, Ηx magnitudine singulatim datae. 4 E. D. ' Exν Arua lectat datae ei jusvis longitudinis. Sit Rr alia recta ea lege mutabilis, ut recta Rr ad datam x rationem semper habeat, quam vis motrix renixus in loco A ad vim motricem gra- itatis. Datoque angulo NAH, dataque etiam eorpo:is, h loco A projecti, velocitate ; fuit An, A