장음표시 사용
331쪽
PHILOSOPHIAE NATURALI sad pondus, ubi vel gravitas specifica sub aequali magnitudine fit
minor, vel medii densitas major, vel resistentia, ex magnitudinc diminuta, diminuitur in minore ratione quam pondus. Re t. 4. Quoniam densitas medii prope Verticem hyperbolae major
rectarum Au, At magnitudines, quas proportio illa vis renixus ad vim motricem gravitatis, quae eadem si quae rectae Rr ad rectam .e, Postulaverit. Vi autem renixus ratione gravitatis motri eis ita alti tu, ut Rr in ne increverit, rectae AH, At magnitudines alias, AII, ΑΓ sint adeptae. Dieit xv tenti , li augeatur vis renixus ratione graVitatis, rectam Au imminui; hoc est si κε major stquam Rr, elle ΑΗ minorem quam All. Dicit citam AI eadem ratione minui, qua quadratum ex Acminuitur; hoe est, exiliente Re majore quam Rr dicit AI minorem esse quam At, et tali quidem xatione minorem, ut sit AI ad AI ut quadratum ex AH ad quadratum ex An. Dicit denique A: eadem ratione minui qua Rr augetur ; hoc est, dicit AH e sic ad AH ut Rr ad Ri. Nos autem ea, quae Newtonus assirmavit, Ostendimus hoe modo. Dato angulo NAH, propter rectam AN politione datam punctum-- que R datum, recta AH Positione data erit. Dat . a 9. Dataquet e velocitate illa quacum corpus e loco Λ emissum cst, Parabola, cu-------------- ius ductum coi Pus ex e dem l O A, secundum rectam positiundo datam Au eum data illa velocitate projectum, Per inane sequere-L tur, hae inquam Paralaola politione dabitur. Quare latus ejus rectum ad verticem A magnitudine dabitur. Huic aequalis sit reeta L. Recta igitur L magnitudine data. Sed quadrata ex AH, AH rectangulis ΛIR L, Ai κ L singulatim sunt aequalia. Vid. Exempl. 4. Not. R. Quadratum igitur ex ΑΗ ad quadratum ex An eam habet rationem quam rectangulum AIκL ad rectangulum RI κ L, sive eam quam Αἱ ad AI. Iam vero eum Re major fit quam Rr, major est Re quam ut habeat ad rediam g rationem eam quam Rr ad g. Sed R. est adg ut HI ad -- AI; et strest ad t ut
n Φ a Ai Exempl. 4. Not. . Maior itaque est AII quam ut habeat ad
. Habet autem --- AIπΦ a AI rationem eam quam Ar ad ipsam A I. Ex aenuo bn Φ a Igitur major erit AH quam ut habeat ad AI rationem eam quam AH ad AI. Permutando ΑΠ major quam ut habeat ad Au rationem eam quam AI ad Ai. Sed AI ad Λi rationem habet quam quadratum ex ΑHad quadratum ex Av. Id enim supra ostensum.) Major igitur Au quam ut habeat ad AH rationem eam quam quadratum ex AH ad quadratum ex An. verum ut AH ad AH ita erit quadratum ex AH ad rectangulum A II κ λ ii. Quadratum igitur ex AH maius est quam ut habeat ad rectangulum AIIκ Au rationem eam quam idem quadratum ex AII ad quad. atum ex ΛΗ. Rectangulum igitur AHκ Au quadrato ex Au minus erit. El. v. a .ὶ Arque idcirco rueta Auriata Au minor. Ex eo igitur quod ste majorem posueramus qulam Rr, probavimus AH minorem esse quam Au. Crescente igitur xr, id est crescutite vi renicios ratione gravitatis morticis corporis proiecti, Au minuetur. Quod primo de
Dicit piaeterea Neretonus, rectam AI eadem ratione minui, qua quadratum ex Ati minuitur. Id vero ex proportionis conveni cn:ia illa, quam quadraLis ex AII, Au cum rectis APAi intercedere supi a ostendimus, saris paret.
332쪽
major est quam in loco Λ ; ut habeatur densitas mediocris, debet Linstaratio minimae tangentium G Τ ad tangentem Aia inveniri, Sc den Sy sitas in Λ augeri in ratione paulo majore quam semisummae harum tangentium ad minimam tangentium GT Τ).
Dicit etiam Neutonus illam An eadem ratione minui, qua vis renixus in loco A ratione portiteris augetur. Hoe est AII esse ad Au ut Rr ad Re. Id vero ite ostendimus. Capiatur Ab duaru in AL.At proportione media. Erit igitur quadratum ex AI ad quad: atum ex Ab in AI ad Ai. Sed AI est ad AI ut quadratum ex AII ad quadratum ex AR. si lenim supra otiensum Quadratum igitur ex AH est ad quadratum ex Au, sicut quadratum ex AI ad quadratum ex Ab. El. v. o. Ae proinde AII erit ad Au ut AI ait Ah; sive ut Ab ad AI. Est autem Rr ad I ut AH ad E- Ai:
sve ut A v κ AI ad 2 22 κ AINAI. Rursum g est ad R ut ---- ΑΙ π AI ad AIIκ Ar.nina ni a Ex aequo igitur Rr : Rρ ' Au κ AI ad AIIκ AI. Quare illa Rr ad ne rationem habet e rationibus rectae A I ad AI rectaeque Au ad AII compositam, Vul, cum Ail sit ad AH ut At ad Ab, compolitam e rationibus rectae A I ad Ar rectaeque Aa ad Ab. Verum ex eis lem composita est ratio rectae ΑΙ aut Ah. Erit igitur Rr ad Re ut AI ad Ab, hoc est ut HI ad Au. E. D.
Sit Curva quaevis A ac, cuius basis EF, ordinata rv. Fluente quovis modo basi Er, dico ordinat. e FB fluxionem secundam vel politivam esse, vel negativam, prout Curva ABC hasn EF conis vexa, vel concava, in loco a respiciat. Ducatur enim per B recta KL, quae Curvam in D eontinisgat, ordinatisque duabus Hi , GC, 1 eontrariis partibus ordinat ae nr liostis, in punetia Κ, L currat. Ducatur etiam Per punitum n recta NMeum basi zr parallela, quae ordinatis eisdem in punctis N, γε occurrat. Jam evanescentibus rectis Fit, I G, ordinatarum utique o c. MD 1 media ra distantiis, ructae M L, NK fluxionum ordinatae ra, rectae vero Lc, x D suxionum ejusdem secundarum rationes ultimo asciscimi. At vero si Curva Anc basin Erconvexa respiciat ut in fig. r. tum si ordinata nr erescendo fluat, ut in ipsam ac crescat, positiva existente M L, erit L c etiam politiva. Positivam namque habeo plagam eam, versus quam ordinatae a bas eductae tendant : contrariam, negativam. Sin decrescendo fluat ordinata 3 s, ut in ip sam Ru mutetur, tum negativa fit fluxio prima Nx, manet tamen fluxio secunda κD positiva. Positivae igitur in hoc easu sunt ordinatarum fluxiones secundae, sive illae crescendo, sive deercscendo fluant. E contrario, si Curva Anc basin sitam concava respiciat fig. a. tum si crescendo suat ordinata PR, ut in ipsam cc erescat, positiva existente fluxione prima ML, est LC negativa. Sin decrescendo fluat ordinata rs, ut in ipsam ut, mutetur, negativa jam fiet fluxio eius prima Νκ, et manebit fluxio secunda xo negativa. Negativae igitur in hoc casu sunt Ordinatarum fluxiones secundae, sive illae erescendo, sive decrescendo, fluant. Ordinatarum igitur fluxiones secundae vel positivae erunt, vel negativae, prout Curvae bases suas convexae, vel concavae, respiciant. Cor. Curvae bases suas vel convexae, vel concavae, respicient, prout Ordinatarum uuxiones secundae positivae, vel negativae, fuerint. Ex hisce, ni fallor, facilis erit demonstratio eius quod a Newtono affirmatum est, densitatem ma. teriae medicerem, quae motum corporis per hyperbolam AGκ praestare possit, paulo esse maiorem, quam quae habeat ad densitatem propriam materiae circa locum A, unde corpus Projectum fuit, rationem eam quam tangentium AH, Gτ summa dimidiata ad cir tangentem minimam. INTELLIGATUR cylindrus rectus cavus, cuius axis, να, aequalis sit arcui hyperbolico Ao. Puta hunc cylindrum materia quadam pleuum varie tondetasata; ea quidem lege, in si in au PQ .ca
333쪽
Reg. 5. Si dantur longitudines AH, AI, A describenda sit figura
AGK : produc HN ad X, Ut sit HX ad AI ut v I ad I et centroque x, M asymptotis MX, NX, per Punctum A describatur hyperbola, calege, ut sit AI ad quamuis VG ut xv ad XI .
piatur pars FE arcui cuivis hyperbolae, Ao, aequalis, tum cylindrus plano per E secetur ad axem iecto, quod circulum esticiat eum base cylindri parallelum ; densitas materiae ejus omnis in culindro, quae superficiem hujus circuli contiguam habeat. R. eadem sit quae materiae circa locum o hyperbolae. Ita scilicet densita, mediocris materim,quae in cylindro. tota r eontinetur, eadem erit quae materiae areui hyperbolico Ac g. p. a 98. circumfusie, Per quam. corpus, arcum illuna percurrendo, iter facit. Axem cylindri posid perpendiculum intillant rectae QR,ps; quarum illa uR tangenti ΑΗ, haec ps tangenti ciet sit aequalis. Dueatur recta oo, quae hyperbolam AGK in O contingat, eL asymset Oix ejus ruri in o occurrat Per puncta a, s, duci intelli atur Ctima quaedamnis: citius ea sit natura, ut aceePta v E in axe cylindri areui euilibet hyperbolae. Ao, aequali, educta tuu a puncto 2 ad perpendiculum reces 21 Curvant usque, re si anguli: m et I on rectangulo cut κ νε aequale sit. Ducatur Per s recta sis eum recta να parallela, quae rectae eat in w occurrat. Cum aequalia snt ruet angula illa etiκoo. ut X rs, idcirco crit tr ad ps ut sty vel Ris,. ad OD. Sed ut AR ad OD, ita uti densitas materiae in to eo o hyperholae ad densitatem in loco A. Exempl. 4. Deralitates autem, circa loca A, o hyperbolae, eaedem sunt quae circa loea P, a, cylindri. Quapropter ZI exit ad ps ut densitas maiateriae in cylindro circa punctum E ad densitatem circa planetum p. Et in omni litu puneti E idem obtinebit. Unde seqitetur, quantitatem materiae omnis in cylindro PQ ad quantitatem materiae, quam uniformi densitate praeditam aequale spatium cylindrae eum contineret, si densitas illa uniformis ea esset, quae materiae circa locum P cylindri vel A hyperbolae: sequetur inquam, quantitatem materiae omnis in eylindro ad huius alterius quantitatem rationem habere eam, quam spatium E psin ad rectangulum es ; vel si ad rectam PQ applicetur rectangulum in spatio illi Rini sis aequale, eam quam rem Yp ad rectam ps vel GT. Ustendendum igitur rectam VP tangentium Au, Grsumnia dimidiata paulo esse majorem. Jungatur sα. Media dividatur reeta PQ in puncto r; agaturque ra eum V, ps parallelae, quae rectae sR in Δ occurrat. A punera o hyperbolae ducatur os innsymptotam xra, eum altera asymptota x, parallela. Cum ε natura hyperbolae quantitas ML κ eo datae cuidam sit. aequalis; si rectam reti literna designet, reerim vo luera A, erit I' κ Adatae cuidam aequalis. Unde Geometri Flux. Prop. VIII. Cor 3. Proinde j οῦκα Ix 'I nata. Et ab : xx f : Et νγ rajΦ et u'A'. Et 38. D l xx 'I : v ν' ΦΛ P. Sed Φ xx ' Ao. Quam se Ao - 'r A'. Sed ser An NI. Vel I τ QD. Quare I : on 'a : AI M a'. Hinc ODα ' - αν. Unde si rectangulum datum QR X ps dieatur a , erit κ κ
Fxp3sita igitur recta quavis infinita V. si in e1 eapiatur er , quae habeat ad Ps rationem eam quam ad re: eduetisque a punctis σ, g ad perpendiculum qr, quarum illare infinita sit, nitera erectae est aequalis a s eentro σ, asymptotis illis v, υ, scribatur hyperbola conica, quae Per punctum r transeat; sumptisque et, σb illis vc, o a cris. p. a 98ὶ aequalibus, si a punctis I, b, educantur ad perpendiculum, b L hvperbolam usque; erit area hyperbolica areae frLI aequalis, et harum si iones
334쪽
Re e. 6. Quo major est numerusn, eo magis accuratae sunt hae I.ia hyperbolae in ascensu corporis ab A, M miniis accuratae in ejus descensu ad K ; M contra λγ. Hyperbola conica mediocrem rationem
dinata hyperbolae δs aequalis sit illi Oa id enim posuimus quam litera a signifieat. Mare ρό κ σι, sive sb κ x, fluxio a
reae hyperbolicae C 3, quantitati -- aequalis, cubet iam a I κ ra, fluxio areae SPEI, ostensa est aequalisia Hine fi ordinatam hyperbolae, si , litera m genera liter significet. erit ZI κ Pa meis. Vel si arcus AD, eique aequalis re is det ponatur aequabiliter fluere. et pro data a Z, more Ne .utoniano, kr iratur l: erie TI πυῆ. Rectanguli Ox latera, υ, x, contrairie fluunt. Nam cum Curva AOG a. p. age basin suam vix convexa respiciat, ordinatae ae fluxio secunda positiva erit. ii'er Loiam . H. v m. Crescente igitur x fluxio ejus, se, crescet. At vero eadem A, leu σ3λ. cresce:Me, sive la, E natura hypertiolae conicae decrescet. Decrescit igitur m dum illa ae crescat. Rectinguli igitur fluentis vae latera contrarie stuunt. Quare rectanguli illius nuxio, qtiae est fluxio rectae et i, rue angulorum ela, ix di Gnrentia erit. Quare EI ' πα-Hae. Et ΣΙ Φ mi. Rursum crescente x fluxio eius secunda minuitur usque i squillem illa x infinitd crescente, fluxio ejus datae arcas Ao infiniN: crescentia fluxioni fit ultimo aequalis et ac proinde fluxio ejus secunda nihilo fit ultimo aequalis. Crescente autem x illa υ minuitur usque, ut supra ostendimus. Rectanguli igitur fluentis mae latera, ., x eodem modo fluunt; et decrescendo utrumque si eruscente arcu Ao, vel recia Pt, ipsa x erescat ut tam i quam n negativa sit. et ipsius rectanguli πῶ fluxio negativa οῦ - τῶ - . Rursum cum hyperbola conica rii, atque altera illa AGK basus suas v, x Μ, convexae respiciant; erunt v, x Positivae sper Lenm. H. v tat . Duae igitur 44 x eodem modo nuunt, et rectanguli vae gurio erit , Φ et x. Hinc cum sit ZI - α , erit etiam τῆ ----- Unde transponendo ΣΙ - - --xυ- 24M Rcetae igitur ZI fluxio secunda negativa erit. Curva igitur sin, cujus est illa ti ordinata, haec basin suam P concava respieiel. sI.enini. H. viri. Ccαὶ Trapezium igitur spio area fruetis, sive rectangulo ς, minus erit. Sed propter trapeati latera u , Ps tuter se parallela, angulosque ad Met P rectos, trapeatum s rQR rectangulo PQκ ra aequale eritia inu re rectaugului ναμ I Δ rectangulo F, sive να PY minus erit. Rectangulum igitur pQ π PY rectangulo rc Pα majus. Recia igitur pY recin ΓΔ major. Sed Pa, propter late ea tmγκii star, ps tuter se parallela, duarum QR, νs, si e duarum ΑΗ, or est semissis. Reeta igitur pu, quae ad ps vel Gr rationem habet eam, quam dentitas mediocris materiae arcui hypertiolico AG ei retunsuta ad propriam materim ei rea locum A dealitatem, haec major est quam tangentium AM, Get summa dimidiata. Q E. D. P a punctima quodvis, , in areii alcensus Ac, ducatur recta ora, quae Myer lana AGK in o contingat, et asymmorae in in o oc erat ; alidique vor ., cum afuinytola Nis Parallela, quae alteri asymptor x xxi in uoccurrat, h. perbolae bas M, ita L. Datis xv, vs, xR, si au-
ne latur Duna Pusn, minuetur uia
335쪽
PHILOSOPHIAE NAΤURALI stionem tenet sp), cstque cieteris simplicior. Igitur si hypertiola sit hujus generis, M punctum Κ, ubi corpus Projectum incidet in
rectam quamvis AN Per Punetiam A transeuntem, quaeratur: OC-
Currat Producta AN asymptotis MX, NX in M M N, M sumatur NK ipsi AM sequalis. R. r. 7. Et hinc liquet methodus cxpedita determinandi hanc hyperbolam ex Phaenomenis. Projiciantur corpora duo similia Maequalia, Eadem velocitate, in angulis diversis HAK, h Ah, incidantque in planum horiZontis in Q M ia notetur Proportio AK ad AI . Sit ca d ad e. Tum erecto cujusvis longitudinis perpendiculo AI, assume utcunque longitudinem A II vel Ab, Sc inde collige graphice longitudines AK, Ast, Per Reg. 6. Si ratio AK ad Aest eadem cum ratione d M e, longitudo AH rectu assumpta fuit. Sin minus, cape in recta infinita Saa longitudinem sta aequalem assumptae AH, 8c erige perpendiculum MN aequale rationum differentiae ductae in rectam quamvis datam. Simili methodo ex assumptis pluribus longitudinibus AH invenienda sunt Plura Puncta N, M Per omnia agenda curva linea regularis N NxN,
lege, ut magis minuatur o aquam pro ratione crescentis numeri x; idest, ut magis minuaturos quani ut rationem numeri ncontrariam servet. Quod sic ostendimus. Sit Curva loga.
riclinii ea Ma asymptota rectiis. Hujus ordinatae cirectis illis. xv, x B aequales fuit. Capiatur quae habeat ad
rationem eam quam numerusu ad unitatem ; et a puncto Meducatur ordinata N logarithis
niteam usque. Et h natura togarithmicae erit tu ad Μὸ ut ξυ' ad γ', vel ut xv ' ad xx'. sed hnatura hyperbolae AGK. xv ' : xa Tron : vG. Quare Θ, vel xν ad Nὸ ut o a ad us. Rectangulum igitur Nδκ os rectangulo xv κ vG aequale erit. Et qualiscunque fuerit numerus x rectangui rum aequalitas manehit. Rectangillum autem xv κ vG datum; nemPe cum rectar xv, vo magis nitudine singulatim datae sint. Reetangulum thitur N N Oa datum: unde si augeatur quavis ratione recta Na, pari ratione illa o a minuetur. At vero crescente numero n, illa Nδ augebitur, quidem, et magis quam pro ratione numeri n. Nam cum logarithmica asymptotam suam ξω- convexa respiciat, aueta recta ἐκ, ordinata N magis augebitur quam pro ratione illius ire, quae Cadem ratione, qua numerus n, crescit; modo numerus n numero illo non sit minor, qui ad unitatem rationem habeat quam subtangens logarithmi e ad id Magis igitur augetur Na quam praratione numcri n, saltem quando numerus is ultra datum limitem increverit. Quare illa os magis quam pro hac ratione minuetur. Crescente igitur numero re, recta non usque minuetur. Quare et quadratum ex illa recta, hoe est eo magis minuetur, quo numerus u magis creverit.
336쪽
qualis abscissae s X, 8c inde denuo inveniatur longitudo AK ; M longitudines, quae sint ad assumptam longitudinem AI, 8e hanc Ultimam AH, ut longitudo
nita ad ultimo inventam longitudinem AK, erunt verae illae longitudines AIM AII, quas invenire opo tuit. Hisce vero clatis da
bitur Se resistentia medii in loco A, quippe quae sit
ad vim gravitatis ut Al I ad et AI NN . Augenda est autem densitas medii per Reg. 4. Te-
datam rationem habet; hae N L inquam manente, illa o DT: VNL Φ n ot' usque minor fiet. Eeontrario si, per punctum quocivis o in arcu descensus GK, ait contrarias utique partes puncti G, ducatur recta . . quae hyperbolam in o contingat, et asymptotae eius x N in d occurrat, aliaque δοIeum a*mptota x N parallela, quae alteri asymptotae x M in b, basi Curvae in currat i simili prorsus modo ope curvae togarithmi eae ostendi potest, manente abscissa xb, rectam bo, si augeatur numerus η, majorem usque fieri. Quare et n.M major fiet, et quadratum n ob majus. Aueto igitur numero n, rei ta Φ by αὐ Ni '. major fiet. Aucto igitur numero n, modo eo quem diximus initio non sit minor, Tangentes per artum aDeensus AG minores sunt, per arcum descensus GK majores. Quare tangens minima GT, pcrpunctum G ducta, quod areus illos discriminat, illa quidem ceria longitudine manebit. Tangenies autem per arcum ascensus Aci, dum perpetim decreseendo, minimae GT aequalitatem singulati iii accedant, mutuam quoque aequalitatem magis aristant. E diverso tangentes arcus deseensiis GK, dum, perpetim increscendo ii modo nainimae tangentis GT magis abscedimi, mutuam quoque a in qualitatem magis exuunt. Dentitates igitur, quae contrariam tangentium rationem gerunt, eae, aucto numero ar, per areum ascensus Aci magis fiunt uniformes; per arcum descensus o c. minus. Quo major igitur merit numeriis η, eo areus As, per quem corpus ascensum socii, Curvae illius figuram magis referet, cujus due uin eorpus ascendendo sequeretur, cui pςr materiam uniformi densitate praeditam progrediendum esset; cum E contrario arcus descensus G x a figura Curvae, quam corpu', per materiam uniformem iter faciens, deicundendo scriberet, quo major fuerit numerus a eo magis abhorrebit. R Uτro TE quae arcus contrarios, ascensus et descetitus, similes omnino habeati tangentes ad atramque Pari cm minimae, aequalibua a vertice distantiis, a mensura minimae aequalitur ubscudentes, ac proinde inter se aequales.
- PRO AH ad et Ar, lege 3Au ad ψAr. Vide Exempl. 3, Not. ', vel Exempl. 4, Not. 'ὶ ubi generaliter ostenditur vim renixus, quae motum corporis per quamlibet harum hyperbolarum Prae stare possit, esie ad vim gravitatis ut Ait ad 'DAi. Hoe est, si x fit unitas ut AH ad ' AI. uina Sive ut 3 Au ad 4 AI. Eandem huius loel emendationem attulerunt Patrea Due icimi Le Scaearti Jac luter, δέ in corumcntariis suis Anglicis Emer.onus.
337쪽
sistentia modo inventa, si in eadem ratione augeatur, siet accuratior. Reg. 8. Inventis longitudinibus AH, HX ; si jam desideretur positio rectae AH, secunctum quam Projectile, data illa cum velocitato omissum, incidit in punctum quodvis Κ : ad puncta A 8: κerigantur rectae AC, DF horiZouti PerPendiculares, quarum Audeorsum tendat, M aeque X tur ipsi Ai seu HX. Asymptotis AK, KF describatur hyperbola, Cujus conjugata transeat per punctum c η n, Centroque A 8e intervallo AH describatur circulus secans hyperi bolam illam in puncto II ;j M projectile secundum rec-l tam Aia emisistum incidet in punctum K. Q. E. I. Nam punctum II, ob datam longitudinem AH, locatur alicubi in circulo closcripto. Agatur CH occurrens
ipsis Ax 8c RF, illi in Ε, huic in F ; M ob parallelas cΗ, Μ x, M aequales AC, AI, erit ARzequalis ΑM, M propterea etiam aequalis LM. Sed CE est ad Ag ut FH ad KN, M Propterea CE M FH aequantur. Incidit ergo Punctum H in hyperbolam '' asymmotis AK, KF descriptam, cujus conjugata transit per punctum C, atque ideo reperitur in com
Asymptotis νκ, κν seripian , iiis e ossis transit per pirtinum c. Per punctum x agatur xo eum plano horiEoniis parallela, quae rictae us, fi onus si riro. ductae, in D occurrat. Et propter angulum .vxo datum, angulumqtie Vox rectum, triangu nuDx specie datum est. Ratio igitur ivx ad xo data. At proinde ratisillius ux' ad xn' data. Sitreeta parameler parabolae xax ad verticem x. Ut sit vo κν' αvx'. Sit , recta tali longitudine, ut sit , ad ν ut xo ad ux'. Erit igitur vGκ ait vo κ μ ut xo advx. Unde eum us κν'' illi ux' aequale Et, erunt etiam vo κς , xis' inter se aequalia. Vel si recta x D designetur litera x, erit vo κι' mxL Vel vG α Darti ratio rectae xo ad brectam Du ea sit, quam e habet ad .c Ucide υτ α x. Et DC Lx- - . ordinatae igitur, intervalli
338쪽
muni intersectione hyperbolae hujus M circuli descripti. Notandum est autem, quod haec operatio perinde se habet, sive recta ARN horizonti parallela sit, sive ad horigontem in angulo quovis inclinata: quodque ex duabus intersectionibus Η, Η duo Prodeunt anguli NAH, NAH ; M quod in praxi mechanica sufficit
circulum semel describere, deinde regulam interminatam CH ita applicare ad Punctum C, ut ejus pars FH, Circulo M rectae FK interjecta, aequalis sit ejus parti CE inter punctum C M rectam An sitae. Quae de Hyperbolis dicta sunt facilὰ applicantur ad Parabolas. Nam si x AGK parabolam designet quam recta XV tangat in vertice X, sintque ordinatim applicatae IA, V ut quaelibet abscissarum x I, xv digninates XI', XV ἔ agantUr XT, GT, ΑΗ, quarum XTparallela sit vG, M GT, AH Parabolam tangant in G M A : M corpus de loco quovis A, secundum rectam AH productam, justa cum Velocitate Projectum, describet hanc Parabolam; si modo densitas medii, in locis singulis G, sit reciproce ut tangens GT. Velocitas autem in G ea erit qu1cum Projectile pergeret, in spatio non resistente, in parabola conica verticem G, diametrum Vo deorsum productam, M latus rectum
habente. Et resistentia in o erit ad vim gravitatis ut
339쪽
tas. Moro net, Sc manente tum densitate medii in A, tum velocitate quL. - ' meorpus projicitur, mutetur utcunque angulus NAH ἔ man
tiunt longitudines AH, AI, HX N , M inde datur Parabolae vertex x, M positio rectae XI yy , M sumendo Vo ad IA ut xv ad xi dantur omnia Parabolae Puncta G, Per quae Projectile transibit. SECTIO III. De motu corporum quibus rese itur partim in ratione velocitatis, parrim in ejusdem ratione duplicas. P R o P. XI. T H E O R. VIII. Si corpori res itur partim in ratione velocitatis, partim in velocitatis ratione duplicaIa, idem sola vi infra in medio similari mo-vnur I sumantur autem rempora in progressione ariumetica ;quantitates velocitatibus reciproce proportioniales, data quadam quantuaIe auctae, erunt in progressione geometrica. Centro C, asymptotis rectangulis CADd M CH, describatur hyperbola BFe, M asymptoto CH Parallelae sint AB, DE, de. In symptoto CD dentur Puncta A, G : et si tempus eXPonatur per a-ream
Rursum via renixus, cum per idem Corollarium ea sit ad vim gravitatis motrirem ut 3s κ GTad N Dx, idcirco nd vim motricem gravitatis erit ut
get ad va, vel ut GT ad - o. Rursum latus rectuin parabolae conteae, quam corpus motu suo per inane scriberet, si h loeo o, secundum rectam GT, ea eum veri locitate projectum fuerit, quam corPus per Cumam xGx latum in loco illo G habet, hujus inquam parabolae latus ructum, cum per idem Corollarium aequale sit reitae hoc symbolo signilicatae,
hoe etiam symbolo signifieabitur,
.; idcirco huic rectae aequale erit, i. GT 3 quae vel; nempe eum illud ν huic aequale sit.
v DATA scilicet materiae densitate, dataque etiam vel itate quacum eorpus h puncto a em sum est, rectas AH, At magnitudine dari, id iisdem pland argumentis probare licet, quibus idem in byperbolis ostendimus. Vide Not. 3..ὶ At velo rectam lix magnitudine quoque dari, id nunc ostendimu .
340쪽
ream hyperbolicam ABED uniformiter Crescentem; dico, quod velocitas exponi potest Per longitudinem DF, cujus reciproca GD, una Cum data CG, componat longitudinem, CD, in Progressione geometrici crescentem. Sit enim areola DE, datum temporis incrementum quam minimum, Sc erit Dd reciproce ut DE, ideoque clircete ut CD. Ipsius autem decrementum, quod per hujus Lem. II. est crit ut L, seu .
tumi care ABED Per additionem datarum R Particularum, Ε Dis, uniformiter crescente, decrescit - in eadem ratione cum velocitate. Nam decrementum velocitatis est ut resistentia, hoc
est per hypothesin ut summa duarum quantitatum, quarum una est ut velocitas, altera ut quadratum velocitatis; 8e ipsius ita decrementum est ut summa quantitatum α; M ia, quarum prior est ipsa S posterior, est ut-: proinde ob a nalogum decrementum, est ut velocitas - . Et si quantitas GD,
ostendimus hoc modo. Agatur per A reeta Ap eum tansente ΑΗ parallela, quae Parabolae diameistro, NX, in P occurrat. Cum data si recta At magnitudine dabi: ur huic aequalis κν. RGquales autem erunt A , κν propter figuram Arx P parallelogrammam. Ratio autem rcctae Px ad xii eparabolae natura data. Ncmpe cum ea sit quae Enitatis est ad numerum κ- r. Recta igitur xu magnitudine data Dat. a. IE. D. Na Mi RuM ex dato quovis angulo NAM, dabitur positione recta Au. Unile ex data eius longitudine datoque puncto A, punctum ii dabitur. Dat. 27. Recta igitur HX, Pur datum Pune- tum H in planum horizontis ad perpendiculum dedusin, post tunc data. Dat. 3o. Quare ex data etiam ejus longitudine datoque puneto ii punctum κ datum. Dat. 27. At vero recta A magnitudine & positione data, punctumque A datum Datum igitur punctum I. Dat. 27. Datis autem punctis x, I, recta xi P0stione data. Dat. 26. Q. E. D. - HAEc est, ni fallor, argumentatio Newtoni. In hyperbolae cujusdam as, positione datae, asymptota cox, dato puncto quolibet G infra centrum hyperbolae ; s area byperholica, ARDE, quae asymptotae cA parte quavis AD, rectisque AB.D . eum altera asymptota parallelis, interclii est, motu rectae Og, manentu illa An, aequabiliter increscat, sitque DF recto, quae eum resta cio, inter punetum datum G reetamque mobilem 11E interceptκ, rectangultim claudat datae magnitudinis: fimi decrescentis rectae DF erit ut ipsa Drpure quadam aucta, quae quadrati ex DF semper rationem geret. . At Uero si corpus per materiam, vi renixus, qualis posita est, praeditam, sola vi insita impulsum Progrediatur ι tempore aeqiuabiliter aucto, velocitas corporis ea lege minuetur, ut fluxio eius sit semper ut velocitaε ipla parte quadam aucta, quae ipsius velocitatis rationem duplicatam geret.. Recta igiIur DF corporis vel itatem, sianili plane lege decrescentem, optimὶ repraesentabit, modo te sumplum fuerit punctum G : vel etiam puncto a pro arbitrio assiimpto, si talis sit matur DPQ I a quae