장음표시 사용
341쪽
ipsi reciprocἡ proportionalis, quantitate dat 1 CG augeatur;
summa CD, tempore ABED uniformiter crescente, crescet in progressione ge metrica. Q. E. D.
Corol. I. Igitur si, datis punctis A,
G, CX natur tempus per aream hype bolicam ABED, exponi potest velocitas per ipsius GD reciprocam Corol. 2. Sumendo autem GA ad GD ut velocitatis reciproca sub
quae rectangulo GD κ Dν iustam reddat magnitudinem. Rectam autem Dν quo diximus modo fluere, id Newtonus hisce sere argumentia probat. Symbolo Λ , significetur spatium illud datum, cui rectangulum GD κ DF ponitur aequale. Iam propter rectangulum GD κ Dν datum, cuius tamen latera, GD, DF, eontrarih fluunt, einxit per Geom. Flux. Prop. viii. Cor. 3. Dp : GD α DF I GD. Rectarum Vero GD, CD, propter earum differentiam ea datam, fluxiones inter se sequales erunt. Geom. Flux.
Prop. V. Quare DF et CD α Dp r Gn. Sed propter aequabilem areae AnED fluxum, fluxio rectae QD, a natura hyperbolae, ipsius eo rationem geret i vel, quod idem est, recta CD fluxionis suae. Si igitur capiatur DK, quae sit semper ad c D, ut fluxio rectae Dp ad fluxionem rectae eo, semper erit Dx ut fluxio rectae DF ; et DK r c D α DP r o D. Sed eum punctum G fit insta centrum hyperbolae, id enim omnino ponendum est, o major erit quam GD. Quare et D Κ major quam Dν. El. v. I . Et Edm DK sit ad co ut DP ad Go, periniat indo et
convertendo erit Dia ad Kr, ut eo ad Cc. Dividendo Dp rPΚα Gur G. Permutando DF e GD α Fκ IcG. Quare DF
erit ad up κ an, sive ad datum spatium Λ', ut rκ ad datam rectam eo. Recta igitur rκ, eum sit ad datam CG ut quadratum ex i,p ad spatium clatum, quadrati utique ex DF rationem constanter servabit. Et fluxio rectae Dr, cum ea sit ut nκ, hoe est ut Dp Φ Pκ, vel ut DP parte Fκ aucta, erit ut DP parte quadam aucta, quae quadrati ex Dr rationem semia Pergeret. Q E. D. Hyperbola autem v E cum asymptotis suis CA, CR positione datis, rectaque etiam AB, quae cum asymptota cii parallela est, positione data; situs puncti G, qui estitiat ut rectae Dr, datum cum illis Go spatium continentes, velocitatum inter se rationes induunt, dum areae ABED temporum rationibus respondeant, is hae ratione definiendus erit. Sumantur AB L M, ABED, quae temporum duorum τ, Θ, rationem gerant; sumptaque recta MN hyperbolae ordinatae ML aequali, inveniatur alia Dp quae ad illam MN rationem habeat, quam ve- loeitas eorporis sub finem temporis Q ad velocitatem ejus sub finem temporis minoris T. Inve niatur in recta Dc punctum G, ut sit GD ad G M ut hi N ad Dr. Punctum G infra centrum erit hyperbolae. Area enim An LM aequabiliter erescente, ordinata ML ratione Geometrica decrescet. Quare fluxio rectae M. L ipfius ML rationem semper geret. Et si velocitas corporis ea lege decresceret, ut fluxio ejus ipsius semper rationem servaret, hyperbolae ordinata DE ad ordinatam ML, Vel ejus aequalem rectam MN, rationem haberet, quam velocitas sub finein temporis is ad veloci tatem sub finem temporis T. Namque area hyperboliea LM DE logarithmus est rationis quam ML habet ad DE. Et tempus Θ- T logarithmus esset rationis, quam velocitas sub finem temporis Tad velocitatis sub finem temporis is haberet, fi geometriea ratione velocitas decresceret. Sed area LMnκ temPOris S - T rationem servat. Unde, propter mutuam logarithmorum competentiam, ratio velocitatis ad velocitatem eadem quae rectae uti ad rectam DR esseta sed velocitas,
342쪽
initio, ad velocitatis reciprocam in fine temporis cujusvis ABED s καinVenietur punctum G. Eo autem invento, velocitas ex dato' μ' 'v'quovis alio tempore inveniri potest.
Iisdem postis, dico, quod spatia descripta sumantur in progressione
ariumetica, velocitates, data quadam quantitate auriae, erunt in progressione Geometrica. In asymptoto CD detur punctum R, ia erecto perpendiculo RS, quod occurrat hyperbolae in S, exponatur descriptum spatium pertam ea lege decrescat, ut fluxio eius semper sit ut velocitas ipsa parte qua iam aucta, quae ipsius rationem duplicatam gerat, velocias utique deerescit, quam ut fluxio ejus ipsius rationem servet. Ac propterea, dato quovis tempore, minor fiet, quam si geometrica ratione decrementum subiisset. Minor igitur, quam illa DE, erit recta quae ad ML, vel ejus aeqtialem πιι, rationem habebit quam velocitas Iub finem temporis Θ ad velocitatem sub finem temporis T. uitam DP minor erit quam DE. Quare MN major et ii, quam ut haheat ad Dr rationem eam, quam MN, Vel Μ L, ad DE. El. v. 8.ὶ Sed MN : Dp α Giγ: GΜ. Id enim factum est. Et ML: DE ' cn r ΟΜ, pipter hyperbollim. Quare GD major erit, qu1m ut habeat ad axi rationem eam, quam Co ad C M. Con vertendo, minor erit o D quam quae habeat ad D M rationem eam quam CD ad D M. Quare GD mino: urit quam CD. El. v. Io. Quare punctum G insta e centrum hyperbolae. Et cum Gn stad G M ut MN ad υν, rectangula GD κ DF, G Mκ MN erunt inter se aequalia. Et tempore Θ utcunque aucto, a capiatur area ABur, quae ad aream ARED rationem habeat, quam tempus illud ma-jua au tempua Θ, velocitas sub finem temporis illius majoris erit ad veIoci: atem sub finem temporia ut recta QR, quae cum Gu rectangulum contineat dato G Μ κ MN aequale, ad rectam DP. Sed lcviore negocio efficere liceat, ut ructae DF velocitatum rationes prae te ferant, fi punctum GPro arbItrio sumatur. Sumatur enim. Sint r, ii rectae ea lege mutabiles, ut illae r renixus, illaeu velocitatis semper rationes gerant. Sit b recta datae magnitudinis. Et tali natur lex renixus, ut sit semper r αIn asymptota cu capiatur co datae b aequalis, et compleatur rectangultim os . Capiatur OA ejus longitudinis, ut eum data illa rectae u longitudine, qualem utique initio mollis illa habuit, rectangulum contineat dato os ae liuile. Tum si eapiatur DP ejus semper longitudini ν, quae estietat rectangultim Dν κ Da eidem OG aequale, illa Dp ita liuet, ut velocitatis semper rationem servet, modo area ALED temporis rationem tueatur. Arca enim AEDE
aequabiliter fluente erit Dν α ον--- eci per ea quae supra ostensa sunt . Vel si pm symbolo A' rectangulum os substituatur, Dν - Dr Φ T- - os Φ T. Seil u dirui . Quare si initio
fluxus illae DF, u aequales fuerint, aequales tune erunt earum Ruxiones, et rectae ipsae, decrementis aequalibus imminutae, aquales usque manebunt. Sunt autem, initio fluxtis, illae I r, tr ae quales. Tempore enim Θ paulatim imminuto, area Algo pari ratione paulatim minuatur, isque eum tempore S ad nihilum redacto, area ABEO in nihilum smul abeat, ordinata DE cum illa AB ultimo congruente. Recta vero or, ille reicendo utique dum on decrescat, ut rectangulo DF κ GD sua constet magnitudo, rectae As magnitudinem ultimo adepta sit. Rectangulum igitur AS κ GAdato OG aequale. Talis autem aceepta est iecta GA, quae cum rem ii, qualii utique tui. in molesilla fuit, rectanguliam eontineat illi Oo aequale. Quare As. quae est longitudo rectx D , quam nascente area ΑΕΚ D primam illa habuit, eadem longitudo erit rectae ii, quam pi imam illa, nascunἰe tempore Θ, habuit. Sunt igitur illae Dp, ii initio fluxus inter se aequales. Quare aequales sempererimi, dummodo area ABKD tueatur temporis rationem. Et tempore aequabiliter aucto, cum area ARED aequabiliter simul erescat, recta GD, quae ipsius Dr contrariam sen Per rationem serit, d xaco aucta, geometrica ratione crescet.
343쪽
aream hyperbolicam RSED 'it,la. p. 3oi,); M velocitas erit ut longitudo GD, quae, cum data CG, com Ponit longitudinem CD in progressione geometrica decrescentem, interea dum spatium RSED augetur in arithmetica. Etenim ob datum spatii incrementum EDde, lineola Dd, quae decrementum est ipsius GD, erit reciproce ut ED, ideoque directe ut CD, hoc est, ut summa ejusdem GD Sc longitudinis dave cci. Sed velocitatis decrementum, temporc sibi reciproce proportionali, quo data spatii particula DdeE describitur, est ut resistentia M tempus conjunistim id est, direste ut summa duartam qUantitatum,
quaΓum Una est ut velocitas, altera ut Velocitatis quadratum, Scin verse ut velocitas ; ideoque directe tit summa duarum quantit tiam, quarum Una datur, altera est ut velocitas. Decrementum igitur tam volocitatis quam lineae GD, cst ut quantitas data Scquantitas decrescens conjunctim ; 8c proPter analoga decrementa, analogae semper erunt quantitates decrescentes; nimirum veloci
Corol. I. Si volocitas cxponatur Per longitudinem GD, spatium descriptum crit ut area hyperbolica DESR. Corol. 2. Et si utcunque assumatur punctum R, invenietur punctum G, capiendo GR ad GD, ut est volocitas sub initio ad velocitatem post spatium quodvis RsED descriPtum. InVento autem puncto G, datur spatium cx clath velocitate, M contra. Corol. 3. Unde clim per Prop. XI. detur Velocitas ex dato tem Te
Ni MaavΜ in hyperbolae eujustis, ta . politione clatae, asymptota cA dato puncto o infra centrum s via. g.ρ. 3o8J, ii area hyperbolica RsED, quae alymptotae cA parte quavis Ru, rectisque R s. DE, eum altera asymptota parallelis, interelusa est, motu rectae DE versus asymptotam Eu, manente illa as, aeqnabiliter increscat i rectae decresccntis Gn fluxio erit semper ut Giγ data CG aucta. Nam Propter aequabilem area: ARDE fluxum, recta CD u natui a hyperbolae ratione geometrica decrescet. Quare fluxio rectae en ipsius en rationem semper servabit. Unde Ponere liceat CD CD. Geometri Flux. Def. s. bcd rectarum GD, CD fluxiones, ob datam fluentium disserentiam, CG, semper inter se aequales erunt. Geometr. Flux. Prop. v. Quare GD CD cota CG -GD. Verum si corpus per maturiam, vi renixus. qualis potita est. praeditam, sola vi inlita impulsum progrediatur, tum si arithmeticu sumantur itineris coniecti spatia, velocitas corporis ea quidem lege minuetur, ui fluxio ejus sit semper ut velocita, ipsa data quadam aucta. Sint unim R. v. 8, π, rectae ea lege mutabiles, ut illae a renixsis. illae v velocitatis, illae s itineris consecti, illae τtemporis quo eonfieitur iter s. rationem tueantur. Sit a recta datae magnitudinis. Atque talis
ponatur lex renixus, ut sit semper a m v ri . Sive Aa α BV Φ vv. Jam cum v sit semper ut
R κ τ, vi T sit semper ut erit ν ut --- sive dati s, quod Posulinus, ut -. Uude ponere licet
344쪽
pore, M per hanc propositionem detur spatium ex data veloci- Lrae κtate; dabitur spatium ex dato tempore: M contra. β 'M P R Ο Ρ. XIII. T H E O R. X. Posto quod corpus, ab uniformi gravitate deorsum attractum, reruasendit vel descendit; quod eidem re tur partim in ratione . velocitatis, partim in ejusdem ratione duplicata e dico quod, si circuli π perbolae diametris parallelae rectae ter condi GIarum diametrorum terminos ducantur, ae velocitates , t ut segniora
quaedam parallelarum a da o puncto ducta; Iempora erunt ut . arearum feriores, rectis a centro ad segmentorum terminos ductis
primo quod corpuS ascendit; centroque D Msemidiametro quovis DB describatur circuli quadrans BE TF, M per semidiametri DB te minum B agatur in sinita BAP, semidiametro DF parallela. In ea detur punctum A, 8c Capiatur segmcntum AP velocitati proIiortionale. Et cum resistentiae pars altera sit ut velocitas, Sc Pars altera ut velocitatis quadratum ; sit
resistentia tota ut A P quad. Φ 2 B A P . JUngan-
licet V π -. Geometr. Flux. Def. s. Quare v α a Φ v. R RRecta igitur an corporis velocitatem, simili pland lege decrescentein, optime repraesentabit, si dato
Punctorum G, E altero, niterum apte sumatur.
Dato autem puncto G 3oht, talis sumenda est OR , quae ad rectae V, qualem utique initio motas illa habuit. longitudinem rationem habeat quam eo ad 2. Vel dato R, talis sumenda est ca quae ad Ga rationem hal ,eat quam data a ad longitudinem rectae v. qualem utique initio motus illa habuit. Ita semper GD velocitatis rationem servabit, modo area sRDa itineris coniecti rationem seris vet. Puta enim spatium itineris a tempore quodam T consestrum; eodemqtie tempore amam L DE generatam, et velocitatem quae initio fuerit u in minorem T abiisse. Dico GR esse ad cita ut vad v. Cum enim, data s, v sit ut nΦ v. spatio a aequabiliter aucto, rei a B l v ratione geometrica decrescet. Quare iter eonfectuin s log rithmus erit ratiotiis qu'm Φ v habet ad n Φ v. At vero area hyperbolica sRD2 rationis quam est habet ad cn, e natura hyperbolae, erit togarithmus; et area illa hyperbolica fimili simper ratione cum itinere consecto crescit. ob mutuam igitur togarithmorum competentiam, eadem erit ratio rectae a Φ v ad B Φ Y quae rectae CR ail D. sive quae cGΦOR ad c -FOD. Et p riuulando 2 Φv rco Φ GR α Η ΦT : cal GD. Est autem arco α vr o . Id enim factum est. Erii igitur a Φ v r cc Φ sa n et co. El. v. ra. Et eum sit etiam 2 Φ v a co Φ GR α 2Φ Y r co Φ GD, erit u : ca zz. R Φ Y et Co Φ GD. El. U. o.
345쪽
tur DA, DP, Circulum secantes in E ac T, MeXPonatur gravitas Per D A quad. ita ut sit gravitas ad resistcntiam in P Ut DAq ad APq an AP ς : M tempus ascensus totius erit ut circuli sector EDT. Agatur enim D Vin, abscindens M velocitatis AP momentima PQ , sectoris D ET IDO-mcntum DTV dato temporiS momento respondens; M velocitatis decrementum illud P in crit ut summa virium gravitatis DAq Sc resistentiae APq - et B AP, id est per Prop. xii. Lib. II. Elem. ut DPq quad. Proinde area DPQ , ipsi I Q proportionalis, est ut DP quad. M area DTV, quae est ad aream DPQ ut DTq ad DPq, est Ut datum DTq ' . Dccrescit igitur area EDT uniformiter ad modum temporis futuri, per subductio ac mdatarum particularum DTV, 8c Propterea tempori ascensus totius Proportionalis est. Q. E. D.
Huius lineationis ratio ita, ni fallor, apertius exponatur. Recta AP positione data, manenteptincto A, ea lege fluat, ut mutabilem corporis etsi rimam velocitatem reserat, quod per materiam vi renixus, qualis posita est, praeditam, urgente vi uniformi gravitatis, recta cadat vel astendat. Sitri alia meta. quae ea lege fiunt, ut renixsis niateriae temper rationem servet. Detur magnitudine recta s. Atque talis ponatur lex renixus, ut sit semper LR-κ Ap Φ Αν . In PA produe 1 ea. piatur Aa semissi rectae s aequalis. Unde semper erit a Ax N R ' a BAP-FAp . Et recta A p ad modum velocitatis fluente, spatium a B Αν Φ AP ita fluet, ut renixus semper rationem servet. Datam puta rationem quam vis renixus ad vim constantem gravitatis habeat, quando corpus dato quodam velocitatis gradu seratur. Atque detur etiam reetae mutabilis Ap magnitudo, ΛΠ, quae datam illam vel itatem reserat. Ita dabitur spatiunt, quod ad datam tunc spatii fluentas as Ap Φ Αν magnitudinem, a BAnt An . rationem illam data in habeat quam vis gravitatis ad vim renixus. Sit e recta cujus quadratum huic spatio aequale est. Et cum vis renixus spatii mutabilis as Ap ΦΛν rationem semper servet, vis constans gravitatis erit semper ad vim renixos, ut quadratum hrecta e datum ad mutabitu an AP ΦΑΡ . Reeta autum C vel major erit quam As, vel nunor, vel ei aequalit. Si major sit, deducatur 1 puncto A in rectam BD, ad perpendiculum a piincio a educistam, re ta Ao illi C aequalis. Centro D intervallo DR scribatur circulus. Sint Π, ν duo quaevis loca puncti mobilis P. Iunctae Di I, DP circulo in S, T oecurrant. Tempus ascentlandi a loeci illo, ubi eorporis velocitas ea est quam recta AH refert, locum usque quem eorpus, extincta senis stiri velocitate, sinan ii in attigerit, ad tempus ascendendi a loco alio, ubi velocitas est ea quam recta Ap refert, locum usque summiim, erit ut sector SDL ad lectorem TDE. Vel sem:υae Newto. niano, sector TDΕ erit ut tempus, quo velocitas Ap ascendendo extingui tr. oc est, fluxio trianguli Dp A, quae fluxionis rectae Ap rationem servat, ea ad quadratum ex i=d datam rationem geret. Sed fluxio trianguli Dr A est ad fluxionem luetoris D TE ut quadratum ex Dp ad quadratum ex D T. Permutando DTE: vT' α DpΑem . Quare eum DP A sive fluxio trianguli Dp A, ad quadratum ex Dr datam rationem habrat, fluxio seeioris nTΕ ad quadratum ex DT datam quoque rationem geret. Sed recta DT, cum rectae ED aequalia est, magnitudine datur. Nam Ai, positione data. Dat. 3r. Et to positione data. i Dat . aq. Quare punctum D datum. Dat . as. Et a datum i quia extremum est rectae Aa, magnitudine et molitione datae, cujus alterum extremum A datur. Dat. a 7. Recta igitur an, & illi aequalis DT, magnitudine data est. Dat. 26. inare quadratum ex DT magnitu uine datum, et fluxio lectoris circularis
346쪽
f. a. Si velocitas in ascensu corporis CX natur per longitu-I.in dinem AP ut Prius, ia resistentia ponatur esse ut AP 1 et B Ap, M si V SV
vis gravitatis minor sit quam quae per DAq e X poni possit; capiatur BD ejus longitudinis, ut sit ABq-BDq gravitati proportionale ς,: sitque D p ipsi DA Perpendicularis
8c aequalis, per verticem F describatur hyperbola FTVE, Cujus semidiametri conjugatae sint DB M DF, quaeque secet D A in Ε, MDP, D in in T M V; M erit tem-Pus ascensus totius ut hyperbolae
Nam velocitatis decrementum PQ , in data temporis particula factum, est ut summa rosistentiae APq - 2BAΡ Sc gravitatis AHq-BD , id est, Ut BPq BDq. Est autem area DTV ad aream DPQ Ut DTq ad DPq; ideoque, si ad DF demittatur Perpendiculum To, ut GTq, seu GDq- DFq, ad BDI, 1itque GDq ad BPq ; Sc divisim ut
ei reularis D Tt magnitudine data. Fector igitur ors, cujus fluxio eonstans, aequabiliter fiuit. IAM vero c non sit maior quam An. Vel minor igitur erit, vel ei aequalis. Sit aequalis primo ; cujus caius demonstrationem Ne tomis, ad alia properans, neglexit. A puncto a ad Perpendiculum edueta iv,, capiatur ut, i pii An aequalis. Per A educatur ad perpendiculum recta AT, cui iuncta in τ occurrat. Dico tempus, quo consumitur alcendendo velocitas AP, esse ut tri4 angulum ni A ; sive ut recta TA. Cum enim vis eonis stans gravitatis sit semper ad vim renixus ut e ad ax ApΦ Αγῆ ; idcirco, potitia C, AB aequalibus, summa virium gravitatis renixi .sque erit ut n. ' -l- an Ap - Αν , hoe est sper El. II. I ut tr . Veloci raris autem nuXio, tempore aequabiliter aucto, sui me virium gravitatis renixiusque rationem scrvabit. Quare fluxio metae Ap erit semper ut quadratum ex ap. Vel si ad datam si, applicetur rectangulum edi quadrato ex BP aequale, reetae Ap fluxio ad reeiam nα rationem datam geret. Sed cum recta Dr, polo D mobilis, rectas AP, AT positione datas secet, erit AP : AT α DP κ PA : DT κ TA. Introduct. Quad. Cur s.
data. Quapropter AT data erit magnitudine. Et recta Ατ. eujus constans est fluxio, nimirum si tempus aequabiliter a Ventur, aequabiliter ad modum temporis ipsa fluet. 4. E. D. At vero si C minor sit quam As, capiatur nis ejus longitudinis, ut quadratum ex in illud sit, qR quadratum ex AB extuperat quadratum ex C. Ita siet AB' - BD ' C' ; et vis gravitatis semper erit ad vim renixus ut Λη - aD' ait Ar Φ an Ap.
347쪽
DFq ad BPq-BDq. Quare Cum area DPQ sit ut PQ , id est, Ut BPq BDq ; erit area DTV ut datum DFq. Dccrescit igitur area EDT uni r-miter singulis temporis particulis aequalibus, IRr subductionem Pa
ticularum totidem datarum DTV,
Sc propterea tempori Proportionalis eli. Q. E. D. f. 3. Sit AP Velocitas in descensu corporis, M APq - 2BAP resistentia, M BDq - ABet vis gravitatis , existente angulo DEA recto. Et si centro D, vertice Principali B, describatur hype bola rectangula BETV secans Productas DA, DP M DQ in Ε, r Mu ; erit hyperbolae hujus sector DET ut tempus totum descensias
Nam velocitatis incrementum PQ , eique ProportionaliS area DPQ , est ut cXcessus gravitatis supra resistentiam, id est, ut BDq- ABq- 2BAP - APq, seu BDq-BPq. Et area DT vestad aream DPQ Ut DTq ad DPq, ideoque ut GTq, seu GDq -BDq, ad BPq, utque GDq ad BDq, Scdivisim ut BDq ad BDq-BPq. QVare cum a rea DPQ Ut sit BDq-BPq, erit area DTU Ut d tum BDρ. Crescit igitur area EDT Uniformiter singulis temporis particulis aequalibus, Per additionem totidem datarum Particularum DTV, Sc Propterea tempori descensus Proportionalis est. Q. E. I . Corol. Si centro C, semidiametro DA, Per Verticem A ducatur a cus Al similis arcui ET, M similiter subtendens angulum AD i :velocitas AP erit ad Velocitatem, quam corPus tempore EDT, in spatio non resistente, ascendendo amittere vel descendendo acquirere posset, ut area trianguli DAP ad aream sectoris D At; ideoque ex dato tempore datur. Nam velocitas, in medio non resistente, tempori, atque ideo sectori huic proportionalis est; in medio resistente est Ut triangulum ; M in medio utroque, ubi quam minima est, accedit ad rationem aequalitatis, Pro more sectoris Sctrianguli. . Scholium.
Si corpus recta eadat, recta e ut prius inventa, in recta sp a puncto a ad perpendiculum educta
348쪽
. Demonstrari etiam posset casus in ascensu corporis, ubi vis gravitatis minor est quam quae exponi Possit Per DAq seu ABq Φ BDq,8e major quam quae eXPOni Possit Per ABq-BDq, 8c exponi debet per ABq ὁ . Sed Prorem ad alia.. PRO P. XIV. THEOR. XI. Iisdem possis, dico quod spatium ascensi via descensu descriptum, est ut disserentia areae ter quam tempus exponitur, de areae cujusdam alterius quae augetur Ues diminuitur in progressione ArisΘ- metica, si vires ex re unita ae gravitare compostae fumantur in progressone Geomefrica.Capiatur Ac in fig. tribus ultimis gravitati, M Ax resistentiae proportionalis. Capiantur autem ad easdem partos puncti Α, si
educta capiatur vo, cujus quadratum quadratis ex All et ex e simul sumptis aequale sit. , Vide Not. φ.
349쪽
corpus descendit; aliter ad contrarias. Erigatur Ab, quae sit ad DB ut DBq ad 4BAC : Sc descripta ad asymptotos rectangulas, cx,cia hyperbola erectaque ΚN ad c Κ Perpendiculari, area AbNK augebitur vel diminuetur in progressione Arithmetica, dum vires cx in progressione Geometrica sumuntur. Dico igitur quod di tantia corporis ab ejus altitudine maxima sit ut excessus areae AbNK
Nam cum AK sit ut resistentia, id est, ut APq Φ2BAP; assiimatur data quaevis quantitas E, M Ponatur ΑΚ aequalis-; M per hujus Lemma II. erit ipsius AK momentum KL aequale
Cas. I. Iam si corpus ascendit, sitque graVitas ut ABqΦBDq, existente BET Circulo in figura prima linea AC, quae gravitati I Proportionalis
350쪽
proportionalis est, erit G2' 1 8 8c DPq, seu APq ε 2BAP - ABΤ- sc . .ei BDq, erit AKκZ Φ ACκ C, seu CKκZ; ideoque area DTV erit ad aream DPQ ut DTq Vel DBq ad CK κ T. f. a. Sin corpus ascendit, M graVitas sit ut ABq - BDq, linea
f. 3. Et eodem argumento, si corpus descendit, M propterea gravitas sit ut BDq-ABρ, M linea AC in figura tertia aequetur Us ''lt, crit area DTV ad aream DPQ ut DBq ad CKκZ : ut suPra.
Cum igitur areae illae semper sint in hac rationc ; si Pro area DTV, qua momentum temporis sibimet ipsi semper aequale exponitur, scribatur determinatum quodvis rectangulum, Puta BDκ erit area DPQ , id est, ad BD κ=u ut CK κ Z ad BDq. At-
que inde sit PQκ BD cub. aequale et BDκmκCςκZ; M areae AbNK momentum, KLON, superius inventum, fit -i --. Auferatur areae DET momentum D Tu, seu an km, Sc restabit hy Est igitur differentia momentorum, id est, momentum disteren-
tiae arcarum,. aequaliS-Π- ; ia Propterea, ob datum - , Ut
velocitas AP, id est, ut momentum spatii quod corpus ascendendo vel descendendo describit. Ideoque differentia arearum Sespatium illud, proportionalibus momentis Crescentia Vel decrescentia M simul incipientia vel simul evanescentia, sunt Proportionalia. Q. E. D. Corol. Si longitudo, quae oritur applicando aream DET ad lineam BD, dicatur 11 ; Sc longitudo alia v sumatur in c1 ratione ad longitudinem M, quam habet linea DA ad lineam DE : spatium, quod corPus ascensu vel descensu toto in medio resiliente describit, erit ad spatium, quod corpus in medio non resistente, o quiete cadendo, eodem tempore describere potest, Ut arearum Praedictarum differentia ad '' '. : ideoque ex dato tempore datur. Nam spatium in medio non resistente est in duplicata ratione temporis, sive ut V'; M, Ob datas BD M AB, . ut . Haec arca z qualis