장음표시 사용
351쪽
qualis est areae - M ipsius M momentum est m; MPropterea hujus areae momentum est Hoc autem momentum est ad momentum differentiae arcarum praedictarum D ET 8 Ab Κ, ma. ad -, ut- ad PBDκ AP, HVe Ut in DET ad DAP ; ideoque, ubi arcae D ΕΤ M DAP quam mi-Inimae sunt, in ratione aequalitatis. Arca igitur -M differentia arcarum D ΕΤ M Ab Κ, qUando omnes liae areae quam mi.
nimae sunt, aequalia habent momenta; ideoque sunt aequales. Unde cum velocitates, M propterea etiam spatia, in medio utroque in principio descensus vel fine ascensus simul descripta accedant ad aequalitatem; ideoque tunc sint ad invicem ut area Scarcarum DET M ARXς differcntia; M Praeterea cum spatium in medio non resinciale sit perpetuo ut-, M spatium in mediorcii stente sit perpetuo ut arcarum DET M AbNK differentia: necessc est, ut spatia in medio utroque, in aequalibus quibuscunque temporibus descripta, sint ad inviCem ut area Illa - , M arearum DET M AbNic disserentia. Q. E. D. Scholium. Resistentia corporum sphaericorum in fluidis oritur partim ex tenacitate, Partim ex frictione, M partim ex densitate Medii. Et resistentiae Pancm illam, quae oritur ex densitate fluidi diximus
esse in duplicata ratione velocitatis ς Pars altera, qUde oritur EX tenacitate fluidi, est uniformis, sive ut momentum temporis et ideoque jam Pergere liceret ad motum corporum, quibus resistitur panim vi uniformi, seu in ratione momentorum temporis, di Pamtim in ratione duplicata. velocitatis. Sed sufficit aditum patefecisse ad hanc speculationem in Propositionibus VIII 8c Ix. quae Pnoecedunt, Sc eorum Corollariis. In iisdem utique pro corporis ascondentis resistentia uniformi, quae ex ejus gravitate oritur, substitui potest resistentia uniformis, quae oritur ex tenacitate medii, quando corpus sola vi insita movetur; ia corpore redit ascendente addere licet hanc uniformem resistentiam vi graVitatis; eandemque
Nι MIRUM TQ est ad PD ut T s ad PE, propter tres rectas, PT, Dua Es, inter se parallelas Evanescente
352쪽
que subducere, quando corpus recta descendit. Pergere etiam Litta liceret ad motum corporum, quibus resistitur partim uni1ormiter, '' 'partim in ratione velocitatis, M partim in ratione duplicata velocitatis. Et viam aperui in Propositionibus P ecedentibus Xm Scxlv. in quibus etiam resistentia uniformis, quae oritur ex tenacitate medii pro vi gravitatis substitui potuit, vel cum eadem, ut Prius, componi. Sed propero ad alia. sECTIO IV. De corporum circulari motu in mediis rect entibus.
Sit PQR Spiralis, quae fecet radios omnes SP, SQ , SR, m. in aequas bus angulis. Agatur recta PT, quae tangat eandem in puncto quovis P, secetque radium finiri T ; ω ad Spiralem erectis per pendiculis P Ο, sto concurrensibus in Ο, jungatur So. Dico, quod si puncta p ta in accedant ad invicem N coeant, angius Psore et rectus, ου ultima ratio rectanguli Τακ 2PS ad PQ quad. erit ratio aequalitalis. Elcnim de angulis rectis opin, o QR subducantur anguli aequales SP SQR, Sc manebunt anguli aequales OPS, OQS. Ergo circulus, qui transit Per Puncta Ο, S, P, transibit etiam per punctum Q. Coeant Puncta P Ω Q , Mhic circulus, in loco coitias PQ, tanget Spiralem, ideoque Perpendiculariter secabit rectam ΟΡ. Fiet igitur oΡ diameter circuli hujus, M angulus OsΡ in sum
circulo rectus. Q. E. D. Ad op demittantur perpendicula QD, s Ε, M linearum rationes ultimae erunt hujusmodi: TQ ad PD ut Τs, vel Ps, ad PE, seu 2Ρ ad 2ps; item PD ad PQ ut PQ ad apo ; Sc ex aequo Periurbate TQ ad PQ ut PQ ad 2Ps. Unde fit Prat aequale TQ κ 2PS. Q. E. D.
EFRuescente autem angulo PsT, recta Ts fit rectae ps ultimo aequalis. Erit igitur Truaci PD ut
353쪽
P R O P. XU. T H E O R. XII. Si medii densitas in locis sngulis sit reciproce ut disantia locorum 2
centro immobili, sique Cis corripeta in duplicata ratione dens-λ. Iatis: dico quod corpus orari potes in Spirali, quae radios omnes. δ centro illa ductos intersecat in angulo dato. Ponantur quae in superiore Lemmate, M Producatur Smid v lat. 322. ut sit SV aequalis sΡ. Tempore quovis, in medio resistente, Uc- scribat
timo ut ps Mi pz. Sed propter angulum os P rectum, angu- totque ad e rectos, erit rs ad PE, ut PO ad ps El. v I. 8. hoc est, ut aro ad ars. Ergo Tu erit ad PD ultimo ut apo ad ad s. Redia po cireulo, qui radio OP circum centrum o scriptus Recit, iterum in v oecurrat. Propter angulum ad D recistum talis enim factus est , quadratum ex ouia rectanguliivnκDν aequale est; ultimo scilicet, arcu spirarum P inlinite imminuto, ut punctivia rusit ad circulum illum euius radius o p. quique spiras in pundio P osculatur. Evanesiae endo arcus PQ rectaque Diu sunt ultimo inter se aequales. Quare quadrata evanescentia ex paci Duo ulti ino aequalibus, sunt ultimo inter se aequalia. Quadratum igitur ex ro et rectangulum vir κ DP aequalium rationem ultimo inter se as.ciscunt. Sed propter rectani ur, ii,si ur ultimo tequalem, rectangula quoque evanescentia vD κ DP, 'vv κν D. ultimo inter se aequalia erunt. Quadratum igitur ex Pinet rectangulum vν κ po fiunt ultimo inter se aequalia. Unde pn erit ultimo ad rq ut ru ad. v p, vel apo. Cum igitur si τα ad PD ultimo ut aro ad et ps, et pia ad arcum pQ ultimo, ut rubid apo; ex aequo Perturbat P, inquit NeM in iis, erit ad PQ ultimo, ut PQ ultimo ad ars; ac propterea quadratum ex ru et rectangulum T stoc ars crunt ultimo inter se aequalia.
In re mininad dissicili rationum eonclusiones accurati iis deduximus, ne quis facili errore dereptus, quales lard incautos ex Cavalerii discipliαὶ homines misere ludificari solent, ea utique quod ree. tus ultimo sit angulus, quem recta Du ni cur que vuIntereludunt, et quc d arcus ille quam minimus pro . redia haberi poisi, eone ludendum ii attin exis imaret, Pu esse ulti inis ad PQ ut PQ ad poetvropter ultimam scilicet quam somniaverit triangulorum ou' η, QDp evanescentium inititudi- 'riem. Ulule id se literetur, quadrati ex pu id rect .ingulum Tu κ a Ps raticnem ultimam, quam Newtonus a qualitatem ipsam statuit, . ea in binarii potius ad nnitatem esie. Revera si figurae illae evanescentes opu , reto certas aliquas triangulorum rectilinearium species ultimo affectarent :lioceia, si ad triangulorum quorumvis rectilinearium, quae speeie data essent, figuras evanescendo infinitd accederent; h rationibus quae triangulorum illorum lateribus rectis intercederent, evanes. ccntium PD, PQ rationes uit; mar certissme aestimandae essent. Atqui ea profecto evanescentium M Q, Q pD est conditio, uti cum.nulla plane sigura triangulari, a lineis rectis lacta, eae comparari pollini. Siquidem illa et 'n ita evanescit, ut angulum i γαν ultimo omni acuto, qui lineis rectis coneludatur, minorem habeat: ita vero illa opQ ut duos in angulis suis habeat rectos; tertium, acuto omni, quem sineae rectae intercludunt, minorem. Cum igitur trianguli naturae, a lineis rectis ladii, id maximE contrarium fit, ut duos angulos redios habeat, tertium vel acutissimo minorum I evanescentium oviu, retra nulla plane consenda est figura ultima triangularis. Figurarum aut cm quae nullae sunt, haud ulla ut opinor similitudo erit. Ex similitudinibus vero qiuae nullae iuui, mutuas rerum rationes desiniendas quis non sititia speraverit. In summa illud monitos velim imperitiores; in acie, quod aiunt, novaculae consili, siquando area aliqua triangulari evanescente, argumentum aliquod de ultima late tum vel angulorum ejus mutabilium ratione 'ex eo peritur, quod pro trianguli rectilinearis lateribus . vel angulis, ultim; ha beri possint: nimirum s area tali modo evanesent, ut utio ex angulis suis in nihil uin abeunte, speciem suam triangulam ulti ino prorsus exuat. Et nescio an ex alio sonte errores plurcs gravioretque promanarint. Ut siquis posito triangulo Aac, cuius manente latere An cum angulo A AC, reliqua duo latera, evanescente angulo BAC, cuin angulo tertio fluant ; propter ultimam rectarum AB, AC aequalitatem
354쪽
PRINCIPIA MATHEMATICA .... 32 I
s ribat corpus arcum quam minimum PQ, M tempore duplo arcum quam minimum P R ; la decrementa horum arcuum ex re- 'sistentia oriunda, sive defectus ab arcubus, qui in medio non resistente iisdem temporibus describerentur, erunt ad invicem ut quadrata temPorum in quibus generantur: est itaque decremen
tum arCUS P Pars quarta decrementi arcus P R . Unde etiam,
aequalitatem, triangulum evanescens ultimo istisceles pronuntiet: tum ex eo quod triangulum ultimo isOseeles tuturum iit, angulos ad liasin Anc. A n ultimo sequales stat hiat. Haud enim an gulo Anu sed e turno A iν. congruentibus utique metis Ac, An, si ille Aea ultimo aequalis. Er- mr autem inde venerit, quod triangulum Alle habitum sit iiosceles, tunc eum omnem plan tri Λ anguli ipeciem exueret. Qui triangulum illud evanescens ultimo ii, sceles contendere velit, proferat oportet triangulum isaisiectus, cuius anguli ad balin duobus rectis aequales sint. Quod linemo tacere Pollit. abiudieanda curid aree evanescenti An. trian .guli i stelis conditio. Neque cum Larvis pugno. Novimus pri. maiios quosdam in Pliil0ibi lita viros ii: tili: orrore captox. QMiddicam primarios 3 Certe ueu eoryptiaeus ille omnium nostrum Neritonus semper ab eo immunis erat. Vide Loeum ipsum in Editionu Prima.
Caerorum id verum esse quod Ne totius promanciavit, quadrati ex ret rectangulique Tin V 2Ps rationem ultimam aequalitatem osse, vel hAc ratione approbare liceat. GM. A. p. 3ao.) Rcciae ars, m circulo cuius radius o P, in punt iis x. v iterum occurrant. Quadratum cx PT rce angulo YTκ Tu ultimo aequale erit. El. III. 36. Evanescente autem angulo PMi . recta TY congruet ultimo cum P x, et siet illi ultimo aequalis. Unde rectangula Tκ τι a , xv κ n et ultimis aqualia fient. Sed et arcus i Q rectae PT ultimo aequalis erit. ὶuadratum igitur ex PQ rectangulo P x κ r illinio a quale. Sed eum o centrum sit circuli xvr, et angulus os et rectus, i c. ta os illam rx mediam dividet. El. III. 3.ὶ Quare px α aps. Et PK κ ταα res κ τα ini ad tu in igitur ex PQArectanguluin ars κ TQ ultimo erunt inter se aequalia. Qi E. D. Atque hane demonii rationem Newtoniatui firmiorem iudico. Nempe eum haec nostria haud alias 'oquitur quantitatum rationes ultimas, Praetor eas quae vere sunt rationes; sive tales quae magnitu linibus da: is vere inici cedant. Newtoni probatio ultima quadam nititur rationum convenientia, quae ratioues vcvcra ultim a nulla: sunt. Nam rationes ex evanescentis pD ad evanescentc:n p c, ritiitem evanescentis ad datam aris, quas Newtonus ultimo easdem statuit, eae nullae potius ultimo habendie sunt. Siquidem istolii nor sit ultimo quam ut datam aliquam rationem addainin apo gerat. Minoi itidem ultimo evanescens PD, quam quae datam rationem gerat. ad illam pri una curii cscentum. Nec aliter se habet ultimo illa rv, vel ret, ratione illius puta vel e v, ac si manunete PD vel puta altera et vel ru, sensim crescendo, infinitam quandam longituuinem adepta esset. Infiniti autem cum finito nullam comparationem, cum Euclide nullam interea rationem agnoseo. Neque tamen vitiosa adeo cit argumentatio Newtoni, quin levi emendatione senari potiti, ui firmis sina evadat qua parte Vci maxime laborat. Nam ex eo quod tres rectae r T. Din, Es fini inter se parallelae, ecriissilies concluditur esse Tet ad PD ut T s ad pE. Quin et illud etiam verissime dictum est, reeiam ra illi fieri ultimo xqualem. Unde et illud ei concedi ne-eesse est, esse ire: ad PD ultimo ut P, ad PE. Jam vero ps eise ad PE ut aro ad ars ex triangulorum o,r, i i s inter ipsa similit inlesie nec arici sequitur. Unde illud etiam pro certis sino tenendum, Tu esu ad PD ultimo ut aris ad rus. Hine autem illud Newtono efficiendum erat, si demonstrationem suam quam maximo ex ac:c concinnare sategit Ict, rectangula TQ κ a PF, PD A 2 P essu ultimo inter te aequalia. Jam veri, quadratum ex r ur ei iugulo ri, κ apo csse ultimo aequale,
in i iii limis rationibus ex ipsus ei reuli naturia eomprobatum eli. Cuin igitur rectangula Tu κers. ri, κ arci ostensa sint ultimo inter se aequali , atque horum illud ro κ apo quadrato ex ruta ostensum sit ultimo aequale; scri ncquit, quin quadratum ex τα& rectangulum τι κ aps ipsam in ter se aequalium rationem ultimo induant. Nec in tali argumcntationis contextu inventurum quempiam spero, quod commode imprubari poterit.
355쪽
si areae Ps Q qualiS capiatur area Qsr, erit decrementum arc is
P in aequale dimidio lincolae pr h); ideoque vis resistentiae M vis centripeta 1 unt ad inVicem, ut lineolae Rr 8c Tin quas simul
generant. Quoniam Vis centripeta,. qu& COPPus urgetur in P, .
Lem. X. Lib. . I. . lineola Tin, quae Vi illa generatur, est in ratione composita ex ratione hujus vis A ratione duplicata temporis quo arcus PQ describitur nam resistentiam, in hoc casu, ut in- sinite minorem quum vis centripeta negligo ς erit TQ κ SPq, id est per Lemma novissimum PQqκ SP, in ratione duplicata tem Poris; ideoque tempus est ut PQ κω SP; Sc corporis Velocitas, .
hoc qua arcus PQ illo tem Poro describitur1 ut i,u, o si, est, in subduplicata ratione ipsius sp rcciproce. Et simili argu
mento. SINT q, e loca, quae eorpus, at per inane lataim spirarum dii nim se meretur, iisdem temporit,us attigisset, quibus materiae circumfusae omnia impeditum arcus conlucerit, modo paricum velocitate a loeo P exiisset. Ita e ni Q, , Ri spatia, quibus arcus P a , νη Per materiae rein nixum breviores laeti fuerint, quam pro ratione motus in spatii a vacuit. Arcus autem evanescenistes pq, q/ ratio em inier se ultimam aequalium hnbi uri sunt. - Sed et ruta uor evanescentes aequalium inter se rationem ultimo ustiscunt. Quare M 'ρι- ur ultimo. Addit que α', aus Q - α ra ultimo. Hoe est, ille H ad illum g rationem ultimam, iiu:e binarius ad unitatem .habet. Sed αε ad arrationem ultimam quam unitas ad quaternarium. lsitur ex aequo νου ait
Ri rationem ultimam, quam binarius ad quaternarium habet. Quare hi ultimo semiilis erit illius R t; ac proinde illi Rr, re ultimo inter se aequales. Unde ille ea qui ostensus est scintilli illi ut rι, idem et illius ar semissis erit. Emersonas ad locum.J ςὶ--m ris tinteam, In hoc ea , ut iosulae minorem quam iis centripeta iret O. J Vellem haec abessent. Sive enim parva sive magna suerit vis renixas ratione vis centralis, rccta tamen Tuci sive declinatio corporis a tangente centrum versus, a si a vi centrali provenerit; ac proinde rationem quae componilur ἡ ratione vis illius cum duplicata temporis, quo arcus να inficitur,eain, nuscendo utique primam, illa Tusemper propriam habebit. Cave edi in credas illam Te o Primum utique nancentem, non a nuda vi centripeta, ut in spatiis vacuis, sed a majore emeaeia vis centripetae prae virenixus genitam, differentiae virium illarum rationem eum duPlicata temporis, quo arcus P Leonis scitur, composiam nascendo servare. Nae ille multum a vem aberraucris, cui id in mentem venerit rem eo modo agi. Nimirum cum renixus omnis motui sit contrarius, corpus dum Per arcum PQ incedat, nullum plaud renixum sentiet, nili qui secundum arcum illum agat. Materia, 1 corpore progrediente a r versus n arcu P L propulsa, vitissm repellere conatur corpus tu arcu illo a tu versus P. Conatus autem ille repellendi ita duos est resblvendus sper Leg. Mot. II. duobus illis, E quibus eoia politus cst coi Inaris per arcum re motus, contrarios : quorum cum alter secundum tangentem a P directus sit, alter feeiuidum radium sp, hic vi cem ripetae opponitur atque ejus esse actam minuit. Duo autem conatum repellendi secundum arcum ea componum; nec aliud juncti praestant, nili ut arcum illum dato tempore consectum, breviorem reddant quam pro ratione motus per inane. Arcas igitur us, quo νe abest ab illo pq qui eodein tempore in spatiis vacuis conticiendus elici, illud omne refert, quod vis renixua ctacuor, dum corpuι I er M cum Pu iter
356쪽
PRINCIPIA MATHEMATICA. 323mento, Velocitas qua arcus QR describitur, est in subduplicata ra- Lia σα
tione I Psii US SQ reCIPro C. Sunt autem arcus Illi, PQ M QR , Ut
velocitates descriptrices ad invicem; id est, in subduplicata ratione
s in ad sp, sive ut sin ad os P κ Sin; ob aequalm angulos SPQ , SQ; , M aequales areas P SQ, QSr, est arcus PQ ad arCum Qr Ut ad sp . Sumantur proportionalium consequentium differentiae,ia fiet arcus PQ ad arcum R= ut SQ ad SP SP κ sin, seu V . Nam Phinciis P 8c in coeuntibus, ratio ultima sP- SP κ Sin ad Vinest aequalitatis. Quoniam decrementum a PCUS PQ , CX Γe
sistentia oriundum, sive hujus duplum R=, cst ut resistentia Mquadratum tem Poris conjunctim ς erit resistentia ut FG Si, - Εr tautem PQ ad AI , ut SQ ad Vine M inde -- sit ut
si Ve ut di is. Namque Punctis P in coeuntibus, SP 8 sci coincidunt, M angulus P vin sit rectus; δί ob similia triangula
iter sae eret. Neque ::lia erit vis renixus secundum radium sp efficacia, qua vi centripctae ossiciat, Praeter illam, quae cum altera ejus iucundum tangentem c: heacia compotita effectum totum cata praestat. Minuit igitur vis renixtis ecclinationem corporis a tangente cato tempore: sed imminutionem illam esectus compositus, us, in te totam habet. Et quanta quanta fuerit via renixus ratione vis centripetae, nihilominus illa Tota 1 nuda vi eentripeta provenerit, haud secus ae si in spatiis Vacuis motus perageretur. Nam li estuestim vis renixus. ad de ei nationem corporis 1 tangente imminuendam. iterum in redi 5 τ seorsim considerare velis, cuius alias in ellectu composito rationem habuisti, prosceto emeaeiam vis renixus vi centripetae eonrrariam imprudens dupli dem posueris, quae limplex omnino ponunda erat. Nec aliter Newtonum intellexiste, ut ut aliter scrip tille videatue, ex Corollariis, quae huic Propositioni comitantur, satis patet. Quorniri ne ullum quidum generaliter obtineret, ii iplius Propositionis rationes in eo ponendae essent. quod vis renixus natione vis ceu tripetae percxigua esset. linino, vocabulis illis D - . ora illud ipsun, eredo lignitieare voluit, patiem illam vis renixus, quae, secundum radiunt agendo, corpus a centro - . pullat, ad minuendam illam τα nihil plane valere. Quam tamen rectius dixisset ad partes non denti candam, cuin alias eius ratio habita ess)t, qualii prae parvitate sua negligendam ; cui vel dimidi:e vi centripetae aequali este lieeat, se ui Corollario quarto Neri tonus ipse constituit. Sed rem satis dissicilem, si potero, enodatius explicabo. Cogita itinctam s1 in tangentem rProduei. aucae pars productae se a Cur, a & langente iniereepta fuerit, ea scilieet declinatio erit corporis a rccio tramite, quam tempore, quo arcus ruce inscitur in spatio impedito, vis e e ni ri- laeta effecisset in spatiis liberis. Pata illa productae set recta tusemper quidem major erit. At qui evanescente arcu P L. areus 19 una evanclait ; tali quidem lcge, ut licet semper major sit quam e L. corum tamen differentia ea velocius multo quain pro ratione arcus pq nimiatur. Arruigitur a tuti nini tu imminuto et ad nihilum tandem redacto, iis sinui in nihilum abierit; arcinar rq lieai: ultimo aequales; rccta sy congruet ultimo eum sus Se pars illa prodestae 'li :i Curvia et tangente intercepta erit, ipli Tn s et ultimo ἔ equalis. Areu igitur pu insinhu in dii-nuto, recta Tinet declin tio corporis a reno riani ire quam inera vi centripeta in spatiis vafuis, eodem tempore quo generata fuerit Ta, cfecisset; hae rationem sue evanescenta ultimani, fi enasemido primam, ipsani .equalitatem habent. Haud alia igitur quantitate nassior poterit recta ταie si 1 n.cia vi centripeta provenister. Id vero non quasi parva sit vix renixus ratione visi centialis; sed quia talis sit, quae mutationem aliquam vis inlitae in corpore moto non nisi lente admodum et gratiarim pariat. Ninint , si cen to s, et dio tr, scriptuς si arcus circu aris, pcrpunctum V t .mlibit, prop-
357쪽
resistentia, id ost, in natione densitatis mcdii. in P Sc ratione duplicat1 velocitatis conjuilini m. Auferatur duplicata ratio Velocitatis, nempe ratio -', M ma nebit medii densitas in P ut
ob datam rationem os ad OP, densitas medii in P erit ut a. In medio igitur cujus densitas est reciproce ut distantia a centro SP, corpus gyrari potest in hac Spirali. Q. E. D. Corol. I. Velocitas in loco quoVi S P ea semper est, quacum corpus, in medio non resistente, eadem Vi centripet:i gyrari potest in Circulo, ad eandem a centro distantiam SP S . Corol. 2. Medii densitas, si datur distantia sp, est iit - , sin distantia illa non datur, ut Et inde Spiralis ad quamlibet Medii.
π aequales s P, IU. Et Propter angulum ait v re in m. angulumque dira , d spirarum natura, l.itum ; fisura Puv, quae arcu spirarum ireta circulari νς, rectaque Quasi conclusa, arcubus ill:si , P v, evanescentibus, trianguli cujusdatri rectilinearis rectanguli speciem ultimo induet. Dico ii si vos figuram mav fieri ultimo limilem. Nam cum rectus sit angulus oes . angulus FP llius ops complementum erit. Vcrum eiu silem ors ille soν complimentum. Angulus igitur sor an gulo si usequalis. Scit eidem speisi e rca E Spirarunt natura aequalis. Anguli igitur bor, rurinier se aequales. Tii ingula igitur vos, rq r, quae angulos ad . v rectos, Ac utosque ad P, Q κ- iuales liabent, ea omnino inter se Linitia erunt. Litera i, fgni licetur recta qmedam, ea lege mutabilis ut densitaris semper rationem gerat.
E iit igitur ut renixus, id est, ut Quare D, sive densitas, ut
Hoc est, detur angulus ad spiram PQ,
r) P υτ vires quasilam centrum Σ, irr. inani constitutuni, respicere; tales quae virilans centrum s. in spatio impedito eontii tutum, respicientibus, in aequalibus a centro dili antiis aequales fuit. Circum ccntriani Σ, radio ΣΠ, euilibete Spirarum radiis εν x iuxti, scribatur ei reulus I xv. Di eo corporis in lpatio impedito per Spiras lati, in loco P, ve o citatem velocitati illi aequabili esse aequalem, quacum corpus in inani circum centrum Σ Per circulum lix Y set ἀtur. Sint enim PQA rix arcus, ille Spirarum, hic Circuli, eodem lcmpore e sedit; iunctaeque set, Ση rectis PT, Iiυ, qua: EurVas in punctis P, n contin ἀς mi,
358쪽
PRINCIPIA MATHEMATICA. Medii densitatem aptari potest ' .
Corol. 3. Vis resistentiae in loco quovis P, cst ad vim centripetam in eodem loco ut os ad o P. Nam vires illae sunt ad invi
PQ , seu os M o P. Data igitur Spirali datur proportio resistentiae ad vim centripetam; M vice verta cX dat 1 illa. proportione clatur Spiralis.
Corol. 4. Corpus itaque gyrari nequit in hac Spirali, nisi ulti
vis resistentiae minor est quam dimidium Vis centripetae. Fiat resistentia aequalis dimidio vis centripetae, . M Spiralis con Veniet cum linea recta Ps ; inque hac redi 1 corpus descendet ad centrum ea Cum velocitate, quae sit ad Velocitatem ,. qu1.Pmbavimus in si perioribus in ca1u Parabolae Theor. X. Lib. I.) descensum in medio non resistente fieri, in subduplicata ratione unitatis ad numerum binarium . Et tempora descensus hic erunt reciproce ut Velocitates, atque ideo dantur . . Corongunt, in pune iis τ, Θ occurrant. Jam eam iIIa Tet . . arcti PQ primum nascente, a nuda vi cen- tr peta provenerit, quod modo probavimus t. nascentes primum T L, NX, Cum ab re Pia lilius viribus centripetis eodem tempore oriundae sint, erunt inter se aequales. Quare Propter Sr, ΣΠ inter se aequales, rectangula naseentia asν κ aEla κ Θx, primo quidem inter te aequat aerunt. At vero.rectangulo naicenti as p κ quadratum ex ira lectato PQ. Primo est aquato. Prolvitur a Lemmate IlI.ὶ Mei cingulo item nascenti a ΣΠ κ ox quadratum e naicente prirnis i IX. Probatur circulo. Quadrata igitur P nascentibus pin, rix erimi primo in rei se aequalia. Quarunt nascentcs r Πx primo inter se aequales. . Velocietatea autem corporum, u loci, P, Π egre- clientiam, cam inter se rationem habent, quae arcuum nascentium ruc, rix inter ipsos prima eii.
clocitates igitur ita loeta illis erunt inter se aequales. in E . D. t ) Ni Mi Ruri si dentur Spirae rotari: - ωαι. p. 3a per quas eorpus seratur, Petr materiam, data quadam dentitate, in elata a centro s dii tantia sp, praeditam, datriuitur sp raeolix ux Gre figuris υ- sto per quas corpus teretur, cui cum materia circumlusii luetandum lit, quae in ulla a cunrro Σ bitantia data Σis, aliam datam densitatem habeaec spirarum P fit radius ερ radio ΣΠ spirarum Πx aequalis. Apuncto si eductam pnta rectam rin, quae Curvam Iax ad perpendientum insistat, recta ludi Ma, a pii ne to Σ ait Perpendiculum eum radio 2II eductae, ite n oecurrat. Dens tutes in locis p. II significentur liten is D, Δ. Den fitas ia loeo ρ litera L Erie n : . π:U: sp . Quare datis V, s p. dataque etiam densitate D, de illitas ae dabitur. Sed A: Δ os κ nri : ΩΣ κ Or. Datarum autem d. Δ ratio data. Rectangulorum igitur os κ ΩΠ- ΩΣ κ or ratio lata. I .at a autem cra, or magnitudine data. Quare mutua eorum
ratio data. Dat. r. Qua pe et reliquorum laterum nΠ, ΩΣ ratio data. Dat. b8.ὶ Triangulum igitur nΣΠ eujus angulus ad x rectus, specidi datum. Dat. 43. Angulus igitur ΣIὶH latus. Sed angulo TRII angulus Trax, rudio rat Curvaque interelusus, aequalis est. Angulus igitur spirarum datus. Spirae igitur speeie datae Dato igitur centro S, radioque 21 I magnitudine et positione dato, Spirae, cum specie datae lint, positione etiam dabuntur. in E. D. Per Cor. i. & Lib. I. Prop. I U. Cor. 6ol CORPORA duo recta cadant; alierum per inane versus centrum Σ, alterum Versus centrum a P
359쪽
Corol. s. Et quoniam in aequalibus a centro distantiis velocitas, eadem est in Spirali Pin , atque in recta SP, M longitudo Spiralis ad longitudinem. ructae Ps est in . lata ratione, nempe in ratione opad os ; tempus descensus in Spirali orit ad tempus descensus in
re fici s P in eadem . illa data ratione, Proindcque datur. Corol. 6. Si centro s intervallis duobus quibuscunque datis cle- scribantur duo circuli; M manentibus hisce circulis, mutetur utcunque angulus, quem Spiralis continet Cum radio Ps e numerus Te Volutionum, quas corpus intra circUlorum circumferentias, De
per materiam quandam circumfusain, euius densitates dissantiarum a centro s tationes contrarias servent. Ponantur vives, quae centrum utrumque, ΣΩ s, respieiunt, rationem duplieatam distantiarum contrariam servare; et vires diversas ad a, quales a centro distantias intor se aequales esse. Ponantur aut in. sv inter thaequales; et velocitas corporis per inane cadentia, in ioco R. ea fit, 'limine alii in is finito totum usque II adeptum esset; ea vero corporis per materiam circumtulam cadentis, in loco P, quacum in spatiis, vacuis circulum circum cenerum s ad dista tiam se, scribere posset. Sint Στ, sp, aliae corporum 1 centris distantiae inter i eaequales. Dieit Nerulonus tempus casus per rectam lIae in spatio vacuo ad tempus caliis per aequalem Pp in syatio imi edito, rationem habere subduplieatain ejusi quam unitas ad binarium habet. Tempora eadendi per Ππ, Pp literis S, T lingulatim signiti- . eentur; velocitates corporum ii centris suis Σ', s aequaliter uist .intium, literis Υ, v. Eritiam : ν ΘΜ Υ : T κV. Ponantur sτ, se, quae initio fuerunt Til. sp, ca leget suem, ut muta-
biles Σου, si semper sint inter se aequales. Ita fluxiones, iii, Pp, semper erunt inter se aquales.
Ac proinde rectangula υκ .τ κ v inter se aequalia. Quare S : v r Υ. Sed v : Υ- i : a. Quare o : τ' I r a. . Et cuui haec constans sit fluxionum rati , .suentibus etiam S, T, utpote
. quae simul generari inceperint, eadem intercedet. Et cum in omni magnitudine aequali iiiii Ilae, ut, haec ratio vigeat, vigebit etiam quando aequales iam, Via totas liΣ, rs creverint. Iloc cst tempus casus ab altitudine quavis ΣΠ centrum usque T in inani, ad icmpus casus ab aequali altitudine FP centrum usque s , in spatio impedito, rationem habebit lutiduphcatani ejus quam unitas ad binarium habet; modo vclocitates, quibuseum casus in locis II, P incipiantur, cae lint, quas piaescripsimus. Qi E. I. . Nimirum ciuia haec constans sit fluxiomini Curvae radiique ratio. Cia curi centrum s quod vires eentripetae respieiant quae duplicatae distantiarum rationi contrarie respondeant, scriptos pata circulos Anc, tu. ν. S atium illud omne, quod horum. circulorum circumflexus undique cingunt, materia quadam intelligatur conspergi, cujus densitat in variis locis rationcm distantiarum a centro s contrariam servent. Siquod igitur corpus e loco A projedium fuerit, secundum restam tali angulo ad radium sΛ inclinatam, quem Mulitas materiae in loco A Postulaverit; atquc ca euin velocitatu, quacum, urgentibus eisdem viribus centripetis, per circulum A nc in inani aequabiliter surretur: eorpus, inquam, eo modo h loco A prolectum, per spiras miti angillares certae cisi usitatu lpeciei ei rea centrum s seretur. Dentur anguli Asci, Λ si . Literae autem a , I numeros quoidam adhue incognitos fguificcnt. Ac primum eam puta mat liae in loco A dentitatem, quae spiris aequiangulis, per quas corpori d loco Λ proiecto e nudum e , rit, speciein inducat cam, in qua radii, angulos qui dato Asci sint aequatus, cum Curva faetant. Tales aute in spirae, per punctum A ductae, ad punctum D radii , A periiugunt postqiram emoum stot gyris cinxerrat, quot sint in munero x unitates. De in mutatam puta materiae, quacum spatium circulis interclusum oppleri posuimus, densitatem et tali quidem ratione, ut fpcet ea spirarum, Per quz corpori, e loen A Projecto, eundum sit, in illam transeat, eujus radii cum Curva angulos taciant dato Afri aequales. Atque tales spirae per punctum A cluciae ad punctum t) radii s A pervcniant, Postquam centrum suuin s tot s ris cinxcrint, quot sint in numero at unitates. Ducatur Fer A recta Ail, quae circulum ΛBc in Α contingat et rectis SV, 1Η datoci angulos As G, As Η, .cum radeo sΛ osscientibus, in punctis G, it occurrinia
360쪽
PRINCIPIA MATHEMATICA.gendo in Spirali a circumferentia ad circumferentiam, complere
potest, est ut -; sive ut tangens anguli illius, quem Spiralis continet cum radio Ps ; Tempus Vero revolutionum earundem ut - ,
id est, ut secans anguli ejusdem, vel etiam reciprocε ut medii den
Corol. 7.. Si corpus in medio, Cujus densitas est reciproci ut distantia locorum 1 centro, revolutionem in Cum 1 quacunque AER circa centrum illud fecerit, M radium primum As in eodem an
Dieit Newtonus nummim x ad numerum ν rationeim habere eam, quam recta Aci ad rectam Au. Tempus autem, quo corpus a loco A in locum D per spiras primas delatum fuerit, ad tempus, quo delatum fuerit ab eodem loco A in eundem D per spiras alteras, rationem hallere eam quam recta sci ad rectam su ; sive eam, quam densitas postremo posita ad densitatem primo positam. Nos autem Ostendimus quae Neu tonus dicit hoc modo. Spirarum aequiangularium ea est natura, ut si duo ex earum radiis, s P, p. qui datum quemvis angulum contineant, cireulo, datae cujustibet magnitudinis, circum centrum spira n s scripto. eurrant, ut in pumiis sa , q; tum si sumatur T tangenti anguli quem radii spirarum eum curvi, contineant, pro radio a ta di qualis; arcus a radiirus , fg inrerceptus, rationis eius quam ιν ad sp habet, . pro modulo T logarithmus erat. Cotes. Harmon. Mensuri Pari I. Prop. vi. . Ηxe autem esim ita sint, fi ei reuli Alle ambitus significetur litera ν, erit utique x p logarithmnx r tionis, ejus quam sA habet ad si , pro modulo AG. Erit etiam 3ν eiusdem rationis logarithmus pso modulo Au. Ejusdem autem rationis in systematis diversis logurithmi sunt ut moduli. Cotes. Harmon. Meustr. Papi I. Prop. I. Cor. 3. Erit igitur xp ad I ut Aci ad AK. Sed xv est ad I ut ri mei us x ad numerum . Omnino igitur numerus x ad numerui I ut AG ad Au. Quod primum demotarandum erat. Iam vero tempus, quo corpus h loco a in locum D transferatur per spiras quarum anguludi Abs, est ad tempus quo per lpatium AD reeta cecidisset, fi talis fuisset materiae densitar, quae vim renixu; vis centripetae dimidiam effecissit, ut cis ad sΛ sper Cor. f., Quin et tempus illud rectae/dendi per spatium AD, ad tempus quo transferatur corpus e loco A in locum t3 Per spiras quarum angulus Asu, ut 1 A ad su sper Cor. ς. Quare ex aequo tempus per spiras primas ad tempus Per has alteras, ut sa ad sit. Quod alterum demonstrandum erat. Denique rationem sectaesa ad sit densitatum esse contrariam, id quidem ex Cor. a. satis patet. Stahunt autem hujusce Corollarii rationes, etiamsi spirae circulum interiorem non Rd eundem raiadium feeent, ad quem exteriorem secuerint, sed in diversis locis; puta si primae in g, alterae in ν rmodo pro numero conversionum x vel ν. longit udo illa substitu. inr. quam radii mobilis terminus R, in circuli sui Aac cireumflexu, cursitando emensus erit, dum corpus per spiras suas a circulo in circulum translatum fuerit,