장음표시 사용
361쪽
gulo secuerit in B quo prius in A, idque Cum
Velocitate quae fuerit ad velocitatem suam Primam in A reciproce in
subduplicata ratione distantiarum a centro id est,
ut As ad mediam Proportionalem inter As MBs corpus illud perget
innumeras consimiles revolutiones BFC, CGD, S C.
I T corpus viribus centripetis incitatum, quae duplicatar clinanti muti rationi contrarie m--spundeant, per spiras aliquas seratur ex Aqui anni laribus; non modo illud necessie cit, ut materiar circumfusae densitas rationem distantiae a centro contrariam servet, sed criam ut corpus ex dato loco cum certa velocitate proiiciatur, & secundum rectam certo quodam angulo ad radium inest.. natam: nen Pe cum velocitate ea, quacum in inani, urgentibus iisdem vitibus centripetis, per circulum serretur ad eandem a centro ditiantiam per Cor. t. ; ea autem ad radium inclina- Iione, cujus colinus rationem ad radium habeat, quam dupla vis renixias ad vim eentriperam . per Cor. 3. Qxiod si vel alia eum velocitate, vel secundum rectam alitur ad radium ineli natam, corpus projectum suerit, fieri nullo modo potest, ut per spiras aliquos ex aequiangularitim Vncre curtum teneat. At vero per Curvam aliquam. aenam illa erit Z Difficillimam hane quaesii item ne omnino intactam videretur reliqui se, No tonus, ut opinor, septimum hoc co- tollarium posuit. Nempe fieri potest, ut corpus aliter ἰ, loco A projedium, quam quo motus pcr spiras logisticas praetiari possi, Curvam qualida ni .circa cent in s scribat, cujus, liceat haud Prori iis aequiangularis sit, data tamen quae iam ad radium inclinatio certis liscis redeat. Si igitur talis iit, cujus, cum semel ee:itriim cinxerit, eadem ad radium s A inclinatio redeat, quam in loco A habuit; hoe est si ardium s A eadem inclinatione in i is duobus A, B seeuerit, si praeterea - velocitates in locis, A, B, subduplicatam radiorum a A, fB rationem eontrarie gerant: dicit Newtonus Curvam illam eentrum s gyris innumeris cingere, qui omnes ad radium As similiter ineli- uati erunt, et radium illum in partes innumenis dividunt, geometrica ratione inde ab initio de-cιUscctiles. Tempora vero, quibus corpus per hanc Curvam latum orbes singulos AKR, ni C, c GDordine confecerit, rationem habere d ratione longitudinum ipsorimi orbiimi cum ratione velocitatum in locis A, B, c compolitam ; sive eam, quae cuborum e nubis As, Bb, Cs subdupli data erit. Qitorum omnium haec erit demonstratio. Purpetua li sit inter rectas sA, an, se . sn proportionis convenientia, erunt aliquae ex spiris tuquiang ilaribus, quae, si polus eorum ipti a superimpolitiis csset, radius autem ipsi s A aequalis in ipsum riodium s A, radios suos alios, qui illis sa , sc, s D aequales essent cum ipsis F D, AC, SD congruentes haberent; et inter puncta qua que, proxima, Λ, E; B, C; C, D ; stinplici semiaer orberulum s cingerent. Ian vero vires tentripetae acceleratrices, quibus corpus Per Curvam AEA inceduns in locis A, B, urgetur, e :edem sint, quae corpus per spiras illas latum in eisdem locis vrgerent. Vulneitates item corporis per Curvam AEa in dentis quas in locis A, n, habet, cum eandem inier se rationem gerant, quam velocitates eorporis quod per spiras serretur, quas in eisdem locis utique id haberet: permutando, velocitas in Curva AEn in loco A, ad .velocitatem in loeo Aiu spiris, ut velocitas in curva AEa in loco a ad vclocitatem in loco B in spiris. Densitates etiam muturiae in locis A, sex leni, sive corpus per Curvam Aha, live Per spiras incedat. Denique cumtona spis .irum quam Curvae caedem fini in locis A, B, ad radium conrnwnem 5Α inclinationes, ea clem scilicut in utroque loco Curvae ad spiras inclinatio crit. Motus igitur corporis e loco egre- . dientis,
362쪽
329 PRINCIPIA MATHEMATICA.lvis distinguet radium As in partes A 8, ns, CS, DS, sc C. Continue L nr
Proportionales. Revolutionum vero tCmpora CrUnt ut Perimetri
Orbitarum AEB, BFC, CGD, S c. directe, M vel rcitates in principiis A, B, C, inversu ; id est, Ut λS , BS , cs in . Atque tempus totum, quo Corpus pervcniet ad centrum, erit ad tempus revolutionis primae, ut summa omnium continuo Pro Portionalium As',
BS , C si, Pergentium in infinitum, ad terminum primum As'; id ost, ut terminus ille primus As' ad differentiam duorum primorum Asi-Bs' '), sive ut i As ad An quam proxime. Unde tempus illud totum expedite invenitur. Cores. 8. Ex his etiam praeter propter colligere licet motus corporum in mediis, quorum densitas aut uniformis cst, aut aliam
dientis, ad motum corporis, cui ex eodem loco egredienti secundus spirarum orbis scrihendus esset, eodem plane modo se habet, quo motus corporis . loco A egredientis ad motum corporis se habuit. cui, cum ex eodem loco egrederetur, Per primum spirarum orbem eundum esset. Vires etiam illa omnes, quibus corpori . loco E egredienti Oh temperandum est, ad vires illas, quae motum per secundum spirarum orbem Praestarent, eodem modo se habent, quo vires, quibus eorpori δ loco Aegiudienti obtemperandum erat, ad vires quae motum per spirarum orbem primum praestarent. Fieri igitur nequit, cum in rerum natiua nihil line ratione fiat, quin corpus h loco x egressum per Curvam quandam seratur, cui cum orbe spirarum se eundo cadem pi m Θ cognatio intercedat, quae Curvae Alba cum orbe illarum primo. Unde etiam Curva illa Drc cum secundo spirarum orbe in loco c iterum exancurret, et tam radium communem se quam spiras eisdein angulis in C, quibus in a vel A, secabit. Et similibus plane argumentis ei ieietur corpus . trico C egressum νζr tertium quendam orbem serii, cui cum orbe spirarum tertio eadem cognatio intercedat, quae orbibus ΛEs, nc D cum spirarum orbibus primo et secundo : et E loco C ex reisum corpus per orbem quartum c Gi, seretur cum orbe spirarum quarto similiter cognatum. In lumina, Curia, Per quam eorpus seretur, centrum s orbibus innumeris cinget; qui spirarum orbibus innumeris in punctis A, B,
C, D ordine occurrentes, radium primum sΛ, in innumeros sA, sll, fC, sla ratione geometri
decrescentes necessirio divident. Et cum innumeri illi huius Curvae orbes spinarum innumeros simili inclinatione singulatim secent, ad radium etiam illi omitus in intersectionum punetis similiter inclinati erunt. Praeterea ex simili orhium omnium Curvae ad spirarum orbes, si ordine eonserantur, cognation , sequitur orbibus Curvi, i imo, secundo tertio, innunierisque deinceps aliis, casuum plane itit ripius rationes intercedure, quae spirorum orbibus primo, secundo, tertio innumerisque deinceps; istis: quin et tempera, 'nibus Curvae orbes conscientur, temporum, quilius spirarum orbes conficiendi essent, rationem inter se servare. Nam cum ex orbium, Curvae spirarumque, stat cognatione seu diversitate omnis temporum seu cognatio seu diversitas proveniat, ex simili Orbium cognatione similes planὸ temporum seu cognationes seu diversitates venerint. Tempus igitur quo conficitur Orbis AEn erit ad tempus quo conficitur orbis tr c, ut tempus quo Primus spirarum orbis ad tempus quo secundus conficiendus esset. Sed tempus quo primus conficeretur spirarum Orabis ad tempus quo secundus rationem habet d ratione longitudinis orbis primi ad longitudinem orbis secundi, cum contraria velocitatum in locis A, a ratione compolitam. Nimirum cum Dilies inter se nint similes, dataque sit velocitatum ratio, quibus similitim illorum orbium partes omnes simitus conficiendae essunt. Sed longitudines orbium, propter similitii linem corum inter se, suntur rad:i s A, fB. Et velocitatum contraria ratio radiorum s A, sn subduplicata erit. Quare ratio ex hii e composita cuborum d radiis sA, sit est subduplicata. Tempus igitur quo primus spirarum orbis conficeretur ad tempus quo secundus, ac proinde tempus quo conficitur Orbia ALB, ad tempus quo orbis alter tro, rationem habet quam , A ad sa . E. D. Horum demat si Hon/m ex eis. m principiis arces: eruri donis i Pan ei Le Seris ta Dcquier.
'a Vide Analys. per AEquat. Inituit. Not.
363쪽
quamcunque legem amsignatam observat. Centro S, intervallis Continue ProPortionalibus SA, SB, SC, 8 c. describe circulos quotcunque, M statue tempus revolutionum inter Perimetros duorum quorumvis ex his circulis, in medio de quo egimus, esse ad tempus
dem in medio Proposito, ut medii propositi densitas mediocris inter hos circulos ad medii, de quo egimus, densitatem mediocrem inter eosdem quam proxime : sed Sc in cadem quoque ratione esse secantem angini, quo Spiralis praefinita, in medio de quo egimus, secat radium As, ad secantem anguli quo Spiralis nova secat radium eundem in medio
propositor atque etiam ut sunt corundem angulorum tangenteS,. ita esse numeros revolutionum omnium inter circulos cossicin duos.
quam proxime. Si haec fiant passim inter circulos binos, continuabitur motus Per circulos omnes. Atque hoc pacto haud dissiculter imaginari possimus, quibus modis ac temPoribus corpora, in medio quocunque regulari, gyrari debebunt. Corol. 9. Et quamvis motus excentrici in Spiralibus ad formam Ovalium accedentibus Peragantur; tamen conciPiendo Spiralium illarum singulas revolutiones iisdem ab invicem intervallis distare, iisdemque gradibus ad Centrum accudere cum Spirali superius descripta, intelligemus etiam quomodo motus corporum in hujusmodi Spiralibus peragant Ur.
Q ad εαε in y. Ulule pet: sta ultimo α sins s , ho Q. Ruisum cum aequales sint areae P R., u r, anguli lue FPQ , fur inter se aequatus: cum praeterea areae illae ev. noscentes trianguis lotum rectilinearium rat onem inter tu ultimis aleiscant: ideirco Pu erit ad re ultimo ut us ad sp. Elc vI. I s. Cum igitur sit pu id stat ulliuio ut a Lad sua invia et PQ ad n ultimo ut
364쪽
PRINCIPIA MATHEMATICA.33IP R O I . XVI. THEOR. XIII. Si medii dos las in locis His si reciproce ut i gantia locorum 2 centro immobili, siquo et is ceu rite a reciprocd ut dignitas q&a7- Iibet ejusdem distantiae fco quod corpus rarari potes in Spirali,
quae resulas omnes 2 censro Ego Euctos intersecat in angulo dato. Demonstratur eadem methodo cum Propositione superiore. Nam si vis centripeta in P sit reciproce ut distantiae, sΡ, dignitas quaelibet, s P '', cujus index estn Φ I: colligetur ut supra, quod temPUS, quo corPUS describit ar- Cum quem Vis PQ , erit Ut P κps: ' ; M resistentia in P ut 8 sive iit J V Vin Ari
op , reciproce .uts P ' . Et propterea, cum velocitas 1it reciproce ut SP , densitas in P erit reciproce ut SP. Corol. I. Resistentia est ad vim centripetam ut I- n κ os ad
Corol. 2. Si vis centripeta sit reciprocu Ut s P cub. erit I-Znαος
ideoque resistentia Se densitas medii nulla erit, ut in Propositione nona Libri Primi. Corol. 3. Si vis contripeta sit reciproce ut dignitas aliqua radiis P cujus index est major numero 3, resistentia assirmativa in negativam mutabitur .
Iam vero id quo arcus piae propter renixum brevior redditur, sive ejus duplum,ar, rationem servabit E ratione vis renixus cum duplicata temporis compositam. Quare vis renixus erit ut
Id enim eodem modo ostendatur quo Corollarium tertium Propositionis Praecedentis. FlERI igitur nequit, ut corpus per materiam renitentem in spira aequiangulari iter faciat, si Vi es centripetae potestatis alicujus distantiarum, quae cubica elatior fit, contrariam rationemrrant.
365쪽
Scholium. Caetorum haec Propositio M superiores, quae ad Media inaequa liter densa spectant, intelligendae sunt de motu corporum adeo parvorum, ut Medii eX Uno corporis latere major densitas quam ex altero non Consideranda veniat. Resistentiam quoque, Caeteris Paribus, densitati proportionalem esse suppono. Unde in Mediis, quorum vis resistendi non est ut densitas, debet densitas eo usque augeri vel diminui, ut resistentiae vel tollatur excessus vel defeciatus supPleatur.
P R O P. XVII. P R O B. IV. μυenire N vim centripetam N medii res,untiam, qua corpus is Ia Spirali, data velocisatis lege, revolvi potes.
Sit Spiralis illa P R. EX Velocitate, qua corpuS Percurrit a Cum qUam minimum PQ , dabitur tempus ; ex altitudine TQ , quae est ut Vis centrisciaia quadratum temporis, dabitur
vis. Deinde EX arearum, aequalibus temporum particulis confectarum, PS in M QSR, dif- serentia Rsr, dabitur corporiS retardatio, Se ex retardatione invenietur resistcntia ac densitas medii.
P R o P. XVIII. P R O B. V. Data lege vis centripetae, iuvenire medii densetatem in locis singulis
qua corpus iliatam Spiralem describet. EX V, centripeta invenienda est velocitas in locis singulis, deinde eX velocitatis retardatione quaerenda medii densitas; Ut in. Propositione superiore. Methodum uero tractandi haec Problemata aperui in hujus Pro-3 Positione
366쪽
positione decima, M lemmate secundo; M lectorem in huius-Ι.ia modi perplexis disquisitionibus diutius detinere nolo. Addenda jam sunt aliqua de viribus corporum ad Progrediendum, deque densitate M resistentii Mediorum, in quibus motus hactenus cX- positi Sc his astinos Peraguntur.
SECTIO U. De dens ate G compressione Fluidorum, deque Π di Haticae.
Definitio Fluidi. Fluidum es corpus omne, cujus partes cedunt vi cuicunque ligatae G cedendo facile movenIur inter se. P R O P. XIX. T H E O R. XIU.. Fluidi homogenei N immoti, quod in vase quocunque immoto CD itur re undique comprimitur, partes omnes taepositά contare Milonis, gravitatis, cir virium omnium centripeIarum consder Itono aequaliter premuntur undique, N Dre omni motu a pre sone Eta orIo permanent in locissuis- f. I. In vase sphaerico, ABC, claudatur M Uniformiter comprimatur fluidum undique: dico, quod ejusdem pars nulla eX illi pressione movebitur. Nam si Pars aliqua D moVeatur, necesse esst ut omnes hujusmodi partes, ad eandem a centro distantiam undique consistentes, simili motu simul moveantur; atque hoc ideo quia similis aequalis est omnium pressio, Sc motus omnis exclusus supponitur, nisi quia Preia
sone illa oriatur. Atqui non Pollunt om-ncs ad centrum propius accedere, nisi sui dum ad centrum condensetur ; contra hylohesin. Non possunt longius Ob eo recedere, nisi fluidum ad circumferentiam condensetur; etiam contra hvpothesin. Non Possunt servat1 sua a centro distantia moveri iniplaga
367쪽
Plagam quamcunque, quia Pari ratione movebuntur in plagam contrariam; in plagas aulcm contrarias non Potest Pars cadem, codem tempore, moveri. Ergo fluidi pars nulla de loco suo movebitur. Q. E. D. f. a. Dico jam, quod fluidi liiijus partes omnes sphaericae aequaliter Promuntur undique. Sit enim EF Pars sphaerica fluidi ; Sc si haec undique non Premitur aeqUaliter, alageatur Prestio minor, usque dum ipsa undique Promatur aequaliter; Τc Partes ejus, Per casum Primum, Permanebunt in locis suis. Sed ante auctam pressionem permanchunt in locis suis, Per casum eundum Primum, Sc additione pressionis novae movebuntur de locis suis, Per definitioncm fluidi. Quae duo repugnant. Ergo fallo dicebatur, quod sphetera EF non undique Premebatur aeqUaliter. Q. E. D. f. 3. Dico Pr etcrea, quod diversarum Partium sphaericarum aequalis sit pressio. Nam Partes sphaericae contiguae se mutuo Premunt aequaliter in Puncto contactus, Per motus Legem III. Sed M, Per casum secundum, Undique Premuntur eadem vi. Partes igitur duae quaevis sphaericae non contiguae, quia Pars sphaerica intermedia tangere Potest utramque, Prementur eadem Vi. Q. E. D.
f. 4. Dico jam, quod fluidi paries omnes Undique premuntur aequaliter. Nam Partes duae quaevis tangi possunt a partibus sphaericis in punctis quibuscunque, Se ibi partes illas sphaericas aequaliter Premunt, Per Casum 3, M vicissim ab illis aequalitcrPremuntur, Per motus legem tertiam. Q. E. D.
f. s. Clim igitur fluidi pars quaelibet, GHI, in fluido reliquo
tanquam in vase claudatur, M undique Prematur aequaliter, Partes autem ejus se mutuo aequalitor promant M quiescant inter se; manifestum est, quod fluidi cujuscunque, GIII, quod Undique Premitur aequaliter, paries omnes se mutuo Premunt aequaliter, N. quiescunt inter se. Q. E. I .
CV 6. Igitur si fluidum illud in vase non rigido claudatur, Mundique non Prematur aequaliter; cedet idem Pressioni seniori, per closinitionem fluiditatis. Cas.
368쪽
Cas. 7. Ideoque in vase rigido fluidum non sustinebit pressio-I,inganem fortiorem ex uno latere quam ex alio, sed eidem cedet, idque in momento temporis, quia latus Vasis rigidum non Persequitur liquorem cedentem. Cedendo autem urgebit latus oppositum, Sc sic Pressio undique ad aequalitatem verget. Et quoniam fluidum, quam primum a Parte magis Presa recedere conatur, inhibetur per resistentiam vasis ad latus Oppositum; r ducetur pressio undique ad aequalitatem, in momento temporis, sine motu locali: M subinde partos fluidi, Per casum qiaintum, se mutuo prement aequaliter, M quiescent inter se. Q. E. I . Corol. Unde nec motus partium fluidi inter se, per pressionem fluido ubivis in externa superficie illatam, mutari pollunt; nisi quatenus aut figura superficiei alicubi mutatur, aut omnos fluidi partes, intensius Vol remissius sese Promendo, dissicilius vel facilius Iabuntur inter se.
P R o P. XX. TII EOR. XU. Si fluidi s aerici, N in aequalibus a centro di antiis homogenei, fundo sphaerico concentrico incumbentis, partes fvulta versuS cen- Irum totius gravisent; susinet fundum pondus cylindri, cujus
basis aequalis es super cisi fundi, ae altitudo eadem quae suidi
Sit Duri superficies fundi, Sc AEI superficies superior fluidi. Supersiciebus *hzuricis innumeris B pK, CGL distinguatur fluidum in orbes concentricos aequaliter crassos ; A concipe vim gravitatis agere solummodo in supcrsicium supertatem orbis cujusque, aequalesciso actiones in aequales paries superficierum omnium. Premitur ergo su- Perficies suprema AK vi simplici gravitatis Propride, qua M omncs ori is su-
Premi Partes, ta superscies sucunda BFK per Prop. xix Promensura sua aequaliter promuntur. Premitur praeterea suPersicies sucunda BFK vi Propriae gravitatis, quae addita vi priori facit pressionem
369쪽
pressionem duplam. Hac Pressione, Pro mensura sua, M insuper vi propriae gravitatis, id est, Pressione tripla, urgetur superficies tertia CGL. Et similiter Pressione quadrupla urgetur superficies quarta, quintupla quinta, M1ic deinceps. Pressio igitur, qu1 supe
1icius una lupoque Urgetur, non est ut
quantitas solida fluidi incumbentis, sed
ut numerus orbitam ad usque summitatem fluidi; M aequatur gravitati orbis infimi multiplicatio per numcrum orbium : hoc cis, gravitati Solidi, cujus ultima ratio ad cylindrum Praesinitum si modo orbium augeatur numerus δοῦ minuatur crastitudo in infinitum, sic ut actio gravitatis a superficio infima ad supromam continua reddatur fici ratio aequalitatis. Sustinet cino superficies infima Pondus cylindri praefiniti. Q. E. D. Et simili argumentatione Patet Propositio, ubi gravitas decrescit in ratione quavis assignata distantiae a centro, ut ubi fluidum sursum rarius eli, deorsum densius. Q. E. I . Corol. I. Igitur fundum non uinctur a toto fluidi incumbentis Pondere, sed cam solummodo ponderis partem sustinet, quae in Propositione describitur; i,ondere reliquo a fluidi figura fornicata sustentato. Corol. 2. In aequalibus autem 1 Centro distantiis cadem sempercst pressionis quantitas, sivo superficies pressa sit horigonti parallela, vel perpendicularis, vel obliqua; sive fluidum, a superficie Ρrcssa sursum continuatum, surgat perpondiculariter secundum lineam rectam, vel serpit oblique per tortas Cavitates Sc canales, easque regularcs vel maXimo irregulares, amplas vel angustssimas. Hisce circumstantiis pressionum nil mutari colligitur, applicando demonstrationem theorematis hujus ad casus singulos fluidorum. Corol. 3. Eadem demonstratione colligitur etiam per ProP. XIX. quod fluidi gravis partes nullum, ex pressione Ponderis incumbentis, acquirunt motum inter so ; si modo excludatur motus qui
ex condensatione oriatur. Corol.
370쪽
Corol. A. Et propterea si aliud ejusdem gravitatis specificae cor- Lraeta
Pus, quod sit condensationis expers, submergatur In hoc Fluido, id ex pressione ponderis incumbentis nullum acquiret motum: non descendet, non ascendet, non creetur figuram suam mutare.
Si sphaericum est, manebit sphaericum, non obstante pressione ; si quadratum est, manebit quadratum: idque sive molle sit, sive initidi1Imum ; sive fluido libere innatet, sive fundo incumbat. Habet enim fluidi pars quaelibet interna rationem corporis submersi, M par cst ratio omnium ejusdem magnitudinis, figurae S gravitatis specificae submersorum corporum. Si corpus submersum servato pondere liquesceret, M indueret formam fluidi; hoc, si prius ascenderet, vol descenderet, vel EX Pressione figuram no-Vam indueret, etiam nunc ascenderet, vel descenderet, vel figuram novam induere cogeretur: id adeo quia gravitas ejus, caeteraeque
motuum causae, Permanent. Atqui per Cas. 5. Prop. XIX.) jam quiesceret M siguram retineret. Ergo Sc PriuS.CozoI. Proinde orpus, quod specifice gravius cst quam Fluidum
sit,i contiguum, subsidebit; Se quod specifico levius est ascendet,
motumque Sc figuriae mutationem consequetur, quantum cXcessus
ille vel defectus gravitatis essicere possit. Namque excessus ille vel defectus rationem habet impulsus, quo corpus, alias in zz- quilibrio cum fluidi Partibus constitutum, urgetur ἔ 8 mParari potest cum excessu vol defectu ponderis in lance alterutra Librae. Cors. 6. Corporum igitur in Fluidis constitutorum duplex est Gravitas: altera Vera M Absoluta, altera Apparens,Vulgaris S Comparativa. Gravitas Absoluta est vis tota, qua Corpus deorsum tendit : Relativa M Vulgaris est excessus gravitatis, quo corpus magis tendit deorsum quam fluidum ambiens. Prioris generis graVitate Partes fluidorum, A corporum omnium, gravitant in locis siris: ideoque conjunctis ponderibus componunt pondus totius. Nam totum Omne grave est, ut in vasis liquorum plenis experiri licet; Sc pondus totius aequale est ponderibus omnium partium, ideoque ex iisdem componitur. Alterius generis gravitate corPOra non gravitant in locis suis; id est, inter se collata non Praegravant, sed mutuos ad descendendum conatus impedientia permanent in locis suis, perinde ac si gravia non essent. Quae in Aere sunt 8 non Praegravant, vulgus gravia non judicati Quae Prae VOL. II. V u gravant