장음표시 사용
371쪽
Di Mors gravant Vulgus graVia judicat, quatenUS ab Aeris pondere non sus- ς' η' μ tinentur. Pondura vulgi nihil aliud sunt quam excessus Verorum ponderum supra Pondus Aeris. Unde M Vulgo dicuntur levia, quae sunt minus gravia, Aerique PraegraVanti cedendo superiora petunt. Comparatruo levia sunt, non vero, quia descendunt in vacuo. Sic Sc in Aqua corpora, quae ob majorem vel minorem gravitatem descondunt vel ascendunt, sunt comparativo M apparenter gravia vel levia; de eorum gravitas vel levitas comparativa M apparens est excessus Vel defeetus, quo Vera eorum gravitas vel superat gravitatem aquae, Vel ab c1 superatur. Quae vero nec praegravando descendunt, nec Praegravanti cedendo ascendunt, . etiamsi veris suis ponderibus adaugeant Pondus totius, Com Par tivo tamen M in sonsu vulgi non gravitant in aqua. Nam similis cst horum casuum demonstratio. Corol. 7. Quae de Gravitate demonstrantur, obtinent in aliis . quibuscunque viribus centripetis. Corol. 8. Proinde si Medium, in quo Corpus aliquod movetur, uincatur vel a gravitate propria, vel ab alia quacunque vi centri- Puta, M corpus ab eadem vi uincatur fortius; disserentia virium est vis illa motrix, quam in Praecedentibus Propositionibus ut vim centripetam Consideravimus. Sin corpus a vi illa urgeatur levius, differcntia virium pro vi centrifuga liaberi debet. Corol. 9. Cum autem Fluida, Premendo Col ora inclusa, non mutent eorum figuras cXternas, Patet insuper Per Corollarium Prop. XIX. quod non mutabunt 1itum Partium internarum interso: proindeque, si Animalia immergantur, M sensatio omnis amotu partium oriatur; nec laedent corpora immersa, nec sensationem ullam excitabunt, ni si quatenus luec Cortyora a compressione condensari possunt. Et par est ratio cujuscunque corporum Systematis Fluido Comprimente circundati. Systematis Partes omnes iisdem agitabuntur motibus, ac si in Vacuo constituerentUr,
ac solam retinerent Gravitatem suam Comparativam; nisi quatenus Fluidum vol motibus carum nonnihil resistat, vel ad easdem comis Pressione conglutinandas requiratur.
372쪽
Mi Muidi cujusdam densitas compressio vi proportionalis, M taxus ejus d Oi centripetae di antiis suis d centro reciproce proportionagideorsum trahantur: dico quod. s d anitie igne fumantur continue proportionaless, de Pates Fluidi in ii Pan ib antiis erunt
etiam continue proportionales. Designet A Tu fundum si taericum cui Fluidum incumbit; sCentPUm; SA, fB, SC, SD, SE, S F, S C. distantias Continue Proportionales. Erigantur PerPendicula AH, BI, CK, DL, ΕΜ, FN, dc C. quae sint ut densitates Medii in locis A, B, C, D, E, F ; 8c specificae gravitatos in iisdem locis erunt ut S c. Vel, quod Perinde eis, Ut -', -, -, MC. Finge Primum has graVitates uniformiter continuari ab A ad B, a B ad C, a C ad D, 8 c. factis Per gradus decrementis in punctis B, C, D, S C. Et hae gravitates duelae in altitudines AD, AC, CD, DC. conficient Pressiones ΑΗ, BI, CK, 8cc. quibus fundum ΑΥv juxtaTheorema XV. Urgetur. Sustinet ergo particula A PressioneS omnes AH, BI, Π CK, DL, pergendo in infinitum; Sc Particula nPressionus omnes Praeter Primam AH ἔ 8c Parti Cula C Omnes Praeter duas primas AH, BI; Sc scdeinceps: idcoque particulae primae A densitas Auest ad particulae secundae a densitatem BI ut summa omniUm AII in BI Φc ς ε DL, in infinitum, ad summam omnium BI Φ cx DL, 8 c. Et BI densitas secundae Best ad c K densitatem tertiae c, ut summa omnium BI Φ CK DL, MC. ad summam omnium c ς ε DL, 8cc. Sunt igitur summae illae differentiis suis AH, BI, CK, 8 c. proportionales, atque ideo continue Pro rtionales sper hujus Lcm. I. proindcque disserentiae AH, BI, CK, DC. summis proportionales, sunt etiam Continuu PrO- Portionales. Quare cum densitates in locis A, B, C, S C. sint ut AH, BI, CH, S C. erunt cliam liae continue proportionales. Per gatur Per saltum, Τί ex aequo in distantiis sa, s C, SE Continuo Proportionalibus, crunt densitatcs AH, CK, ΕΜ continue Propor V u a tionales.
373쪽
tionales. Et eodem argumento, in distantiis quia busvis continue proportionalibus, s A, SD, S G, den sitates, AH, DL, GO, erunt continue Proportionales. Coeant jam puncta A, B, C, D, E, Scc. eo ut P gressio gravitatum specificarum a fundo A ad summitatem Fluidi continua reddatur; M in distantiis quibusvis continue proportionalibUS, SA, SD, S G, densitates, AII, DL, Go, semper cXistentes
continue Proportionales, manebunt etiamnum continue Proportionales. Q. E. D.
Corol. Hinc si detur densitas Fluidi in duobus locis, puta A M E, colligi potcst Hus densitas in alio quovis loco
Q. Centro s, Asymptotis rectangulis Sin, s x describatur I Iyperbola secans perpendicula AH, EM, QT in G, e, V, ut MPerpendicula II X, MY, TZ, ad Asymptoton sx demissa, in B, ni Se t. Fiat area YmtZ ad aream datam Ymb X ut area clata EeqQ ad aream datam EeaA ; M linea Zt producta abscindet lineam QT densitati proportionalem. Namque si lineae
SA, SE, SQ sunt Continue proportionales, erunt arcae Ε Τλ, EeaA aequales; M inde arcae his proportionales Y-Z, X BIIIY etiam aequales, M lineae S X, SV, S Z, id est, AH, EM, QT, continuu Prol ortionales, Ut OPortet. Et si lineae SA, SE, SQ obtinent alium quemvis ordinem in serie continue Proportionalium v IIvaus constri ictionis in eo posita est ratio, quod ad omnes ct eentro disiantias locati: limi rationum inter deni rates ei mi talionum inter ipsas distantias logarit limis ratione convenieul. Intur uniantias enim qitali is datas sA, sv in sig. Sup. capiantur quot libuerit continua proportione mediar d, sc, si=. Erum igitur densitatus si, cx, DL, inter densi atύς AH, ΚΜ, eontinua ymPor tione mediae. Logarithmi rationum, quae distantiis sA, sa, detilitatibus Au, I B interdedunt, significcntur lite: te L. A. Quot vero sumptae suerim distantiae sn, SC, s D, inter duas sA, L, continua Proportionc mediae, tot sint in numero α - i unitates. Erit igitur HL logarithmus rationis quae disetantiis sn, s L intercedit. Cum vero inter densitates Ail, ΕΜ tot sint aliae si, CK, DL continua proportione mediae, quot inter diuaininfra, se distantiae; idcirco tot erimi densa tates EI, cx, DL inter dua. AH, EM eontinua proportione mesiae, quot sunt in numero m- i unitaetes. Quare m 1 rationis ejus, quae densitaribus Ait, EM intercedit, erit togari: limus. Jam veru -:ma TL:A. I.ogarillimus igitur rationis inter distantiast A. su, ad logari lumina rationis inter duralitatu AH, BI eandem rationem halier, quam logarithmus inter rarionis distantias sA, sh ad logarithmum rationis inter densitates AH, EM. Nec huic rationi olficiet dii tantiarum, quae inter datas sA, FL, mediae sumpiae suerint, multitudo, parva illa masuave fuerit. Quare et numcIo carum in sinite aucto, ut partes Asi
374쪽
um, lineae AH, ΕΜ, QT, Ob Proponionales areas hyperbolicas, obtinebunt eundo in ordinem in alia serie quantitatum continui Proportionalium - .
. P R O P. XXII. T H E O R. XVII Sis Fluidi cujusdam densitas compre ni proportionalis, est parIes jus is grasitate quadratis di antiarum suarum is centro reciprocetroportio tali deorsum trahantur: dico quod, si di antiae fumantur in progressione Muscd. densitates uidi in his di antiis erunt
in progressone Geometrica . Designet a centrum, Sc SA, SB, SC, SD, SE distantias in progressione Geometrica. Erigantur perpendicula AH, BI, CK, 8ζc. quae sint ut Fluidi densitates in locis A, B, C, D, E, Occ. 8c ipsiuS
AB, BC, CD, DE, necnon densitatum ΑΗ, BI, CK, DL, EM differentiae evanescant; inter evanescentes logarithmos, L, Λ, ratio data togarithmi rationis inter distantias sA, s E, ad logarithmum rationis inter densitates AH, EM vel ultimo manebit. Quae vero togarithmi evanescentis L ad evanescentem Λ ultima est ratio, ea fluxionis logarithmi inter distantias ad fluxionem logarithmi inter densitates ratio erit. Quare taxionibus hisee data ratio intercedet logarithmi rationis inter distantias datas s A. SE, ad logarithmum rationis inter densi rates datas Au, EM. Eadem igitur fluentium inter i plus ra: in erit. Logarithmi igitur rationum inter densitates eorum, qui rationum inter distantias sunt lorarithmi, rationum constanter servabunt. Jam vero in lineatione Newtoni mirissim Cer.I pustis SA, s E, s Q distantiis, si Au,. xv, υ sint inter se ut densitates in distantiis illis: spatia hyperbolica aAEG erua rationum inter distantias sA, s E, sta erunt logarith mi: item spatia hyperbolica I xYM, Ymta rationum inter densitates Ait, L M, υ logarit bini. Quare Ymta : laxYN --: B A., Datis autem tribus diu alatiis sA, fg, sin, cum densitatibus duabus AH, EI, , spatia tria EeaA, es Qq. ivxvri magnitudine data sunt. Quare tertii OxY34 ad quartum Ymtκ mtio data. Spatium igitur umta magnitudine datum. Quare re sta etiam sYmagnitudiae data, dabitur magnitudine set, et illi aequalis Q per Excerpt. ex Epist. 4. 3 7.
375쪽
uavitates specificae in iisdem locis erunt - , - , -, MC. Finge has gravitates uniformiter contin Uari, Primam ab A ad B, secundam a B ad C, tertiam a C ad D, 8 C. Et luo ductae in altitudines AB, BC, CD, DE, &C. Vel, quod Perinde est, in distantias sA, sq,sc, 8 c. altitudinibus illis proportionales, conficient exponentes pressionum -, P, 8cc. Quare cum densitates sunt ut harum pressionum sumniae, differentiae densitatum AH-BI, BI-CΚ, 8 c. crunt ut summarum differentiae ΑΗ, ἴcc. Centro s, Asymptotis sA, Sx describatur IIyperbola quaevis, quae secet pc pendicula AII, BI, CFἰ, 8 c. in a, b, c, 8 c. ut M perpendicula ad Asymptoton s. v demista Hi, Iu, Κω in B, i, k; Sc densitatum dira forentiae tu, ueto, MC. erunt Ut MC. Et rectangula tu κtis, πωκu6 8 c. seu γ, , Scc. ut SV 8ec. id est, ut A Bb, 8 c. Est enim, ex natura hyperbolae, SA ad AII vel si, utib ad Aa, ideoque '' aequale Aa. Et simili argumento est L aequale Bb, Sec. Sunt autem Aa, Bb, Cc, 8cc. Continue Proportionales, M Propterea differentiis suis Aa-Bb, Bb-Cc, 8 C. Pr
portionales; ideoque differentiis hisce proportionalia sunt rcetangula
376쪽
summae rectangulorum γε vel γ uq tar. Sunto cjusmodi SV qtermini quam plurimi, Se summa omnium differentiarum, puta
Aa-V, erit summae omnium rectangulorum, Puta zun, Propo tionalis. Augeatur numerus terminorum 8 minuantur distantiMPunctorum A, B, C, 8 c. in infinitram, Sc rectangula illa evadent aequalia areae hyperbolicae G , ideoque huic arcae proportionalis est differentia Aa - . Sumantur jam distantiae quaelibet, putasA, s D, SF in progressione Musica, Sc differentiae Aa-Dd, Dd- σerunt aequat 'λ ; Sc propterea disserentiis hisce proportionales arcae Ibb, xlna aequales crunt inter se, M donstates St, fac, Sz, id Cst, AH, DL, FN, continuo Proportionales. Q. E. D. Corol. II inc si dentur Fluidi densitates duae quaevis, puta AH MBI, dabitur arca Ibis, harum disserentiae tu respondens ; M inde invcnictur densitas FN in altitudine quacunque S F, sumendo aream uno ad aream illam datam uis ut ost differentia Aa-σ ad di
Sesol m. Simili argumentatione probari potest, quod si gravitas particularum Fluidi diminuatur in triplicat1 ratione distantiarum a centro, Sc quadratorum distantiarum s A, SB, SC, sec. reciproca nem- PC - sumantur in Progressione Arithmetica; densitates AII, BI, CK, 8 c. erunt in progressione Geometrica. Et si gravitas diminuatur in quadruplicata ratione distantiarum, M
cuborum distantiarum reciproca puta S D Mς
sumantur in progressione Arithmetica; densitates AH, BI, CK, 8cc. erunt in Progressione Geometrica. Et sic in infinitum. Rursus si gravitas particularum Fluidi in omnibus distantiis eadem sit, Mdistantiae sint in progressione Arithmetica, densitates erunt in Progressione Gcometrica, uti Vir Cl. Edmundus Hal ius invenit. Si gravitas sit ut distantia, D quadrata distantiarum sint in Progres-
Dd- σ: Aa ' ΑΟ : s D. Quare rectangilla Dd- σκ n et Aa κ An inter se aequalia. Rursum, P pter hypui bolain, Aa I Aa - Dδα so e AD. Quare rectangula Aa - Ddκ su et Aa κ AD inter soaequalia. Rec .ingula igitur Dd- σκ D, A inter se aequalia. Quare Ra-DAE, DAE' finier se aequales.
377쪽
sione Arithmetica, densitates erunt in progressione Geometrici. Et sic in infinitum. IIaec ita se habent ubi Fluidi, compressione condensati, densitas est ut vis compressionis; vel, quod Perinde est, spatium a Fluido occupatum reciprocu ut haec vis. Fingi possunt aliae condensationis leges ; Ut quod cubus vis comprimcntis sit ut quadrato-quadratum densitatis, seu triplicata ratio vis eadem cum quadruplicata ratione densitatis. Quo in casia, si gravitas est rcciproce Ut quadratum distantiae a centro, densitas crit reciproce ut cubus distantiae. Fingatur quod cubus vis comprimentis sit ut quadrato-cubus densitatis, M si gravitas est reciprocu ut quadratum distantiae, densitas erit reciproce in sesquiplicata ratione dis
Srv omnes generatim in duas Formulas concludam. Sit s centrum ad quod gravia tendant ; fA distantia quaelibet data, per literam a des gnanda :s a alia qualibct, generaliter designanda pcr lituram x. Ea vero vis centripetae sit conditio, ut po- teitatis citiusdam e diu in ria, cujus index lit m, rationem ea semper servet. Nimirum ut vis cenis tripeta in loco A sit ad vim ectit ripetam in toto a iit s.x ad si existente nimirum indiee m vel Pusalvo vel nugativo, intellio vel fraeto, modo non sit - t. Jam si vis cunuipeta in loco dato A exponatur per rectam sA, vis centripeta in
loco quovis alio exponetur Per rectam citius hoc erit symbolum algubraicum - . Ponatur recta Ac cuiusvis magnitudinis. Et sit ni a no, quae ad datam Ae rationem habeat, quam densitas in toto a ad datam in loco A donli talem. Rectaque BD generaliter designetur li-
te: a t. Jam cum gravitas, in toto quovis B, symbolo -- generaliter significetur, hoc alio -3 κ i, fluxionem vis comprimentis generaliter designare liceat. Quare si
talis ponatur densitas materim fluidae, quae vis comprimentis rationem ubique servet, cuin fluxio
quoque densitatis fluxionem vis comprimentis rationem servare debeat, ponere liccbit -- Ix α b
designante mimirum illa b rectam quandam iustae magnitudinis. Quare 2 : - ἡ ' . b. Sive
LD habet ad Ac, sive densitas in loco a ad densitatem datam in loco A, pro modulo b. Unde si tales sumantur diltantiae s B, ut eurum potessates per quantitatem m-FI indicatae arithmetich usque crescant, densitatum progi ciso Geometrica crit. 2. Rcliquis manentibus, talis ponatur densitas, quae non sit plici vis comprimentis rationi, sed rationi potestatis alleuius , vi comprimente constanter respondeat. Eius potuitatis index fit x, poscivus quivis sive intexer sve Dalius, modo non sit Φ I, neve o. Ncque omnino negativum ponere liceat indicem n, ne rarior esset materia fluida, quae majore vi e imprimeretur: qualem ullius materiae conditionem rerum natura segre, ut opinor, patiatur. Designet litera c rectatu quandam ca
378쪽
antiae. Fingatur quod vis comprimens sit in duplicata ratione densitatis, Sa gravitas reciproce in ratione duplicata distantiae, Mesensitas crit reciproce ut distantia. CasVS omnes Percurrere longum osset M . Caeteruna per ex Perimenta constat, quod den sit is Acris sit ut vis comprimens Vel accurare Vel saltem quam Proximu : M propterea densitas Acris in Atmosphaera Terrae est ut pondus Aeris totius incumbentis; id est, ut altitudo Mercurii in Ba
rometro .e:i lege inimi item, vis comprimenias rationem ea semper terat. Erit igitur ii, vel di ut e
etit ut γ C. Ponere igitur licebit J--, sive ---J e,desgnante brectam quandamiustae
vagnitii linu. G. r. FIM. f. s. At vero talis inveniebatur il uxio via comprimentis, quae re languli
. I. Et ex hae fluxionum aequatione luee alia fluentium veniet, .
illud generuliter obtineat, distantia x infinitd alicta, dcnsitatem item sensim imminui; ut d :ia quavis tandem minor sate e contrai io, disiuntia in nihilum redae a. ilensitatem Dinni data ultimo majorem fieri. At si vera ponatur aequatio illa, distantiarum porcaalec, a quantitate mi tindicatae, earum a densitatibus potellatum, quas quantitas mi indicaverit, rationem contraria in
Jam si in ea sa primo pro m numeri - 3. - , o, i ordine subsit uantur ; in cana autem secundos pro m scribatur - a, & Pro re quantitates i. δ, ε ordine subrogentur, veri istina invcnientur ea quae, in easti utroque, k Ne tono aisrmata sitiit. Caereium in easu secundo necesse est ut quantitates m Φi, --l eisdem Pra dita snt sig. rix.
Nnm s eontraria sorid gerant, fieri ne piit ut distantia infinite aiigia dcnstas in nullam abeat a Semicillim, cli stant i1 infinit. imminuta, ut densitas infinit E erelevt. Formulas generales, nostrarum haud multum absimiles, poli Vorimoni in p: tres Doctissimi LeSccur & Jaequier ad locum posuerim t.
379쪽
P R O P. XXIII. T II E O R. XVIII. Si Fluidi, ex particulis se mutuo scientibus composti, dens Ias sit ut
compresso, Vires centristivae tarIicularum sunt rcciproce proportionaless distanIiis ceu reum suorum. EI Cice Cresa, tarticulae et tribres, quae sunt reciproce proportionales di antiis censrorum morum, se mutuo fugientes componunt Fruidum Etificum, cujus densias es compressioni proportionalis. Includi intelligatur Fluidum in spatio cubico ACE ; dein compressione redigi in spatium cubicum minus acc: 8c Particularum, similem situm inter se in utroque spatio obtinentium, distantia crunt rit cuborum latera AB, ab; Sc Medicarum densitates reciproce Ut spatia continentia As, cub. Sc ab cub. In cubi majoris late ice Plano, ABCD, caPiatur quadratum,ir DP, aequale lateri plano cubi minoris, Eb; M ex hypothesi, Prcssio, qua quadratum DI urget Fluidum inclusum, erit ad Pressionem, qua illud quadratum G ur-gct Fluidum inclusum, Ut Medii densitates ad invicem, hoc cli, Ut no cuθ. ad AB cub. Sed pressio, qu:ὶ luadratum DB urget Flui-clum inclusum, cit ad pressionem, qua quadratum DP urget idem Fluidum, ut quadratum DB ad quadratum DP, hoC Cli, Ut AB quad. ad ab quiad. Ergo, e X aequo, Pressio qua quadratum DB Urget Fluidum, est ad laressionem qua quadratum G urget Filii dum, ut tib ad An ' . Planis I c: H, fgh, Per media cuborum ductis, cli Ditinguatur Fluidum in duas Partes; te lim se mutuo premcnt iliadum viribus, quibus premuntur a Planis AC, ac d , hoc est, in Proportione ab ad AB : ideoque Vires centrifugae, quibus hae prcs
' N. mpe eum sit pressus quadrati nn ad presium quadrati n P, ut ad aU, sive ut solidum λου 'κ ab .id ab '; cima iit etiam pressus quadrati or ad pressum quadrati Ab ut a ' ad Au , ex ae- εὶ io erit pressus quadrati Da ad pretium quadrati .s ut solidum AiC κ ab ad Aa', hoc est, ut recta ab ad rectam A L. i et lyrop. Xi X. l. 10χA L significetur densitas liquoris in spatium eubicum atae coacti ; litera e mi. nor fit:dem liquoris dentitas, qua spatium amplius cubicum ADE impleat. Jam si talesyt,nuntur vireg, quilriis euicitur ut solida liquoris eo useula se mutuis fugiant, quae earum, centroium ditiaiuiis potu utatum, quae numcro a iudicatae sint, rationem contrariam gerant.
380쪽
3 7 PRINCIPIA M A T H EMATIC A.
sones sustinentur, sunt in eadem ratione. Ob eundem Panicu-I Ux R
larum numerum Daulemque 1 itum m Utroque Eribo, Vires, quas
Particulae omnes secundum Plana FGH, ch exercent in omnes, sunt ut vires quas singulae exercent in singulas. Ergo vires, quar1inguiue exercent in singulas secundum Planum FGH in cubo majore, sunt ad vires, quas singula: cXercent in singulas secundum planum fgis in cubo minore, ut ab ad AB, hoc cit, T CiPrOCC Ut distantibo particularum ad inviccm. Q. E. D. Et vice vcrsa, si viros Particularum singularum sunt reciproce ut dillantiae, id est, rcciproce ut cuborum latera AB, cto; summae virium crurit in eadem ratione, pressiones laturum DB, db ut sum navi virium ; S prcsIio quadrati DP ad pressionem lateris D Iut ab qu . ad AB quad. Et, CX aequo, pressio quadrati DP ad Prossionem latoris db ut so cub. ad Au cul. id cit; vis comprcssionis ad vim compressionis ut densitas ad densitatem. Q. E. D. Sobesium. Simili argumento, ii particularum viros centrifugae fiat reciproce in duplicata ratione distantiarum inter centra, cubi virium comprimentium erunt ut quadrato-quadrata derastatum. Si viros centrifugae sint reciproce in triplicata vel quadruplicata ratione distantiarum, cubi virium comprimentium erunt Ut quadrato-cubi vel cubo-cubi densitatum. Et Universaliter, ii D Ponatur Proclistantia, Se E pro densitate Fluidi compressi, ra vires centrifugius int reciproce ut distantiae dignitas quodlibet D . cuius index cliniam Crus II; Viros comprimentes crunt ut latura cubica dignitatis a. 'φ cujus iudeX cst numerus ν; - 2 : Sc contra . Inlulligenda vero sunt haec omnia de Parii hilariam viribus centrifugis, cluce terminantur in pateticulis proximis; aut non longe hiltra diffunduntur. Exom Plum habemus in corporibus Magneticis. IIO- rum virtus attractiva torminatur sero in sui generis corporibus sibi