장음표시 사용
381쪽
proximis. Magnetis virtus per interpositam laminam ferri contrahitur, M in lamina fere terminatur. Nam cortrara ulteriora non tam Magnete quam a lamina trahuntur. Ad eundem modum si particulae fugant alias sui generis Particulas sibi proximas, in particulas autem remotiores Virtutem nullam e Xerceant, ex hujusmodi particulis componentur Fluida, de quibus actum est in hac Propositione. Quod si particulae Cujusque virtus in infinitum propagetur, opus erit Vi majori ad aequalem condensationem majoris quantitatis Fluidi. An vero Fluida Elastica ex particulis se mutuo fugantibus constent, Quaestio Phy sica est. Nos proprietatem Fluidorum ex ejusmodi particulis Constantium Mathematice demonstravimus, ut Philosophis ansam Praebeamus quoestionem illam. trae audi.
s'ὶ Costro pendula, centris O,.sunibus aequalibus GP, 'b. suspens . areus AB.C, auee, vel circulares vel albis quos iaet, dummodo sinitius inter se sint Sc aequatus, centris oscillationum n, b, in spatiis vaeuis os ei ilando seritiant. Arcuum ABC, ab. sumantur patres quaevis inter se similes et aequales, & similiter in totis Polita , AD, ad. Dicit Nuri tonus tempora, quibus conficiuntur arcus AD, mi, eandem inter se habere rationem, quam tempora quibus arcus integri Anc, Me consciendi sunt. Dicit etiam veloei: ates eoi iΜ rum in locis D, d rationem inter te habere e rationibua vitium motrictim et temporum, quibus arcus integri ABC, abe conficiumur, cum contrara materia: ratione compta itam. Primum veru quod dieit Newtoniis, id nos ostendimur hoc modo. I xl natur reeta ν datae cujusvis longi iuditiis. Capiatur alia ρ, quae ad illam p rationem ha beat, quam pondus corporiε , ad pondus corporis B. Capiatur etiain alia Μ, quae habeat ad ρ rationem eam, quam materia coiporis a ad materiam corporis b. Sint V, V rectae ea lege mutabiles, ut in omni magnitudine arcuum aequalium Ao, ad, illae V, v velocitatum in locis D, Ainter
382쪽
P R O P. XXIV. TII EOR. XIX. Lia
ruantitates maleriae in corporibus funependuses, quorum cenetra officillationum is centro suspensonis . qualiter isant, junt in ratione composeud ex ratione ponderum G ratione duplicata Iemporum
oscitaruiomim in Vacuo. Nam volocitas, quam data vis in data materia, dato tempore generare potest, est ut vis S tempus directe, M materia inverse. Quo major est Vis, Vel majus tempus, vel minor materia, eo major generabitur velocitas. Id quod Per motus Legem secundam manifestum est. Jam vero si Pendula ejusdem sint longitudinis, vires motriccs, in locis a perpendiculo aequaliter distantibus, sunt ut pondera : ideoque si corpora duo oscillando describant arcus aequales, Se arcus illi dividantur in Partes aequales ; Chim tempora, quibus corpora describant singulas arcuum Partes correspondentes, sint ut tempora oscillationum totarum ; crunt velocitates ad invicem, in correspondentibus Oscillationum partibus, ut Vires m trices Se tota oscillationum tempora directe 8c quantitates materiae reciprocu q) : ideoque quantitates materiae ut vires M oscillationum
inter se rationem servent. sint aliae etiam rectae Tit, H, ea lege mutabiles, ut temporum, quibus eonsciantur areus aequales Ain, ad, hae rationem servent. Et quando a reiis iiii in integros creverint, rectae Tu, sh longitudines ro, to sint adeptae; arcubus autem illis primum nascentibus, cum lcmporibus, quibus arcus nascetites consciuntur, in nihilum ipsae sngulatim abeanto Ostendere oportet metas Til, tb cum illis To, to proportione convenire- In rudias vG, υ, qtiae a punctis arcuum Adc, ala mediis, ad perpendieulum fuerint erectae, ducantur ab arcuum principitis A, a, nec noua punctis in ri rectae Ar, af, DL, A, eum plano hori Zontis parallelae. Jam arcuum AD, ad fluxiones rationem inter se habebunt, e ratione velocitatum in locis D, d, cum ea qtiae temporum, quibus areus illi consciuntur, stuxionibus intereedit, eompositam. Hoc est AD r mi V X TM : v κ ti. At vero cum talia semper sint tempora του, th, ut areus AD, adlumper sint inter se aequales, arcuum etiam eorum suxiones, AD, M, semper erunt inter se aequales. Qirare et ructangula V X I ii, ου κ ρι erunt inter se aequalia; et temporum T ii, sue nuxiones velocitatum V. v eontrariam inter se rationcm gerent. At vero eae sunt corporum in locis D, d vuloeitates. quas in locis Ε, o adepta essent, si e locis F, Τ, vi proprii utrumque ponderis redi: 1 eeei distulit. Eam igitur velocitates illae inter se rationem gerent, quae efficitur ε rationibus ponderum corporum B, b, temPorumquπquibus corpora illa, recta cadendo e lotis ν, i, spatia aequalia r g, se consecissent, cum contraria inareriae, quae corporibus inest, ratione compositis. Hoc est, clim sit pondus cori oris B, ad pondus corporis b, ut P ad ρ, et materia in corpore , ad materiam in corpore si, ut ρ ad M ; Ratio restar V ad v ea erit, quae componitur E rationibus rectae p ad M, temporisque, quo cor pus A recta cadendo eonfecissct spatium Pr, ad tempus quo corpus alterum b, recta itidem eadendo, consucissut spatium M. Sit igitur si recta quaedam ea lege mutabilis, ut ad mutabilem Til cam semper rationem gerat, quam temPus, quo corpus , spatium Ie casu redio eun secisset, ad tempus quo corpus s casu recto consecisset spatium TE. Igitur V crit ad v ut rectangulum p κ TR in rectangulum H κ At
383쪽
' ' φ' ciproces sunt ut tempora : atque ideo tempora dii ciste Sc Velocitates reciproce sunt ut quadrata temporum; Sc Propterea quantitates materiae sunt ut vires motrices Sc quadrata te mlκγrum; id cli, ut Pondera Sc quadrata temporum. Q. E. IJ. CoroI. I. Ideoque si tempora sunt aequalia, quantitatos materiae in singulis corporibus crunt ut PondCra. Corol. 2. Si Pondera sunt aequalia, quantitates materiae crunt ut quadrata tem Porum.
Con ORA A. α, a centris G, γ, lanibus longitue ne l. naequalibus, G. , 'γῖ suspens , arcus Anc, α σου live circularcs, live ali is quoslibet, inaequales quidem, sed iurer tu i .tii es, in spatii, vaeuis oscillando, centris oscill iricinum n, seribant. l' Neri tonus in Coimita io utrario, rem- PDrum, quibus cortUra arcus 1 miles Anc, α 4 consederim, quadrata cile inices: Oicut longi:udincs si corpura A, a tum pondere ui. am narteria inter ic fuerint aqualia. Indc vcit, c. iv - lui dit, potadera corporum, Λ, α, longitudinum, o D, γ. rationem i iter se scrxare, ii aequalis at i: iUtroquc corpore m..taria, ut ii tempoia oscilliuidi per arcus illos sinules aequalia lint. lυt in Eoriclis lario quinto, id universu consiliuit, maturiam corporis cuiuscunque penduli rationem e tribus rationibus
384쪽
Corol. 3. Si quantitates materiae ructuantur, Pondera erunt re-Iarza.
Corol. 4. Unde cimi quadrata temporum, caeteris paribus, sint ut longitudines Pendulorum; si M tempora Se quantitates materiae aequalia sunt, pondera crunt ut longitudines Pendulorum. Corol. q. Et universaliter, quantitas materipe Pendulse est ut pondus 8c quadratum temporis directe, M longitudo Penduli in-
tionibus compositam, ponderis, duplicata temporis. eontraria longitudinis, constanter servare. Nos primum quod post iii Nexutomis sic ostendimus.
llar putriuii A, C, α, ν, arcuum i milium ADC, α 4 cxtrema, ducantur reciae At . quae rectis Gn,
- S, quae a mediis arcuum illorum punctis ad perpendiculum fuerint creciae, in punitis F, οῦ occurrant. Jam.cinia litantes sint arcus ALc, a S., idcirco in loeis, quae a perpendiculo aequalibus va-eii ait: itim lanium inclinationibus remota suerint, corpora, per arcus Azz, ω . oscillando, a xiii hiis iueitabuntur, quae ipsoriun ponderum rationcm intcr se constanter gerent. Ae propterea ite ii nequit, qHin tempora, quibus corpora, si u locis r. φ, cecidiisent, vi proprii utrumque ponderis in loca st, S e:isu recto delata essent, ad tempora, quibus arcus smiles Aac, α 4 oscillando eon I ciantur, si nilem rationem gerant. Qirare et duplicata illorum ratio horum etiam duplicata erit. Atquisp.Hi i Fa, ea, cum curi ra ponantur lam pondere quam materia inter se aequalia, rationem inter tu habcbunt temporum, quibus cana re sto consecta essent, duplicatam : quare et eorum lemporum duplicatam, quibus areus similes ΛΒc, α κ eorpora olia illarulo consecerint. Sed eum smilus sint areas ilἰi At c, αει, quae spatiis Fn, pa eadem longitudinibus Gn, dis inter ipsas Dario urit. Quare et longitudines illae temporum, quibus arcus A Rc, ari conficiantur, rationum inter se duplicatam xerant. Sic it in Corollario 4, Ne tonus posuit. in E. I . Inde vero quod in Corollario quinto Newtonus universe conui: init, sucili argumento obtinebimus. Manente enim corporum A, α, eum materiae tum ponduris aequalitate, inicitisattir coi pus quodpiam reri iam , centro m. suncab, sarii illius Gu longitudine aequalis, fit susperi: i:m, arcum aleostillando scribere illius Anc similem et aequalem. Jam materia corpi iis a ad materiam curporis A, sive ad materiam corporis ιι, rati nem lialin t eratione ponacris corporis a ud pondus cui po: is Λ vcl a, cum tumi ris, quo conficitur arcus aἶc, ad tempus, quo contietitur arcus ABC, duplicata ratione cona positam per Prop. xxiv. Sed i cmporis, quo conscitur arcus δεῖ , ad tempus, quo confieitur Anc, duplicata ratio componitur c duplicata temporis quo eonficitur arcus an ad tempus quo arcus reae, et duplicata rius quo arcus αξ. ad tempus quo Aac. Quae potirema cauc me st litiae longi:udinis ad longitudinem Ga vclab: sicut Neri tonus potuit, et a nobis Orientum cn. Quare materia corporis a ad ma ἰcriam corporis a rationem habet ex ilibus cumpolitam ;
385쪽
Corol. 6. Sed Sc in Medio non resistente ς quantitas materiae pendulae est ut pondus comparati m M quadratum temporis directe M longitudo Penduli inverse. Nam Pondus comparativum cst vis motrix corporis in Medio quovis gravi, ut supra explicui; ideoque idcm praestat in tali Medio non resistente atque pondus absolutum in Vacuo. Corol. 7. Et hinc liquot ratio tum comparandi corpora inter se, quoad quantitatem materiae in singulis ; tum comparandi i Mn- lcra ejusdem corporis in clivcrsis locis, ad cognoscendam Variationem gravitatis. Factis autem cXγrimentis quam accuratissimis inveni semper quantitatem materiae in corporibus singulis corum Pondcri Proportionalem cste.
P R O P. XXV. T II I O R. XX. Corpora fune pendula quibus, in Mesdio quovis, re fibritur in ra lane momentorum temporis, rpora funcpen D quae in ejus sum gravitatisDeci cin Medio non resib rete mozentur, osci taliones in Cycloide eos in tempore torctgunt, cy' ciaum I TI proportionales suntes describunt. Sit AB Cycloidis arcus, quem corpus D, tempore quovis in Medio non si stente, oscillando desciibit. Bisecvtur idem in C, ita ut C sit insimum GUS PUDCtum ς Τί erit vis a cic-ratri X, qua corPUS UIUC-tur in loco quovis D, eld, vel E, Ut longitudo arcus CD, Vel CU, Vel CE. Exponatur vis illa periit momentum temporis,
ponderis a ad pondusa, temporum quibus conficiuntur arcus abi, σε ζ duplicata, et longitudinumgb, γῆ contraria. E. D. H ne veris veritatem eius quoil in Corollario quarto Nexutomis apirmavit, quivis eolliget. Corporum pendulorum n, α pondera signi fieretur literis a, ἀ; materia illius lueram; huius, litera μ. Tempora quibus urens similes obe, a 3. oscillando eritis eurint literis f, τ. Cum sit m : - ἄκ13κ-:ακ κςb; si ponantur m. ιι inter se te anales. crunt a κῆ 'κ ρ α κ κ. inter se aequalia. Unde si aequilia lint ρ , . . erunt etiam a κγe, α Ib .uter se aequalia. Ac Prop. s terea
eundem arcum ; Sc cum resistentia sit
386쪽
ideoque detur ), cxponatur cadem per datam arcus Cycloidis Lia
Partem CG ; Sc sumatur arcus Gd In ratione ad arcUm CD quam habet ar Us GD ad arcum CB : M vis, qua corpus in d urgetur in Medio resistente, clim sit excussus vis Cd supra resistentiam CG,eXponetur Per arcum Gae; ideoque erit ad vim, qua corpus D Urgetur in Medio non resistente in loco D, ut arcuS Gd ad a Um CD ; M propterea etiam in loco B ut arcus G B ad arcum CB. Pr inde si corpora duo, D, d cxcant de loco B, M his viribus urgeantur : cum vires sub initio sint ut arcus CB M GB, erunt velocitates Primae M arcus primo descripti in eadem ratione. Sunto arcus illi BD M Bd; M arcus reliqui CD, Gd erunt in eadem ratione. Proinde vires, ipsis CD, Gd proportionales manebunt in eadem ratione ac sub initio, Sc Propterea Corpora Pergent arcus in eadem ratione simul describore. Igitur vires Sci velocitates Sc arcus reliqui CD, Gu semper crunt ut arcus toti CB, GB ; M Propterea arcus illi reliqui simul describentur. Quare corpora duo D, d simul pervenient ad loca C M G; alterum quidem in Medio non resistente ad locum C, M alterum in Medio resistente ad locum G. Cum autem velocitates in C Sc G sint ut arcus CB, GB ; erunt ar-CUS, QUOS COTPora, ulterius pergendo, simul describunt, in eadem ratione. Sunto illi CE M Ge. Vis, qua corpus D in Medio non resistente retardatur in Ε, est ut C E ; M vis, qua Corpus d in Medio resistente retardatur in e, cst ut summa vis Ce M resistentiae CG, id est ut Ge; ideoque viros, quibus corpora retardantur, sunt Ut arcubus CE, Ge Proportionales arcus CB, GB ; proindeque velocitates, in data illa ratione retardatae, manent in eadem illa dat1 ratione. Velocitates igitur, M arcus iisdem descripti, semper sunt ad invicem in clata illa ratione arcuum CB M Gn; M propterea si sumantur arcus toti An, an in eadem ratione, corpora D, d simul describent hos arcus, M in locis A M a motum omnem simul amittent. Isochronae sunt igitur Oscillationes totae, M arcubuS to
terea si α N e V. Pondera ut longitudines. Q. E. D. ) --co η- resflente. J Hoc est, in sitatio materia quadam consperso, modQ ulla talis cogitari possit, ouae, cum gravitate praedita esiet, vi tamen inertiae destitueretur. Corpora, in tali materia, sive pendula oscillarent, sive quovis modo per eam iter facerent, nullam quidem ex ejus offensibus mutationem motus subirent, licet minore vi deorsum traheremur, quam quae tu tu nieonstituta essent. - - Atur ,J i. e. eonstans sit.
387쪽
tis, BA, BG, P Portionales sunt arcuum Partes quaelibet BD, Bd vel BE, Bequae simul describuntur.
Q. E. D. Corol. Igitur motuS V
locissimus in Medio resiliente non incidit in Punctum infimum c, sed reperitur in puncto illo C, quo arcus totos descriptus aB bisecatur. Et corpus, subinde pergendo ad a, iisdem gradibus retardatur quibus antea accelerahatur in clescensu suo a B ad G. P R O P. XXVI. Τ H E O R. XXI. Corporum funependulorum, quibus res itur in ratione Velocitatum,oseligationes in orioide sunt Isoctrome. Nam si corpora duo, a centris suspensionum aequaliter distantia, oscillando describant arcus inaequales, M velocitates in arcuum partibus correspondentibus sint ad inviccm ut arcus toti; resistentiae, Velocitatibus proportionales, erunt etiam ad invicem ut iidem arcus. Proinde si viribus motricibus a gravitate oriundis, quae snt ut iidem arcus, auferantur vel addantur hae resistentiae, erunt differentiae vel summae ad invicem in eadem arcuum ratione e cumque velocitatum incrementa vel decrementa sint ut haedimerentiae vel summae, velocitates semper erunt ut arcus toti. Igitur velocitates, si sint in aliquo casu ut arcus toti, manebunt semper in eadem ratione. Sed in Principio motus, ubi corpora incipiunt descendere M arcus illos describere, Vires, Cum sint arcubus Proportionales, generabunt Velocitates arcubus proportionales. Ergo velocitates sempor erunt ut arcus toti describendi, Mpropterea arcus illi simul describentur. Q. E. D.
388쪽
P R O P. XXVII. P R O B. XXII. Liasia
Si corporibus funependulis res itur in duplicata raIione Celocisatum, serentile inter tempora oriri asionum in Medio Tras ente ac tempora of Vasionum in ejusdem gravi aris Decis in Medio non re- A ente, erunt arcubus osculanuo dcfcriptis proportionales qiam
Nam pendulis aequalibiis in Medio re sistente describantur ar-Cus inaequales A, B ; 8c resistentia corporis in arcu A, erit ad resistentiam corporis in parte Correspondente arcus B, in duplicata ratione velocitatum ; id est, ut A A ad AB, quam Proxime. Si resistentia in arcu B esset ad rosistentiam in arcu A Ut AB ad AA ;tempora in arcubus A 8c A forent aequalia, per Propositionem superiorem. Idcoque resi1tentia A A in arcu A, Vel AB in arcu B, essicit excessum temporis in arcu A supra tempus in Medio non resistonte; ia resistentia An cisicit excessum temt oris in arcu B supra tempus in Medio non resistento. Surit autem excessus illi Ut vires essicientes AB M BB quam Proxime, id est, ut arcus A MB. Q. E. D. Corol. I. Hinc ex oscillationum temporibus, in Medio resistente, in arcubus inaequalibus factarum, cognosci possunt tempora oscillationum in ejusdem gravitatis specificae Medio non resistente. Nam differentia temporum crit ad excessum ternPoris in arcu minore supra tempus in Modio non resistente, ut disserentia arcuum ad arcum minorem.
Corol. 2. oscillationes breviores sunt magis Isochronae; Sc brevissimae iisdem temporibus peraguntur ac in Medio non resistente, quam ProXimo. Earum Vero quae in majoribus arcubus fiunt, tempora sunt Paulo majora; Propterea quod resistentia in descensu corporis, qua tempus Producitur, major sit, pro ratione longitudinis in descensu descriptae, quam resistentia in ascensu subsequente, qua tempus contrahitur. Sed M tempus oscillationum tam brevium quam longarum nonnihil produci videtur Per motum Medii. Nam corporibus tardescentibus paulo minus rosistitur, Pro ratione velocitatis, & corporibus acceleratis Paulo magis,
quam iis quae uniformiter progrediuntur: idque quia Medium,
389쪽
Da Μοτυ eo quem a corporibus accepit motu, in eandem plastam minen-
clo, In priore casu magis agitatur, in Posteriore minus ἔ ac Pr inde magis vel miniis cum corporibus motis conspirat. Pendulis igitur in descensu magis resistit, in ascensu minus qUam Pro Tatione velocitatis, Τί ex utraque causa tum Pus producitur.
P R O P. XXVIII. T ΙΙ Ε Ο R. XXIII. Si corpori funependulo in Cycloide oscidanti res itur in ratione momentorum temporis, eris ejus res entia ad Cim gravitatis ut excessus arcus descensu toto descripti supra arcum ascensi sub quente descriptum, ad Penduli longitudinem stuplicatam Designet BC arcum descensu descriptum, Ca arcum ascensu descriptum, Se Aa diffcrentiam arcuum : 1tantibus quae in Propositione xxv. constructa Sc demonstrata sunt, erit Vis, qua corpus oscillans urgetur in loco quovis D, ad vim resistentiae ut arcus CD ad arcum CG, qui semissis est differentiae illius Aia. Ideoque vis, qua corpus oscillans Urgetur
in Cycloidis principio, seu puncto altissimo, id est,
Vis gravitatis, erit ad resistentiam ut arcus Cycloidis inter punctum illud supremum M punctum insimum C ad arcum cG ; id est si arcus duplicentur ut Cycloidis totius arcus, seu dupla Penduli longitudo ς , ad arcum A a. Q. E. D. P R O P. XXIX. P R O B. VI. POMPO quod corpori in C cloide oscillanti res itur in duplicara 1 Iione Celocitatis: invenire res fenIiam in locis gulis. Sit Ba arcus oscillatione integra descriptus, sitque C insimum. Cycloidis punctum, A ca semissis arcus Cycloidis totius, longitu-
Vide Coletium de motu Pendulorum in Cycloide. Prob. & Lenam. III.
390쪽
clini Penduli aequalis; M quaeratur resistentia corporis in loco quo- I. εκ vis D. Secetur recta infinita ΟQ in Punctis O, S, P, D ea lege, ut si erigantur perpendicula OK, ST, PI, RE, Centroque O M Asymptotis o Κ, ou describatur HyPerbola TIGE secans perpendicola ST, PI, QE in T, I M E, M Per Punctum I agatur ΚF Parallela Asumptoto oin occurrens AsymPtoto ΟΚ in Κ, M perpendiculis si M QR in L M F fuerit area hyperbolica PIEQ ad aream hyPerbolicam PITs ut arcus BC, descensu corporis descriptus, ait arcumca astensu descriptum; M arca IEF ad aream ILT M oin ad OS. Dein perpendiculo MN abscindatur area hyperbolica PINM, qua sit ad aream hyperbolicam PIEQ ut arcus CZ ad arcum BC dcscensu descriptum. Et si perpendiculo RG abscindatur area hyperbolica PiGR, quae sit ad aream PIEQ ut arcus quilibet CD ad arcum BC descensa toto descriptum; erit resistentia in loco D ad vim gravitatis, ut area IEF-IGII ad aream PINM. Nam cum vires a gravitate oriundae, quibus corpus in locis E, B, D, G urgetur, sint ut arcus CZ, CB, CD, Ca, Sc arcus illi sint ut
areae PINM, PIEQ , PIGR, PITS; CXPonantur thim arcus ih in vires
per has areas respectivo. Sit insuper Dd spatium quam minimum, a corpore descendente descriptum, Sc exponatur idem per aream quam minimam RGre, parallelis RG, ret comprehensam ; MProducatur et ad tu, ut sint GHbg, M RG contemporanea arearum I GH, PIGR decrementa. Et areae ' IEF-IGH incrementum,