장음표시 사용
391쪽
Quod si V designet vim 1 gravitate oriundam, arcui describen- lo CD PrΟPortionalem, qua CorPus urgetur in D, M R Pro resistentia ponatur; erit V- R Vis tota, qua corPMS Urgetur in D. Est itaque incrementum velocitatis ut V- R M particula illa tem- Poris, in qua factum est, conjunctim : sed Sc velocitas ipsa est ut incrementum contemporaneum spatii descripti directe M paclicula eadem temporis in vorse. Unde, cum resistentia per hypothesin sit ut quadratum volocitatis, incrementum resistentia: per Lem. II. crit ut velocitas M incrementum velocitatis conjun
tim, id est, ut momentum spatii M V- R conjunctim ; atque ideo, si momentum spatii detur, ut V- R ; id est, si pro vi V scri
batur ejus cxponens PIGR, M resistentia R exponatur per aliam aliquam aream G ut PIGR-ZIgitur are1 PIGR Per datorum momentorum subductionem uniformiter decrescente, crescunt area T in ratione PIGR-1 , Marea Z in ratione PIGR-Z. Et Propterea si areae V M Z simul incipiant, Se sub initio aequales sint, hae, Per additionem aequalium momentorum, Pergent esse aequales, A aequalibus itidem momentis subinde decrescentes simul evanescent. Et vicissim, si simul incipiunt et simul evanescunt, aequalia habebunt momenta, Scsemper erunt aequales : id adeo quia si resistentia Z augeatur, velocitas, una Cum arcu tuo Ca qui in ascensu corporis describitur, diminuetur;
Mia A certe argumenti subtilitas, neque tamen evidentia minor; nisi quod illud sortὶ obis Durius dictum si, eur areae Y, Σ, si initio sive erescendi sive decrescendi aequales suerint, semper aequales maneant. Hujus autem ratio hac nititur Propositione.
d. maenitudines initia cretiat 1 smili modo I axi, atque ea reiana lete, ti otium ma MD AN, I exisimul rex, tua:-bus his auctae semper inter se aequales AH; faenus i in femper erum inter se αθ-les. Magnitudines aequales Aa, en similiter fluant, i. e. vel erescendo utraque vel utraque decrescendo, et earum sub initio fluxeis, sint AZ, cr sensu Def. s. Geom. Flux. fluxiones. Sint Ab, cd; As, cὸ fluentium magnitudines fluendo simul factae; quarum etiam fluxiones sensu Def. s. Geom. nostrae
392쪽
diminuetur; M puncto in quo motuS omnis, una Cum resistentia, cessat, propius accedente ad Phinetum C, resistentia citius evanesia 'cet quam arca T. Et contrariUm eveniet ubi resistentia climi
Jam vero area Z incipit desinitque ubi resistentia nulla est; hoc os , in principio motus, ubi arcus CD arcui CB aequatur, 8c recta RG incidit in rectam QR ; in fine motus, ubi arcus CD arcui Caaequatur M RG incidit in rectam sΥ. Et area T, 1cu' 1Εp-IGH, incipit desinitque ubi nulla est; ideoque ubi -- IRP& IGH aequalia sunt; hoc est per constructionem) ubi recta RcLincidit succcssive in rectas QE M s T. Proindeque arcae illae simul incipiunt M simul evanescunt, Sc propterea semper sunt aequales. Igitur area 5 IEF-IGH aequalis est arcae V per quam resistentiaeXponitur, M propterea est ad aream PINM, Per quam graVitaS ex- Ponitur, ut rosistentia ad gravitatem ). Q. E. DiaCoron
Fig. T. Fig. a nostrae Fhix. sint AG V; At, C pm gnitudines utique in codem genere in quo sunt fluentes. Ea denique sit fluendi lex, ut 1int κn, rix, nee nora A, st; ia, .ὸ inter se aequales. Diis eo nuentes esse semiHr inter se aequales, si eae con: cuntur magnitudines, quae fluendo liniui exsistant. Hoc e: dico Ab cd, et Aa m Q . Magnitu indinibus enim An, co eas manere finisgatur fluendi velocitates, quas initio fluxus quaeque habuit, usquedum novas illas longitudines Ab, ω sim adeptae: inde vero velocitates fluendi in lilia, subito mutari, qu:e sitit ad priores ut Tectae Ae, V ad illas AZ, cp. Atque rursum mugnitudinibus fluentibus hae ncivae fluendi vel ci tates mancant, usquedum fluentes M, cu in illas Act, cὸ mutatae iuerint. Iade vero velocitatς lati
393쪽
Corol. i. Est igitur resistentia in loco infimo C ad vim gravitatis, ut arca IEF ad aream PINM.
Corol. 2. Et autem maxima, ubi area PIlIR est ad aream IEPhit OR ad OQ. Eo enim in casu momentum ejus nimirum Pio R
-Γγ evadit nullum g). Corol. 3. Hinc etiam innotescit velocitas in locis singulis : quippe quae est in subduplicata ratione resistentiae, M ipso mollis ini
tio de luatur velocitati corporis in eadem Cycloide sine omni resistentia oscillantis. Caeterlim ob dissicilem calculum, quo resistentia velocitas per hanc Propositionem inveniendae sunt, Vitum olt Propositio nem sequentem subjungere.
P R O P. XXX. T H E O R. XXIV. Si recta an inqualis sis CFcloidis arcui, quem corpus osculando defer bis, G ad singula ejus puncta D erigantur perpendiculia DK, quae sint ad longitudinem Penduli ut re entia corporis, in arcus iunctis correspondentibus, ad vim gravitatis e dico, quod disserentia inter arcum, descensu toto descriptum, G arcum, ascen Ioto subsequente descriptum, ducta in arcuum eorundem fem summam
in Hias rursum subito mutentur, quae sint ad primas ut Ai, ad illas AE, cr. Ita erit tib ad od ut AE ad Ar :et M ad n ut Ae ad Q. Jam vero eum Ea, Eo inter se aequales lint, id enim potuimus ; cumlint etiam Aa, Ei inter se aequales, nam et illud posuimus; erunt nimirum AE, CF inter se aequales. Ergo xb, nd inter se aequales erunt. Quare et Ab, ea, quae suendo simili factae sunt, erunt inter se aequales, necnon illae Eb, vae. Rursumediai Lb, ru sint inter se aequales, cum sint etiam eb, s inter se aequales, id enim posuimus, et xe, Ff inter se aequales erunt. Quare eum illae AE, cr fini etiam inter se aequales, id enim ostensum est, aequales erunt Ae, cf. Unde illae V, .a erunt etiam inter se aequales. Et propter aequales jam ostensas Ab, ca, aliae illae Aq, ch fluendo utique limul saltae, erunt etiam inter se aequales; nccnon illae es, s. Umle rursum eum sint etiam εβ, φ inter se aequales, id enim misluimus, et ea, Is inter se aequales erunt; et propter aequales illas Ae, Cri, erunt A , Cp inter leaequales, illarum utique AH, fluxiones. Neque huic rationi ossiciet illarum x b, ba, eri a magnitudines, magnae parvaeve fuerint. Quare et numero earum Bb, ba; DM .a infinith aucto. magnitudinibus singularum infinite imminutu, fluentium, quae fluendo simul factae fuerint, aequa litas mutua manebit. E. D. Uine autem facilis est prohatio eius quod a Nerutono affirmatum est. Constantem enim areae PIO fluxionem 'M.A. p. 339ὶ ponere licet dato xectangulo op IK aequalem. Geom. Flux. Def. s. Unde
394쪽
Exponatur enim tum C veloidis arcus, oscillatione integra clo scriptus, per rectam illam sibi aequalem aB, tum arcus qui describerctur in vacuo Per longitudinem AB. Bisecetur AB in C, MPunctum C repraesentabit
Sc erit CD ut vis a gravitate oriunda, queti corpus in D secundum tangen.temCyClOidis urgetur; eamque habebit rationem nil longitudinem Penduli, quam habet vis in D ad vim gravitatis. EXPonatur igitur Vis illa per longitudinem CD, M Vis gravitatis per longitudinem Penduli; M si in DE capiatur DK, in ea ratione ad longitudinem Penduli, quam ha-bct resistentia ad gravitatem, crit DΚ cxponens rosistentiae. Centro C M intervallo C Α, Vel C B, construatur semicirculus BEcA. Dc- scribat autem corpus, tempore quam minimo, spatium Dd; Mercctis perpendiculis DE, de circumferentiae occurrentibus in L Me, erunt haec ut Velocitates, qUas corpus in vacuo, descendendo
edin sit ut pica α pisa -Y:or IK, id enim a Newtono ostensum est, erit vetet PrGR -Y. Sive Y ΦΨ α pata . At vero et fluxio arcae t ponenda est li'.itio pia - E aequalis sic demonstrante Newtono. Quare Z - 2α PIGRα Y Φ Y. Unde si areae Y, α semel fuerint aequales, sui 'per aequales erunt per nostram Propositionem . E. D.
Si igitur eapiatur oe talia ut sit o ad te sicut datum rectangulum or ad datum spatium N F ; eductaque ad perpendiculum recta re, quae hyperbolae in di Meurrat, s capiatur arcus C a qui ad arcum CB. rationem habeat quam spatium hyperbolicum νεργ ad spatium ii F vis renixus Maxima erit in loco Δ. Non enim. In alio igitur loco; puta in loco ni duci.iquc R., quae, cum aiymptota oκ parallela, abscinctat aream PIGR, cujus ea sit ad arcam pre cratio quae arcus cia ad
erunt PR, Pe. Quare purictum a eum illo ipso e congruet, et ordinata xa cum ipsa At verocimi locus D alius sit ii loco Δ, arcus cD. ΕΔ inae litates erunt; et inae itialium ad arcum CD haud una erit ratio. Neque igitur amarum irin, IrRG ad aream i νε. Luna erit ratio. Areae igitur H π, PRU, quae ab eadem ordinata Ir iuuium sumunt, inaequales erunt. Minime igitur congruent ordinatae illae 1ν, a G. Quod est absurdum ; quoniam eongruere ostensae bini. Non igitur in alio loco praeter Δ vis renixus maxima erit. Qu.ire in ipso luco Δ. E. D.
395쪽
puncto B, acquireret in locis D M H Patet hoc per Prop. LII. Lib. I. Exponantur itaque hetu velocitatcs pcr perpendicula illa DE, de; sitque DF Velocitas, quam acquirit in D, cadendo de B in Medio rosistente. Et si centro C, intervallo CF, describatur Circulus UM occurrens rectis δε M AB in f& M, erit M locus,' ad quem deinceps, sine ulteriorc resistentia, ascenderet; M Q vclo- Citas, quam acquireret in ci ly . Unde ctiam si V designet vo- locitatis momentum, quod corpus D, describendo spatium quam
minimum Dd, ex resistentia Medii amittit; 8c sumatur CN aequalis π: erit Niocus ad quem corpUS de- inccps sine ulteriore resistentia ascenderet; M MN erit decrementum ascensus ex velocitatis illius amissione oriundum. Ad V demittatur Perpendiculum Fui ; M velocitatis DF decrementum.V, a resistentia Dc genitum, erit ad velocitatis ejusdem incrementum sua, a vi CD genitum, ut Vis generans DL ad vim generantem CD. Sed Si ob similia triangula
Fg ad n d ut DK ad DF. Item Fb ad Fg ut DF ad CF ; M cx 22- quo perturbate, Fb, seu MN, ad Dd ut DL ad CF, seu CM ; ideo luc summa omnium ΜNκCΜ aequalis erit summae omnium DdκDς. Ad punctum mobile M origi semper intelligatur ordinata rectangula aequalis indeterminatae CV, quae motu Continuo clu-catur in totam longitudinem Aa; M trapeZium ex illo motu descriptum, sive huic aequale rectangulum aequabitur summae omnium ΜNκcM Τ), ideoque summae omnium Ddκ DK, id est, areae BKVTa. Q. E. D.
e Persiciatur enim semicirculus aura, ut rectae sic iterum in st oecurrat. Iam velocitas Dp ea est, quam corpus, in spatiis vacuis oscillando, in loco D adeptum esset, si h loco β, urgente vi quae esset ut cε, eecidisset. Lib. I. Di.) Cum igitur eorporis, in spatio impedito oscillantu, eadem sit in loco D vel itas ae si in vaeuo, e loco β, urgente ibi vi cs, oscillare incepisset; si extingui ponatur vis renixus in loco D, idem erit eorporis deinceps motus, scilicet per materiam vi sua renitendi spoliatam, ae s motus ab initio e loco s vi cβ inchoatus eiset. At vero motu in vacuo ita inchoato eorpus, in loco D, velocitatem V adipisceretur, et locum usque M ascenderet, ubi velocitas eius omnis extingueretur. Lib. I. M . Trapcetium motu illo ὸcseriptum iri, ex eo patet, quod ordinata mobilis, ad perpendiculum cum recta cA, quae Positione data est, educta, reetae cra inter ipsam et datum punctum c interceptae
396쪽
Corol. Hinc cx lege resistentiae M arcuum Ca, CD disterentia I.:ο
Ao colligi potest proportio resistentiae ad gravitatem quam proxime. '' - 'RΝ 'Nam si uniformis sit resistentia Dia, figura B TYr reclangulum crit 1 ub Ba M Dc ; M indu rectangulum sub PBa se Aa erit aequale rectangido sub Ba Sc I Κ, Ω DK tequalis erit ἱ Aes. Quare cum Dia sit exponens resistentiae, M longitudo Penduli cXPonens gravitatis, erit resistentia ad gravitatem ut L Aa ad longitudinem Penduli ; omnino ut in Prop. XXV m. demonstratum est.
Si resistentia sit ut velocitas, figura BRTa Ellipsis crit quam proxime. Nam si corpus, in Medio non resistente, oscillatione integra describerct longitudinem BA, velocitas, in loco quovis D, foret ut Circuli, diametro AB descripti, ordinatim applicata DE. Proinde cum Ba in Medio resistente, M BA in Medio non resistente, aequalibus circiter temporibus dulcri hantur; ideoque velocitates in singulis ipsius Ba punctis, sint quam P Xime ad veloci tates in punctis correspondentibus longitudinis BA, ut est Aa ad BA ; erit velocitas in puncto D, in Medio relistente, ut Circuli, vel Ellipseos, stiper diametro Ba descripti, ordinatim applicata; ideoque figura BKvTa Ellipsis crit quam proximo. Clim resistentia velocitati proportionalis supponatur, sit OV exponens resistentiae in puncto medio o ; 8c Ellipsis B Rusa, centro O, semiaXibus o B, ou descripta, figuram BKVTa, eique aequale rectangulum Aaκ BD, aequabit quamproxime. Eit igitur Aaκ BO ad OUκ BO Ut area Ela ipscos hujus ad ovκBo: id est, Aa ad ov ut arca semicirculi ad quadratum radii, sive ut II ad 7 circiter: ct propter a - Aa ad longitudinem Penduli ut corporis oscillantis resistentia in o ad c jusdem gravitatem. Quod si resistentia D n sit in duplicata ratione velocitatis, figura BKvTa fere Parabola crit, verticem habens v M axum ou ;eeptae semper sit aequalis. Atque idiareo mobilis illa sattigio suo tanget semper rectam positi an datam. sit in . Loe. Plan. Lib. I. Pri . x xui. Cas. I. Trapezium autem illud rcetangulo Aa κ laa aequale esse se ostenditur. Trapezii illi ita latera parallela pcr puncta A, a cum sint rectis CΛ, C.s singulatim aequalia, trapeZium aequale erit rectangulo Φ Au ; lioc cit propter cA, CB inter se aequales, restangulis i cnΦl ca κ Aa, sive iaa NAn. cum enim Dκ st ut Dν', erit nκ κ A m n miso κ DM, designante A datam quandam iust aelongitudinis. Sed rectangulum ei, κ i,M rectangulo ino κ Da proditemcdum est aequale. Quare. Dκ π A, BD κ Da propemodum inter se aequalia. Si ver. aequalia esient, punctum M ussct ad I)urabolam cujus parameter A ; nxis vero reetam ra, quam ad perpendiculum insisteret, mulliam divideret. Neque long) :ib illius Parabolae dumi punctum c absec:lerit, prDΡtur no:i magnum ii lorum DF κ A, BD κ Da inaequalitatem.
397쪽
ideoque aequalis erit rectangulo sub - Ba Sc Ov quam proximo. Est igitur rectangulturi sub ἰ Ra M Aa aequale rectangulo sub M ou, ideoque o v aequalis Aa Fc Propterea corporis oscillantis resistentia in o ad ipsius gravitatem ut i Aa ad longitudinem Penduli.
Atque has conclusiones in rebus praeticis abunde satis accuratas esse censeo. Nam cum Ellipsis vel Parabola BRusa congruat cum figura BKVTa in Puncto medio V, hetec, si ad partem alterutram BRV vel usa excedit figuram illam, deficiet ab eadem ad partem alteram, M sic eidem aequabitur quam Proxime.
P R O P. . XXXI. THEOR. XXV. Si corporis osti antis res entia, in sugulis arcuum descriptorum par- Iibus proporIionalibus, augeatur Cri nam Iur in data rasione ;disserenIta inter arcum desecensu isscriptum N arcum obsequente
censu δεν cr*Ium, augebisur Ces diminuetur in eadem ratione. Oritur enim differentia illa ex retardatione Penduli per resistentiam Medii, ideoque est ut retardatio tota eique P Portionalis re- 1istentia retardans. In superiore Propositione rediangulum subrecta ἱ aB, M arcuum illorum CB, Ca differentia, Aa, aequalis erat areae ΒΚΤa. Et area illa, si maneat longitudo aB, augetur vel , diminuitur in ratione ordinatim applicatarum DK ; hoc est, in ratione resistentiae, ideoque est ut longitudo aB Sc resistentia conjunctim. Proindeque rectangulum sub Aa M cst ut ag Miresistentia conjunctim, M propterea Aa ut resistentia. Q. E. D. Corol. I. Unde si resistentia sit ut velocitas, differentia arcuum in eodem Medio erit ut arcus totus descriptus : Sc Contra. Corol. 2. Si rosistentia sit in duplicata rationc velocitatis, differentia illa crit in duplicata ratione arcus totius et M contra. Corol. 3. Et universaliter, si resistentia sit in triplicata.vel alii quavis ratione velocitatis, differentia erit in cfidem ratione a sis
Corol. 4. Et si resistentia sit partim in ratione simplici velocitatis, partim in cjusdem ratione duplicatst, differentia erit partim in ratione a sis totius & putim in Hus ratione duplicata: Τί contra. Eadem
398쪽
Eadem erit lex M ratio resistente pro Velocitate, quae est differen- Lixtatiae illius pro longitudine arcus. Lςu Corol. 5. Ideoque si Pendulo inaequales arcus successive describente invcniri potest ratio incrementi ac decrementi differentiae hujus pro longitudine arciis descripti. ; habebitur etiam ratio incrementi ac decrementi resistentiae pro velocitate majore vul
Sebolium Generale. Ex his Propositionibus, per oscillationes Pendulorum in Modiis quibuscunque, invenire licet resistentiam Mediorum. Acris vero resistentiam investigavi per Experimenta sequentia. Globum ligneum pondere Unciarum Romanarum 57 A, diametro digitorum Londinosum fabricatum, filo icnui ab iliaco satis firmo suspendi; ita ut inter uncum M centrum oscillationi&Globi distantia esset pedum 1 ob In filo punictum notavi pedibus decem Sc uncia una a centro susponsionis distans; Sc o regione puncti illius collocavi Regulam, in digitos distinctam, quorum ope notarum longitudines arcuum a Pendulo descriptas. Deinde numeravi oscillationes, quibus Globus octavam motus sui partem amitteret. Si Pendulum deducebatur 1 perpendi lo ad distantium duorum digitorum, M inclo demittebatur; ita ut toto suo descensu describeret arcum duorum digitorum, totaque oscillatione prima, ex defccnsu Se ascensu subsequente composita, arcum digitorum fere quatuor : idem oscillationibus I 64 amisit octavam motus sui partem ; sic ut, ultimo suo ascensu, describeret arcum digiti unius cum tribus partibus quartis digiti. Si Primo descensu descripsit arcum digitorum quatuor; amisit octavam motURPartem oscillationibus I 2I ; ita ut, ascensu ultimo, describeret arcum digitorum. 3ἱ. Si primo descensu descripsit arcum digitorum octo, sexdecim, triginta duorum vel sexaginta qUatuor; amisit octavam motus Partem oscillationibus 69, 35 et, I 8 ', re spective. Igitur disserentia inter arcus descensu primo M ascensu ultimo descriptos erat in casu primo, secundo, tertio, quarto, . quinto, sexto, digitorum ἰ, I, 2, 4, 8 rcspcctive. Dividanturcae dif&rcntiae per numerum oscillationum in casu unoquoque, Min oscillatione una mediocri, qua arcus digitorum 3ἰ, Tit, I S, 3O,
399쪽
sio, Ieto descriptus fuit, differentia arcuum descensu M subsequunto ascen sit descriPtorum erit τί et, si, D' lγartes duegiti respective. IIae autem in majoribus o 1cillationibus sunt in duplicata
'ὶ Nesti L tamen iu: iversu illud videtur oblinere, ut quo maiores sint oscillationes, eo propius vires renixus duplicatam Mitia: : ini vclocitatum rationem. Nani cum arcuum dimerentiae fuerint qualus a Neutono sunt deiuriptae, ii o Drias ordine a prima dividantur. numeri a divisione oriundi, earum omnium inter se Zia ad Primam rationes exhibebuiit. Atqui hi sunt numeri a divitisne oriundit a, 7t 9 SQ 7 36,96 34i, ψ s 3 Motu igitur corpnris penduli ad Cycloidem rccl dio, qua ratione Newtoniis mox dicturus est. vires, enixus, quales in mediis arcuum 'cloiduos punctis suissent, ii per talus auriis corpus pendulum latum csset, e s intcr se rationcs liab initiunt, quas hi uri meri prae tu serunt ; arens autem ipsi Cycloideos eandem inter se rati cilcm habui sient, quam circulares quos eorpus rindulum centro onciliandi suo rc vera seritabat; quorum communis ratio minoris cultuque ad si roximum, unitati a ad binarium erat. Veloe iratum luitur, quibu: cum in limi ibus arcuum illorum Cycloideos punetis eoi pus pendulum latum citet, et liarum eadem inter ipsis communis ratio, unitatis ad binarium, siti siet. Velocitatum igitur iliarum duplicata ratio unitalis ad quai et naritim fuisset. Ille eum ita sint, quae .am mimur vis rc nixus in medio arcus e musque Cycloid: dis pi ne: o, si ad eam, quae in puncto medio arcus proxime majoris rogia allet, rationem habuisici veloeliatum duplicatam: 1equanam sui parte vis renixus, in i Medio arci s cujus Pie minoris puncto, nas 41r fuit se: qtiam prio du- p ieata velocitatum ratione, ex sequenti numerorum dei criptione quivis ut opinor iliacit:g.it
Ille in maximis aretibus, minus quidem quam in mediis, servatam videre est inter vires renixus duplieatam velocitatum rarionem. A qua qu: ntum et in aliis Ne toni experimentis vires illa abscesserint, haud inutile erit simili numerorum descriptione oculis subjecisse.
400쪽
duplicata ratione arcuum descriptorum quam Proximo; in minoribus vero paulo majores quam in ea ratione; M propterea per Corol. 2. Prop. XXXI. libri hujus resistentia Globi, ubi celerius movetur, est in duplicata ratione velocitatis quam Proximo ; ubi tardius, Paulo major quam in ea ratione si). Designet jam v velocitatem maximam in oscillatione quavis, sintque A, B, C quantitates datae; ia fingamus quod differentia a cuum sint Av ε Bui ΦCvL. Cum velocitates maximae sint, in Cycloide,