장음표시 사용
401쪽
cloide, ut semisses arcuum oscillando descriptorum, in Circulo vero, ut seminium arcuum illorum chordae; ideoque paribus arcubus majores sint in Cycloido quam in Circulo, in ratione semis-1ium a Uum ad eorUndem Chordas; tempora autem in Circulo sint majora quam in Cycloide in velocitatis ratione reciproca ; patet arcuum differuntias qua: sunt Ut resistentia Se quadratum tomi oris conjunctim casdem foro quam proxime in utraque Curvi: deberent enim differcntiae illae in Cγcloide augeri, una Cum rosia tentia, in duplicata circiter ratione arcus ad chordam, ob Velocitatem in ratione ill i simplici auctam ; M diminui, Una Cum quadrato temporis, in eadem diaplicata ratione. Itaque ut reductio stat ad Cycloidem, caedena sumendae sunt arcuum differentiae, quae fuerunt iii Circulo observatae; velocitates vero maximae Ponendae
Ex PERIMENTA IN GLOBO PLUMBEO MAJORE.
Qui in AERE Ouillabat donee pars MARTA motu extincta erat. Areuiim differentiae - --
Disserentiarum rariones 1 3, 73Velocitatum rationes
EXPERIMENTA IN GLOBO PLUMBEO MINORE
402쪽
sunt arcubus, x cl dimidiatis Vel integris, hoc cst, numeris et, I, 2, 4, 8, 1 6 analogae. Scribamus crgo in casu secundo, quarto Sc sexto numero S I, 4 Jc 16 Pro v; 8c prodibit arcuum disteren
Sr propterea, cham Per Corollarium Propositionis XXX. applicatum ad hunc casum) resistentia Globi, in medio arcus oscillando descripti, ubi velocitas est V, sit ad ipsius pondus ut 'AV Φυτ, au' m Cu' ad longitudinem Penduli; si pro A, B Sr C scri
Ni Mistu M vis renixus, quam liter.i R significare liceat, trifariam intelligatur distribui, sive ex trilriis viribuq conflari, quas singulatim iit cris r, r, e si ilicabimus; ut si R α rir Φ ι. Harum trium partium, ex quibus vis tota n conflata est, prima r talis sit, quae simplici temper velocitatis corporis penduli rationi responiteat; ultima e rationem velocitatis duplicatam servet; ine ilia r rationem illam quae simplicis & duplicatae velocitatis media est, quam Newtonus te qiii. plicatam vocare solet. Vel ut clarius dicamus, si sint v, v ' duae lectae ea lege mutabiles, ut illa v simplicem velocitatis rationem, illa v duplieatam sumper gerat; sit alia v , ea lege mutabilis, ut duarum v. v proportione semper media st. Et tales ponantur vires r, r, ut illa r me re v, illa r reetae v illa rectae v' semper rationem servet. similiter arcuum, qui a corpore pendulo descendendo & ascendendo leripti suerint, horum differentia a vi renixus oriunda, quam litera n signisi ea biinus, in partos tres d. . , ὸ distribili cogitetur, a tribus viribus r, r, e sugulatim oriundas. Ut si umd Φ di . Ponatur autem d α Av, d ' cudi Uruleestietetur id quod Newtonus poni jussit. D avΦnvbεcu . Et pro D εe v nume is, quos cx- Perimenta e memoratis secundum, quartum, & sextum monstrant, ordine substitutis, venient lite. rum Α, ii, C aestim .it toties illae . quas Newtonus protulit. Jam Vcro cima in punei a medio arcus, quem eorpus quodpiam pendulum sci ibat, vis renixus sit ad corporis pondita ut recta o in lig. Prop. xxx. ad longitudinem sit quo corpus suspensum est :eum Prat ivn. si talis ponatur vis renix iis quae simplici velocitatum rationi usque teli ondeat, ea erit is v quae' ad arcuum. ιpii descendundo & ascenitendo consedit suerint, differentiam nationem liabeat qua: n 7 ad ii t per Cor. Prop. xxx. . Haec cum ita sint, si figura Propositionis xxx. ad vimr accommodata suerit, crit o v d. l. Ae proinde ea suerit vis r. in punito arcus scripti medio, qua ad corporis penduli pondus rationem habuerit. quam d, sive di Au ad I. sigilificante litera L longitudinem iiii, quo corpus suspens: ira erat . At vero si talis sit vis renixus, ii ix duplicatam velocitatis rationem servet, OV ea erit quae adoreuum, qui des necndo & ascendetido conietti suerint, disterentium rationem habeat quam 3 ad a. Quare si figura Prop. xxx. ad vim e accommodata fuerit, erit ou αθλ Ae proinde ea su- erit vis p. in medio arcus conlesti punero, chiae ad corporis Penduli pondus rationem habent quam δ live e cui ad L. Rursum cum proportio rectar o v ad Aa, sive quantitas a lege vis renixus omnino Pendeat;
et cuna lex illa, quae simplicem inter vires illas velocitatum constituat rationem, illam - huic geaequalem essetet; altera vero lex, quae duplicatam velocitatum rationem viribus renixus indueat, Vo1.. II. A a a illam
403쪽
bantur numeri inventi, fiet resistentia Globi ad ejus pondus, ut O , o oo583V Φ O, Oo7593V' Φ Ο,oo 22 169V' ad longitudinem Penduli inter centrum suspensionis ge Regulam ; id est, ad tardigitos. Unde cum V in casu secundo designet I, in quarto 4, in sexto 16 : erit resistentia ad pondus Globi in casu secundo ut O , oo 3 345 ad Ia I, in quarto ut O , o II 8 ') ad Ia I, in sexto Ut o, 6ITOS ad 12 I. Arcus, quem punctum in filo notatum in casu sexto descripsit, erat Iao--, seu II9- digitorum . Et P Pterea, cum radius esset Ia I digitorum, Se longitudo Penduli inter punctum suspensionis Sc centrum Globi csset Iasi digitorum ; arcus, quem centrum globi descripsit, crat Ia P digitorum. Quoniam cortUris oscillantis velocitas maxima, ob restitentiam Aeris, non incidit in punctum insimum arcus d scripti, sed in medio sere loco
arcus totius versatur : haec eadem erit circiter, ac si Globus, descensu suo toto in Medio non resistente, describeret arcus illius
partem climidiam digitorum 62A q), idque in Cycloide, ad quam
motum Penduli supra reduximus: Sc Propterea Velocitas ilia aequalis crit velocitati, quam Globus, Perpendi Colariter cad nilo M casu suo describendo altitudinem arcus illius sinui veri aequalem, acquirere posset. Est autem sinus ille versus in Cycloide ad arcum istum 6 ais ut arcus idem ad Penduli longitudinem dubiam et set, M propterea aequalis digitis I 5, 278 . Quare velo litas ea ipsa est, quam CorPus cadendo, Sc casu suo spatium 15,27S digito m
ulam liuie l aequalem reddat e cerae lex priorum geometrice luasi intcrmedia, quae viribus reis
nixas rationem simplicis & dupli eatae velocitatum mediam indrixerit, haec illam
talem praestiterit, quae earum, quas priores renixus linc, dabam, Pometrica ratioue quali media fit. id quod Emercoiriis ad locum tu, tu monuit. Sed quantitatum , .l, quas le..es Priores dabant, est i , geometrica ra ivnc qu-ii 1.icura. Uurare si ligula
V Vr V proinde ea fuerit vis r, in puncto medio uro oscillando conlaeti, quae ad pondus corporis penduli rationem ii alicae quam , ii e i v . ad L. Cum igitur in medio puncto areda, Oscul indo conricti, ea i Vciit vis r, qu:e id pondus corporis penduli raticinum habeat epiam , Av ad L e ea amem ' is r quae ad prandus corporis penduli rationem habeat quam di, Evτ ad ti r ea deniqae vis t quae ad la udus os oris penduli riti inem habeat quam cv ad I. r idcirco ea fuerit vis R, e tioue . r, o conflata, in runcto illo OIed-inionis medio, tuae ad pondus corporis penduli .alιonem nabuat q-- AV - Eu . . in cu' ad
404쪽
gitorum describendo acquirere posset. Tali igitur cum Velocitate Liακα Globus resistentiam patitur, quae sit ad ejus pondus ut o , 61 os η ς' ad 121, vcl si resistentiae pars illa sola spectetur quae est in vel citatis ratione duplicata) ut o , 5675a ad I 2I. Experimento autem hydrostatico inveni, quod pondus Globi hujus lignei csset ad pondus Globi aquei magnitudinis ejusdem ut 55 ad 97 : M propterea cum Ia I sit ad 2I3, in eadem ratione, erit rc sistentia Globi aquei, Praefata Cum velocitate progredientis, ad ipsius pondus ut o , 56752 ad 2I3, , id est, ut I ad 37
Unde cum pondus Globi aquei, quo tempore Globus cum velocitate uniformiter continuata describat longitudinum digitorum 3o,s 56 , velocitatem illam omnem in Globo Cadente generare posset; manifestum est, quod vis resistentiae eodem tempore uni formiter continuata tollere posset velocitatem minorem in ratione I ad 376- ' , hoc est, velocitatis totius partem - ). Et propterea, quo tem re Globus, ea Cum velocitate uniformiter Continuata, longitudinem semidiametri suae, seu digitorum 3ri, describere posset, codem amitteret motus sui partem -τ V . Numerabam etiam oscillationes, quibus Pendulum quartam motus sui partem amisit. In sequente Tabuli numeri 1upremi denotant longitudinem arcsis descensu primo descripti, in digitis M partibus digiti cxpressam : numeri medii significant longitudinem arcsis ascensu ultimo descripti; 8c loco insimo stant numeri Oscillationum. Experimentum descripsi tanquam magis accurax, longitudinem fili quo corpus suspensum erat. El. v. 2Φ. E. D. 'in Lege o,oit 778, sicut recte emendavit etiam Emerisnus. : 'ὶ ERAT ut opinor arcus digitorum Iro, ne minim1 quidem parte major vel minor ; si, quod Newtonus voluisse videtur, media ejus longitudo maximam inter minimamque sumenda sit. Cum enim arcus, quos corpus pendulum motu suo, ob aeris renixum sensim languescente, scribebat, seri em quandam arithmeticam constituerint, data longitud.ne ἔ; dig. usiue minuenies, media omnium longitudo maximae minin reque simit suinptarum semissis fuerit. At vero arcus descen Maprinii in experimento E memoratis sexto erat digitorum 64. Areus igitur ascensis primi par: ibus unius d giti contractior. Unde arcus totus primus, idemque maximus, ra8 - ζ;. Rurium areus ascensi s ultimi erat digitorum s6. Areus igitur descensus ultimi partibus unius digiti lon
405쪽
tum, quam cum motus ParS tantum Octava amitteretur. Calculum tentet qui volet δ). Descensus primus et 8 16 32 6 incensis ultimus I : 3 6 Iet 24 48 Numerus Osugat. 374 27 a I 62 83ἱ 4i : et alPos TRA Globum plumbeum, diametro digitorum et, M Pondere unciarum Romanarum 26- suspendi filo coclem; sic ut inter centrum Globi M punctum suspensioni S intervallum estut pedum Ioe, M. numerabam oscillationeS quihus data motus Pars amitterctur. Tabularum subsequentium Prior exhibet numerum oscillationum, quibus Pars octava motus totius costavit; secundae numerum oscillationum, quibus ejusdem Pars quarta amissa fuit. Desemus primus census ultimus Numerus Osi at. Descensus primuS cenis uisimus Numerus OsiVat.
In Tabula priore, seligendo ex observationibUS tertiam, quin tam M septimam, Sc exponendo Velocitatus maximas in his observationibus Particulatim Per numerus I, 4, 6 reinective, generaliter per quantitatem V ut suPra: emerget in observatione terti1
406쪽
- α I 6 A ε 64 B - 2 S 6 C. Hae vero aequationcs reductae dant A NO, OOIAIA; B π Ο, O OO 297; C πο, o oo 879. Et inde Pio sit rc sistentia Globi, cum velocitato v moti, in ea ratione ad pondus suum unciarum. 26 , quam habCt O , o oo9U in C, O O ZOS V - Φo,o oo 659v' ad Penduli longitudinem Iar digitorti m. Et si spectemus eam solummodo rei isteriliae partem, qu e cit in dupli Cata ratione velocitatis ς haec erit ad Pondus globi ut O , Coo 659 ad 12 I digitos. Erat autem hzec pars resistentiae, in experimento primo, ad Pondus Globi lignei unciarum 57 A ut O , oo 2217 V' ad Ia I : inde fit resistentia Globi lignei ad relistentiam Globi plumbei paribus corum velocitatibus) ut 57 A in O , oo 2217 ad 26ἱ in Ο, o oo 659, id est, ut ad I. Di ametri Globorum duorum erant M et digitorum, S: harum quadrata sunt ad invicem ut ψ7- M 4, seu II- Ω I quamproxime. Ergo resistentiae Globorum aequivelocium erant in minore ratione quam duplicata diametrorum. At nondum consideravimus resistentiam fili, quae Certe Permagna erat, ac de Pendulorum inventa resistentia subduci debet. Hanc accurate desinire non potui, sed majorem tamen inveni quam partem tertiam resistentiae totius minoris Pen
duli ; Sr inde didici; quod resistentibu Globorum, dempta fili resilientia, sunt quam proxime in duplicata ratione diametrorum. Nam ratio 7 ad I - , seu Io ad I , non longe abest a di metrorum ratione duplicata, Ii. Z ad I y .
407쪽
Cum resistentia fili in Globis majoribus minoris sit momenti, tentavi etiam exPerimentum in Globo, cujus diameter crat Idigitorum. Longitudo Penduli, inter Punctum moeusionis Scccntrum Oscillationis, erat digitorum Iaa ; inter punctuni suspensionis Ic nodum in silo Io 9 dig. Arcus primo Penduli descensu a nodo dcscriptus 32 dig. Arcus ascensu ultimo, Post ODcillationes quinque ), ab eodem nodo descriptus 28 dig. Summa arcuum, 1eu arcus totus oscillatione mediocri descriptus, si odig. Differentia arcuum dig. Rus pars ducima, seu disturcntia intcr clescensum 8c ascensum in oscillatione mediocri, - dig. Ut radius Io 9 ad radium Iaa , ita arcus totus 6o dig. oscillationc mediocri a nodo descriptus ad arcum totum dig. oscillatione mediocri a contio Globi descriptum ; 8e ita differentia Z ad differcntiam novam o, q75. Si longitudo renes tali, manente longitudine arcus deicripti, augeretur in ratiotic Iab ad I 22ἰς tempus oscillationis augeretur, M velocitas P nduli climinueretur in ratione illa subduplicata; maneret vero arcuum deΩensu Msubsequente ascensu descriptorum distorentia ο,4 7s. Deinde si arcus descriptus augeretur in ratione I et h) ad 67- , differentia ista o, ψη 75 augeretur in duplicatst illa ratione, ideoque evade-rct I, 5205 ',' . Haec ita se haberent, cx hypothesi quod resistentia Penduli ellet in duplicata ratione velocitatis. Ergo 1i Pendulum describeret arcum totum ia A δ digitorum, M longitudo ejus interpunctum suspensionis ta Centrum Oscillationis osset Ia 6 digitorum, disserentia arcuum descensu subsequente ascensu dcscriptorum foret I, 529s digitorum 'h). I t haec differentia ducta in pondus Globi Penduli, quod erat unciarum et o 8, producit 3I8,I36 ῆς . Rursus, ubi Pendulum sit PeriuS ex globo ligneo constructum, centro oscillationis, quod a Puncto susscn-
in Legendum omnino D e m. Id quod ad locum Emersonus recth monuit. 'ὶ ia ,s s. Vide Not. e.
Talum enim arc m stribebat Globus ligneus minor, m experimento sexto eorum quae omisnium Prima memorata sint.
408쪽
sionis digitos ret 6 distabat, describebat arcum totum I 2 LI ire et digitorum; differentia arcuum descensu M ascensu descriptorum μ' η' ' fuit ins ςς ; quae ducta in pondus globi, quod erat uncia-Tum 57- , Producit q9, 306. Duxi autem disserentias hasce in pondera Globorum, ut invenirem eorum resistentias. Nam differentiae oriuntur ex resistentiis, suntque ut resistentiae directe MPondcra inverse Q. Sunt igitur resistentiae ut numeri 3I8,I36 M49, 306 f i). Pars autem resistentiae Globi minoris, quae est in duplicata ratione volocitatis, erat ad resistentiam totam ut o , 567sa
sistentiae talobi majoris propemodum sequatur ipsius resistentiae tΟ-ti; iu oque parte, illae sunt ut 3I8,I36 Ω 45, 33 quam ProXimu ), id eit, ut 7 8z I . Sunt autem Globorum diametri
I, id c sit, ut Globorum resistentiae M I quam proxime. Cisserentia rationum haud major est, quam quae ex fili resistenti: i oriri Potuit. Igitur resistentiarum partes illae quae sunt, Paribus Glo- his, ut quadrata velocitatum ; sunt cliam, paribuS Velocitatibus, ut quadrata diametrorum Globorum. Caeterum Globorum, si ibus usus sum in his experimcntis,ma Ximus non erat Perfecte sphetericus, & propterea in calculo hic all-to minutias quasdam, brevitatis gratia, neglexi; de calculo accurato in experimento non satis accurato minime sollicitus. Optarim itaque, cum clcmonstratio Vacui ex his dependeat, ut eXPerimenta cum Globis Sc Pluribus M majoribus 8c magis accuratis tentarentur. Si Globi sumantur in proportione geometrica, Puta
quorum diametsi sint digitorum 4, 8, 16, 32; ex Progressione
CXPerim talorum Colligetur quid in Globis adhuc majoribus evenire debeat.
Q 7 t ad i I Nec alia veniet ratio, si licit idem experimentum, in Globo ligneo majore
409쪽
JΛΜ vero confercndo resistentias diversorum Fluidorum inter se tentavi sequentia. Arcum ligneam paravi longitudine Pedum quatuor, latitudine Sc allitudine Pellis UniUS. HanC operculo nudatam implevi aqua fontana; fecique ut immersa Pendula in Mc-dio aquae oscillando movercntur. Globus autem Plumbeus pondere I 66 Unciarum, diametro 3 digitorum movebatur ut in Γabula sequente descripsimus; existente videlicet longitudine Penduli a puncto suspensionis ad punctum quoddam in silo notatum I 26 digitorum, ad Oscillationis autem centrum I 3 - digitorum. A cus descensu primo a puncto iuiis notato discriptus, digitorum
Auinertis Ostillationum in aqua
In eXperimento columnae quartae, motuS aequales oscillationibus s35 in Acro, I in Aqua amissi sunt. Erant quidem o1-cillationes in Acre paulo celeriores quam in Aqua. At si oscilla- tiones in aqua in et ratione accelerarentur, Ut motus Pendulorum in Medio utroque fierent aequiveloces, maneret numerus idem oscillationum I in aqua, quibus motus idem ac Pritis amitteretur; ob resistentiam auctam, Se simul quadratum temporis diminutum, in eadem ratione illa duPlicaili. Paribus igitur Pendulorum velocitatibus, motus aequales in Acre oscillationibus fas in Aqua Oscillationibus i amissi sunt; ideoque resistentia Pon tuli in Aqua est ad cjus resistentiam in Aere ut 535 ad 1 . Ilaec est Proportio resistenclarum totarum in casu columnae quartae. D signct jam Av cu' disturciatiam arcuum, in desPensu M sub- scutiente et scensu descriptorum, a Glosio in Aere cum velocitate maxima v moto ; ἰχ ctim velocitas maxima in casu Columnae quartous: pri vcilocitatum maXimam in casu columnete Primae, ut I ad 8 ;be Cisserentia illa arcuum in casu columnae quartae ad differentiam in casu columnoe primae ut ad 2- , seu ut 8 cad 428o : scri-
- cie St. -- Τὸ Sed ad partem illam vis renixus in aere definiendam, quae duplicatam velocitatis rationem servaverit,
410쪽
PRINCIPIA MAT II E M A T I C A. 377
bamus in his casibus 1 S: 8 pro velocitatibus, at iue 8ς M 428 o LipC Pro di neruntiis arcuum, M siet A ε Cα83 ; Sc 8 A F 64Cα428o; seu A ε 3c α 53s; indeque per reductionem sequationum Proveniet 7cα4 9' ἔ Sc Cα64; ; M A m et I : atque ideo resistentia, Ciim sit ut et Avε cu', erit Ut I 3 tvε 8Me V Quare in casu Co- Ium iacie quartae, Ubi velocitas orat I, resilientia tota est ad Partem suam quadrato velocitatis Proportionalem, ut I3 φὶρ 8 't, seu 6i ' , ad *8 I; idcirco resistentia Penduli in Aqua est ad ressistentiae partem illam in Aero, quae quadrato velocitatis Propo tis-nalis cit, quaeque ibia in motibus velocioribus consideranda venit,
ut 6 i , ad 48 dc 333 ad ii conju stim; id est, ut 57 I ad I '' . Si Penduli in Aquit oscillantis silum totum fuisset immorsum, resilientia ejus fuistet adhuc major; adco Ut Penduli in Aiaqu: 1 oscillantis resilientia illa, quae Velocitatis quadrato Pro Portionalis cli, quaeque sola in corporibus velocioribus conlidcranda venit, sit ad resilientiam Uusdem Penduli totius, eadem cum velocitate in Aere oscillantis, ut 85o ad I circitcr; hoc est, ut densitas Aquae ad densitatem Acris quam ProXime. in hoc calculo sumi quoque deberct pars illa resistentiae Penduli in Aqua, quae esset ut quadratum velocitatis, sed quod mirum forte videatuo resistcntia in aqua augebatur in ratione Velocitatis Plusquam duplicata. Εjus rei causam investigando, in hanc incidi; quod arca nimis angusta esset Pro magnitudine Globi penduli, Se motum aquae cedentis, prae angustia sua nimis impediebat. Nam si Globus pendulus, cujus diameter crat digiti
unius, immergeretur; resilientia augebatur in duplicata ratione velocitatis quam Proxime. Id tentabam conitruendo Pendulum
cx Globis duobus, quorum inscrior Se minor oscillaretur in Aqua, superior Se major Proxime supra aquam filo assi xus csset; 8c, in
Aere oscillando, adjuvaret motum Penduli, cumque diuturniorem redderet. EXPerimenta autem hoc modo instituta 1c habebant ut in Tabula sequente describitur.
servaverit, cur non hic ut ante Newtoniis posuit Av Φ au' Φev m n NEnit,e si posuisset, ex tribus illis cluae in Aure iacta sani expeti mentis, coci ieiens A negativus pio itisset.