장음표시 사용
61쪽
Axio v Ava, reciProce ut Punctorum, a quihus suspenduntur, diltantiae ab axe librae; sin planis obliquis, aliisve admotis obstaculis, impedita ascendunt vel descendunt oblique ; aequipollent, quae sunt reciproce ut ascensus Sc descensus, quatenus facti secundum Perpendiculum : idque ob determinationem gravitatis deorsum. Similiter in Trochlea, seu Polyspasto, vis mansis funem directe trahentis, quae sit ad pondus, vel directe, vel oblique ascendens, ut
velocitas ascensus perpendicularis ad velocitatem manus funem
trahentis, sustinebit pondus. In Horologiis M similibus instrumentis, quae ex rotulis commissis constructa sunt, vires contrariae ad motum rotularum Promovendum M impediendum, si sunt reciproce ut velocitates partium rothitarum, in quas imprimuntur, sustinebunt se mutuo. Vis Cochleae ad premendum Corpus est ad vim manus manubrium circumagen is, ut circularis vel itas manubrii, ea. in Parte tibi a manu urgetur, ad Velocitatem Progressivam cochleae versus corpus pressum. Vires, quibus Cuneus urget partes cluas ligni fissi, sunt ad vim Mallei in cuneum, Ut progressus cunei, secundum determinationem vis h malleo in ipsum impressae, ad velocitatem qua partes ligni cedunt cuneo, secundum lineas faciebus cunei perpendiculares. Et Par est ratio
Harum essicacia M usus in eo solo consistit, ut diminuendo Velocitatem augeamus vim, M contra: Unde solvitur in omni aintorum instrumentorum genere Problema, Datum pondus data inmobent, aliamve clatam resistentiam vi data superandi. Nam si machinae ita formentur, ut velocitates agentis M resistentis sint reci Procἡ ut vires; agens resistentiam sustinebit: Se majori cum Velocitatum disparitate eandem vincet. Certe si tanta sit volocitatum disparitas, ut vincatur etiam resistentia omnis, quae tam ex contiguorum 8c inter se labentium corporum attritione, quis eX continuorum, M ab invicem separatulorum cohaesione, M ele-Vandorum ponderibias oriri solet; superata omni ea resistentia, vis redundans accelerationem motus sibi proportionalem, partim in Partibus machinae, Partim in corpore resistente Producet. Caeteri;m Mechanicam tractare non ost hujus instituti. Hisce voluitantiam ostendere, quam late pateat quimque certa sit lex tertia motos. Nam si aestimetur agentis actio ex ejus Vi Sc velocitate
62쪽
29 conjunctim; M similiter resistentis reactio aestimetur conjunctim Lκοει ex ejus partium singularum velocitatibus M viribus resistendi ab earum attritione, Cohaesione, P ndere, M acceleratione oriundis; erunt actio M reactio, in omni instrumentorum usu, sibi inviacem semper aequales. Et qUatenus actio propagatur Per instruis mentum, M ultimo imprimitur in corpus omne resistens; ejus ultima determinatio determinationi reactionis semper crit contraria.
63쪽
De metiodo rationum primarum γ ultimarum, cujus ope sequentia demonsrantur. LEMMA I. Luantitates, ut quantitatum rationes, quae ad aequalitatem temtore quovis inito consanter tendum, ante inem temporis illius proprius ad invicem accedunt, pro data quaUis diserentis, iunt ultimo aequaleS. SI negas; fiant ultimo inaequales, S sit earum ultima disse iarentia D. Ergo nequeunt P Pius ad aequalitatem accedere quam pro data disterentia D et contra hyrothesin ' .
64쪽
Si inrigura quavis AacE, recris Aa, AE ti' cur ME. compreben , inscribantur parallato gramma quotcunque, Ab, B c, CE, G .fus basibus AB, BC, CD, Uc. aequalibus, talateribus Bb, Cc, Dd, m. Murae lateri Aa parallelis contenta; γ compleantur pa- Eelogramvra a KθI, θLcm, cxi , ω c. Dein horum parat logrammorum latu ominuatur,. π numerus augesIur in infinitum e dico, quod ultimae rationes, quGI habent ad se invicem ingura inscripta AKθL MD, circumscripIa Aa IumcnΔΕ, ω curciuinea Aabcri, sunt rationes AEqualuatis.
ae G D ENam figurae inscriptae 8e circumscriptae differentia est summa parallelogrammorum ΚΙ, Lm, Μυ, Do; hoc est ob aequales omnium hases rectangulum sub unius basi Lb M altitudinum summa Aa, ill est, rectangulum ΑΗ m. Sed hoC rectangulum, eo quod latitudo ejus AB in infinitum minuitur, fit minus quovis dato. . Ergo per Lemma I) figura, inscripta Sc circumscripta, Sc multo magis figura curvilinea intermedia, fiunt ultimo aequales. Q, E. D.
Eaedem rationes ut imae sunt etiam rariones aequalitatis, ubi puraAlelogravimorum latitudines AB, Ac, CD, Scc. sunt inaequaleS, Nomnes minuuntur in in Dum. Sit enim AP aequalis latitudini maximae, M compleatur Parallelogrammum FAU. IIoc erit majus quam disserentia figurae in scriptae et figuriae circumscriptae; at, latitudine 1 ua Ap in insini tum diminuta, minus fiet clato quovis rcctangulo. Q. E. D. Corol. I. Hinc summa ultima parallelogrammorum eVanen centium coincidit omni cx parte cum figura curvilinea. Corol. 2. Et multo magis figura rectilinea, quae Chordis eVanescentiUm arcuum ab, oc, cd, 8 c. Comprehenditur, coincidit ultimo cum figura Curvilinea.
65쪽
Corol. 3. Ut M sigura rectilinea Circiamscripta, quae tangentibus eorundem arcuum comprehenditur. Corol. 4. Et Propici ea hae figuriae ultimae quoad perimetros ac L), non sunt rectilineae, sed rectilinearum limites curvilinei.
LEMMA IV. Si in duabus Auris AacE, PprT, inscribantur fui supra duae t
rasi Uranimorum series, sitque μοι amborum numerus; π, ubi latifudines in in Litum diminuuntur, rationes ultima parat logramniorum in und Mura ad parasielogramma in altera, si λι- gulorum ad sin gula, sint eredem; dico, quod ingura dice AacE, PprT, sunt ad invicem in eadem illis ratione. Etenim ut sunt Parallelogramma singula ad singula, ita
summa omnium ad summam Dianium, Mita figura ad figuram; cxistente nimirum figura priore per temma H i) ad summam Priorem, Sc figura posteriore ad summam posteriorem in rationc aequalitatis. Q. E. D ψ' .
CoroI. Hinc si duae cujuscunque generis quantitates in eundem partium numerum utcunque diVidantur; M Partes illae, ubi numerus carum augetur magnitudo diminuitur in infinitum, d iam obtineant rationem ad invicem, Prima ad primam, secunda ad secundam, caeteraeque suo ordine ad caeteras : erunt tota adinvicem
Co . H. i. si duae Curvae ABC, ADE axem habeant tommunem Arὶ hujus autem curvae orditiatae ad ordinatas alterius datam aliquam rationem gerant, hinis utique semper conserendo, litiae ex eodem axis puncto eductae snt; areae cur artim A C, ApE, datam ordinatarum inter se rationem habebunt. Nempe hoc dico; A puncto G, in axe curvarum, AF, Pro lubitu assi impio, educta ad peν- pendiculum recta Gn, quae curvis duabus, Aac, ADε, illi in pune toa, huic in puncto D, occurrat; s rectis BG, DG, data aliqua ratio intercedat, quae eadem obtineat a quocunque demum axis punet ordinata educatur, eadem Arearum etiam, AFC, AFL, inter ipsas ratio erit.
66쪽
invicem in eadem illa data ratione. Nam si in lemmatis hujus figuris sumantur parallelogramma inter se Ut Partes, summae partium semper erunt ut summae Parallelogrammorum ἰ atque ideo, ubi partium M parallelogrammorum numerus augetur Mmagnitudo diminuitur in infinitum, in ultima ratione parallelogrammi ad parallelogrammum, id eit per hypothesin in ultima ratione parti S ad Partem ς .L E M M A V. Simidium Murarum latera omnia, qt si mutuo responta. I, sunt
proportionalia, tam curvilinea quam recti inea ; are.8 junt in dupfica a ratione latcrum.
Si arcus quilibet postione datus, VI. ACB, obten Iur chorda AB, Nin tu Io aliquo A, in medio
gatur Λ rccta, utrinque troducta, AD ; dein tunsa A, B ad invicem accedant, G
eant; dico, quod avulus BAD, sub clor ' IanχeDIe con- Cntus, minuetur in in Atum, ae ultimo evan fcct. Nam si angulus ille non evanescit, continobit arcus ACB cum tangente AD angulum rectilinco aequalem ; Ω Propterea curva tura ad punctum A non erit continua, contra hypothesin.
or. II. Quod si recta an non ali perpendiculum, sed cum data quavis ad axem communem Ai inclinatione educatur, idem obtinebit. Cor. H. Si vero Curvae duae Anc, ADE, eo modo ad se mutuo sint assectae, ut recti .e, C. B, GD, A puncto aliquo G in axe com muni, AF, ordinatim educiae, datis quidem sed diverIis ad axem illam inclinationibus, datam inter se rationem gerant; quae eadem obtineat, a quocunque demum axis puneto ordinatae illae edueautur; vel sic etiam aeris ABCF, ADEP, data quaedam ratio intere edet; ea nimirum, quam rcciae a punctis Ε, D in
cm Ap ad perpendiculum demissae inter se habent. Vide Tom. I. p. a o. ' Vide Tom. I. P. 24a.
67쪽
PHILOSOPHIAE NATURALIS L E M M A VII.
Iisdem tostis; dico quod ullima ratio arcus, Gorda', G tangentis ad invicem es ratio aequalitatis. Nam dum punctum B ad punctum A accedit, intelligantur semper An M AD ad puncta longinqua θ ac d produci, M s Canti BD parallela agatur bd. Sitque arcus Acb semper similis arcui ACB. Et punctis A, Rcoeuntibus, angulus dAb, Perlemma superius, evanescet; ideoque ructae semper sinitae Ab, Ad, tu arcus intermedius Acbcoincident, Sc Propterea aequales crunt. Unde Sc hisce semper proportionales rectae AB, AD, Sc arcus intermedius ACB Evaneia coni, 8c rationum ultimam habebunt zequalitatis. Q. E. D. Corol. I. Unde si Per B ducatur tangenti parallela BF, rectam quamvis AF Per A transeuntem perpetuo secans in F, haec EF. . ultimo ad arcum evanescentem ACB ra-
--- -Ι fR tionem habebit tequalitatis; eo quod com-Hi picto parallelogrammo AF D B rationem sem- per habet aequalitatis ad AD.
Corol. 2. Et si laer B M A ducantur Plures rectae BE, BD, AF, AG, secantes tangentem AD Sc ipsius paralcssam BF ἔ ratio ultima abstissarum omnium AD, AE, BF, BG, Chordaeque M arcus AB ad invicem crit ratio aequalitatis. Corol. 3. Et Promerca hae omnes lineae, in omni de rationibus ultimis argumentatione, pro se invicem usurpari possunt.
Si rectae durae AR, BR ς) cum arcu ACB, chorda AB, θ' tangente AD, Iriungula tria RAB, RACA, RAD consituunt, dein puncta A, B accc nI ad laeticem e dico, quod ultima forma Iriant lorum anescentium ess Eduinis, o uisima rasis aequalitatis. Vide g. LGnm. VII. Nam dum punctum B ad punctum A accedit, intelligantur
Iicellige rectam Aa politione datam; rectam vero BR ea lege mobilem, ut cum alia ali positione data, semper ca parallela mincat.
68쪽
semper An, AD, AR ad puncta longinqua θ, u M Γ Produci, ip l. ζ. ' . . sique BD parallela agi rid, Sc arcui Ac B similis semper sit arcus Acb. Et coeuntibus punctis A, B, angulus bAd evanescet, MPropterea triangula tria semper sinita rAb, r Act, 1 Ad Coincident, suntque eo nominu similia M aequalia. Unde Se itisce semper similia & Proportionalia RAB, RAcn, RAD fiunt ultimo sibi invicem similia Sc aequalia. Q. E. D. Corol. Et hinc triangula illa, in omni de rationibus ultimis argumentatione, Pro se invicem usurpari Pollunt.
LEMMA IX. Si recta AE N curcia ABC positione datae se multo uerent in angulo
dato, A, N ad rectam illam in ano da o an luto ordinatim applicentur BD, CE, curvae occurrentes in B, C, dein tuncta B, C simul accedant ad punctam A : dico, quod areae trianzularum ABD, ACE cruxI ultimo ad inzicem in duplicata ratione Dierum.
Etenim dum Puncta B, C accedunt ad punctum A, intelligatur semper AD Produci ad puneta longinqua ii M e; ut sint Ad, Aeipsis AD, AL Proportionales, M origantur ordinatae G, ec ordinatis DB, EC Parallelae, quze Occurrant ipsis AB, AC productis in θ 8 c. Duci intelligatur, tum curva Alc ipsi Ancsmilis, tum rcfl a Ag, qUM tangat curvam utramque in A, M succi ordinatam applicatas DB, EC, B, ec iri F, G, A g. Tum, manente longitudine Ac, coeant PUncta B, C cum Puncto A ; 8e, angulo cu evanescente, coinci lcnt arcae curvilineae Abes,
Ace cum rectilineis Ud, Age; ideoque per Lemma V. crunt in duplicata ratione laterum Ad, Ae: sed his arcis Proportionales semper sunt arcae ABD, Ac E, Sc his lateribus latera AD, AL f). Ergo M areae ABD, Ac si sunt ultimo in duplicata ratione laterum AD, AE. Q. E. D.
69쪽
Spatia, qtiae corpus urgente quacunque Ut nitia describit, Me vis illa determinala N immutabilissi, e eadΓm continuo aveatur, Ces continuo diminuasur; sunt, ipso mosus initio, in duplicata ratione ImpoΓum. Exponantur temPOra Per Iliacas AD, AE , mi M. Lem. IX. M velocitates genitae per ordinata, DB, Ec ; M spatia his vclocitatibus descripta, erunt ut areae ABD, ACE his ordinatis descriptae g), hoc est, ipso motus initio per Lemma Ix in duplicata ratione tem- Porum AD, AE. Q. E. D. Corol. I. Et hinc facile colligitur, quod corporum, similes similium figurarum Partes temporibus Proportionalibus describentium, errores, qui Viribus quibusvis aequalibus ad corpora similiter applicatis generantur, tia mensurantur Per distantias corporum a figurarum similium locis illis, ad quae corpora eademtcmporibus ii silem Proportionalibus, sine Viribus istis, pervenirent, sunt ut quadrata temPorum in quibus generantur quam ProXime. Corol. 2. Errores autem qui Viribus Proportionalibus, ad similes figurarum similium partes s militer applicatis, generantiar, sunt ut vires M quadrata tomporum conjunctim. Corol. 3. Idem intelligendum cit de spatiis quibusvis, quae corpora, urgentibus diversis Viribus, describunt. Haec sunt, ipso motus initio, ut vires M quadrata temporum Conjunctim. Corol. 4. Ideoque vires sunt ut spatia, ipso motus initio, descripta directe, M quadrata temporum inverse. rv. s. Et quadrata temporum sunt ut descripta spatia directe,
Si quantitates indeterminatae diversorum generum conserantur inter se, M carum aliqua dicatur esse ut est alia quaevis diruete vel inverse: sensus cst, quod prior augetur vel diminuitur ita
70쪽
eadem ratione cum Posteriore, Vel cum ejus reciProca. Et si ea-I.rar Rrum aliqua dicatur esse ut sunt aliae duae vel plures directe vel N ' 'inversu: sensus est, quod Prima augetur Vel diminuitur in ratione, quae componitur ex rationibus, in quibus aliae, vel aliarum reciprocae, augentur vel diminuuntur. Ut si A dicatur esse ut Bilirecte M o directe Sc D inverse: sensus est, quω A augetur, Vel diminuitur, in clidem ratione cum BκCκ L; hoc cit, quod A Msunt ad invicem in ratione data.
Subtens evanescens anguli contactus, in Curvis omnibus cur Uaturam sinitam ad punctum contactus habentibus, es ultimo in ratione duplicata subtensae arcus contermini. f. I. Sit arcus ille AB, tangens Hus AD, subtensa anguli Contactus ad tangentem Perpendicularis BD, subtensa arcos AB. Huic subtensae AB M tangenti AD perpendiculares erigantur AG, BG, Occurrentes in G ; dein accedant puncta D, B, G, ad puncta d,
b, g, sitque I intersectio linearum BG, AG ultimo facta, ubi puncta
D, B accedunt usque ad A. Manifestum est, quod distantia GIminor esse Potest quam assignata quaevis. Est autom ex natura Circulorum Per .Puncta ABG, Abg transeuntium) AB quad. aequale AGκ BD, 8 Ab quad. aequale Ag κως ideoque ratio AB quad. ad Ab quad. componitur ex rationibus AG ad Ag
M AD ad bd. Sed quoniam in assumi lκ test minor longitudine quavis assignata, fieri potest,
ut ratio AG ad Ag miniis differat a ratione aequalitatis, quam Pro differentia quavis assignata; ideoque ut ratio AB quad. ad Ab quad. minus disserat a ratione BD ad bd quam pro disserentia. Est ergo, per Lemma I, ratio Ultima AB quad. Ab quad. eadem cum ratione ultima BD ad bd. Q. E. D. f. a. Inclinetur jam BD ad AD in angulo quovis dato, R eadem