장음표시 사용
101쪽
81 GEOMETRIAE quoniam radix exf - 8 r-64 M o minis est 16 , hinc scribere oportet xx - Αx S M O,&xx 4 at 7 mo. Hic enim o - - - iacit s, &- ἱρ iacit . Et quandoquidem nulla in utraque harum quationum invenitur radix, sive vera, sive salsa, liquido constat, quatuor radices AEquationis, ex qua deductae 1lint, imaginarias esse , & Problema, cujus gratia μquatio inventa est, natura sua esse Planum; sed nulla ratione construi posse, cum datae quantitates conjungi
nequeant. Sic etiam cum habet O
' Verum enimverb ut utilita4 hujus regulae melius cognosci possit, operae pretium est, ut illam Problemati alicui resolvendo applicemus. η Datis quadrato A D, & recta linea B N; oporteat producere latus A C aeque ad Ε, ita ut Ε F, ducta ab E
102쪽
LIBER ΤΕRTIvs. 83 versus B, sit aequalis ipsi N B. . Docet Pappus, quod postquam primum latus B D productum est usque in G, 'ita ut D G aequetur D N, circulusque descriptus est, cujus diameter B G. producendum deinde tantum sit latus A C. donec circumserentiae hujus circuli occurrat in puta 'o Ε, quod requirebatur. oeae sane constructio investigatu iis, quos lateret, dissicilis satis forct: Etenim quaerendo illam per methodum lila propositam. Nunquam certe cogitarent assumendam esse D G pro quantitate incognita, sed potius C F vel F D vel C Ε cum hae talos sint, quae facillime omnium nos ad usquationem perducant; sed ad AEquationem quae non ita facile absque regula, quam jam exposui, explicari posset.
Quippe ponendo a pro B D vel C D, c pro Ε F. R x pro D F tit CF m a -x; Et ut C F seu a e est ad F Ε seu e, se F D seu ae est ad B F, quae proinde erit . Deinde
propter triangulum rectangulum B D F , Cujus unum latus est x, & alteruma, quadrata ipsorum, utpote xx aW aequalia sunt quadrato basis,quod est . Vnde multiplicando totum per xx -2ax aa, in
103쪽
8 G B o M E T R I AE v Vbi per praecedentes regulas cognoscitur, radicem ejus, quae est longitudo lineae D F. esse
Quod si vero B F vel B E poneretur pro quantitate
incognita. perveniremus rursus ad AEquationem, in qua
quatuor dimensiones essent, sed quae facilius reduci pos-R 1et: & ad quam etiam satis lacile perveniretur. Cum alias, si pro ea supponeretur D G. multb dissicilius ad u. ationem, sed quae simplicissima foret , perveniremus. Quod quidem laic res ero, ut vobis indicem , quod clim Problema propos tum non est Solidum, si quaerendo illud una via ad AEquationem deveniatur valde cominpositam, tum communiter alia via ad simpliciorem AEquationem perveniri possit. Possem praeterea h1c diversas regulas adjungere, reducendi .muationes , quae ad Cubum vel Gadrato- quadratum adscendunt, verum superfluae forent: quandoquidem constructionem corum Problematum, quae Plana sunt, semper per hasce invenire licet. Possem quoque alias asterre pro AEquationibus, quae ad Surdesolidum, vel Quadrato-cubum, aut altius ascita uari surgunt ε, sed malo omnes sub una comprehendere, dicendo in genere: quod, postquam aliquis illas ad eandem formam, quam habent illae, quae aeque multis dimensionibus constant, & ex multiplicatione duarum
in s. aliarum, pauciorum dunensitonum, producuntur, reducere conatus fuerit, atque modos omnes, quibus haec
multiplicatio fieri possit, enumeraverit, nec juxta aliouem ex ipsis succedere compererit, asseverandum sit, uias ad simpliciores reduci non posse. Ita ut, si incognita quantitas 3 vel 4 dimensiones habeat. Problema, in cu-
,s gratiam AEquatio quaeritur, Solidum existat; & si s
104쪽
vel g dimensiones habeat, uno gradu magis sit compositum. Et sic de caeteris. Caeteriam omisi hic demonstrationes plurimorum. quae dixi di quoniam ita iaciles mihi visae sunt , ut . si
modo operam, methodice examinandi, num erraverim,
impenderitis, illae sua sponte vobis sint occursurae. quin etiam utilius erit ipsas nac ratione, quam si legantur, addiscere. Iam vero postquam compertum est Problema propositum esse Solidum ; sive AEquatio . per quam illud quaeritur, ad Quadrato-quadratum adscendat; sive non ι altius quam ad Cubum assurgat: potest semper radix ejus inveniri per aliquam trium Conicarum Sectionum, ,
quaecunque illa tandem sit; aut etiam per ipsariam par-
ticulam aliquam, quantumlibet exiguam , nec utendo. nisi rectis lineis & circulis. Verum sussecerit regulam generalem hic adducere, inveniendi radices omnes ope Parabolae, quandoquidem haec aliquo modo est simpli-icissima. Primo igitur tollendus est secundus AEquationis propositae terminus, modo jam non absuerit, atque ita quatio reducenda ad hanc formam: α' π 'ap m. aag, τ si incognita quantitas tres tantiis dimensiones habeat; aut ad hanc : in M'. aραα. a af α. Gyr, si quatuor obtineat dimensiones; Seu sumendo a pro unitate, ad hanc: Io '. ρα. q; aut ad hanc D'. ρ αα. fm. r.
Deinde silpponendo Parabolam F Α G jam descri- Vptam esse. & axem ejus esse A C D K L. latusque rectum a sevi, cujus AC sit dimidium, & denique punctum
C esse intra hanc Parabolam, cujus vertex sit A: Oportet facere C D min. eamque sumere in linea A C, continuata versus C, si in AEquatione habeatur H-ρ; sed versus alteram partem, si habeatur- Porro epun-
105쪽
GEOMETIET AEM D, aut ex puncto C, si non habeatur quantitas p. erigendo ad axem perpendicularem DΕ aequalcm- oportet ex centro Ε circulum describere F G, cujus semidiameter sit A Ε , si AEquatio tantum Cubica su rit, hoc est, si non habeatur quantitas r. Ast si habeatur r, & quidem signo in adsecta, oportet ulterius in hac linea Α Ε, producta utrinque, ex una parte sumere A R zo r, & ex altera parte AS aequalem lateri recto
106쪽
8,7Parabolae . quod est I, descriptoque circulo cujus dia. meter RS. erigere ΑΗ perpendicularem ad Α Ε, quae occurrat huic circulo R H S in puncto H , quod illud ipsum est, per quod alter circulus F H G transire de bot. Quod si vero habeatur - r , oportet insuper in alio circulo . cujus diameter est Α Ε, inscribere ΑI, aequalem inventae Α H: imentumque erit punctum Ι, per quod primus circulus quaesitus F I G transire de
Vbi sciendum, quod circulus hic F G secare vel tangere possit Parabolam in I, 2, 3, aut punctis. a quibus si ad axem demittantur perpendiculares , habebuntur
107쪽
- O E o M E T R I AE t 'omnes AEquationis radices, tam verae, quam salsae. Nimirum si quantitas ρ sit adsecta signo --. verae radices erunt illae harum perpendicularium, quae ex eadem Parabolae parte, qua est Ε circuli centrum, reperientur. ut F L; & reliquae, ut G Κ, erunt fatis. Sed contra, si haec quantitas ρ notata fuerit signo - , Verae erunt illae, quae ex altera sunt parte; &falsae, seu minores quam ni .hil. quae ex parte illa, ubi est centrum circuli E. Et denique si hic circulus non secat, nec tangit Parabolam in aliquo puncto, indicio est , AEquationem nullam admittere radicem sive Veram, sive salsam , sed tantini v v imaginarias. Adeo ut haec regula omnium. quas quis exoptare queat, generalissima si & persectissima. Quorum quidem demonstratio admodum facilis est. Etenim
108쪽
L x vi Τ E R T 1 v. s. 89 Etenim si linea GK, per constructionem hanc inventa, vocetur α. A K. erit m α, propter Parabolam , in qua G K debet esse media proportionalis inter A K A latus rectum, quod est l. Deinde, si ab Α K auseram AC, quae est . , ut & C D. quae est ἱ p, relinquetur DΚ E Μ α α -ορ- I, cujus quadratum est
' α αἱ . Et quia D Ε seu ΚΜ est q. tota GM cujus quadratum est αα - ρα-ἐqq. additisque hisce duobus quadratis. habebitur α' -- λαα ραο - ἡ ρ ρε ι
109쪽
pro quadrato lineae G Ε, quippe quae basis est trianguli reis anguli EMG. Sed quia haec eadem linea G Ε est semidiameter circuli FG. poterit ipsa altis adhuc terminis explicari. Nimirum si E D suerit I q . dc AD pH-ι, EA erit
propter angulum rectum A DE. Deinde cum AH sit media proportionalis in ter A S, quae est t/A R , quae estr erit ipsa Vr. Ac denique , propter angulum rectum Ε A H, quadratum exHE seu ΕG aded ut habeatur AEquatio inter hanc summam & praecedentem. Eadem quippe quae α' oo -ραα - qm in r. Vnde consequenter liquet, inventam lineam G K. quae nominata fuit α, AEquationis hujus esse radicem. Qioderat demonstrandum. Et si calculum hunc ad omnes alios hujus regulae casus applicueritis. mutando signa in & - , prout opus exiget, eodem modo ad quaesitum perveni tis ; ita ut illis diutius inii rari non sit opus.
110쪽
libeat medias proportionaleS InVenire. nemo ignorat,
ita ut habeatur AEquatio inter , utpote , so a a q. Deinde descripta Parabola F Α G una cum segmento sui axis AC, quod est j a. semissis nempe lateris redii, erigenda est ex puncto C perpendicularis QE , aequalis ψ q. atque ex centro Ε per A describendus circulus A F . ut obtineantur F L N L A, duae mediae quaesitae. Similiter si dividore velimus angulum N O P . sve arcum , portionemve circuli N QT P in tres aequales i. partes; si sumatur N O Io i pro radio circuli, ' N P Io q/ω pro subtensa arcus dati, ac N Q Io pro subtensa trien-' tis hujus arcus, ex larget AEquatio AO ' 3 7- q. Etenim ductis lineis N Q. O . R OΤ : si QS parallela fiat ipsi T O. patet . quod, sicut N O est ad N Q, sic N stad Q R. R QR ad R S; adeo ut, cum N Osit 1. R Nh. ciis sutura sit, & R S Et quia tantum R S scuis impedit, quo minus linea N P, quae est ρ, tripla sit lineae N . quae est . habebitur
Deinde descripta Parabola F Α G , in qua C A sit aequalis semissi lateris recti principalis, si sumatur C Dzo j. & perpendicularis D E Io I l : secabit circulus
F Ag G. centro Ε per A descriptus, nanc Parabolam in tribus punctis F, . . &G. non numerato puncto A, quod xst ejus vertex. Id quod indicat in hac d uatione tres Iaberi radices, nimirum duas G K- , quae veraesunt, A tertiam, nempe F L, quae est salsa ; Atque ex hisce duabus veris minorem g illam esse, quam pro quaesta linea N Q sumere oportet. Altera enim G Κ, aequalis