장음표시 사용
131쪽
AEquationis terminis aeque multas literas tribuere tenemur: cum unitas illas ubique supplere possit, ubi numero pauciores habentur , & ipsa has species multiplicans aut dividens easdem non mutet. Si vero ibidem non sit expressa, poterit tum quidem subintelligi. Qua de re plura exempla in hac Geometria repe
Vandoquidem linea M primae figurae tangit circulum L O P, rectangulum O M P mquatur quadrato ex L M. Sunt autem bina recta gula MOP&ΟMPaequalia quadrato ex o M. AEquale igitur erit rectan. 1. gulum MO P, una cum quadrato ex L Μ , qua- drato ex OM; hoc est, erit ad in ac per consequense Io a a b cum ON aequetur a , & quadratum ex NM tantundem valcat atque duo quadrata ex NL & LM, hoc est, Id quod primo erat demonstrandum. Deinde rectangulum o P M & quadratum ex P M aequalia si mul sunt rectangulo OM P. Est autem rectangulum OMP ae quale quadrato ex LM. Quadratum itaque ex PM aequale est quadrato ex L M, minus rectangulo O P M: hoc est, erit 3 Mac proinde ' M - ἱ-- έ cum N M aequatur 3 ἱ-, ut supra, ac ex ipsa aufertur NΡ seu ἱ-a, relinquitur M P seu). IN SECvNDAM FIGvRAM DA RADICuM a
Educemus hanc figuram ad sequentem, in qua ND & Hosunt parallelae & aequales ipsi L M. Quibus positis, quoniam
132쪽
dam autem cum linea RQ divisa sit bifariam in D, ac ipsi in directum ad tecta QM, erit rectangulum R M Q, hoc est, quadratum ex L M, una cum quadrato ex D Q seu RD, aequale quadrato ex DM, hoc est, ex semisse ipsius a; ac proinde quadratum ex D seu D R aequale quadrato ex D M, minus quadrato ex L M, hoc est, aequale a a-Vnde si addamus V 2 a' - hoc est, D Eseli D R ad D M vel a, habebimus M R pro si vero illam ex eadem D M auferamus, obtinebimus quoque QM pro e. Equibus patet,primo casu fieri M R,hoc est, et Ia - έ secundo autem Minhoc est, et M ia--ν 4a' - Ita ut haec aequatio a.' M-α - , b duas habeat radices, nimirum, MR &MQ, quae, sicut jam diximus, exprimuntur. Id quod secundo
erat demonstrandum. QPossunt quoque haec omnia, quae de radicibus dicta sunt, per Algebram demonstrari. Si enim in primo exemplo, sicut fecimus, ponatur erus a V Mauserendo utrinque t a, habebitur V Ea --bφm α - 1a. Ae proinde, si sumantur horum qu drata, erit & α' - ac Φ i M-- Et ablato
133쪽
utrinque ἱ a', atque transferendo in alteram aequationis
erunt & horum quadrata aequalia, hoc est, ἱaa - aa. Fe , di baa - bb, δέ proptereat.' Ma 4-bb. Quae quidem demonstrare oportebat. I IN COMPOSITIONEM LOCO RuM PLANOR valvae 'SOLIDORUM P Λ G. 26 , & sequent.
O Vicquid iii primo libro restat, nec non in secundo usque al eorum Planomani & Solidoriun compositionem reperi-rur, intellectu satis facile est; quare ad paginam as& sequentes progrediemus.' Vbi primo notandum , quod, habento in aequa tione duas quantitates indetorminatas, quarum una licet pro arbitrio sumatur, altera tamen per eandem aequationem inveniri possit, ita ipsam ordinare oporteat: ut, si una, puta x, ad libitum se matur, altera, quae est', 'denominationi terminorum ejus inserviat, sic, uir unam constituat aequationis partem, & altera ejus pars ordiatur a termino, inquo' lasnex reperitur, quem sequatur It clim x, & postea x sine', & tandem terminus, in quo nectuear neque I reperiatur. Atque impossibile quidem est alios casus invenire, quando quantitates indetermitia tu & x duas tantum dimensiones habent: quanquam saepissime contingat ex his terminis aliquos reperiri nihilo aequales. Deinde observandum quoque est, s termini illi plurestitimas vel dimensiones eontineant, modis quantitates indeterminatae'& x duas dimensiones non excedant facile esse, dividendo totam
134쪽
unam partem aeqitationis constituat di reliquae alter m partem, Mi instar fraetionis , prudenominator abentem literas, quae a stea cum II jungebantur. Vbi nein cxiitimare debet, tra, ionem pluribusSinentionibus conitare, qu1m numero relinquuntur literae in numeratorei, pinquanae ex ipsosnumerus literarum
denominatoris est subductus, quemadmodum iu exemplo , ea dem hujus Geometriae papina proposito, apparet. Quod vero de dimensioni Sus jam dixtinus, eodem sensu intelligendum es quo antea adverturiis, utile esse, ut singulis aequationis terminis aeque multae tribuamur literae. Namseu fgnis
ficare potest lineam aliquam, sic etiam et M & j quae tamen sieusurpari non debent, nisi cum linea quaedam pro unitate est de
terminata : ob rationem supra allatam, ubi utilitatem atque commoditatem ostendimus, quae sequitur,. cum singulis aequationis terminis aeque Pultae literae vel dimensiones ιribuunturi etiamsi illi il nisi lineae aliaeve res similes designentur. Potab notandum cshmudd in linc Geometria generaliter pro uno codemve loco vel termino habeant ' illi omnes,.qui eandem quantitatis, quam invenire volumus, & radicem aequationis appellamus, denominationem sortiuntur. Nimirum, quod omnes illi pro uno termino habeantur, in quibus reperitu ';. Spro lio, in quibus reperitur I; & rursus pro alio omnes, an quibus non reperitur. Atque ita ulterius, si radix plures dimentiones habuerit. Est autem hoc iit diximus generale; speciatim vero haec methodus requirit, ut ex termino, in quo I reperitu , duos casus faciamus; in quorum uno' reperiatur tinc x; ω in altero,ubi cum x sit conjuncta: cum '&x duae in determinatae quantitates lint &utravis aequationis radix esse possit. Neque difficile est ad unum terminum reducere omnes illori qui eodem modo ab aequationis radice denominantus Etenim reliquis literis cognitis. cxistentibus, facile est tales assumere, quae sipponantur aequales iis omnibus, quae eandem habent radicis denominationem; vel etiam ei, quod designatur per fractionem, quam termini efficere ponantur.
Atque hinc fit, quod loco terminorum, ubi reperitur sine M 1 lummodo ponatur 2 mr L quippe quod supponitur aequale omnibus simul terminis ejusdem denominationis. Loco autem eorum P r omnium,
135쪽
Methodus postulat, ut a. retineatur,ac nillilominin terminus quin
libet plures quisn duas dimensiones habere non debeat , ponitur tantum a: ν, ut sic desgnentur fractiones omnes, quae similene habent radicis denominationem. i5d vero loco-- xysumatur et my & - x1, id tantum in cum finem fit, ut facilius adaequationis radicem perveniatur: ad quam obtinendam requiritur, ut literarum m&n semisses accipiantur. Sicut superius vidimus pag. 6 Se 7, ubi de radicum extracticine, quando aequatio
uuasibium di inensiones habet, sumus loquuti. . --
Postquain igitur termini, in quibus absque x, atque etium in quibus I & x simul reperiuntur, hoc modo ad simpliciores reducti sunt, extrahitur radix ex AEquatione esulue exprimitur juxta id, quod pag. is & fuit dictuA. Quemadmodum videre licet in exemplo pag. 27, ubi radix
Deinde sumenda est na' pro omnibus terminis in vinculo, in qui bus x non reperitur, cujus quantitas m eadem cst in aequatione proposita cum ea, quae est extra vinculum; alias ps rest esse diversa, quo casii loco m extra vinculum praeliat quodammodo aliam literam assumere. Post quae praeter terminos, in quibus a absque I reperitur, nihil reducendum restat. Possunt autem hi duobus modis se haberer prout nimirum habebitur vel x , vel x simpliciter. Vnde fit , ut etiam, loco terminorum omnium, in quibus x simpliciter reperitur, scribendum sit o x. Quo loco tandum quoque venit, literam o quantitatem aliquam hic d signare, nonalitem phram: suandoquidem aequalis est ac loco illorum omnium serioltur, quae cum x junguntur; alias enim D. des Cartes ea ordinarie ad cyphram seu nihil denotandum ut tur vita ut quodammodo huc, ad confusionein evitandam, praestare videatur , pro o aliamquandam literam ses,stituere. Sed haec monuisse sufficiat. Denique reducendae sunt etiam literae , quae cum x junguntur, quaeque nil praeter fractionem designare pose sunt : cum x duas habeat dimensiones , hoc videlicet modo:
x . Vbi considerare oportet, quod Etera m fractionis E eadem
136쪽
NOTAE BREVE s. . III vantitas existat, quae in m in vinculo. Qua quidem thodo
nulla habebitur aequatio, cujus radix ad duas tantum diinensi nes ascendit, quae, prout ex illa educta est, non reducatur ad hano formulam: Mm---- ox-x . Ita ut haec ipsa qui Sset Locis Planis & Solidis construendis inservire queat: cum omnes locos sive terminos, qui in eorum a quationibus reperiri possunt, comprehendat; adeoque non nisi lignorum in &- variationem, atque loca & testanos, qui in propositis aequationibus deprehendi nequeunt, considerare oporteat. Quae qui dem omnia a D. des Cartes sum animadversa. Nos vero cadun--ae, quae difficultatem aliquam inerre poscat, illustrare com
Ρ Ostquam aequatio ad supradictam. formulam est reducta, Sc
illa, sive aeque multos, sive pauciores icrminos habens, etiam Baetionissius numericis est affectar ut exempli gratia si loco x habeatur potest operatio institui per hasce fractiones, supponendo, numeratorem 3 esse aequalem numeratori νε, & denominatorem A aequalem denominatori t. Idem intellige de aliis Bactionibus numericis, quae aequ les sunt, &adlueras superio ris sermulae referuntur Vnde cum habetur fractio denotata hoc paci o x ἰ loco - x; erit litera n aequalis V 3 , & e aequalis V 4, atque ita de aliis. Est autem bene observandum, quod diximus : nimirum: si1 in aequatione rueriatur m , denomitiatoremm fractionis x tum esse aequalem ipsi m quantitatis m . id quod Deile est, etiamsi alia fractio haberetur, modo suppona mus, m esse ad ρ, sicut denominator hujus fractionis ad suum numeratorem: quandoquidemhoc modo fractiones fiunt aequoles. Quod si autem id per numeros fieri non possit, operandum erit per literas, quod saepe est commodissimum. Porro obsese vandum est, quod ex terminis, qui inveniendis, centro, lateri recto, & transverso inserviunt,non aliae literae ustirpandae sint,quam quaeiqaequatione reperiuntur; &Phd reliquae literae eorundem
137쪽
terminorum non magis sint considerandae, quam si non habere tur. Cuius ratio est, quod D. des Cartes, ut universaliter haec tractaret, terminos hosce eiusmodi constitutionis effecerit, in qua loca omnia serent repleta. Adeoque lucrae locorum, quae inprbposita aequatione non reperiuntur, non annumerandae sunt terminis, qui centris, Iateribus rectis, de trant,ersis exprimenia dis inserviunt. Ons ERUATIO SECvNDA.P Ag. 27. casus, cum in aequatione non habetur m , dissiculisetem afferre posset, quare ad illum intelligendum cogitandum est , quod, quando in aequatione non habetur m , ducenda itidem pon sit linea IK in figura ejusdem paginae. Ac proinde, ut inveniatur L I, postquam habetur x, non referenda est illa ad I Κsed ad A B, eodem modo, quo D. des Cartes ipsam comparat ipsi I K. Quandoquidem faccre oportet, ut A B lit ad B L, sicute ad n , hoc est, ut A B existente x, BL st x, atque ut pun ctum L cadat ex parte puncti C, si habeatur --at ex altora parte versili R , si reperiatur H - x. Quo facto, ducenda est linea Α L, per puncta A & L; quae eadem erit quae LI, hoc est,
codem munere iungetur, qtio . I in exemplo D des Cartes. Et quidem coga ita crit linea AL, cum lineae AB, B L, anguluseque AB L ccgitos cantur. Atque ita pro A L accipere possumus
Sed rem fortassis planius per exemplum aliquod explicabimus Sit, me posita figura, recta linea A Y, curva autem A X, cujus vertex punctum Α, cujusque haec sit proprietas: ut, ast umpto in ea quolibet puncto, ut X, a quo ad rectam Λ Υ normaliter ducatur XY, sumptaque utcunque recta A B, haec ipsa una cum linea Α Y sit ad lineam AY, sicut linea A Y id lineam XY.
m x. Hinc cum b I iit ad , sicut adar, erit' ' M .v3H-xb, &IM Ix H- ν --xb. Vnec ex iis, quae habentur pag. 29. constat, lineam hanc esse Hyperbolam, eo quod habetur Ad quam construendam , cum Α K sit x , linea KL erie t x,
138쪽
quandoquidem haee fracti6 aequalis est aei fi x respondet. Porro, quoniam rectus est angulus ΑΚ V, erit quadratum ex ALaequale quadratis ex ΑΚ & KL simul semptis. Hinc cum quadratum cx Α Κ sit x , & quadratum ex ALeritu
seu a: 3 ἰ; id quod aequale silpponimus ih μ ξ x, ata x' ipsi ὀ xl: ita ut V s sita, & V 4 sit c , & x stρ, & sit m. Quibus positis, terminus , qui inveniendo centro inservit, erit V b , estniam hoc est, V s , valeat V. 8oi diape, hoc est', 2 U g, va
est, V 3b A Quod quidem centrum fiunendum est a punAci Α versus M, quandoquidem Hyperbola est, & habetur b x, . hoc est, is o saxinpag 3 o. Latus rectum hic est U, hoc est, b iseu Uybb. Vnde latus transversum : quoniam oportet, utp c sit ad a m, sicut ad latus transversum,quod idcirco, ut
139쪽
xxo FLORI MONDI DE BRAVNE proinde eum distantia puncti Aa centro sit Vi quae semissaein lateris transversi quoniam , cum duorum quadratorum unum alterius est quadruplum, latus tantum lateris ni duplum ; manifestum est, puninum A verticem sore diametri A L. Ideoque si fiat M Ααν erit ipsa latus transversum, & latus rectum erit, ut diximus, V e bb. Qitorum demonstratio facilis est. Nam perprop. 2 I. lib. I Conicorum Apollonii, ut latus trans. versum MAMM ro b best ad latus rectum V ibb, ita est rectangulum ML A ad quadratum ex LX. Est autem Α Lm V ix K Hine si multiplicetur V zo bb- έ- habebitur Mictangulum ML Α, quod proinde erit 3 bbae VMultiplicando vero id ipsum perlatus rectum Vibb, exsurgit ν Eb x - έ quod divisum perlatus transversum
V ix', seu pro quadrato ex LX, unde ipsa LX fit
ν bae ex . Jam si ad lineam LX addatur linea LΚm j x, obtinebitur linea X K, hoc est. I M l x - - - , ac per
consequens v x--ἐx ODI-Ix. Vnde ducta utraque aequa
God erat demonstrandum. Proponatur adhuc aliud exemplum, reserens cum casum in quo non reperiatur- x inaequatione. Habeamus itaque aequationem hanc ID - 2 d3-bx, cujus radix est I M - d in f P b x , quam construere oporteat. Supponatur in figura sequvie A B M ae, & angulus Α Β C ad libitum, B C autem , indefinite continuata versus B, IDI; fiatque B Κ m d quae hic idem praestat quod m in superiori sermula, quoniam habetur ae Ducta autem NK indefinite parallela ipsi AB, sumatur Κ I aequintis AB, prout ostensum fuit pag. 27 & 28. Quo facto,relinquetur tantum V d -b x, & pagina sequens docet lineam quaesitam esese Parabolam, quoniam non habetur Praetcrea puncto Nexistente vertice, linea I Nesse debethoe est, i , in hoc
exemplo. Terminus denique, qui explicat latus rectum,erit idem
140쪽
dinatim adplicata ad diametrum. Quorum demonstratio nec difficilis. Nam,secundum. XL prop. I Libri Co- uicorum Apollonii, irectangulum comprehensum sub latere ro
Ρ Agina r9, circa medium, dictum est, lineam quaesitam esse
Circulum, cuina a in rupe ,&cum angulus est rectus. Verum hoc intelligenduin etiam eis, cum angulus est rectus, nec omnino habetura am, nec pie : aut cum in aequatione literae v nius termini aeqhales sunt lueris termini alterius. Ad pleniorem autem horum intellectum sequentia construamus exempla.
Habeatur aequatio 'aesa: a ,cujus radix estIMUR supponatur in appotita figura linea H A M llinea A B m x, linea Diuitiget a by GOrale